川省南充市高考數(shù)學(xué)一診試卷理科

1、2021年四川省南充市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的.1. (5 分)集合 A= (x, y) | y=f (x) , B= (x, y) | x=1，那么 AG B 中元素的個(gè)數(shù)為( )A. 必有1個(gè)B. 1個(gè)或2個(gè)C.至多1個(gè) D.可能2個(gè)以上2. (5分)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足丄 _-+，那么復(fù)數(shù)z的虛部是()z 1+211-13. (5分)向量二 匸是互相垂直的單位向量，且，貝U扁-7 + 5：)*b=()A. - 1 B. 1 C. 6 D.- 64. (5分)變量x與變量y之間具有相關(guān)關(guān)系，并測(cè)得如

2、下一組數(shù)據(jù)：x 6 5 10 12y 6 5 3 2那么變量x與y之間的線性回歸直線方程可能為()A. - = B. .，-= + C. cf= + D. I,-=5. (5 分)設(shè) f (x) =asin ( n +a) +bcos ( n + ，其中 a，b， a， B都是非零實(shí)數(shù)，假設(shè) f (2021)= 1，那么 f (2021)=()A. 1 B. 2 C. 0 D. 16. (5 分)假設(shè) 0v mv 1,那么()A. logm (1+m) logm (1 m) B. logm (1+m) 0J_丄C. 1 m( 1+m) 2 D.1 H . i7. (5分)一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，

3、被一個(gè)平面截后所得幾何體的三視圖如下圖，那么該截面的面積為()2P71 /1正稅圖A. B. 4C. 3 D. 1 12 28. (5分)函數(shù)f (x) =x3+x2- ax-4在區(qū)間(-1, 1)內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，貝U實(shí)數(shù) a的取值范圍為( )A. (1, 5) B. 1, 5) C. (1, 5 D. (-X, 1)U( 5, +)9. (5分)如圖，將45直角三角板和30直角三角板拼在一起，其中 45直角三角板的斜邊與30直角三角板的30角所對(duì)的直角邊重合.假設(shè):e, e=是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))假設(shè)f (m) =21時(shí) - f (n),那么f (mn)的取值范圍為(A.孑,1) B二 1)C

4、計(jì)，1) D吟,1二、填空題(每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上)13. (5分)1+7嚴(yán)的展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為 14. (5分)函數(shù)丫=*込計(jì) cosx(x6 0? 弓-)的單調(diào)遞增區(qū)間是.15. (5分)假設(shè)圓0仁x2+y2=5與圓02： (x+m) 2+y2=20 (m R)相交于A, B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn) A處的切線互相垂直，那么線段 AB的長(zhǎng)度是.16. (5分)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f (x)滿(mǎn)足對(duì)？x R,有f (x+2) =f (x)- f (1),且當(dāng)x 2, 3時(shí)，f (x) =- 2x2+12x- 18,假設(shè)函數(shù) y=f (x)- loga (| x|+ 1)在(0

5、, +)上至少有三個(gè)零點(diǎn)，那么 a的取值范圍是.三、解答題(本大題共5小題，共70分.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)17. (12分)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an- 2.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 假設(shè)數(shù)列4二的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求Tn.18. (12分)一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取 50個(gè)作為 樣本，稱(chēng)出它們的重量(單位：克)，重量分組區(qū)間為5, 15 , (15, 25 , (25, 35 , (35, 45, 由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖).(1 )求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；

6、(2)從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在5, 15內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)M, N分別是DE, AB的中點(diǎn).(1) 證明：MN /平面BCE(2) 求銳二面角M - AB-E的余弦值.2 220. (12分)橢圓的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A.43(1 )假設(shè)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求 人的取值范圍；(2)直線I: y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) M , N (均不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)),AH丄MN，垂足 為H且求證：直線I恒過(guò)定點(diǎn).21. (12 分) a R,函數(shù) f (x) =ln (x+1)- x2+ax+2.(1) 假設(shè)函數(shù)f (x)在1, +x)

