2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)一、填空題(共14小題，每小題5分，滿分70分)1. 已知集合A=-1，2，3，6，B=x|-2x3，則AB= .解析：集合A=-1，2，3，6，B=x|-2x3，AB=-1，2.答案：-1，22. 復(fù)數(shù)z=(1+2i)(3-i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是 .解析：z=(1+2i)(3-i)=5+5i，則z的實(shí)部是5.答案：53. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的焦距是 解析：雙曲線中，a=，b=，雙曲線的焦距是答案：4. 已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是 .解析：數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.

2、4，5.5的平均數(shù)為：，該組數(shù)據(jù)的方差：答案：0.15. 函數(shù)的定義域是 .解析：由3-2x-x20得：x2+2x-30，解得：x-3，1，答案：-3，16. 如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的a的值是 .解析：當(dāng)a=1，b=9時(shí)，不滿足ab，故a=5，b=7，當(dāng)a=5，b=7時(shí)，不滿足ab，故a=9，b=5當(dāng)a=9，b=5時(shí)，滿足ab，故輸出的a值為9.答案：97. 將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是 .解析：將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋

3、擲2次，基本事件總數(shù)為n=6×6=36，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的對(duì)立事件是出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于10，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于10包含的基本事件有：(4，6)，(6，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共6個(gè)，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率：答案：8. 已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1+a22=-3，S5=10，則a9的值是 .解析：an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a1+a22=-3，S5=10，解得a1=-4，d=3，a9=-4+8×3=20答案：209. 定義在區(qū)間0，3上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

4、 .解析：畫出函數(shù)y=sin2x與y=cosx在區(qū)間0，3上的圖象如下：由圖可知，共7個(gè)交點(diǎn)答案：710. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且BFC=90°，則該橢圓的離心率是 .解析：設(shè)右焦點(diǎn)F(c，0)，將代入橢圓方程可得，可得，由BFC=90°，可得kBF·kCF=-1，即有，化簡(jiǎn)為b2=3a2-4c2，由b2=a2-c2，即有3c2=2a2，由，可得，可得，答案：11. 設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間-1，1)上，其中aR，若，則f(5a)的值是 .解析：f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)

5、間-1，1)上，答案：12. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則x2+y2的取值范圍是 .解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=x2+y2，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由圖象知A到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn)O到直線BC：2x+y-2=0的距離最小，由得，即A(2，3)，此時(shí)z=22+32=4+9=13，點(diǎn)O到直線BC：2x+y-2=0的距離，則，故z的取值范圍是.答案：13. 如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則的值是 .解析：D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，又，答案：14. 在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBta

6、nC的最小值是 .解析：由sinA=sin(-A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，由三角形ABC為銳角三角形，則cosB0，cosC0，在式兩側(cè)同時(shí)除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又 ，則，由tanB+tanC=2tanBtanC可得，令tanBtanC=t，由A，B，C為銳角可得tanA0，tanB0，tanC0，由式得1-tanBtanC0，解得t1，由t1得，因此tanAtanBtanC的最小值為8，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)tanB+ta

7、nC=4，tanBtanC=2，解得，(或tanB，tanC互換)，此時(shí)A，B，C均為銳角答案：8二、解答題(共6小題，滿分90分)15. 在ABC中，AC=6，(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求的值解析：(1)利用正弦定理，即可求AB的長(zhǎng)；(2)求出cosA、sinA，利用兩角差的余弦公式求的值答案：(1)ABC中，；(2)A為三角形的內(nèi)角，16. 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F解析：(1)通過證明DEAC，進(jìn)而DEA1C1，據(jù)此可得直線DE

8、平面A1C1F1；(2)通過證明A1FDE結(jié)合題目已知條件A1FB1D，進(jìn)而可得平面B1DE平面A1C1F答案：(1)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，DE為ABC的中位線，DEAC，ABC-A1B1C1為棱柱，ACA1C1，DEA1C1，平面A1C1F，且DE平面A1C1F，DEA1C1F；(2)ABC-A1B1C1為直棱柱，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1C1A1B1，且AA1A1B1=A1，AA1、A1B1平面AA1B1B，A1C1平面AA1B1B，DEA1C1，DE平面AA1B1B，又A1F平面AA1B1B，DEA1F，又A1FB1D，DEB1D=D，且DE、B1D平面B1D

9、E，A1F平面B1DE，又A1F平面A1C1F，平面B1DE平面A1C1F17. 現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍(1)若AB=6m，PO1=2m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉庫的容積最大？解析：(1)由正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，可得PO1=2m時(shí)，O1O=8m，進(jìn)而可得倉庫的容積；(2)設(shè)PO1=xm，則O1O=4xm，代入體積公式，求出容積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，可得最

10、大值答案：(1)PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍O1O=8m，倉庫的容積，(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，設(shè)PO1=xm，則O1O=4xm，則倉庫的容積，(0x6)，V=-26x2+312，(0x6)，當(dāng)時(shí)，V0，V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，V0，V(x)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，V(x)取最大值；即當(dāng)m時(shí)，倉庫的容積最大18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2，4)(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA，

11、求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解析：(1)設(shè)N(6，n)，則圓N為：(x-6)2+(y-n)2=n2，n0，從而得到|7-n|=|n|+5，由此能求出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)由題意得，kOA=2，設(shè)l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：，由此能求出直線l的方程(3)，即，又，得，對(duì)于任意，欲使，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍答案：(1)N在直線x=6上，設(shè)N(6，n)，圓N與x軸相切，圓N為：(x-6)2+(y-n)2=n2，n0，又圓N與圓M外切，圓M：x2+y2-12x-14y+60=

