1981年-2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題分類匯編(2)函數(shù)與方程

1、函數(shù)與方程部分2019AK已知正實數(shù)"滿足才=（9（，則1呱（3。）的值為答案詳解析：由條件知故34 = 75貢"J,所以1。艮（3町=和2019A二、（本題滿分40分）設(shè)整數(shù),“2,"2019滿足1=4 “2 S“2019 =99記f = （d； +Q；卜"亦9 ） （。1他 + a2a4 + a3a5 + + 20172019）r 求 f 的最小值 fo 并確定使f = /（>成立的數(shù)組（4,如,“2019）的個數(shù)2017=解析：由條件知2/=何+卅+此怡+雖町）+工（-4）. 由于®心及H （= 1,2,2016 ）均為非負整數(shù),故

2、有a,2 >aal >a2且（%-于是20162016)+ 工仏+2 一 4 ) Cl + “2 + 工(2 4 ) 2017 +。2018 r-lr-i10分2()19由* 得 2/ > 2017 2018 + (2019 2017 ) +2018 "*"2019 f 結(jié)合 “2019=2019 及“20】8 6/2017>0,可知f > |22017 + (99 - «2017 )2 + 417 + 992 =(672017 - 49)? + 7400 > 7400 . 20另一方面，令4 =6 =分"1920 =

3、 1 9 1920+2*-1 = "1920+2人=*(*= 1,2,49 ), 2019 = 99此時驗證知上述所有不等式均取到等號，從而/的最小值人=7400 30分以下考慮的取等條件.此時嚴知7 "9,且中的不等式均取等,即 a = 6/2 = 1, ai¥1 -cii e0j (j = 122016 ) 因此 1 = t/j << tz20I8 = 49,且對每個£ ( 1 < Ar <49 ),""，“如中至少有兩項等于八易驗證知這也是取等的充分條件.對每個k (1SM49),設(shè)，加8中等于比的項數(shù)為

4、坯+1,則耳為正整數(shù), 且(l+q)+(l+n2)+.+(l+“49) = 2018 ,即 +u2 + + n49 =1969,該方程的正 整數(shù)解佃如皿)的組數(shù)為心人，且每組解唯一對應(yīng)一個使取等的數(shù)組g,勺，如9 )，故使f=L成立的數(shù)組(4，“2，,。2019 )有C黑8個40分lg a + oQh c = 32019B 10(本題滿分20分)設(shè)a、b、c均大于1,滿足打，,求lgalgc的最大lg/? + lognc = 4值。解析：設(shè) V = lg«, y = lg/?, Z = lgc,由ajc>,可知x,y,z>0。由條件及換底公式得x +上=3 , y + -

5、 = 4 ,即xy + z = 3y = 4x由此令x = 3/,y = 4f y%(/>0),則z = 4x-A>' = 12r-12r2>0,得Ov/vl。所以Ig6/ lgc = 3rl2r(l-r) = 18r(2-r)<18 <=,當且僅當/ = 22/,<3 丿32 - 16即/=時取得等號，相應(yīng)的" = iooe = c = ior所以lgelgc的最大值為二2018A 5、設(shè)/(工)是定義在/?上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間0,1上嚴格遞減，且滿足 g = 1, fS = 2,則不等式組< f .A c的解集為1 &l

6、t; / (x) < 2答案： 2,8 2/r解析：由/(x)為偶函數(shù)及在區(qū)間0,1上嚴格遞減知，/(x)在-1,0上遞增，結(jié)合周期性 知，/(x)在1,2上遞增，又/(兀2) = /(兀)=1, /(8-2) = /(-2) = /(2) = 2, 所以不等式等價于/(-2)</(x)</(8-2),又1<兀一2<8-2兀<2所以龍一2vxv82兀，即不等式的解集為兀-2,8-2兀2018A, B9、(本題滿分16分)、 fllog, x 11 ,0 < x < 9已知定義在/?+上的函數(shù)f(x)為fM = V 五1v>9 ,設(shè)d,b,c

7、是三個互不 相同的實數(shù)，滿足= f(b) = /(c),求“be的取值范圍。解析：不妨設(shè)a<b<ct由于/在(0,3上遞減，在3,9上遞增，在9,燉)上遞減，且 /(3) = 0 ,/=1 ,結(jié)合圖像知： *(0,3), 已(3,9),ce(9,p),且/(«) = /(/;) =/(c) e(0,1) o由 f(a) = f(b)得 log 3 a + log 3 b = 2,即 ab = 9 9 此時 abc = 9c 9又 f (c) = 4 _ 長,由 0v4 yfc < 1 e(9,16),所以 abc = 9c e(81,144)。2018B 7、設(shè)/(

