等邊三角形的培優(yōu)

1、等邊三角形培優(yōu)講義1、等邊三角形的性質(zhì)：（1） 等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角都等于60;（2） 等邊三角形每個(gè)角的平分線與所對(duì)的中線，高線互相垂直;（3） 等邊三角形的每條邊上的中線、高線以及所對(duì)角的平分線相等.2、等邊三角形的判定:（1）三條邊相等的三角形是等邊三角形;（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;（3）有一個(gè)角為60的等腰三角形是等邊三角形。例題講解：1.下列三角形：有兩個(gè)角等于；有一個(gè)角等于的等腰三角形；三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形其中是等邊三角形的有（ ） A B C D2.如圖，ABC為等邊三角形，且BM=CN

2、，AM與BN相交于點(diǎn)P，則APN=（ ）A 70 B 60 C 50 D不確定3.如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，在AB的同側(cè)作等邊ACM和等邊BCN，連接AN、BM，若MBN=40°，則ANB的大小是（ ）A 60 B 65 C 70 D 804、如圖2，在線段AE同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ABC和CDE(ACE120°)，點(diǎn)P與點(diǎn)M分別是線段BE和AD的中點(diǎn)，則CPM是( )A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.非等腰三角形5、如圖，在ABC中，AB=2，BC=3.6，B=60°，將ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上

3、時(shí)，則CD的長(zhǎng)為 _ 第二題 第三題6、如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則E=_7、如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，D是BC上一點(diǎn)，且BC=3BD，ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到ACE，則CE的長(zhǎng)度為_.8.將寬為2cm的長(zhǎng)方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長(zhǎng)是 9.如圖，等邊ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)O，ODAB交BC于D，OEAC交BC于點(diǎn)E，那么這個(gè)圖形中的等腰三角形共有_個(gè)。10.如圖，將第一個(gè)圖（圖）所示的正三角形連接各邊中點(diǎn)進(jìn)行分割，得到第二個(gè)圖（）；再將第二個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個(gè)圖（

4、圖）；再將第三個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，則得到的第七個(gè)圖中，共有_個(gè)正三角形11、在等邊ABC中，AO是BAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方坐等邊CDE，連接BE（1）求證：ACDBCE；（2）延長(zhǎng)BE至Q，P為BQ上一點(diǎn)，連接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8時(shí)，求PQ的長(zhǎng)。12、在等邊ABC中的AC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,以CE為邊做等邊CDE，使它與ABC位于直線AE的同一側(cè)，點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BE的中點(diǎn)，求證：（1）CNM為等邊三角形；（2）若讓CDE繞C旋轉(zhuǎn)，下列結(jié)論會(huì)發(fā)生變化嗎？AD=BE；AD與BE交角的度數(shù)；三角形CNM為等

5、邊三角形。13、已知O是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，AOB、BOCAOC的角度之比為6：5：4，求在以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形中，此三邊所對(duì)的角度之比14.如圖，在等邊中，相交于點(diǎn)于點(diǎn).求證：.15、如圖，ABC是等邊三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的NDM，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明16、如圖，ABC是等邊三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且MDN=60°，試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量

6、關(guān)系，并給出證明17、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到OBD（1）AOC沿x軸向右平移得到OBD，則平移的距離是 個(gè)單位長(zhǎng)度；AOC與BOD關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是 ；AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DOB，則旋轉(zhuǎn)角度可以是 度；（2）連結(jié)AD，交OC于點(diǎn)E，求AEO的度數(shù)18.如圖是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)是1,求六邊形的周長(zhǎng)。 19.如圖，過邊長(zhǎng)為1的等邊ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PEAC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，求DE的長(zhǎng)20、如圖，ABC是邊長(zhǎng)為

7、6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D.（1）當(dāng)BQD30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（2）在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說明理由.21如圖，點(diǎn)E是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EB，ABC外一點(diǎn)D滿足BD=AC，且BE平分DBC，求BDE的度數(shù)22.如圖， 已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)，DMN也隨之整

8、體移動(dòng)） （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？都請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由； （2）如圖，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請(qǐng)利用圖證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立?請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由 圖圖圖A·BCDEF···23、（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，D是等邊ABC邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方

9、作等邊DCF，連接AF你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（2）類比猜想：如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）深入探究：如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合）連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊DCF和等邊DCF，連接AF、BF，探究AF、BF與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你探究的結(jié)論如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖相同，中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論24、閱讀與理解：圖1是邊長(zhǎng)分別為a和b（ab）的兩個(gè)

10、等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（C與C重合）的圖形操作與證明：（1）操作：固定ABC，將CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，連接AD，BE，如圖2；在圖2中，線段BE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）操作：若將圖1中的CDE，繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，連接AD，BE，如圖3；在圖3中，線段BE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；猜想與發(fā)現(xiàn)：根據(jù)上面的操作過程，請(qǐng)你猜想當(dāng)為多少度時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度最大是多少？當(dāng)為多少度時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度最小是多少？25.基本問題：已知等邊ABC，BM=CN。（1）寫出BN、AM之間數(shù)量關(guān)系；（2） 當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變，則（1）的結(jié)論是否成立？變式問題：1。如圖等邊ABC和等邊CDE，點(diǎn)P為射線BC一動(dòng)點(diǎn)，APK=60°，PK交直線CD于K。(1)試探索AP、PK之間的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC延長(zhǎng)線上時(shí)，上題結(jié)論是否依然成立？為什么。26已知等邊ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1，