一元函數(shù)與二元函數(shù)的異同

1、討論一元函數(shù)與二元函數(shù)在連續(xù)、可導(dǎo)、可微上的異同一元函數(shù)與二元函數(shù)在連續(xù)、可導(dǎo)、可微性上的異同小組成員：計(jì)焯峰、李世林李玉彬、董慧峰饒朝炎、朱宏列張洪石、丁康康 班級(jí)：電氣11班 一元函數(shù)定義：設(shè)有兩個(gè)變量x和y，D是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)數(shù)xD，變量y按照一定的法則總有一個(gè)確定的數(shù)值和他對(duì)應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)，記作y=f(x)，數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，x稱為自變量，y稱為因變量.二元函數(shù)定義：設(shè)有變量x、y與z，如果變量x，y在一定的范圍內(nèi)任意取定一對(duì)值（x，y）時(shí)，變量z按照一定的對(duì)應(yīng)法則f總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，那么，就稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則是變量x,y的二元函數(shù)，記作z=f（

2、x，y）,變量x,y稱為自變量，變量z稱為因變量，自變量x，y允許數(shù)值的范圍稱為函數(shù)的定義域.1、 一元函數(shù)與二元函數(shù)的在連續(xù)性上的異同一元函數(shù)的連續(xù)性定義： 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限存在，且等于，即， 那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，并且稱點(diǎn)是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).二元函數(shù)的連續(xù)性定義： 設(shè)有二元函數(shù)，點(diǎn)是D的某個(gè)定義區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)或其屬于D的邊界點(diǎn)，如果，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).1 在有界閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)，也和閉區(qū)間上連續(xù)的一元函數(shù)一樣有兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1（有界性與最大值最小值定理）：在有界閉區(qū)間上連續(xù)的多元函數(shù)必有最大值和最小值。性質(zhì)2（介值定理）：在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)必

3、定能取得介于函數(shù)在該區(qū)域函數(shù)在該區(qū)域上的最大值和最小值之間的任何數(shù)值。2 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；一切二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。3 對(duì)于閉區(qū)間上連續(xù)的一元函數(shù)存在零點(diǎn)定理，而在有界閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)無零點(diǎn)定理。2、 一元函數(shù)與二元函數(shù)在導(dǎo)數(shù)上的異同一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義： 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)自變量在處取得增量(點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)取得增量。如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，即如果極限 存在，那么，稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即. 這時(shí)也稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，或稱函數(shù)在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在。二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)固定在而在處有增

4、量時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)有增量.如果存在，那么稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù).1 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)：1、若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處必連續(xù).2、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處不一定可導(dǎo).二元函數(shù)：1、 若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，但在點(diǎn)處不一定連續(xù).2、 若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處不一定可導(dǎo).2 一元函數(shù)的求導(dǎo)法則適應(yīng)二元函數(shù)。例1：討論函數(shù)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解：是定義在內(nèi)的初等函數(shù)，故在x=0處連續(xù). 因?yàn)?所以，即在處不可導(dǎo).:例2：1）討論在點(diǎn)（0,0）處的連續(xù)性.解：當(dāng)點(diǎn)P沿軸趨向時(shí)，因?yàn)?，所以，類似地，?dāng)點(diǎn)P沿軸趨向時(shí)，雖然點(diǎn)P以上述兩種特殊方式趨于原點(diǎn)時(shí)函數(shù)的極限存在且相等，但是，當(dāng)P

5、沿直線趨向時(shí)，其值因k而異，故不存在，所以在點(diǎn)（0,0）處不連續(xù).2） 設(shè)，求在坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）處的偏導(dǎo)數(shù). 解：在坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）處關(guān)于、的偏導(dǎo)數(shù)為三、一元函數(shù)與二元函數(shù)在微分上的異同一元函數(shù)的微分定義：設(shè)有函數(shù).如果函數(shù)對(duì)于自變量在點(diǎn)處的增量的相應(yīng)增量可以表示為 ，其中A是與無關(guān)的常數(shù)，那么，稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，并且稱A為函數(shù)在點(diǎn)處的微分.二元函數(shù)的微分定義：如果函數(shù)在點(diǎn)的全增量可以表示為，其中不依賴于，而僅與有關(guān)，（顯然，當(dāng)且僅當(dāng)且），那么稱函數(shù)在點(diǎn)處可微分，而稱為函數(shù)在點(diǎn)處的全微分.1 一元函數(shù)在一點(diǎn)可微的充要條件：一元函數(shù)函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，并且函數(shù)的微分就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量的增量的

6、乘積； 二元函數(shù)可微分的充要條件：如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在，并且在點(diǎn)處這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，那么，函數(shù)在該點(diǎn)處可微分.2 對(duì)于一元函數(shù)與二元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，不一定可微，但可微一定連續(xù)；二元函數(shù)中，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微，可微則偏導(dǎo)數(shù)存在，這與一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)等價(jià)有區(qū)別.例3：由例2的討論知，函數(shù)，在點(diǎn)（0,0）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在且有.但該函數(shù)的極限不存在，也就是說它在點(diǎn)（0,0）處不連續(xù)，因此該函數(shù)在點(diǎn)（0,0）不可微.:例4：設(shè)為可微函數(shù)，證明：若=1時(shí)，有，則必有 或.證：因?yàn)橛深}設(shè)知，將=1代入可得：，所以必有 或例5：設(shè)，其中在（0,0）點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù). （1）試問：滿足什么條件時(shí)，存在. （2）證明：在點(diǎn)（0,0）處可微的充要條件是.解：（1） 要存在，則 要存在，則所以當(dāng)時(shí)，存在.證：（2）充要性：已知，欲證在點(diǎn)（0,0）處可微，只需證注意到，所以. 又，由夾逼準(zhǔn)則知. 從而在點(diǎn)（0,0）處可微，并且.必要性