隨機過程知識點匯總

1、第一章隨機過程的基本概念與基本類型 一.隨機變量及其分布1 .隨機變量X,分布函數(shù)F(x) P(X x)離散型隨機變量 X的概率分布用分布列pk P(X xk)分布函數(shù)F(x)pkx連續(xù)型隨機變量 X的概率分布用概率密度f(x)分布函數(shù)F(x)f(t)dt2 . n維隨機變量X (Xi,X2, ,Xn)其聯(lián)合分布函數(shù) F (x) F(x1,x2, , xn) P(X1 x1,X2 x2, , Xn xn,)離散型聯(lián)合分布列連續(xù)型聯(lián)合概率密度3 .隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望：離散型隨機變量X EXxk pk 連續(xù)型隨機變量 X EX xf(x)dx222協(xié)方差(兩個隨機變量 X,Y)： Bxy萬

2、差：DX E(X EX) EX (EX)反映隨機變量取值的離散程度E(X EX )(Y EY) E(XY) EX EY相關(guān)系數(shù)(兩個隨機變量 X,Y )：Bxy若 0,則稱X,Y不相關(guān)。eitxk pk連續(xù) g(t) eitx f (x)dxgk(0) ikEX kp DX pq均勻分布略獨立 不相關(guān)4 .特征函數(shù)g(t)E(eitX) 離散 g(t)重要性質(zhì)：g(0) 1 , |g(t)| 1, g( t)貳5 .常見隨機變量的分布列或概率密度、期望、方差0 1 分布 P(X 1) p,P(X 0) q EX項分布 P(X k) CkpkqnkEX np DX npqk泊松分布 P(X k)

3、 e EX DX k!正態(tài)分布N(a, 2) f (x)(xa)2EX a DX11-DX ex 0指數(shù)分布f(x) e ,x 0EX0,x 0,Xn)的聯(lián)合概率密度 X N(a, B)1T 1、2(x a) B (x a)6 . N維正態(tài)隨機變量 X (X1,X2,、1，f(x1，x2, ,xn) nrex(2 )2 |B|2a (ai,a2, ,an), x (xi,x2, ,xn) , B (bj )n n 正定協(xié)方差陣二.隨機過程的基本概念1 .隨機過程的一般定義設(shè)(， P)是概率空間，T是給定的參數(shù)集，若對每個t T,都有一個隨機變量 X與之對應(yīng),則稱隨機變量族 X(t,e),t T

4、是(， P)上的隨機過程。簡記為X(t),t T o含義：隨機過程是隨機現(xiàn)象的變化過程，用一族隨機變量才能刻畫出這種隨機現(xiàn)象的全部統(tǒng)計規(guī)律性。另一方面，它是某種隨機實驗的結(jié)果，而實驗出現(xiàn)的樣本函數(shù)是隨機的。當(dāng)t固定時，X(t,e)是隨機變量。當(dāng)e固定時，X(t,e)時普通函數(shù)，稱為隨機過程的一個樣本函數(shù)或軌道。分類：根據(jù)參數(shù)集 T和狀態(tài)空間I是否可列，分四類。也可以根據(jù)X(t)之間的概率關(guān)系分類，如獨立增量過程，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程等。2 .隨機過程的分布律和數(shù)字特征用有限維分布函數(shù)族來刻劃隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律性。隨機過程 X(t),t T的一維分布，二維分布，n維分布的全體稱為有限維分布函數(shù)

5、族。隨機過程的有限維分布函數(shù)族是隨機過程概率特征 的完整描述。在實際中，要知道隨機過程的全部有限維分布函數(shù)族是不可能的，因此用某些統(tǒng)計特征 來取代。(1)均值函數(shù)mX(t) EX (t)表示隨機過程 X(t),t T在時刻t的平均值。(2)方差函數(shù) DX(t) EX(t) mX(t)2表示隨機過程在時刻t對均值的偏離程度。BX(s,t) E(X(s) mX(s)(X(t) mX(t)(3)協(xié)方差函數(shù)且有BX(t,t) DX(t)EX(s)X(t) mX(s)mX(t)(5)互相關(guān)函數(shù)：X(t),t T(4)相關(guān)函數(shù)Rx (s,t) EX(s)X(t) (3)和(4)表示隨機過程在時刻s, t時

