2020屆黑龍江省哈爾濱九中高三第四次模擬數(shù)學(xué)(理科)試卷(有答案)

1、哈爾濱市第九中學(xué)下學(xué)期高三學(xué)年第四次模擬考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷（理科）（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分共2頁(yè)）第I卷（選擇題共60分）、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）11.復(fù)數(shù)丄（i是虛數(shù)單位）的虛部是1 iA. 1 B. i C. 1D.2 i22.設(shè)集合Ax| lg 102xA.3,1B.1,350 ，集合Bx1x| 22，則ABC.3,1D.1,3平均數(shù)也相同，則圖中的A. - B. 1 C. 1 D.93xy19.已知實(shí)數(shù)x, y滿足xy400,若目標(biāo)函數(shù)zyy的最大值與最小值的差為m2,則實(shí)數(shù)m勺值為A. 4B.2 C.3 D

2、.23. x 2 的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為xA.40B.-40C.80D.-804.命題“若2 x4，則x2且x2”的否命題為A.若 x24 ,則x2且x2B.若 x4，貝U x2且xC.若 x24 ,則x2或x2D.若 x24，貝U x2或x5.拋物線y4a x2a0的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.0, aB.a,01C.( 0,)1D.(, 0)16a16a6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 k值為（）A. 7B. 9C. 3D. 11 7.已知甲，乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同8.設(shè)a, b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是A.存在唯一平面 ，使得a，且b / B.在唯一直線I，使得

3、I / a，且I b10. 一個(gè)空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的外接 球的表面積為C.存在唯一直線 I ,使得I a ,且I b D.A. 24C. 4B. 6D. 211.為得到函數(shù) y右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度sin x 的圖象，可將函數(shù)3y sin x的圖象向左平移n|的最小值為m個(gè)單位長(zhǎng)度，或向A.B. 2 C.334 D. 53312.已知函數(shù) fxax log a x,要使f x恒有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是1A.(1,ee) B. 1, eC.1, e2D.1(ee,e2)第n卷（非選擇題共90分）m , n均為正數(shù)），則| m二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）13.已知

4、向量是兩個(gè)不共線的向量，若u = 2斫-珀與b之+正 共線，則14. 由曲線y=x2,y= JX圍成的封閉圖形的面積為 .15. 在小語(yǔ)種提前招生考試中，某學(xué)校獲得5個(gè)推薦名額，其中俄語(yǔ) 2個(gè)，日語(yǔ)2個(gè)，西班牙語(yǔ)1m個(gè)，日語(yǔ)和俄語(yǔ)都要求有男生參加學(xué)校通過(guò)選拔定下3男2女共5名推薦對(duì)象，則不同的推比值乙甲n薦方法共有“£1 （ ）" 1 ） COS " “ 4- 1（/? ='）16. 已知數(shù)列a n的通項(xiàng)公式為 ”1，其前n項(xiàng)和為 S,貝U S60三、解答題（共70分）17. （本題滿分12分）在ABC中，角 ABC的對(duì)邊分別為 a, b, c ,點(diǎn)（a,

5、 b）在直線2x cos B y cos C c cos B上.求證：（1） 求cos B的值；2J3uuu uur若a,b 2,求角A的大小及向量BC在BA方向上的投影.218.（本題滿分12分）在某地區(qū)舉行的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，隨機(jī)抽取了100名考生的成績(jī)（單位：分），并把所得數(shù)據(jù)列成了如下表所示的頻數(shù)分布表：40, SO)50, «0)伽70)70, 80)»0, 90)90, 1005132S31176（1）求抽取的樣本平均數(shù) x和樣本方差S2 （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認(rèn)為這次成績(jī) z服從正態(tài)分布

6、N （ , 2）（其中 近似為樣本平均數(shù)x ,2近似為樣本方差 S2）,且規(guī)定827 .分是復(fù)試線，那么在這 2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有多少人？（附：16112.7.若zN（ , 2），貝y<z< u + cr 1 = 0.6826 P(li - 2(72 tr) = 0,9544 ,結(jié)果取整數(shù)部分)(3)已知樣本中成績(jī)?cè)?0,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，現(xiàn)從中選 3人進(jìn)行回訪, 記選出的男生人數(shù)為 ，求的分布列與期望E()19.(本題滿分12分)如圖，四棱錐 P ABC D中，底面 ABC 是直角梯形，AD 側(cè)面PAB，PAB是等邊三角形,DA AB丄AD

7、E是線段AB中點(diǎn)。2(1) 求證：PE CD ；(2) 求三棱錐 P-CDE的表面積。20.(本題滿分12分)已知平面上的動(dòng)點(diǎn)R x, y)及兩定點(diǎn)A 2,0),D AB2， BCB(2,0),直900 , AD / BC ,線PA PB斜率分別為k1 ,k2且k1k2-，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.4(1) 求曲線C的方程；(2) 過(guò)點(diǎn)T (4,0)的直線與曲線C交于M , N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M乍M Q x軸，交曲線C于點(diǎn)Q .求證：直線NQi定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。21.(本題滿分12分)a的取值范圍；(1)求函數(shù)y =f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);1(2)若函數(shù)y =g(x)在(0,)內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)e(3)

