數(shù)學(xué)歸納法教案（張曉斌）

1、數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用舉例第一課教學(xué)設(shè)計(jì)重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌教學(xué)目標(biāo)： 一、知識(shí)目標(biāo) 1了解歸納法的意義. 2理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟，初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)正整數(shù)的命題. 二、能力目標(biāo) 1通過(guò)探索關(guān)于正整數(shù)命題的證明方法的過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)嚴(yán)密的邏輯推理的數(shù)學(xué)思想. 2學(xué)生經(jīng)歷對(duì)問(wèn)題的探究過(guò)程，讓學(xué)生感知科學(xué)的研究方法，并培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、思考問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 三、情感目標(biāo) 1在學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的探究過(guò)程中，激勵(lì)學(xué)生的好奇心和求知欲. 2在教學(xué)中，通過(guò)師生、學(xué)生之間的平等交流，使學(xué)生感受民主的氛圍和團(tuán)結(jié)合作的精神.教學(xué)重難點(diǎn)： 一、重點(diǎn) 1初步理解數(shù)

2、學(xué)歸納法的原理. 2初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 二、難點(diǎn) 1對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解. 2為何要利用假設(shè)證明n=k+1時(shí)命題正確.教學(xué)過(guò)程： 一、創(chuàng)設(shè)情景 師：同學(xué)們，我們先一起來(lái)分析三個(gè)問(wèn)題情景： 情景一：從麻布口袋里（無(wú)放回）逐一摸球. 師演示：摸出第一個(gè)球，紅色；第二個(gè)球，紅色；第三個(gè)球，紅色；第四個(gè)球，紅色. 師：根據(jù)這四個(gè)特殊事例，你能得出什么猜想？ 生甲：全為紅色. 生乙：不一定. 師演示：摸出一個(gè)白色球. 師：說(shuō)明由有限個(gè)特殊事例歸納出的結(jié)論不一定正確. 情景二：給出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 板書：an=(n2-5n+5)2. 學(xué)生分組計(jì)算：a1, a2, a3, a4.

3、師：請(qǐng)同學(xué)們猜想an=? (nN*). 生齊答：an=1. 師生一起計(jì)算：a5=25，否定結(jié)論. 情景三 師：請(qǐng)同學(xué)們回憶等差數(shù)列通項(xiàng)公式是如何推導(dǎo)的？ 生：根據(jù)前四項(xiàng)的規(guī)律，歸納出來(lái)的.板書：觀察等差數(shù)列的前幾項(xiàng)：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？試用、和表示.生：an= a1+（n-1）d (nN*). 師：以上三個(gè)情景說(shuō)明一個(gè)什么問(wèn)題？ （師生共同觀察、分析、討論） 生甲：結(jié)論有的正確，有的不正確. 生乙：都是由幾個(gè)事例得出的結(jié)論，有的正確，有的不正確. 師：還有什么補(bǔ)充？ 生丙：這些問(wèn)題與自然數(shù)有關(guān). 生?。哼@種由有限個(gè)事例推出一般結(jié)論的方法不能作為證明方法. 師：象這樣由有限多個(gè)特殊事例歸納出一般結(jié)

4、論的方法叫歸納法（板書歸納法），得出的結(jié)論不一定正確,也不能作為論證方法.師：用歸納法可以幫助我們從特殊事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但得出的一般結(jié)論并不一定可靠.再如法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬曾由得到均為質(zhì)數(shù)而推測(cè)：為自然數(shù)時(shí)，都是質(zhì)數(shù)，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的.因?yàn)槿鹗看髷?shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，時(shí)，是一個(gè)合數(shù)：.師：既然由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠，那么，就必須想辦法對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行證明.對(duì)于由歸納法得出的某些與正整數(shù)有關(guān)的命題，能否通過(guò)一一驗(yàn)證的辦法來(lái)加以證明呢？生：不能.因?yàn)檫@類命題中所涉及的正整數(shù)有無(wú)限多個(gè)，所以無(wú)法一個(gè)一個(gè)加以驗(yàn)證. 二、探索發(fā)現(xiàn) 師：前面學(xué)習(xí)的等差數(shù)列通項(xiàng)公式也是由有限個(gè)特殊事例歸納出來(lái)的，

5、也可能不正確.一旦錯(cuò)誤，我們已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)大廈必將倒塌，必須對(duì)它進(jìn)行搶救性證明.如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？ 生甲：一一列出各項(xiàng). 生乙：不可能全部列出. 師：人精力有限，不可能也不必要一一列出各項(xiàng),我們一起來(lái)探索新的證明方法.我們將采用遞推的辦法解決這個(gè)問(wèn)題.同學(xué)們?cè)陔娨曋锌赡芸吹竭^(guò)“多米諾”骨牌的游戲，由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推到第一塊骨牌，第二塊就會(huì)自己倒下，接著第三塊就會(huì)倒下，第四塊也會(huì)倒下，如此傳遞下去，所有的骨牌都會(huì)倒下.這種傳遞相推的方法，就是遞推. 師：要使n塊多米諾骨牌全體依次倒下，須滿足什么條件？ 生甲：擺放距離要恰當(dāng). 生乙：牌的大小、重量要合適. 師：我們只