6、的線性相關(guān)程度。Y(t),t T是兩個二階距過程，則下式稱為它們的互協(xié)方差函BxY(s,t)E(X(s) mx(s)(Y(t) mY(t)，那么RxY(s,t)EX(s)Y(t),稱為互相關(guān)函數(shù)。EX(s)Y(t) mx(s)mY(t)若EX(s)Y(t) mx (s)my(t),則稱兩個隨機過程不相關(guān)。3 .復(fù)隨機過程Zt Xt jYt均值函數(shù)mz(t) EXtjEYt方差函數(shù)Dz(t) E| Ztmz(t) |2E(Zt mz(t)(Zt mz(t)Bz(s,t)E(Zs mz(s)(Zt mz(t)協(xié)方差函數(shù)_ 相關(guān)函數(shù)Rz(s,t)EZsZtEZsZ； mz(s)mZItj4 .常用的

7、隨機過程 一2(1)二階距過程：實(或復(fù))隨機過程 X(t),t T ,若對每一個t T ,都有EX(t) (二 階距存在)，則稱該隨機過程為二階距過程。(2)正交增量過程：設(shè) X(t),t T是零均值的二階距過程，對任意的t112 t3 t4 T，有E(X(t2) X(ti)(X(t4) X&) 0,則稱該隨機過程為正交增量過程。其協(xié)方差函數(shù) Bx(s,t) Rx(s,t) X(min(s,t)(3)獨立增量過程：隨機過程 X(t),t T，若對任意正整數(shù)n 2,以及任意的t1 t2tn T ,隨機變量X(t2) X(ti),X(t4) X(t3), ,X(tn) X (tn 1)是

8、相互獨立的，則稱X (t),t T是獨立 增量過程。進一步，如 X(t),t T是獨立增量過程，對任意 s t,隨機變量X(t) X(s)的分布僅依賴于t s,則稱 X(t),t T是平穩(wěn)獨立增量過程。(4)馬爾可夫過程：如果隨機過程 X(t),t T具有馬爾可夫性，即對任意正整數(shù)n及 t1 t2 tn T, P(X(tJ Xi， ,X(tn i) Xn 1) 0 ,者B有P X(tn)XnX(L)Xi,X(tm)XmPX(tn)XnX(tm)Xn1 ,則則稱 X(t),t T是馬爾可夫過程。(5)正態(tài)過程：隨機過程 X(t),t T ,若對任意正整數(shù)n及t1,t2, ,tn T ,n維正態(tài)分

9、布函數(shù)，則稱(X(ti),X(t2)X(tn)是n維正態(tài)隨機變量，其聯(lián)合分布函數(shù)是X(t),t T是正態(tài)過程或高斯過程。(6)維納過程：是正態(tài)過程的一種特殊情形。設(shè)W(t), t為實隨機過程，如果， W(0) 0;是平穩(wěn)獨立增量過程；對任意s,t增量W(t) W(s)服從正態(tài)分布，即W(t) W(s)N(0, 2t s) 20。則稱W(t), t為維納過程，或布朗運動過程。另外：它是一個 Markov過程。因此該過程的當(dāng)前值就是做出其未來預(yù)測中所需的全部信息。維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區(qū)間上變化的概率分布獨立于其在任一的其他時間區(qū)間上變化的概率。它在任何有限時間上的變化服從正態(tài)分布

10、，其方差隨時間區(qū)間的長度呈線性增加。(7)平穩(wěn)過程：嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)過程：X(t),t T ,如果對任意常數(shù) 和正整數(shù)n及t1,t2, ,tn T ,tl,t2, ,tn T , (X(ti),X(t2) X&)與(X(ti ), X&) X /)有相同的聯(lián)合分布，則稱X(t),t T是嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)過程。廣義平穩(wěn)過程：隨機過程X(t),t T ,如果 X(t),t T是二階距過程；對任意的t T ,mX(t)EX(t)常數(shù)；對彳E 意 s, t T,RX(s,t)EX(s)X(t) R* (t s),或僅與時間差t s有關(guān)。則滿足這三個條件的隨機過程就稱為廣義平穩(wěn)過程，或?qū)捚椒€(wěn)

