二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用----最值問題以及設(shè)計(jì)方案問題

1、1 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 最大（?。┲祪疹} 知識(shí)要點(diǎn): 4ac -b2 ，如 2 b 2 二次函數(shù)的一般式 y二ax bx c（z 0）化成頂點(diǎn)式y(tǒng) =a（x ） 果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值） b 4ac b 2 即當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)有最小值，并且當(dāng) x -，y最小值二 2a 4a b 4ac b 2 當(dāng)a :：: 0時(shí)，函數(shù)有最大值，并且當(dāng) x b，y最大值二 . 2a 4a 如果自變量的取值范圍是 Xi空X乞X2，如果頂點(diǎn)在自變量的取值范圍 b 4ac b 2 X1乞X乞X2內(nèi), 則當(dāng)x , y最值二 ，如果頂點(diǎn)不在此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在自變量的取 2

2、a 4 a 值范圍內(nèi)的增減性；如果在此范圍內(nèi) y隨x的增大而增大，則當(dāng) y最大=ax； bx2 c，當(dāng) x 時(shí)，y最小二 ax； bXi c; 如果在此范圍內(nèi)y隨x的增大而減小，則當(dāng)x = x1時(shí)，y最大 時(shí)，y 最小=ax2 bx2 c X =X2 時(shí), 二 ax： bx1 c，當(dāng) x = x2 二次函數(shù)極值問題 2 1二次函數(shù) y=ax bx c 中，b2 二ac，且 x=0 時(shí) y =-4，則（ ） y最大二一4 y最小二乂 y最大二一3 y最小二-3 2. 已知二次函數(shù)y = （xo +（X_3）2，當(dāng) x= _ 時(shí)，函數(shù)達(dá)到最小值。 2 3. 若一次函數(shù) 廠1仗汀工的圖像過第一、三、

3、四象限,則函數(shù)口（ ） m m m A.最大值-B.最大值 -C.最小值：D.有最小值 4. 若二次函數(shù)y=a（xh） +k的值恒為正值，則 _ . A. a0 B. a0,h0 C. a0,k0 D. ac0,kv0 5. 函數(shù)y = -x2 9。當(dāng)-2X4 時(shí)函數(shù)的最大值為 _ 2 6.若函數(shù)y=x ，2x-3，當(dāng)- 4空x_-2函數(shù)值有最 值為 二次函數(shù)應(yīng)用利潤(rùn)問題 類型一 1.某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為 40 元的蘋果，物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于 55 元，市場(chǎng) 調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以 50 元的價(jià)格調(diào)查，平均每天銷售 90 箱，價(jià)格每提高 1 元，平均每天少 2 銷售 3 箱. （1）

4、 求平均每天銷售量 y （箱）與銷售價(jià)X （元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式.（3 分） （2） 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤(rùn) w （元）與銷售價(jià)x （元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式.（3 分） （3） 當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ （ 4 分） 2有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng)存活 時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去. 假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體質(zhì)量基本保持不變， 現(xiàn)有一 經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)這種活蟹 1000 kg 放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克 30 元，據(jù)測(cè) 算，此后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升 1 元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費(fèi)

5、用為 400 元，且平均每天還有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出，售價(jià)都是每千克 20 元. （1）設(shè) x天后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)為 p 元，寫出 p 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式； 如果放養(yǎng) x天后將活蟹一次性出售，并記 1000 kg 蟹的銷售總額為 Q 元，寫出 Q 關(guān) 于 x的函數(shù)關(guān)系式. 該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(rùn) （利潤(rùn)=Q收購(gòu)總額）？ 類型二 1隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計(jì)劃 投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹木的利潤(rùn) y1與投資量x成正比例關(guān)系, 如圖 12-所示；種植花卉的利潤(rùn) y2與投資量

6、x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖 12-所示（注：利 潤(rùn)與投資量的 單位：萬元） 圖吃亠 圖 12- 3 （1） 分別求出利潤(rùn)yi與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式； （2） 如果這位專業(yè)戶以 8 萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲取 的最大利潤(rùn)是多少？ 變?cè)囶} 1:某瓜果基地市場(chǎng)部為指導(dǎo)該基地某種蔬菜的生產(chǎn)銷售，在對(duì)歷年市場(chǎng)行情和生產(chǎn) 情況進(jìn)行調(diào)查的基礎(chǔ)上，對(duì)今年這種蔬菜上市后的市場(chǎng)售價(jià)和生產(chǎn)成本進(jìn)行了預(yù)測(cè)， 提供了 兩個(gè)方面的信息，如圖所示。注：兩圖中的每個(gè)實(shí)心點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售 價(jià)和成本，生產(chǎn)成本 6 月份最低，圖甲的圖像是線段，圖乙的圖像是拋物線。 請(qǐng)你根據(jù)圖像提

