三角函數(shù)公式大全(很詳細(xì))

1、高中三角函數(shù)公式大全 圖1 三角函數(shù)的定義 1.1 三角形中的定義圖 1 在直角三角形中定義三角函數(shù)的示意圖在直角三角形 ABC，如下定義六個(gè)三角函數(shù)：正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù) 余切函數(shù) 正割函數(shù) 余割函數(shù)圖 2 在直角坐標(biāo)系中定義三角函數(shù)示意圖在直角坐標(biāo)系中，如下定義六個(gè)三角函數(shù)：正弦函數(shù)余弦函數(shù)r正切函數(shù)余切函數(shù)2 轉(zhuǎn)化關(guān)系 2.1 倒數(shù)關(guān)系2.2 平方關(guān)系2 和角公式3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式3.3 萬(wàn)能公式4 積化和差、和差化積4.1 積化和差公式證明過(guò)程首先， sin( +)=sin cos +sin cos(已證。證明過(guò)程見(jiàn) 和角公式與差角公式的證明 ) 因?yàn)?sin(

2、 +)=sin cos+sin cos(正弦和角公式) 則 sin( - )=sin +(- )=sin cos(- )+sin(- )cos =sin cos -sin cos 于是sin( - )=sin cos -sin cos(正弦差角公式) 將正弦的和角、差角公式相加，得到sin( +)+sin( - )=2sin cos則sin cos =sin( +)/2+sin( - )/2 (“積化和差公式”之一) 同樣地，運(yùn)用誘導(dǎo)公式 cos =sin( /2- ) ，有 cos( + )=sin /2-( +)=sin( /2- - )=sin( /2- )+(- )=sin( /2-

3、)cos(- )+sin(- )cos( /2- )=cos cos -sin sin 于是cos( + )=cos cos -sin sin (余弦和角公式)那么 cos( - ) =cos +(- )=coscos(- )-sin sin(- )=cos cos +sin sin cos( - )=cos cos +sin sin (余弦差角公式) 將余弦的和角、差角公式相減，得到cos( +)-cos( - )=-2sin sin 則sin sin =cos( - )/2-cos( +)/2 (“積化和差公式”之二) 將余弦的和角、差角公式相加，得到cos( +)+cos( - )=2c

4、os cos 則cos cos =cos( +)/2+cos( 這就是積化和差公式： sin cos =sin( +)/2+sin( sin sin =cos( - )/2-cos(- )/2 (“積化和差公式”之三)- )/2 + )/2cos cos =cos( +)/2+cos( - )/24.2 和差化積公式部分證明過(guò)程：sin(- )=sin +(- )=sin cos(- )+sin(- )cos =sincos-sin coscos(+)=sin90-( + )=sin(90- )- =sin(90- )cos-sin cos(90- )=cos cos -sin sin cos

5、(- )=cos +(- )=cos cos(- )-sin sin(-)=coscos+sin sin tan(+)=sin( + )/cos( + )=(sin cos +sincos )/(coscos -sin sin )=(cos tan cos+costan cos )/(cos cos-cos tan costan )=(tan+tan )/(1-tan tan )tan( - )=tan +(- )=tan +tan(- )/1-tantan(- )=(tan -tan )/(1+tan tan )誘導(dǎo)公式sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a)sin(pi

6、/2-a)=cos(a)cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinA/cosA兩角和與差的三角函數(shù)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos( )sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(

7、a)sin(b) tan(a+b)=(tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=(tan(a)-tan(b)/(1+tan(a)tan(b)三角函數(shù)和差化積公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2) sin(a)-sin(b)=2cos(a+b)/2)sin(a -b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2)cos(a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b)/2)sin(a-b)/2)積化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)c

8、os(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b) sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b)二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)半角公式sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)萬(wàn)能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (

9、2tan(a/2)/(1-tan2(a/2)其它公式其中，其中，a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a2+b2)sin(a+c) tan(c)=b/aa*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a2+b2)cos(a-c) tan(c)=a/b1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2其他非重點(diǎn)三角函數(shù)csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)雙曲函數(shù)sinh(a)=(ea-e(-a)/2 cosh(a)=(ea+e(-a)/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)常用公式表（一）1。乘

10、法公式221)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2)(a-b) 2=a2-2ab+b2 (3)(a+b)(a-b)=a(4)a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)2、-b2（5）a 指數(shù)公式：3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b2)(1)a 0=1 (a0)2)aPPP=aP (a0)3)am=manm n m n4)a a =am5)a ÷aman= a =amnm6）（am）n mn=an n n7)(ab ) =a b8）（ b ）n=bn9）（ a ）2=a（ 10） a2 =|a|3、指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系：b1)若 a =N，則b=lgNb則 b log a N(2

11、)若 10 =N，3)若 eb =N，則 b=N4、對(duì)數(shù)公式：1) log a ab bb e =b2）ln Na log aN N ，e=N3) log a N ln Nlna4) ab ebln a5）lnMN lnM ln N6)ln M lnM lnNN7) ln M nnln M8) M =1 ln M5、三角恒等式：1)(Sin )2+(Cos)2=13)1+(cot ) 2=(csc )24）(2)1+(tansin tan)2=(sec )26) cot1tan7) csccos1cos8）seccos5)cotsin1cos6、特殊角三角函數(shù)值：064322sina01222

