高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽基本知識(shí)集錦

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽基本知識(shí)集錦一、三角函數(shù)常用公式由于是講競(jìng)賽，這里就不再重復(fù)過(guò)于基礎(chǔ)的東西，例如六種三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，兩角和與差的三 角函數(shù)，二倍角公式等等。但是由于現(xiàn)在的教材中常用公式刪得太多，有些還是不能不寫。先從最 基礎(chǔ)的開始（這些必須熟練掌握）：半角公式,1 cos 1 cos sintan.21 cos sin 1 cos積化和差sin coscos sincos cossin sin和差化積1 . sin21 . sin21 cos21 一 cos2sinsincoscossinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2 coscos22coscos 2si

2、nsin22萬(wàn)能公式2tan1 tan21 tan22 tan23 tan1 tan2sin2cos2tan2三倍角公式3sin 3 3sin 4sin4sin 60 sin sin 60cos cos 60c3ccccos3 4 cos 3cos 4 cos 60二、某些特殊角的三角函數(shù)值 除了課本中的以外，還有一些三、三角函數(shù)求值給出一個(gè)復(fù)雜的式子，要求化簡(jiǎn)。這樣的題目經(jīng)?？?，而且一般化出來(lái)都是一個(gè)具體值。要熟練應(yīng) 用上面的常用式子，個(gè)人認(rèn)為和差化積、積化和差是競(jìng)賽中最常用的，如果看到一些不常用的角， 應(yīng)當(dāng)考慮用和差化積、積化和差，一般情況下直接使用不了的時(shí)候，可以考慮先乘一個(gè)三角函數(shù)，

3、然后利用積化和差化簡(jiǎn)，最后再把這個(gè)三角函數(shù)除下去舉個(gè)例子246求值：cos cos cos -7772提不：乘以2sin二，化簡(jiǎn)后再除下去。7求值：cos210cos2 50 sin 40 sin80來(lái)個(gè)復(fù)雜的n i 2n 1設(shè)n為正整數(shù)，求證sin 一1i i 2n 1 2n另外這個(gè)題目也可以用復(fù)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決，在復(fù)數(shù)的那一章節(jié)里再講 四、三角不等式證明最常用的公式一般就是：x為銳角，則sin x x tanx ；還有就是正余弦的有界性。例求證：x為銳角，sinx+tanx2i 1若pw1,則兩邊同時(shí)除以pn+1,變形為 之亙工n 1 n n 1ppp利用疊加法易得之曳 ?，從而anpn p

4、 i 1 p1n 1p a1fj pi注：還有一些遞推公式也可以用一般方法解決，但是其他情況我們一般使用其他更方便的方法，下面我們?cè)俳榻B一些屬于數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的“高級(jí)方法”。(2)不動(dòng)點(diǎn)法當(dāng)f(x)=x時(shí)，x的取值稱為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們?cè)诟?jìng)賽中解決遞推式的基本方法。典型例子：an 1a an bc an d注：我感覺一般非用不動(dòng)點(diǎn)不可的也就這個(gè)了，所以記住它的解法就足夠了。我們?nèi)绻靡话惴椒ń鉀Q此題也不是不可以，只是又要待定系數(shù)，又要求倒數(shù)之類的，太復(fù)雜，如 果用不動(dòng)點(diǎn)的方法，此題就很容易了人 a x b _2令 x ，即 cx d ax b 0,c x d令此方程的兩個(gè)根為 x1，x2,若 x

5、二x2則有11p an 1xan x1其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解。2c注：如果有能力，可以將 p的表達(dá)式記住，p=，土a d若xw X2則有an 1 Xian Xiq an 1 X2an X2其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注：如果有能力，可以將 q的表達(dá)式記住，q= a cX1(3)特征根法特征根法是專用來(lái)求線性遞推式的好方法。先來(lái)了解特征方程的一般例子，通過(guò)這個(gè)來(lái)學(xué)會(huì)使用特征方程。 an 2 pan 1 qan特征方程為X2=pX+q ,令其兩根為Xi, X2則其通項(xiàng)公式為an A X1n B Xn, a、B用待定系數(shù)法求得。 a