7、上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2) 令 a=- 1 , b R,函數(shù) g (x) =b+2bx- x2.假設(shè)對(duì)任意 X1 (- 1, +)，總存在 x2 - 1, +x),使得f (X1)=g (X2)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分.22. (10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 L ( a為參數(shù))，在以原點(diǎn)為 sinCL極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為寸十上工.(1 )求C的普通方程和I的傾斜角；(2)設(shè)點(diǎn)P (0, 2), l和C交于A, B兩點(diǎn)，求| PA+| PB .23 .函

8、數(shù) f (x) =| x+11 .(1 )求不等式f (x)v I 2x+11 - 1的解集M ;(2 )設(shè) a, b M，證明：f (ab) f (a)- f (- b).2021年四川省南充市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的.1. (5 分)集合 A= (x, y) | y=f (x) , B= (x, y) | x=1，那么 AG B 中元素的個(gè)數(shù)為()A.必有1個(gè) B. 1個(gè)或2個(gè)C.至多1個(gè) D.可能2個(gè)以上【解答】解：集合 A= (x，y) |y=f (x) ，B= (x

9、，y) | x=1，那么 AA B= (x，y) | y=f (x)，且 x=1，當(dāng)x=1時(shí)，f (1)的值存在，AA B= (1，f (1) ，有一個(gè)元素；當(dāng)x=1時(shí)，f (1)的值不存在，AA B=?，沒(méi)有元素； AA B中元素的個(gè)數(shù)至多一個(gè).應(yīng)選：C.2. (5分)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足一-一-亠，貝U復(fù)數(shù)z的虛部是(A.B. - C.D-【解答】解：由i-2il+i1 2.1 1 _7+ii十 十二2210復(fù)數(shù)z的虛部是-5應(yīng)選：C.3. (5分)向量二 E是互相垂直的單位向量，且c - a-c *b=-l，那么(3a-b + 5c卜b=()A. - 1 B. 1 C. 6 D.- 6【解答】解：

10、向量二&是互相垂直的單位向量，且c a=c *b = -l，那么卜b=0-*，+5cb=- 1+5X( - 1) = - 6.應(yīng)選：D.4. 5分變量x與變量y之間具有相關(guān)關(guān)系，并測(cè)得如下一組數(shù)據(jù):x 6 5 10 12y 6 5 3 2那么變量x與y之間的線性回歸直線方程可能為A. #=-B G=-+ C.=-+ D.忖=-【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得；二丄6+5+10+12,44=6+5+3+2 =4,且變量y隨變量x的增大而減小，是負(fù)相關(guān)，所以，驗(yàn)證瓦縣時(shí)，P=-x顯+4，即回歸直線 產(chǎn)-+過(guò)樣本中心點(diǎn)，.應(yīng)選：B.5. (5 分)設(shè) f (x) =asin ( n + a) +bcos

11、 ( n + ，其中 a，b， a， B都是非零實(shí)數(shù)，假設(shè) f (2021)= -1，那么 f (2021)=()A. 1 B. 2C. 0 D.- 1【解答】解：f (x) =asin ( n xa) +bcos ( n + B，其中a，b， a， B都是非零實(shí)數(shù)，假設(shè) f (2021) =asin (2021a) +bcos (2021n+B =- asin bcos B 1，貝U asin +bcos B =1那么 f (2021) =asin(2021冗+a) +bcos (2021n+ B) =asin +bcos B =1 應(yīng)選：A.6. (5 分)假設(shè) 0v mv 1,那么()A

