2020朝陽區(qū)高三一模有答案(數(shù)學(xué)理)

1、北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（理工類） 2020.3（考試時間 120分鐘 滿分 150 分） 本試卷分為選擇題（共 40 分）和非選擇題（共 110 分）兩部分 第一部分（選擇題 共 40 分）注意事項：考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上答無效。一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項 中，選出符合題目要求的一項 .1. 復(fù)數(shù) 10i1 2iA. 4 2i B. 4 2i C. 2 4i D. 2 4i2. 已知平面向量 a,b滿足 a （a+ b）=3 ，且 a = 2,b = 1，則向量 a與b的夾角為3.4.A.6B.已知數(shù)列

2、an的前 n項和為 Sn，A. 16B.16C.且 SnC.D.2an 1(n31已知平面，直線 a,b,l ，且 a,b，則“A充分不必要條件BC充分必要條件D5. 有 10 件不同的電子產(chǎn)品，其中有 一測試，直到 2 件不穩(wěn)定的產(chǎn)品全部找出后測試結(jié)束，則恰好 （） A. 16 B.24N )，則 a5D.32l a且 l b”是“ l ”的必要不充分條件 既不充分也不必要條件2 件產(chǎn)品運行不穩(wěn)定 . 技術(shù)人員對它們進(jìn)行3次就結(jié)束測試的方法種數(shù)是C.32D.48f (x) .6. 已知函數(shù) f （x） 是定義在 R上的偶函數(shù)，且對任意的 x R，都有 f （x 2）當(dāng)0 x 1時， f（x）

3、 x2.若直線 y x a與函數(shù) y f（x）的圖象在 0,2 內(nèi)恰有 兩個不同的公共點，則實數(shù) a 的值是1111A.0B. 0 或 1 C. 1 或 1 D. 0 或 124247. 某工廠生產(chǎn)的 A 種產(chǎn)品進(jìn)入某商場銷售，商場為吸引廠家第一年免收管理費， 因此第一 年 A種產(chǎn)品定價為每件 70 元，年銷售量為 11.8 萬件. 從第二年開始，商場對 A 種產(chǎn)品征收銷售額的 x% 的管理費（即銷售 100 元要征收 x元），于是該產(chǎn)品定價每件比 第一年增加了 70 x% 元，預(yù)計年銷售量減少 x 萬件，要使第二年商場在 A種產(chǎn)品經(jīng)營中收1 x%取的管理費不少于 14 萬元，則 x的取值范圍

4、是A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 108. 已知點集 A （x,y） x2 y2 4x 8y 16 0 ，B （x,y） y x m 4,m是常數(shù) ， 點集 A所表示的平面區(qū)域與點集 B所表示的平面區(qū)域的邊界的交點為 M ,N.若 點 D（m,4） 在點集 A 所表示的平面區(qū)域內(nèi)（不在邊界上） ，則 DMN 的面積的最 大值是A. 1B.2 C. 2 2 D. 4第二部分（非選擇題 共 110 分）二、填空題：本大題共 6小題，每小題 5 分，共 30分. 把答案填在答題卡上29. 已知雙曲線的方程為 x3 y2 1，則此雙曲線的離心率為，其焦點 到漸近線的距離為 .開始10. 已

5、知某幾何體的三視圖如圖所 示，則該幾何體的體積 為 .輸入 k第 11 題圖）第 10 題圖）11. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 k的值是 4，則輸出 S的值是 .12.在極坐標(biāo)系中， 曲線 2 3sin 和 cos 1相交于點 A,B ，則線段 AB的中點E到極點的距離是 .13.已知函數(shù) f （x）(1)x 3242,2, 若函數(shù) g(x)f （x） k 有兩個不同的零點，log 2 x,0 x 2.則實數(shù) k 的取值范圍是 .14.已知 ABC中， C 90 ,AC 3,BC 4 .一個圓心為 M ，半徑為 1 的圓在 4 ABC內(nèi)，沿著 ABC 的邊滾動一周回到原位 . 在滾動過程

