二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用----最值問題以及設(shè)計(jì)方案問題

1、1 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 最大（?。┲祪疹} 知識要點(diǎn): 4ac -b2 ，如 2 b 2 二次函數(shù)的一般式 y二ax bx c（z 0）化成頂點(diǎn)式y(tǒng) =a（x ） 果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值） b 4ac b 2 即當(dāng)a 0時，函數(shù)有最小值，并且當(dāng) x -，y最小值二 2a 4a b 4ac b 2 當(dāng)a :：: 0時，函數(shù)有最大值，并且當(dāng) x b，y最大值二 . 2a 4a 如果自變量的取值范圍是 Xi空X乞X2，如果頂點(diǎn)在自變量的取值范圍 b 4ac b 2 X1乞X乞X2內(nèi), 則當(dāng)x , y最值二 ，如果頂點(diǎn)不在此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在自變量的取 2

2、a 4 a 值范圍內(nèi)的增減性；如果在此范圍內(nèi) y隨x的增大而增大，則當(dāng) y最大=ax； bx2 c，當(dāng) x 時，y最小二 ax； bXi c; 如果在此范圍內(nèi)y隨x的增大而減小，則當(dāng)x = x1時，y最大 時，y 最小=ax2 bx2 c X =X2 時, 二 ax： bx1 c，當(dāng) x = x2 二次函數(shù)極值問題 2 1二次函數(shù) y=ax bx c 中，b2 二ac，且 x=0 時 y =-4，則（ ） y最大二一4 y最小二乂 y最大二一3 y最小二-3 2. 已知二次函數(shù)y = （xo +（X_3）2，當(dāng) x= _ 時，函數(shù)達(dá)到最小值。 2 3. 若一次函數(shù) 廠1仗汀工的圖像過第一、三、

3、四象限,則函數(shù)口（ ） m m m A.最大值-B.最大值 -C.最小值：D.有最小值 4. 若二次函數(shù)y=a（xh） +k的值恒為正值，則 _ . A. a0 B. a0,h0 C. a0,k0 D. ac0,kv0 5. 函數(shù)y = -x2 9。當(dāng)-2X4 時函數(shù)的最大值為 _ 2 6.若函數(shù)y=x ，2x-3，當(dāng)- 4空x_-2函數(shù)值有最 值為 二次函數(shù)應(yīng)用利潤問題 類型一 1.某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為 40 元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于 55 元，市場 調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以 50 元的價格調(diào)查，平均每天銷售 90 箱，價格每提高 1 元，平均每天少 2 銷售 3 箱. （1）

4、 求平均每天銷售量 y （箱）與銷售價X （元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式.（3 分） （2） 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤 w （元）與銷售價x （元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式.（3 分） （3） 當(dāng)每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ （ 4 分） 2有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活 時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去. 假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體質(zhì)量基本保持不變， 現(xiàn)有一 經(jīng)銷商，按市場價收購這種活蟹 1000 kg 放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克 30 元，據(jù)測 算，此后每千克活蟹的市場價每天可上升 1 元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費(fèi)

5、用為 400 元，且平均每天還有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出，售價都是每千克 20 元. （1）設(shè) x天后每千克活蟹的市場價為 p 元，寫出 p 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式； 如果放養(yǎng) x天后將活蟹一次性出售，并記 1000 kg 蟹的銷售總額為 Q 元，寫出 Q 關(guān) 于 x的函數(shù)關(guān)系式. 該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤 （利潤=Q收購總額）？ 類型二 1隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計(jì)劃 投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤 y1與投資量x成正比例關(guān)系, 如圖 12-所示；種植花卉的利潤 y2與投資量