12、3210-10cosa13222120-101tana033130- 0cota31330- 01) sin22sin cos2）tan22tan1 tan27. 倍角公式：3) cos 2 cos2 sin22cos21 1 2sin28. 半角公式（降冪公式） ：1 cosa1) ( sin ) = 221 cosa22) ( cos ) = 221 cosa sina（3） tan = sina =1 cosa29、三角函數(shù)與反三角函數(shù)關(guān)系：（1）若x=siny ，則 y=arcsinx（ 2）若x=cosy，則y=arccosx3）若 x=tany ，則 y=arctanx（4）若x=

13、coty ，則 y=arccotx10、函數(shù)定義域求法：1（ 1）分式中的分母不能為 0，（a0)（ 2）負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方，（a 0)（3）對(duì)數(shù)中的真數(shù)必須大于 0，( log a NN>0 )4）反三角函數(shù)中 arcsinx ，arccosx的x滿足：（-1 x1)5）上面數(shù)種情況同時(shí)在某函數(shù)出現(xiàn)時(shí)，此時(shí)應(yīng)取其交集11、直線形式及直線位置關(guān)系：（ 1） 直線形式：點(diǎn)斜式： y y0 k x x0斜截式： y=kx+by y1 x x1 兩點(diǎn)式： y2 y1 x2 x11、求導(dǎo)法則：/3)(cu ) =cu/1)(c) / =0x/4)(e ) =e平行：若 l1 /l2 ，則 k1 k

14、2垂直：若 l1 l2，則 k1 k2 11）常用公式表（二）/ u+v） =u +v4）2、2）5）2）/ u-v ) =u -v7）（ sinx ）/ / / uv) =uv +u v基本求導(dǎo)公式：a / a 1 x ) =ax1 a x ) = xln a/=cosx8）（cosx ）19)(tanx ) = (cos x) =(secx )1210)(cotx ) =- (sin x)(11)(secx)/=secx*tanx(12)(cscx)u v uvv2(13)(arcsinx)1 / = 1 x2(15)(arctanx)1/ =1 x2x3）（ax）/x=a lna6）（

15、lnx ）/=-sinx2 cscx)/=-cscx*cotx(14)(arccosx)1 / =- 1 x21(16) arc cot x 21x1/=x2)1)3)5)3、微分1)函數(shù)的微分： dy=y dx近似計(jì)算： | x| 很小時(shí)， f x0 x =f(x 0)4、基本積分公式kdx=kx+c1dx ln x cxexdx ex c+f (x 0)* x12) xadxxa1x4) axdx lnaa C6) sin xdx cosx C7) cosxdx sinx C218) sec xdx 2 dx tanx C cos x10)1)3)csc2 xdx9)sin11x2 dx

16、arcsinx cbf(x)dxaba f (t)dtbaf xdx f xdxab5、dx cotx c x(11) 定積分公式：12 dx arctan x c1 x2af (x)dx 02) abf (x)dx4) acf (x)dxabf(x)dxc5)a f (x)dx 0 若f ( x)是-a,a 的連續(xù)奇函數(shù)，則 a6)若f ( x)是-a,a 的連續(xù)偶函數(shù)，則 :aaa f(x)d 2 0 f(x)d6、積分定理：x1) ax f t dt f x3）若F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，b則 a f (x)dx F (x)baF (b) F (a)7. 積分表1 secxdx l

17、n secx tan x C2 cscxdx ln cscx cot x C13 2 1 2ax1xdx arctan Caa4a21 x2dx arcsin ax Ca x a15 2 1 2 dxxa1 ln2axaCxa8積分方法1 f x ax b ；設(shè)： ax b t2 f x a2 x 2設(shè)：x a sin tf x x2 a 2設(shè)：x a sectf x a2 x 2設(shè)：x a tan t3 分部積分法：udv uv vdu因?yàn)?amp;'的級(jí)數(shù)展開(kāi),能夠成立的區(qū)間是(-s,+s)：1213141516e = l + x + jt + x + x + x +x +2!3!

18、4!5!6!ex = 1 + x2 + x4 + X6 + Xs + x10 +2!3!4!5!V3 13I6I9I12I15C = l + X HX HX HX HX +2!3!4!5!ex =l-x2 + x4 - X6 + %8 - %10 +2! 引 4!5!寺 I 1 21 1 41 1 61 1 8e 2 =1兀一 +xx +x22!43! 84! 16本質(zhì)上這個(gè)公式是由/ = COS0 + ? sill 0這個(gè)公式推導(dǎo)過(guò)來(lái)的，把嫌成TT即可。那么這個(gè)公式是如何得到的呢？可以使用高等數(shù)學(xué)里的幕級(jí)數(shù)農(nóng)開(kāi)，進(jìn)而可以推導(dǎo)得出.r2 J r4 r5 e = l+ T+ + - + + +把e理的ix看成一個(gè)整體f根據(jù)麥克勞林展開(kāi)式 2! 3! 4! 5!,JCx渙成ix代進(jìn)去可以得到:3!I2= 1 + 112!I6亠卄+嗒+驢器+豁獸+”我們把不含i的放說(shuō)含i的