(完整版)高中數(shù)學定積分知識點

1、數(shù)學選修 2-2 知識點總結(jié)、導數(shù)1函數(shù)的平均變化率為yff(x2)f (x1)f (x1x)f(x1)xx x2x1x注 1：其中 x 是自變量的改變量，可正，可負，可零。注 2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的 平均 速度。2、導函數(shù)的概念 : 函數(shù) y f(x)在x x0 處的瞬時變化率是 lim y lim f(x0 x) f(x0)，則 x 0 x x 0 x稱函數(shù) y f(x)在點 x0處可導，并把這個極限叫做y f (x)在x0處的導數(shù)，記作 f '(x0)或y'|x x0，即 f'(x0)=lim y lim f(x0 x) f(x0).0 x 0

2、x x 0 x3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率； 函數(shù)的導數(shù)的幾何意義是切線的斜率。4 導數(shù)的背景( 1 )切線的斜率；( 2 )瞬時速度；5、常見的函數(shù)導數(shù)函數(shù)導函數(shù)ycy' 0n* y xn n N*y' nxn 1xy a a 0,a 1y' axln ax yex y' exy log a x a 0,a 1,x 0y' xl1n a xln ay ln x1 y'xy sin xy' cosxy cosxy' sin x6、常見的導數(shù)和定積分運算公式 :若 f x ， g x 均可導(可積)，則有：和差的導數(shù)運

3、算f (x) g(x) ' f '(x) g'(x)積的導數(shù)運算f (x) g(x) ' f '(x)g(x) f (x)g'(x) 特別地： Cf x ' Cf ' x商的導數(shù)運算f (x) ' f '(x)g(x) f (x)g'(x)2 (g(x) 0) g(x) g(x)特別地： 1 ' g2 '(x)g x g2 x復合函數(shù)的導數(shù)yx yu ux微積分基本定理bf x dxa(其中 F ' x f x )和差的積分運算b b baf1(x) f2(x)dx a f1(x)d

4、x a f2(x)dx bb 特別地： akf(x)dx ka f(x)dx(k為常數(shù))積分的區(qū)間可加性bcbf (x)dx f (x)dxf ( x)dx (其中a c b)a a c用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 求函數(shù) f(x)的導數(shù) f '(x) 令 f '(x) >0,解不等式，得 x 的范圍就是遞增區(qū)間 . 令 f '(x) <0,解不等式，得 x 的范圍，就是遞減區(qū)間； 注：求單調(diào)區(qū)間之前一定要先看原函數(shù)的定義域。7.求可導函數(shù) f(x)的極值的步驟：(1) 確定函數(shù)的定義域。(2) 求函數(shù) f(x)的導數(shù) f '(x)(3) 求方程 f

5、'(x)=0 的根(4) 用函數(shù)的導數(shù)為 0 的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格， 檢查 f /(x) 在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么 f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值8.利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟 :求 f (x) 在 a,b 上的最大值與最小值的步驟如下：求 f (x) 在 a,b 上的極值；將 f ( x)的各極值與 f(a), f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。注：實際問題的開區(qū)間唯一極值點就是所求的最值點；“以直代曲 ”的思

6、想)9求曲邊梯形的思想和步驟 :分割 近似代替 求和 取極限10.定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)： b性質(zhì) 1 1dx b aa性質(zhì) 5 若 f (x) 0, xba,b ，則 f (x)dx 0a推廣：ba f1(x) f2(x) L abbfm(x)dx a f1(x)dx a f2(x)dx Laafm(x)bc1c2推廣: f(x)dx 1f(x)dx 2 f(x)dx Laac1bckf (x)dx11 定積分的取值情況 :定積分的值可能取正值，也可能取 負值，還可能是 0.( l )當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時，定積分的 值取正值，且等于 x 軸上方的

7、圖形面積；(2)當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時，定積分的 值取負值，且等于 x 軸上方圖形面積的相反數(shù)；(3)當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為 0，且等于 x 軸 上方圖形的面積減去下方的圖形的面積a12物理中常用的微積分知識 ( 1)位移的導數(shù)為速度， 速度的 導數(shù)為加速度。( 2)力的積分為功。二、推理與證明知識點13. 歸納推理的定義： 從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理 歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。14. 歸納推理的思維過程大致如圖：實驗、觀察概括、推廣 猜測一般性結(jié)論15. 歸納推理的特點

