電動(dòng)力學(xué)_郭芳俠_電磁波的輻射(1)

1、 第五章 電磁波輻射1.電磁勢(shì)的達(dá)朗貝爾方程成立的規(guī)范換條件是A B. C. D. 答案：B2.真空中做勻速直線運(yùn)動(dòng)的電荷不能產(chǎn)生 A電場(chǎng) B.磁場(chǎng) C.電磁輻射 D.位移電流答案：C 3.B 4.B 3.關(guān)于電磁場(chǎng)源激發(fā)的電磁場(chǎng)，以下描述不正確的是A 電磁作用的傳遞不是瞬時(shí)的，需要時(shí)間；B 電磁場(chǎng)在傳播時(shí)需要介質(zhì)；C 場(chǎng)源的變化要推遲一段時(shí)間才能傳遞至場(chǎng)點(diǎn)；D 場(chǎng)點(diǎn)某一時(shí)刻的場(chǎng)是由所有電荷電流在較早的時(shí)刻不同時(shí)刻激發(fā)的.4.一個(gè)天線輻射角分布具有偶極輻射的特性,其滿足的條件是 A波長(zhǎng)與天線相比很短 B. 波長(zhǎng)與天線相比很長(zhǎng) C. 波長(zhǎng)與天線近似相等 D. 天線具有適當(dāng)?shù)男螤畲鸢福築5.嚴(yán)格的

2、講,電偶極輻射場(chǎng)的A磁場(chǎng)、電場(chǎng)都是橫向的 B. 磁場(chǎng)是橫向的,電場(chǎng)不是橫向的 C. 電場(chǎng)是橫向的, 磁場(chǎng)不是橫向的 D. 磁場(chǎng)、電場(chǎng)都不是橫向的答案：B6.對(duì)電偶極子輻射的能流,若設(shè)為電偶極矩與場(chǎng)點(diǎn)到偶極子中心連線的夾角,則平均能流為零的方向是A. ; B. ; C. D. 答案：D 7.電偶極輻射場(chǎng)的平均功率A正比于場(chǎng)點(diǎn)到偶極子距離的平方 B. 反比于場(chǎng)點(diǎn)到偶極子距離的平方C. 與場(chǎng)點(diǎn)到偶極子距離的無(wú)關(guān) D. 反比于場(chǎng)點(diǎn)到偶極子距離答案：C8.若一電流=40t，則它激發(fā)的矢勢(shì)的一般表示式為=。答案： 9.變化電磁場(chǎng)的場(chǎng)量和與勢(shì)（、）的關(guān)系是=，=。答案： , 10.真空中電荷只有做運(yùn)動(dòng)時(shí)才能

3、產(chǎn)生電磁輻射；若體系電偶極矩振幅不變，當(dāng)輻射頻率有由時(shí)變?yōu)?，則偶極輻射總功率由原來(lái)的p變?yōu)?。答案：加速?1P0 11.勢(shì)的規(guī)范變換為，；答案：，12.洛侖茲規(guī)范輔助條件是；在此規(guī)范下，真空中迅變電磁場(chǎng)的勢(shì)滿足的微分方程是.答案： ， 13.真空中一點(diǎn)電荷電量，它在空間激發(fā)的電磁標(biāo)勢(shì)為_(kāi).答案： 14.一均勻帶電圓環(huán),半徑為R,電荷線密度為,繞圓環(huán)的軸線以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),它產(chǎn)生的輻射場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 .答案： 零 15.真空中某處有點(diǎn)電荷那么決定離場(chǎng)源r處t時(shí)刻的電磁場(chǎng)的電荷電量等于 .答案： 16.已知自由空間中電磁場(chǎng)矢勢(shì)為，波矢為，則電磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì) 答案：,17.真空中電荷距場(chǎng)點(diǎn),則場(chǎng)點(diǎn)0.