6、中，圓 M 至少與 ABC的一 邊相切，則點 M 到 ABC 頂點的最短距離是，點 M 的運動軌跡的周長是 .三、解答題：本大題共 6小題，共 80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程. 把答案答在答題卡上 .15. （本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) f （x） cos（x ） .72)若 f ( ) 7102 ，求sin 2 的值；II )設(shè) g(x)x f x 2 ，求函數(shù) g（x）在區(qū)間 6,3 上的最大值和最小值13 分）人參加的數(shù)學(xué)摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī) 頻率 組距區(qū)間75 ，80)80 ，85)85 ，90)90 ，95)95 ，100人數(shù)50a35

7、0300b16. （本小題滿分 某次有 1000 定 85 分及其以上為優(yōu)秀 . （）下表是這次考試成績的頻數(shù)分布表，求正整數(shù) a, b的0值.07；0.060.050.040.03（II ）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這 1000人中抽取 40 人的0.成02 績進(jìn)行分析，求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)； 0.01 （）在（ II ）中抽取的 40 名學(xué)生中，要隨機(jī)選取 2 名學(xué)生參O 75 80 85 90 95 100 加座談會，記“其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為 X，求 X 的分?jǐn)?shù)分布列與數(shù)學(xué)期望17. (本小題滿分 14 分) 在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD 為平行四邊形， ABD = 9

8、0 ， EB 平面ABCD ， EF/AB ， AB = 2， EB = 3,EF =1 ， BC = 13，且M 是BD的中點.P，F(xiàn) EA B()求證： EM/ 平面 ADF ； ()求二面角 D-AF-B 的大??； ()在線段 EB 上是否存在一點 使得 CP與AF 所成的角為 30 ？ 若存在，求出 BP 的長度；若不 存在，請說明理由 .18. (本小題滿分 13 分)axe設(shè)函數(shù) f(x) e2 ,a R.x2 1)當(dāng) a 1時，求曲線 yf (x) 在點 (0, f(0) 處的切線方程；)求函數(shù) f (x) 單調(diào)區(qū)間 .19. (本小題滿分 14 分)22已知橢圓 C:x2 y2

9、 1(a b 0) 的兩個焦點分別為 F1( 2,0) ， F2( 2,0) . 點 abM (1,0) 與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直 .()求橢圓 C 的方程；()已知點 N 的坐標(biāo)為 (3,2) ，點P的坐標(biāo)為 (m,n)(m 3).過點M 任作直線 l與橢 圓C相交于 A， B兩點，設(shè)直線 AN，NP， BN 的斜率分別為 k1，k2，k3，若k1 k3 2k2 ，試求 m, n滿足的關(guān)系式 .20(本小題滿分 13 分)已 知 各項 均 為 非 負(fù) 整數(shù) 的 數(shù) 列 A0 : a0,a1,L ,an (n N ) ， 滿 足 a0 0 ，a1 Lann若存在最小的正整數(shù) k，使得

10、ak k (k 1) ，則可定義變換 T，變換i 0,1,2L （）若數(shù)列 A0 :0,1,1,3,0,0 ，試寫出數(shù)列 A5 ；若數(shù)列 A4 : 4,0,0,0,0 ，試寫出數(shù)列 A0； （）證明存在唯一的數(shù)列A0 ，經(jīng)過有限次 T 變換，可將數(shù)列 A0 變?yōu)閿?shù)列n,01,40,2L43,0 ；n個（ ） 若 數(shù) 列 A0 ， 經(jīng) 過 有 限 次 T 變 換 ， 可 變 為 數(shù) 列 n,01,40,2L 43,0 設(shè) n個SmSmSm am am 1 L an，m 1,2,L ,n，求證 am Sm m （m 1） ，其中 m m 1 m 1 表示不超過 Sm 的最大整數(shù)m1北京市朝陽區(qū)高三

11、年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（理工類） 2020.3、選擇題：題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ACBBCDDB、填空題：題 號（9）（10）（11）（12）（13）（14）答 案233132342(34,1)249三、解答題：15）（本小題滿分 13 分）解：（）因為f ( )cos(4) 10 ，所以2(cossin) 7102210所以cossin75平方得，2 sin2sincos2 49 cos =所以 sin224256分II )因為 g(x)x= cos( x24) cos(x 4)= 2 (cosx2sin x)2 (cosx2sin x)=1 2= (co