11、過程，簡稱平穩(wěn)過程。第二章泊松過程一.泊松過程的定義(兩種定義方法)1,設(shè)隨機計數(shù)過程X(t),t 0 ,其狀態(tài)僅取非負整數(shù)值，若滿足以下三個條件，則稱：X(t),t T是具有參數(shù) 的泊松過程。X(0) 0 ；獨立 增量過程，對任意正整 數(shù)n ,以及任 意的tlt2tn T X(t2) X(ti),X(t3) X(t2),X(tn) X (tn 1 )相互獨立，即不同時間間隔的計數(shù)相互獨立；在任一長度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)t 0的的泊松分布，即(t)n對任思 t,s 0,有 P X(t s) X(s) n e n 0,1,Ln!EX(t) t, EX(t),表示單位時間內(nèi)時間A

12、發(fā)生的平均個數(shù)，也稱速率或強度。2,設(shè)隨機計數(shù)過程X(t),t 0，其狀態(tài)僅取非負整數(shù)值，若滿足以下三個條件，則稱：X(t),t 0是具有參數(shù) 的泊松過程。X(0) 0;獨立、平穩(wěn)增量過程；P X(t h) X(t) 1h o(h)oP X(t h) X(t) 2o(h)第三個條件說明，在充分小的時間間隔內(nèi)，最多有一個事件發(fā)生，而不可能有兩個或兩個以上事件同 時發(fā)生，也稱為單跳性。二.基本性質(zhì)1,數(shù)字特征mX(t) EX(t)t DX(t) RX(s,t)s( t 1) stt( s 1) s tBX(s,t) RX(s,t) mX(s)mX(t)min(s,t)推導(dǎo)過程要非常熟悉2 ,表示第

13、n 1事件A發(fā)生到第n次事件發(fā)生的時間間隔,Tn,n 1是時間序列，隨機變量 Tn服從參數(shù)為的指數(shù)分布。概率密度為f (t)e ,t 0 ,分布函數(shù)FT (t)1 e ,t 0均值0, t 0n 0, t 0為 ETn -證明過程也要很熟悉三.非齊次泊松過程到達時間的分布略到達強度是t的函數(shù)X(0) 0;獨立增量過程；P X(t h) X(t) 1P X(t h) X(t) 2(t)h o(h)oo(h)不具有平穩(wěn)增量性。t均值函數(shù) mX(t) EX(t)0 (s)ds定理:X(t),t 0是具有均值為 mX(t)(s)ds的非齊次泊松過程，則有P X(t s) X(t) n mX(t s)

14、mX(t) exp mX(t s) mX(t)n!四.復(fù)合泊松過程設(shè)N (t),t 0是強度為的泊松過程，Yk,k 1,2,L 是一列獨立同分布的隨機變量，且與N (t)N(t),t 0獨立，令X(t)Yk則稱X(t),t 0為復(fù)合泊松過程。k 1重要結(jié)論：X(t),t 0是獨立增量過程；若E(Yi2)則 EX(t)tE(K),_2DX(t)tE(Yi )第五章馬爾可夫鏈泊松過程 是時間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程，維納過程 是時間狀態(tài)都連續(xù)的馬氏過程。時間和狀態(tài)都離散的馬爾可夫過程稱為 馬爾可夫鏈。馬爾可夫過程的特性：馬爾可夫性或無后效性。即：在過程時刻t0所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在時刻t

15、to所處狀態(tài)的條件分布與過程在時刻在 有 關(guān)， 而 與 過PX(tn) Xn X(ti) Xi, ,X(tni)- P一.馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率1 .定義：設(shè)隨機過程Xn,n T，對任意的整數(shù)to之前所處的狀態(tài)無關(guān)。也就是說，將來只與現(xiàn)去 無 關(guān)。 表 示 為X(tn)XnX(tm) 4 in T和任意的ioJ,L ,in i I ,條件概率滿足P Xn 1in1Xoio,Xiii,L,Xnin PXniini Xnin，則稱 Xn,n T 為馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈的統(tǒng)計特性完全由條件概率P Xn i in i Xn in 所決定。n處于狀態(tài)i的條件下，下一步轉(zhuǎn)2 .轉(zhuǎn)移概率P Xn i

16、j Xn i相當(dāng)于隨機游動的質(zhì)點在時刻移到j(luò)的概率。記為pj(n)。則pj(n) P Xni j Xn i稱為馬爾可夫鏈在時刻 n的一步轉(zhuǎn)移概率。若齊次馬爾可夫鏈，則pj(n)與n無關(guān)，記為pj。P pj i, j I I I,2,L 稱為系統(tǒng)的一步轉(zhuǎn)移矩陣。性質(zhì)：每個元素pj0,每行的和為I。3 . n步轉(zhuǎn)移概率pj= PXmn j|Xm i ； P(n)%i, j I I I,2,L稱為n步轉(zhuǎn) 移矩陣。重要性質(zhì)：pj(n)pikpkj(nl)稱為C K方程，證明中用到條件概率的乘法公式、馬爾可夫性、齊次性。掌握證明方法:Pij(n)P XmnP Xm i,Xm n j mi m 111nj