4、2秒時(shí)刻的電磁場(chǎng)是該電荷在 秒時(shí)刻激發(fā)的. 答案： 0.17s18.電偶極子在方向輻射的能流最強(qiáng).答案：過(guò)偶極子中心垂直于偶極距的平面19.穩(wěn)恒的電流(填寫(xiě)“會(huì)”或“不會(huì)”)產(chǎn)生電磁輻射. 答案：不會(huì)20.已知體系的電流密度,則它的電偶極矩對(duì)時(shí)間的一階微商為.答案： 21.短天線的輻射能力是由來(lái)表征的,它正比于答案：輻射電阻 ,22.真空中, 電偶極輻射場(chǎng)的電場(chǎng)與磁場(chǎng)(忽略了的高次項(xiàng))之間的關(guān)系是.答案： 23.電磁場(chǎng)具有動(dòng)量,因此當(dāng)電磁波照射到物體表面時(shí),對(duì)物體表面就有.答案： 輻射壓力24.若把麥克斯韋方程組的所有矢量都分解為無(wú)旋的(縱場(chǎng))和無(wú)散的(橫場(chǎng))兩部分，寫(xiě)出和的這兩部分在真空中所

5、滿足的方程式，并證明電場(chǎng)的無(wú)旋部分對(duì)應(yīng)于庫(kù)侖場(chǎng)解:將方程組中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電流、分為無(wú)旋和無(wú)散兩部分據(jù)此，可將麥克斯韋方程組寫(xiě)成另外一種表達(dá)形式，進(jìn)一步證明電場(chǎng)的無(wú)旋部分對(duì)應(yīng)于庫(kù)侖場(chǎng)（1）以角標(biāo)L和T分別代表縱場(chǎng)和橫場(chǎng)兩部分，則有將、的分解式分別代入真空中的麥克斯韋方程組中，得式可近一步化簡(jiǎn)為 由縱場(chǎng)和橫場(chǎng)定義，得 并且 將兩式代入式，得（2）以角標(biāo)L和T代表縱場(chǎng)和橫場(chǎng)，則電場(chǎng)分解為，并且，再由（為標(biāo)勢(shì)），得由，有由式可知的縱場(chǎng)部分完全由描述，即為庫(kù)侖規(guī)范，的縱場(chǎng)對(duì)應(yīng)于庫(kù)侖場(chǎng)25.若是滿足洛倫茲規(guī)范的電磁勢(shì)，證明當(dāng)滿足，那么新的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)仍然滿足洛倫茲規(guī)范。證明:電磁勢(shì)滿足洛倫茲規(guī)范 (1)

6、作規(guī)范變換 則 (2)將(1)代入(2),可看出只要滿足則滿足洛倫茲規(guī)范條件: 26.證明在線性各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中，若=0，0，則和可完全由矢勢(shì)決定若取0，這時(shí)滿足哪兩個(gè)方程? 證明（1）若，對(duì)線性各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中的單色波麥克斯韋方程組為 將,代入場(chǎng)方程中，并選擇洛倫茲規(guī)范 得 對(duì)單色波, 代入式中,得 于是 可見(jiàn)在線性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中，當(dāng)，時(shí)，、完全由矢勢(shì)決定（2）若取，由兩式變?yōu)?上式便是此時(shí)滿足得方程27. 證明沿z軸方向傳播的平面電磁波可用矢勢(shì)表示，其中，垂直于z軸方向解題思路由于,，再考慮沿z方向傳播的電磁波矢勢(shì)解析表達(dá)式，找出于與的關(guān)系便可證明證明:利用上題中得到的自

7、由空間矢勢(shì)的方程 解得平面波解為 由于平面波沿z軸方向傳播，故，則式可寫(xiě)為 根據(jù)洛倫茲規(guī)范得由已知條件，故因此,易犯錯(cuò)誤不能抓住平面電磁波的特點(diǎn)，未應(yīng)用沿軸傳播這一特定條件引申拓展求解此類(lèi)題目時(shí)，將、用、表示出來(lái)，再已知條件下分析解析式、及其之間的關(guān)系即可28.設(shè)真空中矢勢(shì)可用復(fù)數(shù)傅里葉展開(kāi)為=，其中是的復(fù)共軛(1)證明滿足諧振子方程(3)把和用和表示出來(lái)證明:已知矢勢(shì)的傅里葉展開(kāi)式是不同頻率平面波的線性疊加，因此矢勢(shì)滿足齊次達(dá)朗貝爾方程，將的展開(kāi)式代入達(dá)朗貝爾方程，用規(guī)范輔助條件化簡(jiǎn)后便可得到要證明的結(jié)論（1）由為真空中矢勢(shì)可知，若采用洛倫茲規(guī)范，則滿足達(dá)朗貝爾方程，即將的復(fù)數(shù)傅里葉展開(kāi)式代