8、X)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間1,2上嚴格遞減，且滿足0< x < 1/(龍)=1, /(2) = 0,則不等式組/八一 ，的解集為0 < f(x) < 1答案：2兀一6,4兀解析：由/ 為偶函數(shù)及在區(qū)間1,2上嚴格遞減知，/ 在-2,-1上遞增，結(jié)合周期 性知，/(x)在0,1上遞增，又/(4 ”)= /()= 1, /(2兀6) = /(2兀)=0,所以不等 式等價于/(2帀一6) S/(x) 5/(4 兀)，又0<2兀一6v4 zrvl ,即不等式的解集為 2龍 _ 6,4 _ 兀.2017A1.設(shè)/(x)是定義在R上函數(shù)，對任意的實數(shù)x有/(

9、a + 3)-/(-4)=-1,又當 0Sxv7時，/(x) = log2(9-x),則/(-100)的值為答案：一2解析：由條件知,/(x + 7)/(a) = -1,即 /(x + 7)/(x + 14) = -l,故 /(x) = /(x + 14), 即函數(shù)/(x)的周期為 14,所以/(-100) = /(-2) = -1 = -!八工丿 乙2017B3、設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(x) + X2是奇函數(shù)，f(x) + 2x是偶函數(shù)，則/ 的值為7答案：-4解析：由條件知，/(1) + 1=(/(一1) + (1)2) =/(1) 1, /(1) + 2 = /(-1) +

10、|, 兩式相加消去/(1),可知：2/(1)+ 3 = -|,即/(1) = -L2016A 3.正實數(shù) w , v, w 均不等于 1,若 log “ vvv + log vw = 5f log v u + log H. v = 3 ,則 log”, u 的值為4答案：-解析：令ioguv = a9 loglrvv = /?,則logv u = -, log柑" = logH = logH v + log/r v logr vv = a + ab ab條件化為a+ “ + /? = 5, + = 3,由此可得ab =,因此a b4log H. n = log M. V log v

11、ll = £2016A 10.(本題滿分20分)已知/(X)是上的奇函數(shù)，/(I) = 1 ,且對任意X<0,均有 /() = xf(x)。求/() + /(-)/() + /(-)/(丄)+ + /(丄)/(丄)的值。x-l1002993985051解析：設(shè)= /(-)(« =1, 2, 3, ),則q=/(l) = l.n亡二占及加為奇函I20分Y1Y在 /() = V(x)中取 x = 一一 (ke N*),注意到- x-1kx-數(shù).可知/(!)= - /(-)= -/(-)J k + kJ k kJ kai"J a心 i1即乂專，從而也=口卜,山5

12、k7-t 5 i)!因此5050i49iy ( = v= v臺幺(i -1)!(100 - /)!臺張(99 -/)!2%99!14914911=一y c；9 = 一y(C' + c齊)=一 x-x2"99!幺 99 99!幺 99"99! 2 2015A1.設(shè)S "為兩不相等的實數(shù)，若二次函數(shù)f(x) = x2+ax + h滿足/(") = /()，則/(2)的值為答案：4解析：由己知條件及二次函數(shù)圖像的軸對稱性，可得= 即2a + b = 0,所以2 2/(2) = 4 + 2t/+Z? = 4.2015A9.(本題滿分16分)若實數(shù)a,b,

13、c滿足2a+4h=2cf 4“+24，求c的最小值。解析：將2“,2"2分別記為xjz,則x,y,z>0.由條件知，x+y2 =zfx2 + y = z2f 故z2-y = x2 =(z-y2)2 = z2-2y2z + y4. 8分 因此，結(jié)合平均值不等式可得，Z = = (2y2+丄+丄)三32)/丄丄=冷近.*分2)廠4y y 4 丫 y y 4當2y2=-,即y = A時，z的最小值為J邁(此時相應(yīng)的x值為-V2,符合要求).yy/244由于c = log2 Z，故C 的最小值log2(|V2) = log23-|. 16 分201GB 4.己知f(X)9g(X)均為定

14、義在R上的函數(shù)，的圖像關(guān)于直線X = 1對稱，g(X)的圖像關(guān)于點(1,-2)中心對稱，且/(x) + g(x) = y+/ + l,則/(2)g(2)的值為答案：2016解析：由條件知門0) + g(0) = 2,f(2) + g(2) = 81 + 8 + l = 90.由.f(X)，g(a)圖像的對稱性，可得f (0)=門2),g(0) + g(2) = Y結(jié)合知,/(2) - g(2)_4 = f(0) + g(0) = 2.由、解得/(2) = 48,g(2) = 42,從而7(2)(2) = 48x42 = 2016.另解：因為/(兀)+鞏尤)=9'+丘+ 1,所以/(2)