7、供的信息說明： 1）在 3 月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少元？ （收益=售價(jià)成本） （2）哪個(gè)月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？說明理由； 已知市場(chǎng)部銷售該種蔬菜，4、5 兩個(gè)月的總收益為 48 萬元，且 5 月份的銷量比 4 月份的 銷量多 2萬公斤，求 4、5 兩個(gè)月銷量各多少萬公斤？ 2某產(chǎn)品每件成本 10 元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià) X（元）與產(chǎn)品的日銷售量 y （件）之間的 關(guān)系如下表： 4 X （元） 15 20 30 y （件） 25 20 10 若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù).5 求出日銷售量 y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式； 要使每日的銷售利潤(rùn)最大， 每件產(chǎn)品

8、的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多 少元？ 類型三 為了落實(shí)國(guó)務(wù)院副總理李克強(qiáng)同志到恩施考察時(shí)的指示精神， 最近，州委州政府又出臺(tái)了一 系列 三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這 種產(chǎn)品的成本價(jià)為 20 元/千克市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量w （千克）與銷售價(jià) x （元/千克）有如下關(guān)系：w = 2 x + 80 設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為y （元） （1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少 ？ （3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于 28 元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得 150 元的銷售利潤(rùn)

9、，銷售價(jià)應(yīng)定為多少元 ？ 變式題 1 : 市健益”超市購(gòu)進(jìn)一批 20 元/千克的綠色食品，如果以 30?元/千克銷售，那么每 天可售出400 千克.由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量 y （千克）？與銷售單價(jià)x（元） （x 一30）存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式. 試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè) 健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤(rùn) P 元，當(dāng)銷售單價(jià)為何 值時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ 根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤(rùn)不超過 4480 元，？現(xiàn)該超 市經(jīng)理要求每天利潤(rùn)不得低于 4180 元，請(qǐng)你幫助該超市確定綠色食 品銷售單價(jià)X的范圍（?直接寫出答案）. 2.我區(qū)某工藝廠為迎接建國(guó) 6

10、0 周年，設(shè)計(jì)了一款成本為 20 元/件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行 of 10 20 30 40 50 6 試銷經(jīng)過調(diào)查，其中工藝品的銷售單價(jià) X （元/件）7 與每天銷售量y （件）之間滿足如圖 3-4-14 所示關(guān)系. （1 ）請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)銷售單價(jià)定為 30 元和 40 元時(shí)相應(yīng)的日銷售量; （2 試求出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式； 若物價(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過 45 元/件, 工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ （利潤(rùn)=銷售總價(jià)成本總價(jià)）。 類型四 為了扶持大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，市政府提供了 80 萬元無息貸款，用于某大學(xué)生開辦公司生產(chǎn)并 銷售自主研發(fā)的一種電

11、子產(chǎn)品， 并約定用該公司經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)逐步償還無息貸款. 已知該產(chǎn)品 的生產(chǎn)成本為每件 40 元，員工每人每月的工資為 2500 元，公司每月需支付其它費(fèi)用 15 萬 元該產(chǎn)品每月銷售量 y （萬件）與銷售單價(jià) X （元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示. （1） 求月銷售量y （萬件）與銷售單價(jià) x （元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2） 當(dāng)銷售單價(jià)定為 50 元時(shí)，為保證公司月利潤(rùn)達(dá)到 5 萬元（利潤(rùn)=銷售額-生產(chǎn)成本- 變式題：大學(xué)畢業(yè)生響應(yīng)國(guó)家“自主創(chuàng)業(yè)”的號(hào)召， 投資開辦了一個(gè)裝飾品商店. 該店采購(gòu) 進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行了 30 天的試銷售，購(gòu)進(jìn)價(jià)格為 20 元/件.銷售結(jié)束后，得知 日銷售量 P