8、 對(duì)任意的7-_,求證:請(qǐng)考生在第22,23,24 題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上 填涂題號(hào)對(duì)應(yīng)標(biāo)記。22. (本題滿分10分)選修4 1:幾何證明選講如圖，已知圓 O是 ABC的外接圓， AB BC , AD是BC邊上的高, AE是圓O的直徑過(guò)點(diǎn) C作圓O的切線交 BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F .(1)求證：AC BC AD AE ;若AF 2, CF 2 . 2，求AE的長(zhǎng).C的極坐標(biāo)方程為23. （本題滿分10分）選修4 4:極坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，直線I的參數(shù)方 （t為參數(shù)），若以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(

9、1 cos 2) 8cos（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程;（2）若直線I與曲線C相切，求直線I與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積24.（本題滿分10分）選修4 5:不等式選講已知a10, b1 10, ab1,求證(1) 18;ab ab(2)(11 1）（1 匚）9ab九中四模數(shù)學(xué)答案（理科）一.1-12 CCADCD1二.13-16DABBBA124 120317.(1) a,b2sinAcosB sin BcosC sinCcosB,在直線2xcosB ycosC ccosB上,所以2acosB bcosC ccosB ,由正弦定理得1所以 2sin AcosB sin BcosC sinCcos

10、B sin A 因?yàn)?sin A 0所以 cosB6 分2Q i1 Q彳B 60 ,因?yàn)閍 ,b 2,由正弦定理得si nA -, A 3032.bc在Ba方向上的投影為 bccosB 312分18.£解答】解：（1）由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，得：樣本平均嫌* 0. OE+65 XO. 18+6E 0. 29+7EX 0. 26+SE X0. 17+95 x C, 0370, 牌本方塞護(hù)二(-25) 2X0. 05+ t-15) :X0. 18+ (-5)ixo. 2&+5:xo.17-25:xo. 00=161,(2)( 1) QiN ( TOP 1G1),IP (z&g

11、t;82-7) =1°'?S = 0. 15E?,19.(又在這2DDD名考主H3，能啡入復(fù)試的有主2000 X 0. lB87317zk.裂由已知謁勺的可能職信為h乙“6123F153515.' I的分布列為:1 ） 證明：因?yàn)?AD丄側(cè)面 PAB , PE? 平面 PAB , 所以 AD丄 PE .因?yàn)?PAB是等邊三角形，E是線段 AB的中點(diǎn)，所以 PE丄AB.4分E 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系PE? 平面因?yàn)锳DA AB=A 所以 PE丄平面 ABCD而CD?平面 ABCD所以PE丄CD （2） 解：以?則£(04衛(wèi)人匚(一 -1,0)*0

12、(2,】&)円0®* 厲)7S=(2,i ,o),7?=(o»o./3),7? = 0.-1, -V5)1設(shè)ff = (為平面PDE的法向量，由，即1F 2x + V = 0 辰4，可得«(L-2r0)?設(shè)PC與平面PDE所成的角為B,sntf 土 la»(£r Jt) I =揮1irciMi所以,PC與平面PDE所成的角的正弦值為*。12分20.y(1)由題知，x 2,且k1, k2-,則 k1 k2yy3x 2x 2x 2x 24整理得曲線.4分02C方程為x24證明：設(shè)NQ與x軸交于D(t,O),則直線NQ的方程為記 N(xi,

13、yi) , Q(x2, y2),由對(duì)稱性知 M (x?, y?),由3m2 4 y2 6mty 3t2 12 0所以48 3m2 4yiyi所以所以x my t m3x2 4y2x my t t2012消y23m23t2126mt4環(huán)由M , N, S三點(diǎn)共線知kNS kMS ,即y2 q 23my1 my2 t2m 3t21223m24y1x14y2X24y2 my1 t 40 整理得 2my1y2 t 46mt 40 即 24m t 1y1 y200,t1所以直線NQ過(guò)定點(diǎn)D 1,0.12 分2L 解，(I ) 0/(0)數(shù)F =的-個(gè)笨點(diǎn)，/(x) = jc(x2-1-可以假設(shè)風(fēng)巧=*1

14、一，所以卅(刃對(duì)fqo恒咸立eTiI 1 / -Jr二iD 出£三莊g/(x)<0,g(x)那渓用迪/ g/(x)>0片訃 g(x) 丁 ； * ：一 I" 0 ' - ：.'!廠 g(x2)即 g(t) g(s) e 2e22. (1)AB- AC= AD- AEAC- BC= AD- AEO的切線，所以 FC = FA- FB又 AF= 2, CF= 2 ：2,所以 BF= 4, AB= BF- AF= 2. 因?yàn)? ACF=Z FBC 又/ CFB=Z AFC 所以 AFC CFBAF AC 作 AF- BC ,/'2BC 得 AC= 2 , cos / ACD=計(jì)./ AC*4 = sin / AEB4所以FC所以sin所以AL AB 40A曰 sin Z AEE=7.10分23.2(1)由(1 cos2 ) 8cos 得 sin 4 cos 得直角坐標(biāo)方程為 y2 4xt J3m (t為參數(shù))3t 2m2i1)t 4m 4 3m3(2)y3t24(、3m2代入y 4x得則直線與x軸交點(diǎn)為1一 ,0與y軸交點(diǎn) 03，連接BE由題 意知 ABE為直角三角形.因?yàn)? ABE=Z ADC= 90 °，/ AEB=