8、 歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實驗檢驗， 因此，它不能作為數(shù)學證明的工具。 歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點， 幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。16. 類比推理的定義： 根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或 相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。17. 類比推理的思維過程觀察、比較 聯(lián)想、類推 推測新的結(jié)論18. 演繹推理的定義： 演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、

9、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法 則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。19演繹推理的主要形式：三段論20. “三段論”可以表示為：大前題： M是P小前提： S是M 結(jié)論： S是 P。 其中是大前提，它提供了一個一般性的原理；是小前提，它指出了一個特殊對象； 是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。21. 直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的 真實性。直接證明包括綜合法和分析法。22. 綜合法就是“由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推 出要證的結(jié)論。23. 分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條

10、件替換前面的條件或者一定成立的 式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證 A，只要證 B，B應是A成立的充分條件 . 分析法和綜合法常結(jié)合 使用，不要將它們割裂開。24反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的， 從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。25.反證法的一般步驟（1）假設命題結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立； （2）從假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾； （ 3）從矛盾判定假設不正確，即所求證命題正確。26 常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”原結(jié)論詞反義詞原結(jié)論詞反義詞至少有一個一個也沒有對所有的 x 都成立存在 x 使不成立至多有一個至少有兩個對任意

11、x 不成立存在 x 使成立至少有 n 個至多有 n-1 個p或qp 且 q至多有 n 個至少有 n+1 個p且qp 或 q27.反證法的思維方法 :正難則反28.歸繆矛盾( 1)與已知條件矛盾:( 2)與已有公理、定理、定義 矛盾；( 3)自相矛盾29數(shù)學歸納法(只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題)的步驟(1)證明：當 n 取第一個值 n0 n0 N 時命題成立；(2)假設當 n=k (k N*，且 kn0)時命題成立，證明當 n=k+1時命題也成立 . 由(1)， (2)可知，命題對于從 n0 開始的所有正整數(shù) n都正確 注 ：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。三、數(shù)系的擴充和復

12、數(shù)的概念知識點30.復數(shù)的概念：形如 a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，其中 i 叫虛數(shù)單位， a 叫實部， b叫虛部，數(shù) 集 C a bi |a,b R 叫做復數(shù)集。規(guī)定： a bi c di a=c且b=d， 強調(diào)：兩復數(shù)不能比較大小，只有相等或不相等。實數(shù) ( b 0)31數(shù)集的關(guān)系： 復數(shù)Z一般虛數(shù)( a 0)虛數(shù) ( b 0)純虛數(shù)( a 0)32. 復數(shù)的幾何意義：復數(shù)與平面內(nèi)的點或有序?qū)崝?shù)對一一對應。33. 復平面：根據(jù)復數(shù)相等的定義， 任何一個復數(shù) z a bi ，都可以由一個有序?qū)崝?shù)對 (a,b) 唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對 (a,b) 與平面直角坐標系中的點一一對應，因此復數(shù)集與平面直角

13、坐標 系中的點集之間可以建立一一對應。 這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x 軸叫做實軸， y 軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純 虛數(shù)34. 求復數(shù)的模(絕對值)與復數(shù) z對應的向量 OZ的模r叫做復數(shù) z a bi的模(也叫絕對值 )記作 z或 a bi 。由模的定義可知： z a bia 2 b 235. 復數(shù)的加、減法運算及幾何意義復數(shù)的加、減法法則： z1 a bi與 z2 c di ，則 z1 z2 a c (b d )i 。 注：復數(shù)的加、減法運算也可以按向量的加、減法來進行。復數(shù)的乘法法則： (a bi)(c di) ac bd ad bc i 。復數(shù)的除法法則： a bi(a bi)(c di)a2cbd2b2cad2 i其中 cdi叫做實數(shù)化因子c di(c di)(c di)c2d 2c2d236. 共軛復數(shù):兩復數(shù)