15、 + g(2) = 90.因為/(x)的圖像關(guān)于直線x = l對稱，所以/(a) = /(2-x).又因為g(x)的圖像關(guān)于點(1.-2)中心對稱，所以函數(shù)力(尤)=鞏"1) + 2是奇函數(shù), h(-x) = -h(x), g(-x + l) + 2 = _g(x+l) + 2,從而g(x) = -g(2-x)-4. 將、入，再移項，得f(2-a)-(2-x) = 9' +x3 +5.在式中令x = 0,得_/(2)-g(2)= 6.由.解得f=48,5(2) = 46.于是/(2)<?(2) = 2016.2014Alx 若正數(shù)b 滿足 2 + log ? d = 2

16、 + log Z? = log6 (tf + b),則- + -J-的值為a b答案：108解析：2 + log2 6/ = 3 + Iog3 /? = log6(« + b) = k f 則 a = 2fc"2 , b = 3k' , a + b = 6k f從而丄+=斗a b ab6"2-2x3-= 22 x33 = 108 o2015B1.已知函數(shù) /(X)=( v取值范圍為答案：(-2,4-0)"0,3x e (3,+s),其中a為常數(shù)，如果/(2)</(4),則a的解析:/(2) = a _2 J(4) = 2a,所以“一2<

17、;2宀解得:ci > 2 2015B2.已知y = fM + x-為偶函數(shù)，且/(10) = 15,則/(-10)的值為答案：2015解析：由己知得/(-10) + (-10)3=/(10) + 10 即 /(-10) = /(10) +2000=2015.2014A3.若函數(shù)f(x) = x2+ax-l在0,+s)上單調(diào)遞增，則實數(shù)d的取值范圍為答案：-2,0解析；在1,+s)上，f(x) = x2+ax-a單調(diào)遞增，等價于-彳G，即«>2。在0,1上,2Jx) = x2-ax + a單調(diào)遞增，等價于-<0,即a<0t因此實數(shù)"的取值范圍是-2,0

18、乙2014B1.若函數(shù)/(x)的圖像是由依次連接點(0,0) t (14), (2,3)的折線.則 廠(2)=_3答案：-2解析：可求得宜線y = 2與函數(shù)圖像的交點為-,2 ,即/忖=2,根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)知 廠飛。2014B8、設(shè)g(x) = Jx(l-x),是定義在區(qū)間0,1上的函數(shù)，則函數(shù)y = xg(x)的圖 像與X軸所圍成圖形的面積為答案：尋解析：顯然g(x)的圖像與X軸圍成一個半圓，我們用A表示xg(x)與X軸圍成的圖形。直 線2兀=1是半圓的對稱軸，它將A分成左右兩個部分。我們知道：xg(x) + (1-x)g(l-x) = xg(x) + (1 -x)g(x) = g(x) (

19、0<x< ),這個式子的幾何意義如根據(jù)祖眶原理的二維形式，A的左半部分與右半部分的面積之和恰好是四分之一圓的面積。/ 1 1005項1006項2013B5、在區(qū)間0,町中，方程Sinl2x = x的解的個數(shù)為.答案：4解析：因為當x>l時，|sinl2.v|51<x,方程無解；當X e 0,1時，3兀<12<4兀，做出 y = |sin 12x|及)，=x的圖像即可得到。即我們要求的面積是一龍-=O4162014B二、(本題滿分40分)在同一直角坐標系中，函數(shù)fW = V«% + 4 (dH 0)與其反 函數(shù)y = fM的圖像恰有三個不同的交點.求

20、實數(shù)"的取值范圍，并證明你的結(jié)論。解析：由題意可得其反函數(shù)rx) = -(x2 -4)9記/與其反函數(shù)/"(X)的交點坐標 a 2為("*),則,兩式子相減得(u-vu + v + a) = 09 得u = V*或" + u + a = 0,i 廠=au + 4若。0,顯然兩個函數(shù)的圖像都在第一象限，所以u + v + a09聯(lián)立""和 "2=1卩+ 4,得到一個交點(另一個是負數(shù))，與題目要求三個交點不相符，故6/0當。0時，聯(lián)立"=卩和/=ce + 4,得交點a + /a2 +16 a + yja2 +162