12、. logm (1+m) logm (1 - m)B. logm (1+m) 0J_丄C. 1 - m( 1+m) 2 D. ii - i ii i 【解答】解：I 0v mv 1，函數(shù)y=logmx是(0，+)上的減函數(shù)，又/ 1+m 1 - m0，a logm(1+m)v logm (1 - m)；A A 不正確； 0vmv 1， 1+m 1， logm (1+m)v0；a B不正確； T 0vmv 1,二 Ov 1 - m v 1, 1+m 1 ,二 1 m 1+m 2；二 C不正確；丄 t 0 v mv 1, a Ov 1 mv 1, 函數(shù)y= 1 mx是定義域R上的減函數(shù)，又丄v丄，

13、3丄lm瓦；二D正確；應(yīng)選：D.7. 5分一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，被一個(gè)平面截后所得幾何體的三視圖如下圖，那么該截面的面積為正視圖)A.C. 3 D.【解答】解：由三視圖復(fù)原原幾何體如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2, FH2,，梯形的高為J護(hù)+2二耳2.該截面的面積為S=；：.: .-I.應(yīng)選：A.8. 5分函數(shù)f x =x3+x2 ax-4在區(qū)間-1, 1內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )g, 1)U( 5, +x)A. (1, 5) B. 1, 5) C. (1, 5 D.(-【解答】解：由題意，f( x) =3x2+2x- a,那么 f ( - 1) f ( 1)v 0, 即(1 - a

14、) (5- a)v 0, 解得1v av 5, 另外，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f (x) =x3+x2- x- 4在區(qū)間(-1,1)恰有一個(gè)極值點(diǎn), 當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)f (x) =x3+x2- 5x- 4在區(qū)間(-1 , 1)沒(méi)有一個(gè)極值點(diǎn)， 應(yīng)選：B.9. (5分)如圖，將45直角三角板和30直角三角板拼在一起，其中 45直角三角板的斜邊與30直角三角板的30。角所對(duì)的直角邊重合.假設(shè) I,那么x+y=()A. 1+ ； B.； C. -斗；D.【解答】解：由題意得，假設(shè)設(shè) AD=DC=1,貝U AC= : , AB=2 一 ：，BC= i,由題意知， 麗二xSiy麗 x0, y0, BCD 中，由

15、余弦定理得 DBdG+C仔-2DC?CB?co(45+90) =1+6+2 X 1 x ，=7+2 -vZ ADC=90，二 DBW+y2,： x2+y2=7+2 二.如圖，作：. I .,那么|丨CC =-1, C B=yRtACC中，由勾股定理得Be=CC?+C %即 6= (x- 1) 2+y2，由可得x=1+ I:, y=:.那么：x+y=1+2;；應(yīng)選：B.10. 5分A, B, C, D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中AD=2AB=6那么該球的體積為A. 32伍兀 B. 48 nC. 24 nD. 16n【解答】解：由題意畫(huà)出幾何體的圖形如圖，把A、B、C、D擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連

16、線的中點(diǎn)與 A的距離為球的半徑，AD=2AB=6 OE=3 ABC是正三角形，所以AE訥2罟二仮.AO=所求球的體積為：九尺了冷兀2近3=3祐.應(yīng)選A.ABC是正三角形，AD丄平面ABC,11. 5分拋物線C： x2=4y，直線l: y=- 1, PA, PB為拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A，B, 貝U點(diǎn)P在I上是“PAPB的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C. 充要條件D.既不充分也不必要條件【解答】解：由x2=4y,對(duì)其求導(dǎo)得B：那么直線PA, PB的斜率分別為kp舟kp時(shí)2由點(diǎn)斜式得PA PB的方程分別為：y-冒_*巧-引聯(lián)立解得P：247因?yàn)镻在I上，所以=-1,r 4所以kP

17、A?kPB=f =- 1,所以PA!PB.反之也成立.所以點(diǎn)P在I上是“P!PB的充要條件.應(yīng)選：C.12. (5分)函數(shù)f (X)=1 - J- (xe, e=是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))假設(shè)f (m) =21時(shí) - f (n), |lm+l那么f (mn)的取值范圍為()A.孑,1) B.尋,1)C魯,1)D.尋,1=1 ln(nin)+l【解答】解：由 f( m) =2ln .-f(n )得 f (m) +f (n) =1?, f (m n )=1-1 nirH-1 lnn+1lnn+lmrH-1 又tlnn+lnm+2= (lnn+1) + (Inm+1)(Inn+lnm6 , f (mn) =