6、x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖 12-所示（注：利 潤與投資量的 單位：萬元） 圖吃亠 圖 12- 3 （1） 分別求出利潤yi與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式； （2） 如果這位專業(yè)戶以 8 萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取 的最大利潤是多少？ 變試題 1:某瓜果基地市場部為指導(dǎo)該基地某種蔬菜的生產(chǎn)銷售，在對歷年市場行情和生產(chǎn) 情況進(jìn)行調(diào)查的基礎(chǔ)上，對今年這種蔬菜上市后的市場售價和生產(chǎn)成本進(jìn)行了預(yù)測， 提供了 兩個方面的信息，如圖所示。注：兩圖中的每個實(shí)心點(diǎn)所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售 價和成本，生產(chǎn)成本 6 月份最低，圖甲的圖像是線段，圖乙的圖像是拋物線。 請你根據(jù)圖像提

7、供的信息說明： 1）在 3 月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少元？ （收益=售價成本） （2）哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？說明理由； 已知市場部銷售該種蔬菜，4、5 兩個月的總收益為 48 萬元，且 5 月份的銷量比 4 月份的 銷量多 2萬公斤，求 4、5 兩個月銷量各多少萬公斤？ 2某產(chǎn)品每件成本 10 元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價 X（元）與產(chǎn)品的日銷售量 y （件）之間的 關(guān)系如下表： 4 X （元） 15 20 30 y （件） 25 20 10 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù).5 求出日銷售量 y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式； 要使每日的銷售利潤最大， 每件產(chǎn)品

8、的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多 少元？ 類型三 為了落實(shí)國務(wù)院副總理李克強(qiáng)同志到恩施考察時的指示精神， 最近，州委州政府又出臺了一 系列 三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這 種產(chǎn)品的成本價為 20 元/千克市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量w （千克）與銷售價 x （元/千克）有如下關(guān)系：w = 2 x + 80 設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為y （元） （1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少 ？ （3）如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于 28 元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得 150 元的銷售利潤

9、，銷售價應(yīng)定為多少元 ？ 變式題 1 : 市健益”超市購進(jìn)一批 20 元/千克的綠色食品，如果以 30?元/千克銷售，那么每 天可售出400 千克.由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量 y （千克）？與銷售單價x（元） （x 一30）存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式. 試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè) 健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤 P 元，當(dāng)銷售單價為何 值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過 4480 元，？現(xiàn)該超 市經(jīng)理要求每天利潤不得低于 4180 元，請你幫助該超市確定綠色食 品銷售單價X的范圍（?直接寫出答案）. 2.我區(qū)某工藝廠為迎接建國 6

10、0 周年，設(shè)計(jì)了一款成本為 20 元/件的工藝品投放市場進(jìn)行 of 10 20 30 40 50 6 試銷經(jīng)過調(diào)查，其中工藝品的銷售單價 X （元/件）7 與每天銷售量y （件）之間滿足如圖 3-4-14 所示關(guān)系. （1 ）請根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)銷售單價定為 30 元和 40 元時相應(yīng)的日銷售量; （2 試求出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式； 若物價部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過 45 元/件, 工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ （利潤=銷售總價成本總價）。 類型四 為了扶持大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，市政府提供了 80 萬元無息貸款，用于某大學(xué)生開辦公司生產(chǎn)并 銷售自主研發(fā)的一種電

11、子產(chǎn)品， 并約定用該公司經(jīng)營的利潤逐步償還無息貸款. 已知該產(chǎn)品 的生產(chǎn)成本為每件 40 元，員工每人每月的工資為 2500 元，公司每月需支付其它費(fèi)用 15 萬 元該產(chǎn)品每月銷售量 y （萬件）與銷售單價 X （元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示. （1） 求月銷售量y （萬件）與銷售單價 x （元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2） 當(dāng)銷售單價定為 50 元時，為保證公司月利潤達(dá)到 5 萬元（利潤=銷售額-生產(chǎn)成本- 變式題：大學(xué)畢業(yè)生響應(yīng)國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召， 投資開辦了一個裝飾品商店. 該店采購 進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行了 30 天的試銷售，購進(jìn)價格為 20 元/件.銷售結(jié)束后，得知 日銷售量 P