21、， 2聯(lián)立h + v+ a = 0和/ =“ + 4 ,得交點 ci + P 3a +16 6/ + 3u +16,考慮這兩個交點不重合，且坐標非負，故a Q 3u +16 a J +1616-3/ >0_a _ J16-3d > 0解得-羋 心2,即所求的范圍為廠半一22013A5.設(shè)為實數(shù)，函數(shù)f(x) = ax + b滿足：對任意X e 0,1,都有|/(x)| < 1,則肋的最大值為答案：V4解析：由題意得 = /(1)-/(0), b = f(O)( 1 2 1 1 1ab = /(0) (/(I)-/(0) = - /(0)-/(I)+-/2(1)<-/2(

22、1)<-,當且僅當V 2/4442/(0) = /(1) = ±1,即 a=b = ± 時，ab = ,故所求最大值為;。2442013A7.若實數(shù)滿足X 4“ = 2低二亍，則實數(shù)兀的取值范圍為答案：0U4,20解析：令4y = a , yjx-y = b ,顯然a > 0, b>0t 且 x = a' +b2, x-4jy = 2yjx-y 即為/-4" = 2/?, 亦為(«-2)2+(Z?-l)2 =5(6/>0, /7>0),以,b)為坐標 作圖如圖示，在平面“o內(nèi)，3e)的軌跡為如圖所示的實線部分含原點O

23、,因此yla2+b2 eoul2,2V5, 即x =v0U4,20°2013A 11.(本題滿分20分)設(shè)函數(shù)f(x) = ax2+b9求所有的正實數(shù)對(山b),使得對任意 的實數(shù) x, y 均有 f(xy) + f(x + y) > f(x)f(y)。解析：已知即可變?yōu)椋?ax2y2 +Z?)+(«(x+y)+Z>)>(ax2 +by2 +£>)先尋找所滿足的必要條件。式中，令y = 0,的對任意的x都有Q-b)aX+b(2-b)",由于“>0,故"，可以取 到任意大的正值，因此必有1 一方20,即0vbSl。式

24、中，令y = -兀，得(6/A-4 +b)+b> (ax2 +b ,即對任意實數(shù)X ,有 (ci-a2xA - 2abx2 +(2Z?-Z?2)> 0®記g(x) =- labx1 +(2Z?-/?2),即的)=&_護卜2_三)+三(2_2“-卩a-a1 > 0要 g(x) > 0 恒成立，貝 g丿 b匸巧、0,即 0 <«<1, 0</?<1, 2a+b<2® .1-6/下面證明對滿足的任意實數(shù)對及任意實數(shù)忑y，總有成立，令/?(x, y) = (a -a2 )x2y2 + a(l _b)(十 + y

25、') + 2axy + (2b -b2)> 0恒成立，事實上在成立時"有 “(1 )n 0/ > 0,(2 Z?) > 0,又對 + n 2xy 91一0可得 h(x、y) = (a-a2)x2y2 +a(l-b)(x2 + y2) + 2axy + (2b - h2)> (a-a2)x2y2 +a( -b)(2q) + 2axy + (2b-Z?2)=(a-a2)x2y2 +2abxy + (2b-b2)=(a-a心 +": 4 (2-2a-b)>1 一 a 丿1 一 a綜上所述，滿足條件的(",b)為(4耐0 <b&

26、lt;<a<2a + h< 2。2013B2.設(shè)= 戶為虛數(shù)單位，貝M + 2尸+3尸+ 2013嚴. 答案：1006+1007,解析:因為,+ 2$ + 3尸+ 2013嚴”=(-2 + 4-6 + 82010+2012)+(1 - 3 + 5 7+ - 2011 + 2013= 1006+1007/2013B 6、定義在實數(shù)上的函數(shù)f(x)= Sin?T V ,(x e R)的最小值是一>/l + x + f答案學(xué)1233 " 33解析：因為F+X+l= X + -|sil1-7Zx|<l, af(x)<<2 丿 44V4 又當X = -

27、L時，所以所求最小值為-干。2013B 7、設(shè)為實數(shù)，函數(shù).f(X)= 4Y + b滿足：對任意Xg0,1, |/(X)|<1,則”的 最大值為答案：；4解析：由題意得 « = /(1)-/(0), b = f(Q)/ '2：所以 ab = /(0) (/(I)-/(0) = -I /(0)-1 /(I) I +1/2(1)<1/2(1)<1 ,當且僅當1 2 丿 4442/(0) = / (1) = ± 1,即 u = b = +時，ab =,故所求最大值為<>2 442012A3、設(shè)X,”z e0,1,則M = Jlx_y I +