12、s x21= cos2x.2sin2 x)10分當(dāng)x3時，2x23當(dāng)x所以，當(dāng) x0時，g（x） 的最大值為1；2時， g（x） 的最小值為16）（本小題滿分 13 分）13分解：（）依題意， a 0.04 51000200,b 0.025 1000 100.4分）設(shè)其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為即其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 30 分 （）依題意， P（X 0） C120C40X 的取值為 0，1，2，11C10C30P(X 1) 102 30C403，52所以 X 的分布列為3EX 0 152513分（17）證明：x，則 x40 名.5 ， P(X13350 300 100 ，解得： x=30，

13、10002) C302) C42029 ，52X012P35295213522 2592 23，所以 X 的數(shù)學(xué)期望為 23.本小題滿分 14 分）取 AD的中點 N，連接 MN,NF .131 在 DAB中， M是BD的中點， N是AD的中點，所以 MN/AB,MN =1AB，21又因為 EF/AB,EF = AB ，2所以 MN/EF 且 MN = EF .所以四邊形 MNFE 為平行四邊形， 所以 EM/FN .FE又因為 FN 平面 ADF ， EM 平面 ADFA，B故 EM/ 平面 ADF. 解法二：因為 EB 平面 ABD ， 坐標(biāo)系 B- xyz.NC 4 分AB BD，故以

14、B為原點，建立如圖所示的空間直角 1 分由已知可得 B(0,0,0), A(0,2,0), D(3,0,0),4分nuuur 所以 EM，又 EM 平面 ADF ，所以 EM/ 平面 ADF .)由平面 ABD ，所以 EB BD.)可知平面 ADF 的一個法向量是 n (2,3, 3) .因為 EB 又因為 AB BD，所以 BD 平面 EBAF.uuur故 BD (3,0,0) 是平面 EBAF 的一個法向量 .uuur 所以 cos< BD,nuuurBD nuuurBD n112 ，又二面角 D- AF - B為銳角，故二面角 D- AF - B的大小為 60 . ()假設(shè)在線段

15、 EB上存在一點 P，使得 CP與 AF所成的角為 30 .不妨設(shè) P(0,0,t) ( 0 tuuur uuur3)，則 PC = (3,-2,- t), AF = (0,-1, 3).由題意得2- 3t2 t2 +133，2，化簡得 4 3t 35 ，解得 t 35 0.43所以在線段 EB上不存在點 P，使得 CP與 AF所成的角為 30 .( 18)(本小題滿分 13 分)14 分解：因為 f (x) 2xaxe, 所以 f (x) eax(ax2 2x a) 1(x2 1)2)當(dāng) a 1時, f (x)xex2 1, f (x) ex(x2 2x 1)(x2 1)2所以 f (0)

16、1, f (0) 1.所以曲線 y f (x)在點 (0, f (0) 處的切線方程為 x y1 0.4分)因為 f (x) eax(ax2 2x a)(x2 1)2ax2 2 (ax2 2x (x2 1)2a)，5分1)當(dāng) a 0時, 由 f (x) 0得 x 0；由 f (x) 0得 x0.所以函數(shù) f (x)在區(qū)間 ( ,0)單調(diào)遞增 , 在區(qū)間 (0,) 單調(diào)遞減 .6分2)當(dāng) a 0 時,設(shè) g(x) ax2 2x a ，方程 g(x)ax2 2x a0的判別式4 4a24(1 a)(1 a),7分當(dāng) 0a 1 時，由 f (x)0得x此時 0.1 1 a2 , 或xuuurPCuu