18、1-lnn+1 lnnr+*l,且 m、ne ,InW+l 7 5=4+丄一亠一 -4+4=8 lnn+1 lnnt+1 Inn +lnm 0 , f( mn) =1 lnn+lmrrlf (mn)v1 ,應(yīng)選：B.二、填空題每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上13. 5分1+屮的展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為32 .【解答】解：由|i+V7/，得通項(xiàng)咕產(chǎn)隘需， 當(dāng)r=0、2、4、6時(shí),Tr+1為有理項(xiàng),此時(shí)有理項(xiàng)系數(shù)之和為+c i+c故答案為：32.14. (5分)函數(shù)y隹込廿遁臥強(qiáng)&E 0,丄)的單調(diào)遞增區(qū)間是 0,工1【解答】 解：化簡(jiǎn)可得 y=sinxco+cosxsi 一=sin (

19、x 一),3 33由 2k 冗x+M- w 2k可得 2k n- “ 兀 w xW 2k, k 乙23266當(dāng)k=0時(shí)，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為-，,兀由x 0,牛可得x 0,厶，故答案為：015. (5分)假設(shè)圓Oi: x2+=5與圓02： (x+m) 2+y2=20 (m R)相交于A, B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn) A處的切線互相垂直，那么線段AB的長(zhǎng)度是 4.【解答】解：由題 O1 (0，0)與02： (- m，0)，根據(jù)圓心距大于半徑之差而小于半徑之和， 可得!. | m| L .再根據(jù)題意可得O1A丄AO2，二 m2=5+20=25，二 m= 5，利用丄二二-：一乙,解得：AB=4.故答

20、案為：4.16. (5分)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f (x)滿(mǎn)足對(duì)?x R,有f (x+2) =f (x)- f (1),且當(dāng)x 2, 3 時(shí)，f (x) =- 2x2+12x- 18,假設(shè)函數(shù) y=f (x)- loga (| x|+ 1)在(0, +)上至少有三個(gè)零點(diǎn)，那么 a的取值范圍是_ 亠亠.【解答】解： f (x+2) =f (x)- f (1),且f (x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，令 x=- 1 可得 f (- 1+2) =f (- 1)- f (1),又 f (- 1) =f (1), f (1) =0 那么有 f (x+2) =f (x), f (x)是最小正周期為2的偶函數(shù).當(dāng) x

21、 2, 3時(shí)，f (x) =-2x2+12x 18= 2 (x-3) 2,函數(shù)的圖象為開(kāi)口向下、頂點(diǎn)為(3, 0)的拋物線.函數(shù)y=f (x)- loga (| x|+ 1 )在(0，+x)上至少有三個(gè)零點(diǎn)，令g (x) =loga ( | x|+ 1),貝U f ( X)的圖象和g (x)的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn).I f (x) 0,二 g (x)f (2),可得 loga (2+1 )f (2) =- 2,即 loga3- 2,A 3v芒，解得2 時(shí)，S-1=2an-1 - 2,所以 an=S Sn-1 =2an 2-( 2an-1 2),即一-=2, 所以數(shù)列an是以首項(xiàng)為2,公比為2的等比

22、數(shù)列,故 an=2n (n N*).(2)-=(n+1)那么 Tn=2?(丄)+3?3+ (n +1)寺)3+4?勺)丄n+1護(hù)?寺2+3?(4+-+ (n+1)上面兩式相減，可得Tn=1+ (寺)_1 和1-；27C1=1+寺3+ 寺j寺(n+1) ?(亍)n+1(n+1) ?(亍)n+1化簡(jiǎn)可得 Tn=3-(n+3) ? ) n.18. 12分一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱(chēng)出它們的重量單位：克，重量分組區(qū)間為5，15，15，25，25, 35，35，45， 由此得到樣本的重量頻率分布直方圖如圖.1 求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小