28、Jl y-zl + Jl z-xl 的最大值為答案：V2 + 1解析：不妨設(shè)0< x< y < z < 1,JUiJM = Jy_x +Jz_y + lzx. 因為 Jy_x +Jz_y < J2(y-x)+(z-y) = J2(z-x).所以M 5+ zx = (/2 +1)Jz-x 5 >/2 1. 當且僅當y-x = z-y,x = 0,z = l,y = 時上式等號同時成立.故M/J5+1.2012A 6、設(shè)函數(shù)/(x)是定義在/?上的奇函數(shù)，且當xXO時，/(x) = X2.若對任意的 xey + 2,不等式f(x + a)>2f(x)恒成立

29、，貝IJ實數(shù)"的取值范圍是答案：JI+s)x2(x>0)廠解析：由題設(shè)知/彳 ；，則2/(x) = /(V2x).因此，原不等式等價于_jr(xv 0)f(x + a)>f(y/2x).因為/(%)在R上是增函數(shù)，所以x + 6/>即a>(j2-l)x.又x已“4 + 2,所以當x = d + 2 時,(>/1一1)%取得最大值(711)(" + 2).因此,"(血一1)(“ + 2),解得故 "的取值范圍是b/Iz)2012A9.（本題滿分16分）已知函數(shù) f(x) = asin x - cos2x + a - + , a

30、 e R.a 0 2a 2若對任意.v e /?,都有/(x) < 0,求實數(shù)“的取值范圍； (2)若且存在xe/?,使得/(x)<0,求實數(shù)“的取值范圍;3解析：令/= sinx,則函數(shù)/(X)即為 g(t) = t2 +at + a ,由 f(x) < 0即g(t) < 0對任意-!</<!恒成立，即”g(_l)= l 亠 0a3 g(l) = l + 2a S0解得OvoSl,故所求實數(shù)"的取值范圍為(0,1(2)因為6/>2,所以g(r)的對稱軸a=-<-1,有g(shù)在口上遞增，333所以g(/)的最小值為鞏一1) = 1一即/的最

31、小值為1 一由1 一二SO,解得0 aaaX«>2,故所求實數(shù)的取值范圍為(2,32012B4.若關(guān)于X的不等式組x' +3x2 - x - 3 > 0x1 - 2ax -1 < 0(。>0)的整數(shù)解有且只有一個，則u的取值范圍為答案:解析：由疋+ 3/一入一3>0解得一3vxv1或x>l,所以不等式組的唯一整數(shù)解只可 能為2或2。記函數(shù)/(x) = x2-2av-H由于對稱軸x =所以整數(shù)解只能是2,因此有7(-2) = 3 + 4r/>0< /(2) = 3-4心0 ,/(3) = 8-67 >0,故所求范圍為扌,扌)

32、2012B 7、設(shè)函數(shù)/(力是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，/(x) = X2 .若對任意的 xea,a + 2t不等式f(x + a)>2f(x)恒成立，則實數(shù)d的取值范圍是答案：>/I+s)解析：由題設(shè)知fW = X U0)，則2f(x) = /(V2x).因此，原不等式等價于JX + a) > /(JLr).因為f(x)在R上是增歯數(shù)，所以x +伍,即心(JI l)x.又x已心+ 2,所以當x = a + 2時,(>/2 - l)x取得最大值(VI-1)(" + 2).因此,a >(2-1)(“ + 2),解得“ X故"的取值范

33、圍是y/2, +s).2012B9.(本題滿分16分)131已知函數(shù) / (x) = dsinx- cos2x + d 一 + , a e2a 23若對任意xeRM有/"，求實數(shù)"的取值范圍；(2)若。二2,且存在xwR,使得/(x)S0,求實數(shù)"的取值范圍；解析:令 Usin 八 則-<t<9 函數(shù)/(X)即為 g(t) = t2+at + a-9 由 f(x) < 0g(_l)= l 亠 0即g(t) < 0對任意-!</<!恒成立，即<a(1) = 1 + 26/-<0故所求實數(shù)。的取值范圍為(0 因為(42,

34、所以g的對稱軸A=-<-l,有g(shù)在-1,1上遞增，333所以g(/)的最小值為g(l) = l-二，即/(兀)的最小值為1一一，由1 一二S0,解得0 aaa又«>2,故所求實數(shù)g的取值范圍為(2,3*2 * 12011A 2、函數(shù)/(X)=一的值域為x-1答案：(YO,U(t+°°)2解析：提 設(shè)x = n <0 < 9 且&H 9 則224f(x) =!=!設(shè)"=血 sin(-),貝 U -血 <u < 9tan -1 sin&-cos& -7sin(-)4且心0,所以 /(x) = w(y