12、（件）與銷售時間 x（天）之間有如下關(guān)系：P=-2x+80（1 xw 30,且 x 為整數(shù)）；又 1 知前 20 天的銷售價格 Q1 （元/件）與銷售時間 x（天）之間有如下關(guān)系： Q1 x 30 2 （1 wxw 20,且 x為整數(shù)），后 10 天的銷售價格 Q2 （元/件）與銷售時間 x（天）之間有如下關(guān) 系：Q2=45（21 w x w 30，且 x 為整數(shù)）. （1） 試寫出該商店前 20 天的日銷售利潤 Rj（元）和后 10 天的日銷售利潤 R2 （元）分別與 銷售時間 x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2） 請問在這 30 天的試銷售中，哪一天的日銷售利潤最大 ？并求出這個最大利潤.

13、注：銷售利潤=銷售收入一購進(jìn)成本. 那么銷8 類型五 青青商場經(jīng)銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件進(jìn)價 15 元，售價 20 元；乙種商品每件進(jìn)價 35 元，售價 45 元. (1) 若該商場同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共 100 件恰好用去 2700 元，求能購進(jìn)甲、乙兩種商 品各多少件？ (2) 該商場為使甲、乙兩種商品共 100 件的總利潤(利潤=售價一進(jìn)價)不少于 750 元，且 不超過 760 元，請你幫助該商場設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)貨方案； 那種進(jìn)貨方案花錢最少？那種進(jìn)貨方 案獲利最大？ (3) 在“五一”黃金周期間，該商場對甲、乙兩種商品進(jìn)行如下優(yōu)惠促銷活動： 打折前一次性購物總金額 優(yōu)惠措施 不超

14、過 300 元 不優(yōu)惠 超過 300 元且不超過 400 元 售價打九折 超過 400 元 售價打八折 按上述優(yōu)惠條件，若小王第一天只購買甲種商品一次性付款 200 元，第二天只購買乙種商品 打折后一次性付款 324 元，那么這兩天他在該商場購買甲、 乙兩種商品一共多少件？ (通過 計(jì)算求出所有符合要求的結(jié)果) 變式題：我市某鎮(zhèn)組織 20 輛汽車裝運(yùn)完 A、B、C 三種臍橙共 100 噸到外地銷售.按計(jì)劃, 20 輛汽車都要裝運(yùn)，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種臍橙，且必須裝滿根據(jù)下表提供的信息， 解答以下問題： 臍橙品種 A B C 每輛汽車運(yùn)載量(噸) 6 5 4 每噸臍橙獲得(百元) 12 16

15、10 (1) 設(shè)裝運(yùn) A 種臍橙的車輛數(shù)為 x，裝運(yùn) B 種臍橙的車輛數(shù)為 y，求y與x之間的函 數(shù)關(guān)系式； (2) 如果裝運(yùn)每種臍橙的車輛數(shù)都不少于 4 輛，那么車輛的安排方案有幾種？并寫出 每種安排方案；那種方案獲得利潤最大？最大利潤是多少？ 2義潔中學(xué)計(jì)劃從榮威公司購買 A、B 兩種型號的小黑板，經(jīng)洽談，購買一塊 A 型小黑板比 買一塊 B 型小黑板多用 20 元且購買 5 塊 A 型小黑板和 4 塊 B 型小黑板共需 820 元. （1） 求購買一塊 A 型小黑板、一塊 B 型小黑板各需要多少元？ （2） 根據(jù)義潔中學(xué)實(shí)際情況，需從榮威公司購買 A、B 兩種型號的小黑板共 60 塊，要