12、（件）與銷售時(shí)間 x（天）之間有如下關(guān)系：P=-2x+80（1 xw 30,且 x 為整數(shù)）；又 1 知前 20 天的銷售價(jià)格 Q1 （元/件）與銷售時(shí)間 x（天）之間有如下關(guān)系： Q1 x 30 2 （1 wxw 20,且 x為整數(shù)），后 10 天的銷售價(jià)格 Q2 （元/件）與銷售時(shí)間 x（天）之間有如下關(guān) 系：Q2=45（21 w x w 30，且 x 為整數(shù)）. （1） 試寫出該商店前 20 天的日銷售利潤(rùn) Rj（元）和后 10 天的日銷售利潤(rùn) R2 （元）分別與 銷售時(shí)間 x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2） 請(qǐng)問在這 30 天的試銷售中，哪一天的日銷售利潤(rùn)最大 ？并求出這個(gè)最大利潤(rùn).

13、注：銷售利潤(rùn)=銷售收入一購(gòu)進(jìn)成本. 那么銷8 類型五 青青商場(chǎng)經(jīng)銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件進(jìn)價(jià) 15 元，售價(jià) 20 元；乙種商品每件進(jìn)價(jià) 35 元，售價(jià) 45 元. (1) 若該商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共 100 件恰好用去 2700 元，求能購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商 品各多少件？ (2) 該商場(chǎng)為使甲、乙兩種商品共 100 件的總利潤(rùn)(利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià))不少于 750 元，且 不超過 760 元，請(qǐng)你幫助該商場(chǎng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)貨方案； 那種進(jìn)貨方案花錢最少？那種進(jìn)貨方 案獲利最大？ (3) 在“五一”黃金周期間，該商場(chǎng)對(duì)甲、乙兩種商品進(jìn)行如下優(yōu)惠促銷活動(dòng)： 打折前一次性購(gòu)物總金額 優(yōu)惠措施 不超

14、過 300 元 不優(yōu)惠 超過 300 元且不超過 400 元 售價(jià)打九折 超過 400 元 售價(jià)打八折 按上述優(yōu)惠條件，若小王第一天只購(gòu)買甲種商品一次性付款 200 元，第二天只購(gòu)買乙種商品 打折后一次性付款 324 元，那么這兩天他在該商場(chǎng)購(gòu)買甲、 乙兩種商品一共多少件？ (通過 計(jì)算求出所有符合要求的結(jié)果) 變式題：我市某鎮(zhèn)組織 20 輛汽車裝運(yùn)完 A、B、C 三種臍橙共 100 噸到外地銷售.按計(jì)劃, 20 輛汽車都要裝運(yùn)，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種臍橙，且必須裝滿根據(jù)下表提供的信息， 解答以下問題： 臍橙品種 A B C 每輛汽車運(yùn)載量(噸) 6 5 4 每噸臍橙獲得(百元) 12 16

15、10 (1) 設(shè)裝運(yùn) A 種臍橙的車輛數(shù)為 x，裝運(yùn) B 種臍橙的車輛數(shù)為 y，求y與x之間的函 數(shù)關(guān)系式； (2) 如果裝運(yùn)每種臍橙的車輛數(shù)都不少于 4 輛，那么車輛的安排方案有幾種？并寫出 每種安排方案；那種方案獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 2義潔中學(xué)計(jì)劃從榮威公司購(gòu)買 A、B 兩種型號(hào)的小黑板，經(jīng)洽談，購(gòu)買一塊 A 型小黑板比 買一塊 B 型小黑板多用 20 元且購(gòu)買 5 塊 A 型小黑板和 4 塊 B 型小黑板共需 820 元. （1） 求購(gòu)買一塊 A 型小黑板、一塊 B 型小黑板各需要多少元？ （2） 根據(jù)義潔中學(xué)實(shí)際情況，需從榮威公司購(gòu)買 A、B 兩種型號(hào)的小黑板共 60 塊，要

