函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用

1、函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種較為理性的認(rèn)識(shí)，自身帶有 一般意義和相對(duì)穩(wěn)定的特征，就是對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容和被所使用的 方法的本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)。它是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉和概 括，而在后繼的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)證實(shí)其正確性的一種認(rèn)識(shí)。常用 的數(shù)學(xué)思想有：化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、函數(shù)與方程的思 想、數(shù)形結(jié)合的思想等等。本文主要就函數(shù)問(wèn)題，探究其數(shù)學(xué)思想在函數(shù)問(wèn)題方面的解決。函數(shù)思想，指運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)，通過(guò)類比聯(lián)想轉(zhuǎn)化合理地構(gòu) 造函數(shù)，然后去分析、研究、轉(zhuǎn)化問(wèn)題并解決問(wèn)題。一、不等式問(wèn)題用函數(shù)思想分析不等式問(wèn)題，化為函數(shù)問(wèn)題。通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解 決不等式問(wèn)題，顯得簡(jiǎn)潔。

2、例1:設(shè)實(shí)數(shù)a1b0,問(wèn)a,b滿足什么關(guān)系時(shí)，不等式lg(ax-bx)0的解集是(1,+乂)。簡(jiǎn)析：欲設(shè)不等式的解集為(1,+X),只需構(gòu)造函數(shù)f(x)=lg(ax-bx),使其在定義域上是增函數(shù)，且f(1)=0。解：設(shè)f(x)=lg(ax-bx),因ax-bx0 ,故()x1，且1,故x(0,+x)。依題意，只需f(x)是(0,+X)上的增函數(shù)且f(1)=0。va1b0,.ax是(0,+北)上的增函數(shù),bx是(0,+北)上的減 函數(shù)。ax-bx是(0,+ 8)上的增函數(shù)，故f(x)=lg(ax-bx)是(0,+8 )上的增函數(shù)。又f(x)=lg(a-b),令I(lǐng)g(a-b)=0則a-b=1。因

3、此,a,b滿足的關(guān)系式為a=b+1。二、 三角函數(shù)問(wèn)題在研究三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該充分注意到三角函數(shù)本身就 是一種特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的基本性質(zhì)去解決有關(guān)問(wèn)題。例2:已知a,p,Y為任意三角形的三個(gè)內(nèi)角，求證：x2+y2+z22xycosa+2yzcosp+2zxcos丫 對(duì)任意實(shí)數(shù)總x、y、z成立。簡(jiǎn)析：由原不等式得x2+y2+z2-2xycosa-2yzcosp+2zxcosY0,根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2+y2+z2-2xycosa-2yzcosp+2zxcos丫，證明函數(shù)在實(shí)數(shù)解至多有一解，即0即 可。證明:設(shè)f(x)=x2+y2+z2-2xycosa-2yzcos

4、p+2zxcos丫=x2-2x(ycosa+zxco丫)+y2+z2-2yzcosp=4(ycosa+zxco丫 )2-4(y2+z2-2yzcosp)=4y2(cos2a-1)+8yz(cosacos丫+cosp)+4z2sin2丫=-4y2sin2a+8yzsinasin丫-4z2sin2丫=-4(ysina-zsin丫)20恒成立。故x2+y2+z22xycosa-2yzcosp+2zxcos丫 成立。三、 數(shù)列問(wèn)題用函數(shù)思想解數(shù)列問(wèn)題能夠加深對(duì)數(shù)列概念的理解，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系。通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題，是一種有效的方法。例3:等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10,前n項(xiàng)的和為sn

5、,若sl=sk(I工k),問(wèn)n為何值時(shí)sn最大？簡(jiǎn)析：分析通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題 解決。解:依題意,設(shè)f(n)二sn=na1+d,nn,f(n)二dn2+(a1-)n,此函數(shù)是以n為自變量的二次函數(shù)。Ta10, sl=sk(I工k),dbc,且a+b+c=O,拋物線y=ax2+2ba+c被x軸截得的弦長(zhǎng)為I，證明:bc,且a+b+c=O,二a0,c0,故方程ax2+2ba+c=0必有兩個(gè)不同實(shí)根x1,x2,則I2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-4(-)=4(1+)2-=4(+)2+3,故l2是的二次函數(shù)，由abc及a+b+c=0可得-20,故12。五、某些求值問(wèn)題將問(wèn)題中的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)式，利用函數(shù)的