16、求購 買 A、B 兩種型號小黑板的總費(fèi)用不超過 5240 元并且購買 A 型小黑板的數(shù)量應(yīng)大于購買 A、 B 種型號小黑板總數(shù)量的三分之一。 請你通過計(jì)算，求出義潔中學(xué)從榮威公司購買 A、B 兩種型號的小黑板有哪幾種方案 9 課后練習(xí) 某賓館客房部有 60 個房間供游客居住，當(dāng)每個房間的定價為每天 200 元時，房間可以住滿.當(dāng) 每個房間每天的定價每增加 10 元時，就會有一個房間空閑.對有游客入住的房間，賓館需 對每個房間每天支出 20 元的各種費(fèi)用設(shè)每個房間每天的定價增加 X元求： （1） 房間每天的入住量 y （間）關(guān)于x （元）的函數(shù)關(guān)系式. （2） 該賓館每天的房間收費(fèi) z （元）關(guān)

17、于x （元）的函數(shù)關(guān)系式. （3） 該賓館客房部每天的利潤 w （元）關(guān)于x （元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個房間的定價為 每天多少元時， w有最大值？最大值是多少？ 紅星公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為 20 元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來 4 0 天內(nèi)的日銷售量 m （件）與時間 t （天）的關(guān)系如下表： 時間t （天） 1 3 6 10 36 日銷售量m （件） 94 90 84 76 24 1 未來 40 天內(nèi)，前 20 天每天的價格 y（元/件）與時間 t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y“ =丄t 25 4 （1空t空20且 t 為整數(shù)），后 20 天每天的價格 y2 （元/件）與時間 t （

18、天）的函數(shù)關(guān)系式為 1 y2 t 40 （ 2仁t乞40且 t 為整數(shù)）。下面我們就來研究銷售這種商品的有關(guān)問題： 2 （1）認(rèn)真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定10 一個滿足這些數(shù)據(jù)的 m （件）與 t （天）之間的關(guān)系式； （2） 請預(yù)測未來 40 天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？ （3） 在實(shí)際銷售的前 20 天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈 a 元利潤（a4）給希 望工程。公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前 20 天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間 t （天） 的增大而增大，求 a 的取值范圍。 在 2012年年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕

19、，某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售，對往 年的市場銷售情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)： 銷售價 x （元/千克） 25 24 23 22 銷售量 y （千克） 200 0 250 0 300 0 350 0 （1）在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對（ x，y）所對應(yīng)的點(diǎn)連接各點(diǎn) 并觀察所得的圖形，判斷 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式; （2）若櫻桃進(jìn)價為 13元/千克，試求銷售利潤 P （元）與銷售價 x （元/千克）之間 的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng) x取何值時，P的值最大？ 我州有一種可食用的野生菌，上市時，外商李經(jīng)理按市場價格 20 元/千克收購了這種野生菌

20、1000 千克存放入冷庫中，據(jù)預(yù)測，該野生菌的市場價格將以每天每千克上漲 1 元；但冷凍 存放這批野生菌時每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì) 310 元，而且這類野生菌在冷庫中最多保存 160 元，同時，平均每天有 3 千克的野生菌損壞不能出售.11 （1） 設(shè)x到后每千克該野生菌的市場價格為 y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式. （2） 若存放 x天后，將這批野生菌一次性出售，設(shè)這批野生菌的銷售總額為 P元，試寫出 P與x之間的函數(shù)關(guān)系式. （3） 李經(jīng)理將這批野生茵存放多少天后出售可獲得最大利潤 W元？ （利潤=銷售總額一收購成本一各種費(fèi)用） 某市種植某種綠色蔬菜， 全部用來出口.為了擴(kuò)大出口規(guī)模，該市決定對這種蔬菜的種植實(shí) 行政府補(bǔ)貼，規(guī)定每種植一畝這種蔬菜一次性補(bǔ)貼菜農(nóng)若干元.經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù) y （畝） 與補(bǔ)貼數(shù)額x （元）之間大致滿足如圖 3-4-13所示的一次函數(shù)關(guān)系隨著補(bǔ)貼數(shù)額 x的不 斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益 z （元）會相應(yīng)降低，且 z與x之間也大致 滿足如圖 3-4-13所示的一次函數(shù)關(guān)系. （1）在政府未出臺補(bǔ)貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？