數(shù)列與不等式的綜合問題

1、數(shù)列與不等式的綜合問題數(shù)列與不等式的綜合問題測試時間：120分鐘分滿分：150解答題(本題共9小題，共150分，解答應(yīng) 寫出文字說明、證明過程或演算步驟)1. 2016 -銀川一模(本小題滿分15分)在等差數(shù)列an中，& = 3,其前n項(xiàng)和為Sn,比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1 = 1,公比為S2q(q#1), 且 b2 + S2=12)q=7 b2(1)求 an 與 bn；(2)證明:1111 23芯十至+ Sn1 ,所以.11 一 J .，&2,于是 2&1 所以:w211 i3 3n+1 3目. 11112“ 八、即A+ cTt(15 分)3 Sis2Sn 32. 2017 -黃岡質(zhì)檢（

2、本小題滿分15分）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1 = |, * =，近N*.（1）求證：數(shù)列7-1為等比數(shù)列;an、一 111(2)記3=+，若S100,求最 a1 a2an，大正整數(shù)n.解證明：因?yàn)?=1+5 , 1所以一1Hn+ 11111=_ _=_ 13an 3 3 an.又因?yàn)?一1*0)所以一1#0(nG N*), a1an 1, j一一，、所以數(shù)列-1為等比數(shù)列.（7分）an(2)由(1),可得 1_1 = 2X 1n dn33所以 l2x3n+1.111所以 & = + + = n + d1d2dn1 1 _ 1 _ 123+= n+2x33n113若&100）則n+1;1n100）所

3、以最大正整 3數(shù)n的值為99.（15分）3. 2016 新鄉(xiāng)許昌二調(diào)（本小題滿分15 分）已知an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的 等比數(shù)列）且 3 = 2）b = 3）a3+b5=56）as + b3 = 26.（1）求數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式；- o2bn 、*(2)右x +3x0消 d 得 2q4 q228=0,，(2q2+7)( q24)=0);bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，2,所以d=3, （4分）.an=3n1, bn=3.2nT.(8 分)、3 - 2n-i(2)己 Cn= c id)2n+ i n-i 2niCn+i Cn=3 , 2, c 4 c c2n+i2n+3所以C

4、n最小值為Ci = i, （i2分）c2bn *因?yàn)橐粁 +3xw 2n+1對任息nG N恒成立,所以一x2 + 3xW2,解得 x2 或 xW1,所以 xG(oo, 1U2, +oo).(15 分)4. 2016 江蘇聯(lián)考(本小題滿分15分) 在等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中，a1 = 1, b1 = 2, bn0(nGN),且 b1)a2, b2成等差數(shù)列)a2, b2) a3+2成等比數(shù)列.5. )求數(shù)列 an、 bn的通項(xiàng)公式；設(shè)Cn=abn,數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Sn, _S2n + 4n若4二4;an + t對所有正整數(shù)n恒成立，求常數(shù) Sn+ 2nt的取值范圍.解(1)設(shè)等差數(shù)列an

5、的公差為d,等比數(shù) 列bn的公比為q(q0).由 題 意) 得解得d= q2 1 + d =2+2q, 2q 2=1 + d3+2d= 3.（3 分），an=3n 2, bn = 2 - 31.（5 分）（2） Cn = 3 - bn 2=2 - 3n 2.（7 分） Sn=c1 + C2 + + Cn= 2（31 + 32 + 3n） 2n= 3n 2n3.（10 分）Sn+4n 32n 3n八2n=3n-3 = 3+1.（11 刀）3n+13n2 + t 恒成立，即 t 0,所以f(n)單調(diào)遞增.(14分)故tf(1) =3,即常數(shù)t的取值范圍是(一 8, 3). (15 分)5. 201

6、6 天津高考(本小題滿分15分) 已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d. 對任息的nG N)bn是an和an+1的等比中項(xiàng).(1)設(shè) Cn=bn+ 1 bn, nGN 求證：數(shù)歹U Cn 是等差數(shù)列；2n 設(shè) a = d,=工 1( 1)kb2, nG N*,求證:證明(1)由題意得bn=anan+1)有Cn=bn+1 bn= a(i+舊什 2 ana(i+1 2dan+1, (3 分)因此Cn+ 1Cn = 2d( an+ 2 an+ 1) = 2d , 所以 Cn是等差數(shù)列.（6分）一 2222(2) Tn = ( b + bz) + ( bs b4)+ + (一 b2n-1 + b