8、入上式，有即要使上式恒成立，應(yīng)有整理以上兩式，有故結(jié)論得證（2）若取，=即為使上式恒成立，則有 （3）由（2）有：，且29.設(shè)和是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì) (1)引入一矢量函數(shù)(赫茲矢量),若令-，證明 (2)若令證明滿足方程 ，寫(xiě)出在真空中的推遲解(3)證明和可通過(guò)用下列公式表出， ， 證明:由題意可知：和滿足洛倫茲規(guī)范，且，只需將、代入其規(guī)范，化簡(jiǎn)后便可得出，當(dāng)時(shí)，將、代入它們滿足的基本方程便可求證綜合（1）和（2），通過(guò)、，便可得出和的表達(dá)形式（1）矢勢(shì)、標(biāo)勢(shì)滿足洛倫茲規(guī)范 將代入式，得可見(jiàn)與最多相差一個(gè)無(wú)散場(chǎng)，可令，有 結(jié)論得證（2）由、滿足得方程可知若，結(jié)合、兩式可得到化簡(jiǎn)，得由，

9、有即 次方程于達(dá)朗貝爾方程形式完全相同，故推遲解（3）將，分別代入，可得到= 由算符運(yùn)算公式可將化簡(jiǎn)為再利用式可得到因此，有30.兩個(gè)質(zhì)量、電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞，證明電偶極輻射和磁偶極輻射都不會(huì)發(fā)生證明:將這兩個(gè)粒子看作一個(gè)系統(tǒng)，運(yùn)用質(zhì)心坐標(biāo)系，則系統(tǒng)的總動(dòng)量為零，找出兩個(gè)粒子的速度、位矢關(guān)系，根據(jù)電偶極矩、磁偶極矩的定義，只要證明，便不會(huì)產(chǎn)生偶極輻射設(shè)兩個(gè)粒子在質(zhì)心中碰撞后的位矢為、，速度、分別為，質(zhì)量為、，電荷量為、，質(zhì)心系中系統(tǒng)總動(dòng)量為零，即 由于=，且相向而行，則有+=0 =系統(tǒng)的電偶極矩 所以不會(huì)產(chǎn)生電偶極矩輻射系統(tǒng)的磁偶極矩 =由于 ， ，因此不會(huì)產(chǎn)生磁偶極矩輻射31.

10、證明荷質(zhì)比相同的不同帶電粒子 構(gòu)成的體系不會(huì)產(chǎn)生偶極輻射.證明：設(shè)帶電粒子體系有N個(gè)粒子，第i個(gè)粒子的質(zhì)量為，電荷電量為，總質(zhì)量為M，體系電偶極矩： （1）在的非相對(duì)論情形，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，設(shè)質(zhì)心矢徑為， 即 （2）將（2）代入（1）中，得由于系統(tǒng)不受外力，則質(zhì)心加速度，所以，沒(méi)有電偶極輻射。體系磁偶極矩其中是體系的角動(dòng)量，系統(tǒng)不受外力時(shí)，角動(dòng)量守恒，因此故沒(méi)有磁偶極輻射。32.設(shè)有一球?qū)ΨQ(chēng)的電荷分布，以頻率沿徑向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求輻射場(chǎng)，并對(duì)結(jié)果給以物理解釋解:題設(shè)中并未說(shuō)明體系的線度是否滿足，因此不能看作偶極輻射，故以推斷遲勢(shì)公式求出矢勢(shì)，再討論和取電荷的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，場(chǎng)點(diǎn)位矢的方向?yàn)檩S，