6、n 3 pan 2 qan 1 ran特征方程為X3=pX2+qX+r,令其三根為 X1, X2, X3則其通項(xiàng)公式為an A X1n B Xn C Xn, A、B、C用待定系數(shù)法求得。注：通過(guò)這兩個(gè)例子我們應(yīng)當(dāng)能夠得到特征方程解線性遞歸式的一般方法，可以試著寫出對(duì)于一般線性遞歸式的特征方程和通項(xiàng)公式，鑒于3次以上的方程求解比較困難，且競(jìng)賽中也不多見，我們僅需掌握這兩種就夠了。(4)數(shù)學(xué)歸納法簡(jiǎn)單說(shuō)就是根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律猜出一個(gè)結(jié)果然后用數(shù)學(xué)歸納法去證。這樣的題雖說(shuō)有不少但是要提高不完全歸納的水平實(shí)在不易。大家應(yīng)當(dāng)都會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法，因此這里不詳細(xì)說(shuō)了。但需要記得有 這樣一個(gè)方法，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以拿

7、出來(lái)用。(5)聯(lián)系三角函數(shù)三角函數(shù)是個(gè)很奇妙的東西，看看下面的例子an 11 a22an看起來(lái)似乎摸不著頭腦，只需聯(lián)系正切二倍角公式，馬上就迎刃而解。注：這需要我們對(duì)三角函數(shù)中的各種公式用得很熟，這樣的題目競(jìng)賽書中能見到很多。 例數(shù)列an定義如下：a1 22 , an 14244 a：,求an通項(xiàng)注：這個(gè)不太好看出來(lái)，試試大膽的猜想，然后去驗(yàn)證。(6)迭代法先了解迭代的含義012fx x, fx fx,fx_ 3_ffx,f x fffx,f右上角的數(shù)字叫做迭代指數(shù)，其中f n x是表示f n x的反函數(shù)再來(lái)了解復(fù)合的表示f g x fgx,fghx f g h x如果設(shè)F x g 1 f g

8、x,則Fnxg 1 f n g x ,就可以將求F(x)的迭代轉(zhuǎn)變?yōu)榍骹(x)的迭代。這個(gè)公式很容易證明。使用迭代法求值的基礎(chǔ)。而在數(shù)列中我們可以將遞推式看成an 1 F an ,因此求通項(xiàng)和求函數(shù)迭代就是一樣的了。我們盡量找到好的 g(x),以便讓f(x)變得足夠簡(jiǎn)單，這樣求 再得到F(x)的n次迭代式即為通項(xiàng)公式。f(x)的n次迭代就很容易得到了。從而練習(xí)已知數(shù)列an滿足a11, a22, a2na2na2n 12，a2n 2 V；a2 ne2口，試求數(shù)列的通項(xiàng)公注：此題比較綜合，需熟練掌握各種求通項(xiàng)公式的常用方法。卜面是我的一個(gè)原創(chuàng)題目,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列an 滿足 a10,

9、a21 , an 1 n anan 12數(shù)列求和求和的方法很多，像裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減等等，這些知識(shí)就算單純應(yīng)付高考也應(yīng)該都掌握了，這里 不再贅述。主要寫競(jìng)賽中應(yīng)當(dāng)掌握的方法一一阿貝爾恒等式。阿貝爾(Abel)恒等式有多種形式，最一般的是nn 1akbkSk bk bk 1Snbnk 1k 1k其中Skaki 1Abel注：個(gè)人認(rèn)為，掌握這一個(gè)就夠了，當(dāng)然還有更為一般的形式，但是不容易記，也不常用。 恒等式就是給出了 一個(gè)新的求和方法。很多時(shí)候能簡(jiǎn)化不少。n 2, na；例：假設(shè) a1a2an 0 ,且 ai 1 ,求證： -11i 1i 1 i i i i 1計(jì)數(shù)問(wèn)題1抽屜原則我第一次接觸抽屜

10、原則，是在一本奧賽書的答案上，有一步驟是：由抽屜原則可得，于是我就問(wèn)同學(xué)，什么是抽屜原則，同學(xué)告訴我，三個(gè)蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜， 必有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋果。后來(lái)才發(fā)現(xiàn)，抽屜原則不只是這么簡(jiǎn)單的，它有著廣泛的應(yīng)用以及許多種不同的變形，下面簡(jiǎn)單介紹一下抽屜原則。抽屜原則的常見形式一，把n+k (k 1)個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，一定存在一個(gè)抽屜中至少有兩個(gè)物體。二，把mn+k (k1)個(gè)物體以任意方式全部放入 n個(gè)抽屜中，一定存在一個(gè)抽屜中至少有m+1個(gè)物體。三，把m1+m2+-+mn+k (k1)個(gè)物體以任意方式全部放入 n個(gè)抽屜中，那么后在一個(gè)抽屜里至少 放入了 m1+1個(gè)物體，或在