6、研究數(shù)學(xué)方面的條件，應(yīng)找出數(shù)學(xué)模型. 生丙：第一塊倒下，后面接著倒下. 師：總結(jié)同學(xué)的發(fā)言，需要條件如下： （1）第一塊要倒下.（2）當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須倒下.再如：前面從一個(gè)袋子里第一次摸出的是一個(gè)紅球，接著，如果我們有這樣的一個(gè)保證：“當(dāng)你這一次摸出的是紅球，則下一次摸出的一定也是紅球”，能否斷定這個(gè)袋子里裝的全是紅球？生：能斷定. 師：類似地，證明一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題需要證明哪幾條？ （通過(guò)學(xué)生充分探索、討論3分鐘） 生甲：第一條，n=1時(shí)，命題成立； 第二條，n取前面一個(gè)值成立時(shí)，n取后面一個(gè)值也成立. 師：關(guān)于一個(gè)正整數(shù)n的命題，n一定可以取1嗎？ 生乙：不一定，如多邊形

7、內(nèi)角和定理. 師：所以第一條是n取第一個(gè)值n0時(shí)，命題正確. 師：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫n取前面一個(gè)值命題成立時(shí)，n取后面一個(gè)值也成立呢？ 生丙：n=1命題成立時(shí)，n=2命題也成立；n=2命題成立時(shí)，n=3命題也成立.以此類推. 生?。鹤C明不完，前面一個(gè)n值用一個(gè)字母表示. 師：對(duì).就用k表示吧. 生?。喝舢?dāng)n=k時(shí)，命題成立，則n=k+1命題也成立. 師：歸納同學(xué)們的意見(jiàn)，總結(jié)如下： 板書： 第一條：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（如n0=1或2等）時(shí)，命題成立. 第二條：假設(shè)當(dāng)n=k（kN*，且kn0，）時(shí)命題成立.證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立. 師：證明了這兩條命題一定成立嗎？ 生：一定成立. 師

8、：為什么？ 生思考后，由第一條，n取第一個(gè)值命題成立了，由第二條n從第一個(gè)值開(kāi)始，取后面的值一個(gè)接著一個(gè)都成立了.這兩步實(shí)質(zhì)上具有遞推性.師：很好，這種證明命題的方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.需證明的兩條就是證明的兩個(gè)步驟.（1）是遞推的始點(diǎn)；（2）是遞推的依據(jù).步驟（1）是一次驗(yàn)證，步驟（2）是以一次邏輯推理代替了無(wú)限次驗(yàn)證過(guò)程.步驟（2）用的是演繹推理.板書： 第一步n=1時(shí)命題成立 n=2時(shí)命題成立 由第二步n=1+1也成立 n=3時(shí)命題成立 由第二步n=2+1也成立 由第二步n=3+1也成立 n=4時(shí)命題成立 即nN* 時(shí)，命題均成立師：上述無(wú)窮“鏈條”一環(huán)扣一環(huán)，形象地說(shuō)明了用數(shù)學(xué)歸納法證明命

9、題正確性的過(guò)程，它的兩個(gè)步驟保證了命題無(wú)限遞推是正確的.師：同學(xué)們，從以上推理鏈你們發(fā)現(xiàn)了什么？ 生甲：只要完成了證明的兩個(gè)步驟，就完成了證明. 生乙：兩個(gè)步驟缺一不可. 師：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)很好！第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù). （用展示平臺(tái)展示用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟.） 下面嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公式. 三、嘗試證明 板書：已知an是等差數(shù)列，公差為d. 求證：an=a1+(n-1)d. 在教師的組織下，師生共同完成證明.師進(jìn)行敘述示范.在證明過(guò)程中，教師適時(shí)提出兩個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生思考討論. 問(wèn)題一：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，如何翻譯成數(shù)學(xué)式子？這個(gè)式子是作為已知利用或是需