11、如圖5.1由于電荷分布是球?qū)ΨQ(chēng)，且沿徑向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因此電流場(chǎng)點(diǎn)P處的矢勢(shì) 對(duì)于輻射區(qū)，故式分母中的 式中指數(shù)部分能否用代替，顯然取決于與的比較，此處不能忽略，考慮電流分布的對(duì)稱(chēng)性，只有方向的分量將近似條件代入式，得式中是一與無(wú)關(guān)的常數(shù)因而輻射場(chǎng)易犯錯(cuò)誤（1）把此體系的輻射當(dāng)偶極輻射處理，實(shí)際上題設(shè)并未告知這一條件，故應(yīng)按一般情況討論；（2）由電流的球?qū)ΨQ(chēng)性錯(cuò)誤地得出，由電流球?qū)ΨQ(chēng)，只能得到，而，因?yàn)槊總€(gè)電流元到點(diǎn)的距離，都不同引申拓展對(duì)于輻射問(wèn)題，首先看清題目是否給出或隱含了偶極輻射的條件，若以給出才能當(dāng)作偶極輻射處理，通過(guò)計(jì)算偶極矩來(lái)求和否則按輻射問(wèn)題的一般方法先求矢勢(shì)，再計(jì)算和33.一飛

12、輪半徑為R，并有電荷均勻分布在其邊緣上,總電量為Q設(shè)此飛輪以恒定角速度旋轉(zhuǎn)，求輻射場(chǎng)解:題中并未已知飛輪的幾何線度與的關(guān)系，故也不能看作偶極輻射，應(yīng)作一般討論，由于電荷勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此等效為一穩(wěn)恒電流由于飛輪以恒定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，形成的電流式中為電荷線密度與時(shí)間無(wú)關(guān)，形成的電流也是穩(wěn)恒的穩(wěn)恒的電荷分布和電流分布只能產(chǎn)生穩(wěn)恒的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，而不會(huì)發(fā)生輻射，故輻射場(chǎng)，34.利用電荷守恒定律，驗(yàn)證和的推遲勢(shì)滿足洛倫茲條件證明: 本題是一個(gè)驗(yàn)證性問(wèn)題，只需將、的推遲勢(shì)代入洛倫茲條件，等式兩邊相等即可由于必須利用電荷守恒定律，則只需證出上式的右邊含有就行了已知和的推遲勢(shì)為其中是場(chǎng)點(diǎn)的位矢，是源點(diǎn)的位矢，與之間的

13、關(guān)系為因?yàn)樵诳臻g的一個(gè)固定點(diǎn)，有故當(dāng)算符作用于的次冪時(shí)，可寫(xiě)成其中只作用于，因?yàn)橹械淖兞?，其中含有，故另一方面，有式中表示為常?shù)時(shí)的散度對(duì)比以上兩式，得將此式代入式，并利用表示電荷到場(chǎng)點(diǎn)得距離右方第一項(xiàng)由于是包含了所有電荷電流得區(qū)域，在的邊界面上的法向分量，結(jié)果上式變?yōu)樾瑁谑怯墒降脤⑹脚c合并，便得由電荷守恒定律，有式中是點(diǎn)的局域時(shí)間，由以上兩式，得由此可見(jiàn)，只要電荷守恒定律成立，則推遲勢(shì)和就滿足洛倫茲條件易犯錯(cuò)誤本題主要是邏輯推理過(guò)程，其中大量運(yùn)用了算符對(duì)符合函數(shù)的微分，此算符的運(yùn)算過(guò)程易出錯(cuò)，例如認(rèn)為，其實(shí)這里也是和的函數(shù)圖5-235.如圖5-2,一電偶極矩為的偶極子與Z軸夾角為，以角頻率