12、0，即圓M：(x-6)2+(x-7)2=25，|7-n|=|n|+5，解得n=1，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1(2)由題意得，kOA=2，設(shè)l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：，則，即，解得b=5或b=-15，直線l的方程為：y=2x+5或y=2x-15(3)，即，即，又，即，解得，對(duì)于任意，欲使，此時(shí)，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，必然與圓交于P、Q兩點(diǎn)，此時(shí)，即，因此實(shí)數(shù)t的取值范圍為19. 已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a0，b0，a1，b1)(1)設(shè)a=2，求方程f(x)=2的根；若對(duì)于任意xR，不等式f(2x)mf(x)-6恒成立，求實(shí)數(shù)m的

13、最大值；(2)若0a1，b1，函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值解析：(1)利用方程，直接求解即可列出不等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化求解即可(2)求出g(x)=f(x)-2=ax+bx-2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出g(x)的最小值為：g(x0)同理若g(x0)0，g(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾若g(x0)0，利用函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，推出g(x0)=0，然后求解ab=1答案：函數(shù)f(x)=ax+bx(a0，b0，a1，b1)(1)設(shè)a=2，方程f(x)=2；即：，可得x=0不等式f(2x)mf(x)-6恒成立，即恒成立令，t2

14、不等式化為：t2-mt+40在t2時(shí)，恒成立可得：0或即：m2-160或m4，m(-，4實(shí)數(shù)m的最大值為：4(2)g(x)=f(x)-2=ax+bx-2，0a1，b1可得1，令，則h(x)是遞增函數(shù)，而，lna0，lnb0，因此，時(shí)，h(x0)=0，因此x(-，x0)時(shí)，h(x)0，axlnb0，則g(x)0x(x0，+)時(shí)，h(x)0，axlnb0，則g(x)0，則g(x)在(-，x0)遞減，(x0，+)遞增，因此g(x)的最小值為：g(x0)若g(x0)0，xloga2時(shí)，axaloga2=2，bx0，則g(x)0，因此x1loga2，且x1x0時(shí)，g(x1)0，因此g(x)在(x1，x0

15、)有零點(diǎn)，則g(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾若g(x0)0，函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，g(x)的最小值為g(x0)，可得g(x0)=0，由g(0)=a0+b0-2=0，因此x0=0，因此，即lna+lnb=0，ln(ab)=0，則ab=1可得ab=120. 記U=1，2，100，對(duì)數(shù)列an(nN*)和U的子集T，若，定義ST=0；若T=t1，t2，tk，定義ST=at1+at2+atk例如：T=1，3，66時(shí)，ST=a1+a3+a66現(xiàn)設(shè)an(nN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T=2，4時(shí)，ST=30(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意正整數(shù)k(1k100)，若1，2，

16、k，求證：STak+1；(3)設(shè)，求證：SC+SCD2SD解析：(1)根據(jù)題意，由ST的定義，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，計(jì)算可得a2=3，進(jìn)而可得a1的值，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得答案；(2)根據(jù)題意，由ST的定義，分析可得STa1+a2+ak=1+3+32+3k-1，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得證明；(3)設(shè)A=CC(CD)，B=CD(CD)，則，進(jìn)而分析可以將原命題轉(zhuǎn)化為證明SC2SB，分2種情況進(jìn)行討論：、若，、若，可以證明得到SA2SB，即可得證明答案：(1)當(dāng)T=2，4時(shí)，ST=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，從而，故an=3n-1，(2)，(3

17、)設(shè)A=CC(CD)，B=CD(CD)，則，分析可得SC=SA+SCD，SD=SB+SCD，則SC+SCD-2SD=SA-2SB，因此原命題的等價(jià)于證明SC2SB，由條件SCSD，可得SASB，、若，則SB=0，故SA2SB，、若，由SASB可得，設(shè)A中最大元素為l，B中最大元素為m，若ml+1，則其與SAai+1amSB相矛盾，因?yàn)椋?m，則1m+1，即SA2SB，綜上所述，SA2SB，故SC+SCD2SD附加題【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A【選修41幾何證明

18、選講】21. 如圖，在ABC中，ABC=90°，BDAC，D為垂足，E為BC的中點(diǎn)，求證：EDC=ABD解析：題意，知BDC=90°，EDC=C，利用C+DBC=ABD+DBC=90°，可得ABD=C，從而可證得結(jié)論答案：由BDAC可得BDC=90°，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以DE=CE=BC，則：EDC=C，由BDC=90°，可得C+DBC=90°，由ABC=90°，可得ABD+DBC=90°，因此ABD=C，而EDC=C，所以，EDC=ABDB.【選修42：矩陣與變換】22. 已知矩陣，矩陣B的逆矩陣，求矩陣AB

19、解析：依題意，利用矩陣變換求得，再利用矩陣乘法的性質(zhì)可求得答案答案：，又，C.【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】23. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)解析：分別化直線與橢圓的參數(shù)方程為普通方程，然后聯(lián)立方程組，求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離公式求得答案答案：由，由得，代入并整理得，由，得，兩式平方相加得聯(lián)立，解得或24. 設(shè)a0，求證：|2x+y-4|a解析：運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：|a+b|a|+|b|，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，即可得證答案：由a0，可得|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|，則|2x+y-4|a成立附加題【必做題】25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x-y-2=0，拋物線C：y2=2px(p0)(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p，-p)；求