10、要證明的？ 問(wèn)題二：證明n=k+1時(shí)等式成立需證明的目標(biāo)是什么？ 四、應(yīng)用舉例 例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+3+5+（2n-1）=n2. 此例的教學(xué)過(guò)程為： （1）學(xué)生先獨(dú)立完成，在完成過(guò)程中師生之間、生生之間可以相互交流討論. （2）教師在適當(dāng)時(shí)候提出兩個(gè)問(wèn)題： 如何造成利用假設(shè)的條件？ 證明n=k+1等式成立的證明目標(biāo)是什么？ （3）學(xué)生基本完成后，教師用平臺(tái)展示學(xué)生的證明過(guò)程，師生共同點(diǎn)評(píng).用實(shí)物展示平臺(tái)展示學(xué)生的錯(cuò)誤做法：（1）時(shí)，左1，右1，等式成立.（2）假設(shè)時(shí)等式成立，即.則時(shí)，當(dāng)時(shí)等式成立，由（1）和（2）可知對(duì)任何等式都成立.師：上面的證明方法是數(shù)學(xué)歸納法嗎？學(xué)生討論.師：

11、從形式上看用的是數(shù)學(xué)歸納法，實(shí)質(zhì)上不是，因?yàn)樽C明正確時(shí)，未用到歸納假設(shè)，而用的是等差數(shù)列求和公式，數(shù)學(xué)歸納法的核心是證明命題的正確具有遞推性.僅有第一步驟驗(yàn)證而沒(méi)有第二步驟遞推性的證明是不行的.那么，沒(méi)有第一步行嗎？學(xué)生討論.師：讓我們看一個(gè)例子：試問(wèn)等式成立嗎？設(shè)等式成立，即，則.當(dāng)時(shí)等式成立，故對(duì)任何等式都成立.師：對(duì)嗎？學(xué)生討論.師：事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，左邊2，右邊3，左邊右邊.左邊總是偶數(shù)，右邊總是奇數(shù)，該等式不可能對(duì)都是成立的.師：因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù).缺了第一步，遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無(wú)法遞推下去.

12、五、練習(xí)反饋 課堂練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+2+3+n=n（n+1） 根據(jù)學(xué)生練習(xí)情況教師隨時(shí)加入討論.學(xué)生基本完成后,在平臺(tái)上學(xué)生自愿展示自己的作品,師生共同點(diǎn)評(píng). 七、歸納小結(jié) 師：通過(guò)本課學(xué)習(xí)，同學(xué)們學(xué)到了哪些知識(shí)或方法？有什么體會(huì)？ 在同學(xué)充分思考、討論的基礎(chǔ)上，用平臺(tái)展示小結(jié)： 1.數(shù)學(xué)歸納法是科學(xué)的證明方法,利用它可以證明一些關(guān)于正整數(shù)n的命題. 2.數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟: (1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1或2等)時(shí)命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)命題成立，利用它證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟缺一不可. 4.

13、證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要利用假設(shè).5.證明n=k+1命題成立時(shí)，首先要明確證明的目標(biāo).6.歸納法是一種推理的方法，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法.歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想.“觀察猜想證明”是解答與正整數(shù)有關(guān)命題的有效途徑. 八、布置作業(yè) 1用數(shù)學(xué)歸納法證明： （1）1+2+22+2n-1=2n-1 （2）首項(xiàng)是a1,公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是： an=a1qn-1 2思考題 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題為什么兩個(gè)步驟缺一不可？【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】本課采用交往式的教學(xué)方法,師生之間,學(xué)生之間在整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)中相互交流,相互促進(jìn).教師在本課中的主要作用是提出研究課題,組織學(xué)生參

14、加探究學(xué)習(xí)并以學(xué)習(xí)者的角色參與學(xué)習(xí)活動(dòng).師生一起提出問(wèn)題讓學(xué)生充分探究解決問(wèn)題,并讓學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的方法、過(guò)程、結(jié)論進(jìn)行判斷,使學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展全過(guò)程,在探究問(wèn)題、解決問(wèn)題中學(xué)習(xí).通過(guò)分組討論,使學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中明辨是非,對(duì)就對(duì)、錯(cuò)就錯(cuò),從中學(xué)會(huì)尊重人、理解人,培養(yǎng)了學(xué)生求真務(wù)實(shí)和科學(xué)人文精神.基本教學(xué)環(huán)節(jié)是:創(chuàng)設(shè)情景探索發(fā)現(xiàn)嘗試證明升華理解應(yīng)用舉例歸納小結(jié).這種教學(xué)方法充分體現(xiàn)了以學(xué)生為中心,以學(xué)生和教師為主體的雙主體教學(xué)理念.本課教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)以問(wèn)題為中心,以探究解決問(wèn)題的方法為主線展開(kāi).這樣設(shè)計(jì)有利于在探究解決問(wèn)題方法的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的好奇心和強(qiáng)烈的求知欲望,使學(xué)生主動(dòng)地、積極地、全身心地投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)之中；有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)。對(duì)教學(xué)歸納法原理的初步理解既是本課的重點(diǎn)也是本課的