23、球重量的眾數(shù)與平均值；2從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在5, 15內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期 望.以直方圖中的頻率作為概率解得a=；又由最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為20， 可估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)約為 20，而50個(gè)樣本小球重量的平均值為：=x 10+X 20+X 30+X 40=克故估計(jì)盒子中小球重量的平均值約為克.(2)利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球的重量在 5, 15內(nèi)的;那么X BX=0, 1, 2, 3;P (X=0) =：；XP (X=1) =嚴(yán)P (X=2)二：XP (X=3) =X2X151251257寺X(卻嚙;丄)3亠,二X的分布列為:6448125125212

24、12531125即 E (X)=0x64125(2)求銳二面角M -19. (12分)如圖，正方形 ABCD與等邊三角形ABE所在的平面互相垂直，M , N分別是DE, AB 的中點(diǎn).(1)證明：MN /平面BCEAB - E的余弦值.【解答】(1)證明：取AE中點(diǎn)P,連結(jié)MP, NP.由題意可得MP / AD/ BC,因?yàn)镸P?平面BCE BC?平面BCE所以MP/平面BCE同理可證NP/平面BCE 因?yàn)?MPG NP=P,所以平面MNP /平面BCE又MN?平面MNP,所以MN /平面BCE2解：取CD的中點(diǎn)F,連接NF, NE由題意可得NE, NB，NF兩兩垂直，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NE,

25、NB，NF所在直線為x軸，y軸，z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.令 AB=2,貝叮:.：,_ 二 1. . , .j：.1,L .、一， 一 所以胡寺：D, AB二0, 2, 0yf z)_ n，AB=23F 0設(shè)平面MAB的法向量Q 巧令 x=2,那么；I：l.因?yàn)? I是平面ABE的一個(gè)法向量所以遇二血二卡譽(yù)尋二琴|(zhì)n | | AD | V7f所以銳二面角M - AB- E的余弦值為V212 220. 12分橢圓計(jì)+呂-二1的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A.1 假設(shè)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求的取值范圍；2直線I: y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) M , N 均不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn),AH丄MN，垂足為H且廠一

26、門(mén)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn).【解答】解：(1 )設(shè) P (xo, yo),又 A (-2, 0) , F (- 1, 0) 所以八I_, ly ,2 2因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓+紅二1上，4 32 2 一所以二1，即兀匚3十，且-2 xoo得 4k2+3m2設(shè) M (X1, y1), N (X2,-8km4ra?-12* - -fJ : .-I- J m.訂-.丁. -刊.i=o,所以(X1+2) (x?+2) +y1y2=o即(1+k，) x X ?+2+E) ( x i + x 2+4+ mi=0,4k2- 16km+7m2=o,所以當(dāng)二丄廠時(shí)，直線I過(guò)點(diǎn)A,舍去, 當(dāng)時(shí)，直線1； y=k:s+-yk過(guò)

27、定點(diǎn)21. (12 分) a R,函數(shù) f (x) =ln (x+1)- x2+ax+2.(1)假設(shè)函數(shù)f (x)在1, +x)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)令 a=- 1 , b R,函數(shù) g (x) =b+2bx- x2.假設(shè)對(duì)任意 xi (- 1, +x)，總存在 x2 - 1,+x),使得f (xi) =g (X2)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【解答】解：(1)函數(shù)f (x)在1, +X)上為減函數(shù)？f( x)- 2x+a 0x+1在1, +x)上恒成立?a 0 (或利用增函數(shù)減減函數(shù))?h (x)在1, +x)上為增函數(shù)?h k+1(x) min=h (1) 二,2所以aw二；(2)假設(shè)對(duì)任意X1 - 1, +x)，總存在x2 - 1, +x),使得f (X1