16、求購(gòu) 買 A、B 兩種型號(hào)小黑板的總費(fèi)用不超過 5240 元并且購(gòu)買 A 型小黑板的數(shù)量應(yīng)大于購(gòu)買 A、 B 種型號(hào)小黑板總數(shù)量的三分之一。 請(qǐng)你通過計(jì)算，求出義潔中學(xué)從榮威公司購(gòu)買 A、B 兩種型號(hào)的小黑板有哪幾種方案 9 課后練習(xí) 某賓館客房部有 60 個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天 200 元時(shí)，房間可以住滿.當(dāng) 每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加 10 元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑.對(duì)有游客入住的房間，賓館需 對(duì)每個(gè)房間每天支出 20 元的各種費(fèi)用設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)增加 X元求： （1） 房間每天的入住量 y （間）關(guān)于x （元）的函數(shù)關(guān)系式. （2） 該賓館每天的房間收費(fèi) z （元）關(guān)

17、于x （元）的函數(shù)關(guān)系式. （3） 該賓館客房部每天的利潤(rùn) w （元）關(guān)于x （元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為 每天多少元時(shí)， w有最大值？最大值是多少？ 紅星公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為 20 元，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來 4 0 天內(nèi)的日銷售量 m （件）與時(shí)間 t （天）的關(guān)系如下表： 時(shí)間t （天） 1 3 6 10 36 日銷售量m （件） 94 90 84 76 24 1 未來 40 天內(nèi)，前 20 天每天的價(jià)格 y（元/件）與時(shí)間 t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y“ =丄t 25 4 （1空t空20且 t 為整數(shù)），后 20 天每天的價(jià)格 y2 （元/件）與時(shí)間 t （

18、天）的函數(shù)關(guān)系式為 1 y2 t 40 （ 2仁t乞40且 t 為整數(shù)）。下面我們就來研究銷售這種商品的有關(guān)問題： 2 （1）認(rèn)真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定10 一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的 m （件）與 t （天）之間的關(guān)系式； （2） 請(qǐng)預(yù)測(cè)未來 40 天中哪一天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？ （3） 在實(shí)際銷售的前 20 天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈(zèng) a 元利潤(rùn)（a4）給希 望工程。公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前 20 天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間 t （天） 的增大而增大，求 a 的取值范圍。 在 2012年年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕

19、，某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售，對(duì)往 年的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)： 銷售價(jià) x （元/千克） 25 24 23 22 銷售量 y （千克） 200 0 250 0 300 0 350 0 （1）在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對(duì)（ x，y）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)連接各點(diǎn) 并觀察所得的圖形，判斷 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式; （2）若櫻桃進(jìn)價(jià)為 13元/千克，試求銷售利潤(rùn) P （元）與銷售價(jià) x （元/千克）之間 的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng) x取何值時(shí)，P的值最大？ 我州有一種可食用的野生菌，上市時(shí)，外商李經(jīng)理按市場(chǎng)價(jià)格 20 元/千克收購(gòu)了這種野生菌

20、1000 千克存放入冷庫(kù)中，據(jù)預(yù)測(cè)，該野生菌的市場(chǎng)價(jià)格將以每天每千克上漲 1 元；但冷凍 存放這批野生菌時(shí)每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì) 310 元，而且這類野生菌在冷庫(kù)中最多保存 160 元，同時(shí)，平均每天有 3 千克的野生菌損壞不能出售.11 （1） 設(shè)x到后每千克該野生菌的市場(chǎng)價(jià)格為 y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式. （2） 若存放 x天后，將這批野生菌一次性出售，設(shè)這批野生菌的銷售總額為 P元，試寫出 P與x之間的函數(shù)關(guān)系式. （3） 李經(jīng)理將這批野生茵存放多少天后出售可獲得最大利潤(rùn) W元？ （利潤(rùn)=銷售總額一收購(gòu)成本一各種費(fèi)用） 某市種植某種綠色蔬菜， 全部用來出口.為了擴(kuò)大出口規(guī)模，該市決定對(duì)這種蔬菜的種植實(shí) 行政府補(bǔ)貼，規(guī)定每種植一畝這種蔬菜一次性補(bǔ)貼菜農(nóng)若干元.經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù) y （畝） 與補(bǔ)貼數(shù)額x （元）之間大致滿足如圖 3-4-13所示的一次函數(shù)關(guān)系隨著補(bǔ)貼數(shù)額 x的不 斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益 z （元）會(huì)相應(yīng)降低，且 z與x之間也大致 滿足如圖 3-4-13所示的一次函數(shù)關(guān)系. （1）在政府未出臺(tái)補(bǔ)貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？