11、第二個(gè)抽屜里至少放入了 m2+1個(gè)物體，或在第n個(gè)抽屜里至少放 入了 mn+1個(gè)物體四，把m個(gè)物體以任意方式全部放入 n個(gè)抽屜中，有兩種情況：當(dāng) n|m時(shí)(n|m表示n整除m), 一定存在一個(gè)抽屜中至少放入了m個(gè)物體；當(dāng)n不能整除m時(shí)，一定存在一個(gè)抽屜中至少放入n了 m+1個(gè)物體(x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)) n五，把無(wú)窮多個(gè)元素分成有限類，則至少有一類包含無(wú)窮多個(gè)元素。注：背下來(lái)上面的幾種形式?jīng)]有必要，但應(yīng)當(dāng)清楚這些形式雖然不同，卻都表示的一個(gè)意思。理解它們的含義最重要。在各種競(jìng)賽題中，往往抽屜原則考得不少，但一般不會(huì)很明顯的讓人看出來(lái)，構(gòu)造抽屜才是抽屜原則中最難的東西。一般來(lái)說(shuō)，題目中一旦出

12、現(xiàn)了 “總有”“至少有” “總存在”之類的詞，就暗示著我們：要構(gòu)造抽屜了。例: 從自然數(shù)1, 2, 3, 99, 100這100個(gè)數(shù)中隨意取出 51個(gè)數(shù)來(lái)，求證：其中一定有兩個(gè)數(shù)，它們 中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).用2種顏色涂5X5共25個(gè)小方格，證明：必有一個(gè)四角同色的矩形出現(xiàn)2容斥原理容斥原理常常使用，其實(shí)說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn)，就是從多的往下減，減過(guò)頭了在加回來(lái)，又加多了再減，減多 了再加，最終得到正確結(jié)果。對(duì)于計(jì)數(shù)中容易出現(xiàn)重復(fù)的題目，我們常常采用容斥原理，去掉 重復(fù)的情況。容斥原理基本形式:.n 1 ._1|A1A2AnAA2A |A| AAjAiAjAki 11 i j n1 i j k n其中冏表

13、示集合A中元素的個(gè)數(shù)。例：在不大于2004的正整數(shù)中，至少可被 3,5,7之一整除？由數(shù)字1,2, 3, 4, 5組成的n位數(shù)，要求n位數(shù)中這五個(gè)數(shù)字每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求所有這種 n 位數(shù)的個(gè)數(shù)。3遞推方法許多競(jìng)賽題目正面計(jì)算十分困難，于是我們避開正面計(jì)算，先考慮 n-1時(shí)的情況，在計(jì)算n時(shí)的情 況比n-1時(shí)的情況增添了多少，然后寫出一個(gè)遞推式，這樣就可以利用數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行解決，但一 般要求根據(jù)遞推式求通項(xiàng)的能力要比較強(qiáng)，是和擅長(zhǎng)數(shù)列的同學(xué)使用。沒什么具體解釋，多多練習(xí) 吧例設(shè)m為大于1的正整數(shù)，數(shù)列an滿足：a1+a2+an模m余0, 0am (i=1 , 2n)。試求滿足上述條件白不同數(shù)列

14、an的個(gè)數(shù)。4映射計(jì)數(shù)個(gè)人認(rèn)為映射計(jì)數(shù)絕對(duì)是計(jì)數(shù)方法中最經(jīng)典的一種，常常能將復(fù)雜至極的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變成人人都 會(huì)做的普通題目。但是想熟練掌握往往是不容易的，要求有大量的習(xí)題積累，才能形成建立映射的 能力。明確概念：對(duì)于 y=f(x)單射：不同的x對(duì)應(yīng)不同的y,即|x| |y|雙射：即是單射又是滿射，即|x|=|y|倍數(shù)映射：|x|二m|y| m N ,m 1注：雙射即通常說(shuō)的一一映射，有的人將雙射理解為m=2的倍數(shù)映射或其他映射，這是不對(duì)的。不要從感覺上去理解。雙射應(yīng)當(dāng)是“單射” “滿射”的綜合。利用映射解題，一般是建立雙射，將要證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其他的問(wèn)題，但是計(jì)算總數(shù)不變。而我們 不僅要會(huì)建