14、繞Z軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算輻射場(chǎng)與平均能流密度.解: 將電偶極矩分解為互相垂直的電偶極子 寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式為 將用球坐標(biāo)表示于是輻射場(chǎng) 36.半徑為的均勻永磁體，磁化強(qiáng)度為，球以恒定角速度繞通過(guò)球心而垂直于的鈾旋轉(zhuǎn)，設(shè)，求輻射場(chǎng)和能流解:由于，即，輻射可認(rèn)為是偶極輻射，此題實(shí)際上是求解旋轉(zhuǎn)的磁偶極矩的輻射場(chǎng)，只要將此體系的磁矩表示兩個(gè)互相垂直的振蕩磁偶極子磁矩之和，求出及，便可得到和如圖5-3所示，以球心為原點(diǎn)，以轉(zhuǎn)軸為軸，建立球坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)的磁矩可分解為兩個(gè)互相垂直，相差為的線振動(dòng)圖 5-3 式中，是磁體的總磁矩由附錄中直角坐標(biāo)系矢量與球坐標(biāo)系矢量的變換代入中，得 利用電偶極輻射公式，作以下代換即得磁偶極

15、輻射 平均能流 易犯錯(cuò)誤將磁矩分解為，這里雖然兩振動(dòng)互相垂直，但相位相同，因此合成振動(dòng)不是圓振動(dòng)，而這里的末端在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的軌跡曲線為圓由結(jié)果可知，若磁體不旋轉(zhuǎn)，則，即靜止的磁體不會(huì)產(chǎn)生輻射場(chǎng)，但可產(chǎn)生穩(wěn)恒磁場(chǎng)37.帶電粒子作半徑為的非相對(duì)論性圓周運(yùn)動(dòng)，回旋頻率為，求遠(yuǎn)處的輻射電磁場(chǎng)和輻射能流解: 由于粒子作非相對(duì)論性圓周運(yùn)動(dòng)，即，可看作電偶極輻射，帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于一個(gè)旋轉(zhuǎn)電偶極子，電偶極矩振幅，與上一題方法相似，將電偶極矩分解為兩個(gè)振動(dòng)互相垂直，相位差為的振蕩電偶極子，求解出，便可得，.將時(shí)刻電偶極矩分解為 由于 圖 5.3代入式，得 將代入到電偶極子輻射場(chǎng)公式得式中38.設(shè)有一電

16、矩振幅為，頻率為的電偶極子距理想導(dǎo)體平面為2處，平行于導(dǎo)體平面設(shè)，求在處電磁場(chǎng)及輻射能流解:此題中，故導(dǎo)體表面附近場(chǎng)為似穩(wěn)場(chǎng)，理想導(dǎo)體上出現(xiàn)表面電流，根據(jù)電像原理，理想導(dǎo)體平面對(duì)場(chǎng)的影響可以用電像偶極子代替，如圖5.4a，所求的電磁場(chǎng)和輻射能流便是這兩個(gè)電偶極子和產(chǎn)生的輻射場(chǎng)的疊加解:選取坐標(biāo)系如圖5.4b使電像偶極子位于坐標(biāo)原點(diǎn)，并沿軸的負(fù)方向，原電偶極子位于軸上的處，則根據(jù)振蕩電偶極子產(chǎn)生的輻射場(chǎng)的公式，產(chǎn)生的輻射場(chǎng)的磁感強(qiáng)度為產(chǎn)生的輻射場(chǎng)的磁感強(qiáng)度為因?yàn)?，故，于是，有式中是的位矢，故于是，所求的輻射?chǎng)的磁感強(qiáng)度為利用由于，所以，所以電場(chǎng)強(qiáng)度平均能流密度易犯錯(cuò)誤作的鏡象時(shí)，要注意與平行且反向，坐標(biāo)的選取，可以將坐標(biāo)原點(diǎn)放在電四極子中心也可以放在一個(gè)電偶極子中心引申拓展此題等效為兩個(gè)電偶極子組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)的總電偶極矩為零，但它包含著磁偶極矩與電四極矩，也可通過(guò)計(jì)算磁偶極矩及電四極矩來(lái)求解輻射場(chǎng)39.設(shè)有線偏振平面波照射到一個(gè)絕緣介質(zhì)球上(在方向)，引起介質(zhì)球極化，極化矢量是隨時(shí)間變化的，因而產(chǎn)生輻射