35、o,-寧U(hxo).u22011A3x 設(shè)4為正實數(shù)，丄 + -< 2a/2 , (a-b)2 =4(«/?) 則 Iogn/?=a b答案：一1解析：由丄+ -<29得Wy/Nb.a b又(a+b)? =4"+ (“-)' =4db + 4(aZ?) X 4 2JaZ?(db)' =8(ab)2,即a + b> 22ab.于是a + b = 2y/2ab .再由不等式中等號成立的條件，得"=i.與聯(lián)立解得、"年7或嚴理+匕，/? = V2 + 1,故logn/? = -! 2011A9.(本題滿分16分)已知函數(shù)/(

36、A)=.lg(X + l)l 實數(shù)心(心)滿足心門-呂,/(10a + 6Z? + 21) = 41g2.求實數(shù)"丄的值。解析:因為 /(") = /(-二)，所以I lg + l)l=llg(- +1)曰 lg(丄)曰 lg(b + 2)1, b + 2b + 2b + 2所以 “ + l=b + 2 或(d + l)0 + 2) = l ,又因為 a<b ,所以 a + lHb + 2,所以 (d + l)(Z? + 2) = 1 又由/(“)=1仗(“ + 1)1有意義知0<。+ 1,從而Ovo + lvb + lvb + 2, 于是0 vo + 1 vl

37、 vb + 2所以(10o + " + 21) + l = 10(d + l) + 6(/? + 2) = 6(/? + 2) + ->lb + 2從而 f (10° + 6方 + 21) =1 lg6Q + 2) + 1= lg6(b + 2) + 1 b+2b+2又/(10“ + ” + 21) = 41g2,所以6( + 2) + = 41g2,b + 2故6(b + 2) + £ = 16 解得方=一或 =一1 (舍去)b + 231?把=一代入(d + l)(b + 2) = l解得“= 3 521所以 « = - , b = 一.532

38、011B3.若正實數(shù) 滿足，則答案：解析：由，得.又，即.于是 再由不等式中等號成立的條件，得.與聯(lián)立解得或,故.2011B9.（本題滿分16分）已知實數(shù)滿足:,求實數(shù)的取值范圍.解析：令，由得，代入得由方程有實根，得，解得。由方程及可得，又，所以，即，解得，綜上可得，即，所以實數(shù)的取值范圍為。2011B三、（本題滿分50分）設(shè)實數(shù)，且滿足,求的最大值解析：由已知等式可得，令，貝9,則式等價于易知令，則。設(shè)，則0當時，由平均不等式得所以，從而，整理得，即，所以。式中等號成立的條件是，即，代入得，因此，的最大值即的最大值為。2010AB1.函數(shù)的值域為答案：解析：易知的定義域是，且在上是增函數(shù)，

39、從而可知的值域為.2010AB 2.已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值范圍為答案：解析：令，則原函數(shù)化為，即.由，及知即當時（1）總成立；對；對.從而可知2010AB5.函數(shù)（，且）在區(qū)間上的最大值為，則它在這個區(qū)間上的最小值為答案：解析；令則原函數(shù)化為，在上是遞增的.當時，"所以；當時，所以綜上在上的最小值為.2010AB9、（本題滿分16分）已知函數(shù)，（），當時，求實數(shù)的最大值。解析：解法一：由得所以，所以.又易知當（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為.解法二：.設(shè)，則當時，.設(shè)，則.容易知道當時，.從而當時，即，從而，由知.又易知當（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為.2010A

40、 11.（本題滿分20分）證明：方程恰有一個實根，且存在唯一嚴格遞增的正整數(shù)數(shù)列, 使得。證明：令，則，所以是嚴格遞增的又，故有唯一實數(shù)根.所以，即.故數(shù)列是滿足題設(shè)要求的數(shù)列.若存在兩個不同的正整數(shù)數(shù)列和滿足,去掉上面等式兩邊相同的項，有k里，所有的與都是不同的.不妨設(shè)，則,矛盾故滿足題設(shè)的數(shù)列是唯一的.2009*1,函數(shù)，且，則答案：解析：由題意得，故2009*6.若關(guān)于的方程僅有一個實根，則實數(shù)的取值范圍為答案：或解析;由題意，方程等價于，當且僅當（1）;（2）；（3）對（3）由求根公式得(4)又或當時，由（3）得，所以同為負根。又由（4）知，所以原方程有一個解。當時，原方程有一個解當時