7、2n)=2d( a?+ a4 + + a2n)na? + a2n= 2d2n(n+1) . (9 分)、，二 1k k+1-2?3所以乙7 =I k1-kh(12 分)1,= 2d2. 1 n+ 12 時n的取值范圍.解(1) - a + 2a2+3a?+ na= n)所1 以 aI + 2a2 + 3a3 + + ( n 1)an1 = n 一 1(n2).1八兩式相減得an=n(n2) , (4分)又 a1=1 滿足上式，/.an= n(nGN*),(5 分)2n 1(2)由(1)知 bn = -2T-)(6 分)1 . 3 . 5 ,1 2n1113 52n1Tn= 2+ 22+23+,

8、 +2n ,2Tn= 22+ 23+ 2+ , + 2門+1兩式相減得11 1 c2Tn= 2. 21 1 22+23+12n-12n2n 1 )11111 c2Tn=2+2X2n 1 ，八八、2門+1 ） （9 分）22 2n , 211-21 12n1- 2n+ 3Tn = 1 + 4 2 2n 2n = 3 2n )(10 分),2n+32n+1由 Tn Tn - 1 = 3 -Zn - 3- n-1 =222n 12n當(dāng)RE時，Tn-Tn-10,所以數(shù)列Tn單調(diào)遞增.（12分）丁4=3 1137 516=1632=所以 n5 時，TnT5|, 故所求n5, nG N.（15分）7. 2

9、016 吉林二模（本小題滿分 20分） 已知數(shù)列an前n項(xiàng)和S滿足：2S + an= 1.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) bn=12an+；,數(shù)列bnI 十 anI 十 an+ 1，一 、， 1的刖n項(xiàng)和為Tn,求證：Tn.ai=&）3所以數(shù)列an是公比為1.的等比數(shù)列.（6分）3痂 11n11n故 an= 2= 2 ，333 1 n數(shù)列an的迪項(xiàng)公式為an= - .（8分）32an+ 1（2）證明：= bn=） 1 +an1 +an+1f _2T .3n+1-3 +13n+11尹一）（11分）11. Tn = b + b2 + + bn = 31 + 1 32_p 1 + （一.32+

10、 133+ 1 + 3n+13n +1111=4尸工14, （18 分） 1 八,Tn4，（20 分）8.2016 浙江高考（本小題滿分20分）設(shè)數(shù)列 an滿足an an+ 11, nG N.（1）證明：| an| 42 nT（| a| 2）, nG N；3 n* 一證明（1）由an+ 1aL 2右| an| w 2）nG N）證明：| an| W2）n一 /曰一1w 1,侍 | an| 一 21 an+1| W1,故| an | an + 112n2n+11 一* ，2b nG N, （3 分）1 a1|21| an|_| a1| a2|2=21 一 22十| an-1| an|11+ +

11、!- - 2nW + /+ +12in,| an|2n am| 2m| an| an+1|2n2門+1| an+1| an+ 2|2門+1 2n+2| am- 1| a，2m- 12m11+ + 2m_12“-1， （12 分）3 m n-2n2故L LadL”1| an|n,均有-3 m n | an|2 + 4 2 .由m的任意性得| an| . t 、上 加 ， 否則，存在n0 G N ,有| an0|2 ,取正整數(shù)2 | ano| - 2molog 3 42n0且 mino)貝U& | ano| - 23 照3log 3-,2 o -4 2 0 - 442no= |an|一2,與式矛盾

12、，綜上，對于任意nG N,均有| an| W2.(20分)9. 2016 金麗衢十二校聯(lián)考(本小題滿分 _I_1 .20 分)設(shè)數(shù)列an湎足：ai = 2)an+i = can + (c an、為正頭數(shù)，nEN),記數(shù)列an的刖n項(xiàng)和為Sn.(1)證明：當(dāng) c=2 時，2n+1-2Sn0(nGN),由 an+1 =2an+；，得7 =2+-2,所以an是遞增數(shù)列， ananan2從而有 an2,故a2+13, （2 分） an4由此可得 an+i3an3an1，,2an22an-1- - - 2nai = 2n 1,所以2+22+2n=2計(jì)-2, （6分）所以，當(dāng) c=2 時，2n+1-2S.

13、、 、 tN）成立.（8分）13（2）由 a = 2 可得 a2=2c + a2,解得 c4）（10 分）若數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，則=c + anan r ,記t = r 1 c1 - c又 an+ 1 t = ( an t)因?yàn)閍n t ( nGN*)均為正數(shù))所以c0)即an1. ta ntc由an0(nG N*)及 c, t 0可知 an+i t c(ant ) cn( a t) = cn(2 t)進(jìn)而可得 ancnT(2t)+t.由兩式可得，對任意的自然數(shù)n,；cn tc1(2 -t) +t恒成立.因?yàn)?0cf? t2,所以二t)即:2.(14分).、一 一 13 r 一 下面證明：當(dāng)2c2時)由an+1 =一工