15、立雙射，也應(yīng)會(huì)建立單射和滿射，因?yàn)轱@然建立單射和滿射是證明不等關(guān)系的極好方法，不可以忽略。利用倍數(shù)映射解決的題目，我目前還沒遇到多少， 但還是要時(shí)刻記著有這樣一種方法。一，建立雙射例集合1 , 2,，2004有多少個(gè)元素和為奇數(shù)的子集？將正整數(shù)n寫成若干個(gè)1與若干個(gè)2之和，和項(xiàng)的順序不同認(rèn)為是不同的寫法，所有寫法的種數(shù)記為A(n);將正整數(shù)n寫成若干個(gè)大于1的正整數(shù)之和，和項(xiàng)順序不同認(rèn)為是不同的寫法，所有寫法的種數(shù)記為 B(n),求證：A(n)=B(n+2)注：此題即為很好的映射計(jì)數(shù)例子。因?yàn)榧幢悴挥糜成湮覀兛梢园袮(n)求出來(lái)，再把 B(n+2)求出來(lái)，然后比較后會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者相等，但這顯然是超

16、大工作量，如果使用了映射計(jì)數(shù)，我們只需用一些 技巧，在A(n)和B(n+2)中建立雙射，此題即得到證明。二，建立單射或滿射例設(shè)n為正整數(shù)，我們稱1,2, ,2n的一個(gè)排列xi, X2,x 2n具有性質(zhì)P：如果存在1wiW2n-1 , 使得|x i-x i+i|=n ,求證：對(duì)任何n,具有性質(zhì)P的排列比不具有性質(zhì)P的排列個(gè)數(shù)多。注：映射計(jì)數(shù)可能會(huì)有一定難度，如果覺得掌握不了也不要灰心，只要多練，時(shí)間一長(zhǎng)自然就會(huì)了。不等式與最值1平均不等式設(shè) ai R (i=1,2,n)調(diào)和平均值:Hni 1 ai幾何平均值:Gnninai1算術(shù)平均值:Annaii 12 ai方哥平均值：GnHn Gn A Gn

17、等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1a2 an注意：運(yùn)用平均不等式需注意各項(xiàng)均為正數(shù)！題外話：有很多同學(xué)十分“痛恨”這兩個(gè)符號(hào)，總是看不懂，其實(shí)這兩個(gè)符號(hào)是絕對(duì)好用的，并且以后會(huì)常常遇到，在大學(xué)課本中更是家常便飯，多看幾次自然也就習(xí)慣了。 例題：a,b,c, d R ,且 a b c d 1,求證：J4a 1 1, q1 且一 一 1 則p q1 1nnn qaibiaiPbi 1i 1i 1注：這個(gè)式子成立的前提挺多，不難看出當(dāng)p=q=2時(shí)，這個(gè)式子即為柯西不等式。3排序不等式4琴生不等式首先來(lái)了解凸函數(shù)的定義一般的，設(shè)f(X)是定義在(a,b)的函數(shù)如果對(duì)于定義域的任意兩數(shù)X1, X2都有f X1 X2f

18、 X1f x22 2則稱f(x)是(a,b)的下凸函數(shù)，一般說(shuō)的凸函數(shù)，也就是下凸函數(shù)，例如 y=x2,從圖像上即可看出是 下凸函數(shù)，也不難證明其滿足上述不等式。如果對(duì)于某一函數(shù)上述不等式的等號(hào)總是不能成立，則稱此函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)。注：凸函數(shù)的定義為我們提供了極為方便地證明一個(gè)函數(shù)為凸函數(shù)的方法。這個(gè)方法經(jīng)常使用。此 外利用二階求導(dǎo)也可以判斷一個(gè)函數(shù)為凸函數(shù)，凸函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是非負(fù)數(shù)。凸函數(shù)具有的常用性質(zhì)性質(zhì)一：對(duì)于(a,b)的凸函數(shù)f(x),有nxf nnf xii 1n注：此即常說(shuō)的琴生不等式性質(zhì)二：加權(quán)的琴生不等式對(duì)于（a,b）的凸函數(shù)，若naii 1nf axi 1nai fi 1注：加權(quán)琴生不等式很重要，當(dāng)1, rai 時(shí)，即為原始的琴生不等式。n注：另外，對(duì)于上面有關(guān)凸函數(shù)和琴生不等式的部分，如果將不等號(hào)全部反向，則得到的便是凹函 數(shù)，以及凹函數(shù)的琴生不等式。例設(shè) Xi0 (i=1,2,n),nxii 1xi1