41、，由（3）得，所以同為正根，且，不合題意。綜上可得或為所求。2009*11.（本題滿分15分）求函數(shù)的最大和最小值。解析：函數(shù)的定義域為。因為當時等號成立。故的最小值為又由柯西不等式得所以10分由柯西不等式等號成立的條件，得解得故當時等號成立。因此的最大值為11.15分2008AB1.函數(shù)在上的最小值為（）A.B.C.D.答案：C解析：當時，因此,當且僅當時取等號.而此方程有解，因此在上的最小值為2.2008A7、設(shè)，其中為實數(shù)，若，則答案：解析：由題意知，由得，因此，2008B7、設(shè)，其中為實數(shù)，若，則答案：解析;由題意知，由得，因此，.因此2008AB8、設(shè)的最小值為，則實數(shù)答案：解析：，

42、(1) 時，當時取最小值；(2) 時，當時取最小值1;(3) 時，當時取最小值.又或時，的c不能為，故,解得，（舍去）2008A11.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若，且對任意，滿足 則答案：解析：方法一：由題設(shè)條件知因此有，故方法二：令，則即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以.2008B 11.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，則 答案：解析：【解法一由題設(shè)條件知因此有，故 解法二令，則即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以.2008AB14.解不等式解析：方法一：由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于 即.分組分解得所以，即。解得.故原不等式解集為.方法二：由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于即，

43、,令，則不等式為，顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價于，即，解得，故原不等式 解集為.2008A二、（本題滿分50分）設(shè)是周期函數(shù)，和是的周期且，證明：若為有理數(shù)，則存在素數(shù)，使是的周期；若為無理數(shù)，則存在各項均為無理數(shù)的數(shù)列滿足，（），且每個（）都是的周期。證明：（1）若是有理數(shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得.于是是的周期.又 因，從而.設(shè)是的素因子，貝！j,從而是的周期.（2）若是無理數(shù)，令，則，且是無理數(shù)，令，由數(shù)學(xué)歸納法易知均為無理數(shù)且.又，故，即.因此是遞減數(shù)列.最后證：每個是的周期.事實上，因1和是的周期，故亦是的周期.假設(shè)是的周期，則也是的周期.由數(shù)學(xué)歸納法，己證得均

44、是的局期.2006*2、設(shè)，則實數(shù)的取值范圍為A.B.,且C.D.答案；B解析：因為，解得.由，解得；或 解得，所以的取值范圍為2006*5、設(shè)函數(shù)，則對于任意實數(shù)，是的A.充分必要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案：A解析：顯然為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增。于是若，則，有，即，從而有.反之，若，則，推出，即。2006*15.（本題滿分20分）設(shè).記，集合對所有正整數(shù)，。證明:證明：（1）如果，11，。（2）如果，由題意，廠則 當時，（）事實上，當時，設(shè)時成立（為某整數(shù)），則對， 當時，（）事實上，當時，設(shè)時成立（為某整數(shù)），則對，有注意到當時,總有，即 .從而有

45、.由歸納法，推出。（3）當時，記，則對于任意，且。對于任意，貝!J。所以當時，即。因此。綜合（1 ）（2）（3）,我們有。2005*8.已知是定義在上的減函數(shù)，若成立，則實數(shù)的取值范圍為答案：解析：不等式等價為，解得或。2005*-.（本趣滿分50分）設(shè)正數(shù)滿足，求函數(shù)的最小值。解析：由條件得，即2,即，同理，由于均為正數(shù)，由上式知，故以為邊長可以構(gòu)造一個銳角三角形，其中。 則問題等價于：銳角三角形中，求函數(shù)二的最小值.令則 且同理,（取等號當且僅當，此時,綜上可知2004*1.設(shè)銳角使關(guān)于的方程有亟根，則的弧度數(shù)為.A.B或C或D答案：B解析：由方程有重根，故，二得，得或.2004*2.已知

46、，若對所有的，均有,則實數(shù)的取值范圍是B.C.D.答案：A解析；點在橢圓內(nèi)或橢圓上得.2004*3.不等式的解集為A.B.CD.答案：c解析：令，則不等式轉(zhuǎn)化為，得2004*8.設(shè)函數(shù)，滿足，且對任意，都有，則答案：解析：令，得；令得交換位置后，令，得比較、得，.2004*15.（本題滿分20分）已知是方程（）的兩個不等實根，函數(shù)的定義域為。求；證明：對于（），若，貝g當時，由于，知時， 于是，即在上單調(diào)遞增。 所以，把，代入得注意到所以因為,所以又等號不可能同時成立，故2003*5.己知都在區(qū)間內(nèi)，且，則函數(shù)的最小值是A.B.CD.答案：D解析由，知將代入函數(shù)解析式整理得 因為，所以，知當即

