考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)強(qiáng)化資料-特征值與特征向量

1、 點(diǎn)這里，看更多數(shù)學(xué)資料 2017考研已經(jīng)拉開序幕，很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復(fù)習(xí)資料。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【線性代數(shù)-特征值與特征向量知識(shí)點(diǎn)講解和習(xí)題】，希望可以助考生一臂之力。同時(shí)中公考研特為廣大學(xué)子推出考研集訓(xùn)營(yíng)、專業(yè)課輔導(dǎo)、精品網(wǎng)課、vip1對(duì)1等課程，針對(duì)每一個(gè)科目要點(diǎn)進(jìn)行深入的指導(dǎo)分析，歡迎各位考生了解咨詢。模塊八 特征值與特征向量 教學(xué)規(guī)劃【教學(xué)目標(biāo)】1、全面掌握特征值與特征向量的概念，性質(zhì)2、熟練掌握數(shù)值型矩陣的特征值與特征向量的求解方法3、熟練掌握各類抽象型矩陣的特征值與特征向量的求解方法4、系統(tǒng)梳理“矩陣，向量，方程組”與特征值與特征向量之間的聯(lián)系【主要內(nèi)

2、容】1、特征值與特征向量的概念與性質(zhì)2、數(shù)值型矩陣特征值與特征向量的計(jì)算方法3、抽象型矩陣特征值與特征向量的計(jì)算方法4、特征值重?cái)?shù)與無(wú)關(guān)特征向量的關(guān)系【重難點(diǎn)】1、理解掌握矩陣乘法運(yùn)算與特征向量的聯(lián)系2、抽象矩陣行列式的計(jì)算3、特征值重?cái)?shù)與無(wú)關(guān)特征向量的關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)回顧一基本概念設(shè)為階矩陣，是一個(gè)數(shù)，若存在一個(gè)維的非零列向量使得關(guān)系式成立，則稱是矩陣的特征值，是屬于特征值的特征向量.設(shè)為階單位矩陣，則行列式稱為矩陣的特征多項(xiàng)式.二公式定理定理1：設(shè)都是矩陣屬于特征值的特征向量，則對(duì)任意常數(shù)，當(dāng)時(shí)，也是矩陣屬于特征值的特征向量.定理2：矩陣屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān).推論：假設(shè)分別為矩陣

3、屬于兩個(gè)不同特征值的特征向量，則不為矩陣的特征向量.定理3：設(shè)，則對(duì)任意的多項(xiàng)式，當(dāng)矩陣可逆時(shí)，還有.定理4：設(shè)為任意多項(xiàng)式，如果矩陣滿足，則的任一特征值都滿足.定理5：設(shè)矩陣所有的特征值為（其中可以有一樣的，也可以有虛數(shù)），則有，.定理6：矩陣的重特征值至多有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 考點(diǎn)精講一數(shù)值型矩陣的特征值與特征向量【例1】求矩陣的特征值與特征向量.【答案】：特征值-2，1，1；-2的特征向量，其中；1的特征向量其中。小結(jié)：求特征值主要是求行列式；特征值的所有特征向量就是齊次線性方程組的所有非零解. 需要注意的是特征向量一定是非零的.【例2】求矩陣的特征值與特征向量.【答案】：特征值7（

4、二重） 其特征向量 ，其中不全為0 特征值-2 其特征向量，其中【例3】求矩陣的特征值與特征向量.【答案】：特征值0（二重），特征向量，其中不全為0 特征值16，特征向量，其中【例4】設(shè)階矩陣的元素全為，則的個(gè)特征值是 【答案】： (n-1重根)【例5】設(shè)矩陣，試計(jì)算.【答案】： 【例6】設(shè)矩陣，其行列式，又A的伴隨矩陣有一個(gè)特征值. 屬于的一個(gè)特征向量為，求和的值.【答案】： 小結(jié)：當(dāng)題目中出現(xiàn)了特征向量時(shí)，一般直接代入定義式.二抽象型矩陣的特征值與特征向量【例7】設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，是階可逆矩陣. 已知維列向量是的屬于特征值的特征向量，則矩陣屬于特征值的特征向量是（ ）（A） （B） （C）

5、 （D） 【答案】：B【例8】設(shè)為2階矩陣，為線性無(wú)關(guān)的2維列向量. ，則的非零特征值為.【答案】：1【例9】設(shè)為階可逆矩陣，那么下列矩陣中與具有相同特征值的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】：A【例10】設(shè)為階矩陣，為階可逆矩陣，為矩陣屬于特征值的特征向量，則下列矩陣中 肯定是其特征向量的有（ ）個(gè).（A） （B） （C） （D）【答案】：B小結(jié)：要注意，公式中哪些特征值發(fā)生了變化，哪些特征向量發(fā)生了變化.【例11】 設(shè)為階矩陣，已知，矩陣不可逆，線性方程組有非零解，試求.【答案】：42【例12】設(shè)階矩陣滿足，且，試求.【答案】：【例13】設(shè)階矩陣的伴隨矩陣為，的特征值為，則下列矩陣中可逆的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】：D三綜合討論【例14】設(shè)的特征值，的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則（ ）（A）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)分量必成比例（B）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)分量不成比例（C）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)分量必成比例（D）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)分量必不成比例【答案】：D【例15】設(shè)階矩陣滿足，證明：矩陣可逆.【例16】設(shè)階矩陣的秩，試討論矩陣的可逆性.【例17】設(shè)均為階矩陣，證明：如果為的特征值，則也必為的特征值. 測(cè)試成績(jī)?cè)诰o張的復(fù)