17、urAF2- 3tPCAF2 t2 +13uuur uuur 所以cos < PC,AF由 f (x) 0得1 1 aa1 1 a2所以函數(shù) f (x)單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ,1 1 a ) 和(1 1 a , ), aa單調(diào)遞減區(qū)間 (1 1 a ,1 1 a ). 9分 aa當(dāng) a 1時，此時0. 所以 f (x) 0，所以函數(shù) f (x)單調(diào)遞增區(qū)間是 ( , ). 10分當(dāng) 1 a 0時，此時0.1 1 a2 1 1 a2 由 f (x) 0得 x ； aa1 1 a21 1 a2由 f (x) 0得x,或x.aaaa1 1 a2 1 1 a2單調(diào)遞增區(qū)間 (1 1 a ,1 1

18、a ). 12分 aa當(dāng) a 1 時, 此時0， f （x） 0 ，所以函數(shù) f（x） 單調(diào)遞減區(qū)間是 （).22 所以當(dāng) 1 a 0時, 函數(shù) f ( x)單調(diào)遞減區(qū)間是 ( ,1 1 a )和 (1 1 a , ), 13 分19）（本小題滿分 14 分）解: （）依題意， c 2 ， b 1， 所以 a b2 c23.24分故橢圓 C 的方程為 x y2 1.3）當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，由解得 x1,y不妨設(shè) A(1, 36 ) ， B(1, 36)，26 因為 k1 k32326322，又 k1 k32k2 ，所以 k21，所以 m,n 的關(guān)系式為n2m31 ，即 m n 10.7

19、分當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l 的方程為k(x1).2將 y k(x 1)代入 x3 y21 整理化簡得， （3k21)x26k2x3k23 0.設(shè) A(x1,y1)， B(x2,y2)，則x1 x26k23k2 1, x1x23k23k2 19分又 y1 k(x11)， y2k(x21).所以 k1 k32 y13 x12 y23 x22 k(x11)(3x2) 2(2 y1)(3 x2 )(2 y2)(3(3 x1)(3 x2)k(x2 1)(3 x1)x1x2 3(x1 x2) 92kx1x2 (4k 2)(x1 x2) 6k 12x1x2 3(x1 x2) 923k 32k 2

20、 (4k 2)3k2 1 3k2 3 3k26k22 6k 12 3k2 1 6k23k219x1)22(12k 2 6)212k2 62.12 分所以 2k2 2 ，所以 k22 m3，所以 m,n 的關(guān)系式為 m n 10.13 分綜上所述， m,n 的關(guān)系式為 m n 1 0. （ 20）（本小題滿分 13 分）解：()若 A0 : 0,1,1,3,0,0 ，則 A1 :1,0,1,3,0,0 ； A2 : 2,1,2,0,0,0 ； A3 : 3,0, 2,0,0,0 ；A4 : 4,1,0,0,0,0 ； A5 : 5,0,0,0,0,0 若 A4 : 4,0,0,0,0 ， 則 A

21、3 : 3,1,0,0,0 ； A2 :2,0, 2,0,0 ； A1 :1,1,2,0,0 ；A0 : 0,0,1,3,0 4分)先證存在性，若數(shù)列 A0:a0,a1,L ,an滿足 ak 0及ai 0(0 i k 1) ，則定義a0 1,a11,L , ak 11,k,ak 1,L ,an 易知T 1 和換n,0,0, L1對于數(shù)列,0 連續(xù)實施變換 T 1n,0,0, L ,0T1T1n 1,1,0,L ,0 TT 1 LT1a0, a1,L , an ，變 換 T 1 ， 變 換 T 1 將 數(shù)列 A0 變 為 數(shù) 列 T 1( A0) ：T 是 互 逆 變 5 分一直不能再作 T 1 變換為止)得T1n 2,0,2,0, L ,0 T n 3,1,2,0, L ,0則必有 a0 0（若 a0 0 ，則還可作變換 T 1 ）反過來對 a0,a1,L ,an 作有限次變換T ，即可還原為數(shù)列 n,0,0, L ,0 ，因此存在數(shù)列 A0 滿足條件下用數(shù)學(xué)歸納法證唯一性： 當(dāng)n 1,2是顯然的，假設(shè)唯一性對 n 1成立，考慮 n的情形假 設(shè)存 在 兩個數(shù)列 a0,a1,L ,an 及 b0,b