47、時，取得最小值為，故選62003*10.已知均為正整數(shù)，且八若，則答案：解析：由題意得，設(shè)，則，即.因為均為正整數(shù)，則也是整數(shù)，所以，解得，.所以.2002*1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A.B.C.D.答案：A解析：由解得或，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得選A2002*3函數(shù)A.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)c 既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)D既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)答案：A解析;計算出的表達式整理到最簡后對比即可發(fā)現(xiàn)，2002*10.已知是定義在上的函數(shù)，且對任意都有，。若,則答案：解析：由得，己知不等式即為T f又所以，即的周期為，所以2002*11.若,則的最小值是答案：解析：由已知方程等價于，

48、即由對稱性只考慮，因為，所以只須求的最小值。令代入中有，由于所以，解得當，時，故的最小值是2002*15.(本題滿分20分)設(shè)二次函數(shù)(,)滿足條件:(1) 當時且；(2) 當時，；(3) 在上的最小值為.求最大的()，使得存在，只要，就有。解析：因為，知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱即解得； 由知當時"即；由得，由得，所以，即聯(lián)立以上三個式子解得，所以。假設(shè)存在，只要，就有。取時，有，即解得，下面對固定的，取，有，即，即，解得，注意到當時，對任意的，恒有所以的最大值為。2001*11.函數(shù)的值域為答案：解析：，則.兩邊平方得，從而且.由，或.任取，令，易知，于是且.任取，同樣令，易知，于是且.

49、因此，所求函數(shù)的值域為.2000*14.(本題滿分20分)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，求.解析：若，則的最大值為.最小值為.即是方程的兩個根，而此方程兩根異號.故不可 能.若，當時，取最大值，故，得.當或時取最小值，時.，但，故取.此時，從而是最小值.，顯然.與矛盾.故舍.此時，最大值為，最小值為.兩式相減得.解得.符合條件的有或.1999*3、若,貝lj()A. B.C.D.答案：B解析：記，則在上單調(diào)遞增，則原不等式等價于，即，即。1998*1 若的值（A等于B等于C等于D不是與無關(guān)的常數(shù)答案：C解析：由已知得1998*7> 若是以為周期的偶函數(shù)，當時,由小到大的排列是.答案

50、:解析：因為上遞增，且于是1998*14.（本題滿分20分）設(shè)函數(shù)）,對于給定的負數(shù)一個最大的正數(shù)使得在整個區(qū)間上.不等式都成立。問:為何值時最大求出這個最大的,證明你的結(jié)論解析:當時，是方程的較小根，故(2)當，即時,是方程的較大根，故綜合以上,時,上遞增,所以當時,時,所以時,取得最大值1997*7.設(shè)為實數(shù)，且滿足答案:解析：原方程組即令,則這是一個奇函數(shù)，且增函數(shù)，即，即，所以1996*5.如果在區(qū)間上，函數(shù)在同一點取相同的最小值，那么在該區(qū)間上的最大值是.A.B.答案：BC.D 以上答案都不對解析：由于當且僅當取得最小值 故選由于故在上的最大值為1995*4.若方程在區(qū)間上有兩個不相

51、等的實根，則的取值范圍是（A.B.C.D.以上都不是答案：B解析由，故，若，可知在所給區(qū)間上只有解.故由圖象可得，時，.即.故選8又解：與線段（）有兩個公共點.即方程在上有兩個不等實根.故.且，且，且.解得.1995*9.用表示不大于實數(shù)的最大整數(shù)，方程的實根個數(shù)是. 答案：解析：令，則得.作出及的圖象可知交點落在及內(nèi).當時，代入解得. 故得：,，即共有3個實根.1995*-.（本題滿分25分）求一切實數(shù)，使得三次方程的三個根均為正整數(shù)。解析：顯然是方程的一個根.于是只要考慮二次方程的兩個根為正整數(shù)即可.設(shè)此方程的 兩個正整數(shù)根為.則由韋達定理知，消去，得.同乘以5： 由于均為整數(shù)，故.為整數(shù).即或或或 其中使為正整數(shù)的，只有這一組值.此時.1994*8已知，且，則答案：解析：，令，知在上單調(diào)增.即.1993*2、已知（為實數(shù)），則的值是（）A.B.C.D.隨取不同值而取不同值答案：C解析：設(shè)，貝0,貝h即.所以.選c.1993*8.實數(shù)滿足，設(shè)，則.答案：解析：令，則且1993*10.整數(shù)的末兩位數(shù)是答案：解析：令，則得.由于，故所求末兩位數(shù)字為.1992*6.設(shè)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系，,則是（）A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C.奇函數(shù).又是周期函數(shù)D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)答案：c解析：.是周期函數(shù)； 是奇函數(shù)選C19