17、 Xm i P Xm iP Xm i,Xm| k,Xmn jP Xm iP Xm i,Xm| k,Xmn jT P Xm i,Xmi kP Xm i,Xm| kP Xm(n l)(l)(l)Pkj(m l) Pik (m)Pkk Ik I(n l) PkjP(n) Pn說明n步轉(zhuǎn)移概率矩陣是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的n次乘方。4. Xn ,n T是馬爾可夫鏈，稱 Pj P Xo j為初始概率，即0時刻狀態(tài)為j的概率；稱Pj(n) P Xnj為絕對概率，即n時刻狀態(tài)為j的概率。PT(0)Pi, P2,L 為初始概率向量,PT(n)Pi(n), p2(n),L 為絕對概率向量。定理：Pi(n 1)PijI

18、Pj(n)PiPi(n)矩陣形式：PT (n) PT(0) P(n) Pj(n)i I定理：PXiii,X2i2,L,XninPiPiiLPii說明馬氏鏈的有限維分布完全由它的初1 n 1 ni I始概率和一步轉(zhuǎn)移概率所決定。二.馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類1 .周期：自某狀態(tài)出發(fā)，再返回某狀態(tài)的所有可能步數(shù)最大公約數(shù)，即 d GCD n: P；n) 0 。若d 1 ,則稱該狀態(tài)是周期的；若 di,則稱該狀態(tài)是非周期的。2 .首中概率：fj(n)表示由i出發(fā)經(jīng)n步首次到達j的概率。3 . fjfj表示由i出發(fā)經(jīng)終于(遲早要)到達j的概率。n 14 .如果fii 1 ,則狀態(tài)i是常返態(tài)；如果fii 1

19、,狀態(tài)i是非常返(滑過)態(tài)。5 . infii表示由i出發(fā)再返回到i的平均返回時間。若i ，則稱i是正常返態(tài)；若i ,n 1則稱i是零常返態(tài)。非周期的正常返態(tài)是遍歷狀態(tài)。6.狀態(tài)i是常返充要條件是p(n)；狀態(tài)i是非常返充要條件是n 0(n)1P 。n0 1 fH7.稱狀態(tài)i與j互通，ij,即ij且ji。如果i j ,則他們同為常返態(tài)或非常返態(tài)，；若i,j同為常返態(tài)，則他們同為正常返態(tài)或零常返態(tài)，且 i , j有相同的周期。(H)18 .狀態(tài)i是遍歷狀態(tài)的充要條件是 lim pi(n) 0。一個不可約的、非周期的、有限狀態(tài)的馬爾可 n夫鏈?zhǔn)潜闅v的。9 .要求：熟悉定義定理，能由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣

20、畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，從而識別各狀態(tài)。3 .狀態(tài)空間的分解1 .設(shè)C是狀態(tài)空間I的一個閉集，如果對任意的狀態(tài)i C ,狀態(tài)j C ,都有Pij 0 (即從i出發(fā) 經(jīng)一步轉(zhuǎn)移不能到達 j ),則稱C為閉集。如果C的狀態(tài)互通，則稱 C是不可約的。如果狀態(tài)空間不可約，則馬爾可夫鏈 Xn,n T不可約?；蛘哒f除了C之外沒有其他閉集，則稱馬爾可夫鏈Xn,n T不可約。2 . C為閉集的充要條件是：對任意的狀態(tài)i C,狀態(tài)j C,都有p：n) 0。所以閉集的意思是自C的內(nèi)部不能到達 C的外部。意味著一旦質(zhì)點進入閉集C中，它將永遠留在 C中運動。如果pH 1,則狀態(tài)i為吸收的。等價于單點i為閉集。3 .馬爾可夫鏈

21、的分解定理：任一馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I ,必可唯一地分解成有限個互不相交的子集D,C1,C2,L CnL的和，每一個Cn都是常返態(tài)組成的不可約閉集；Cn中的狀態(tài)同類，或全是正常返態(tài)，或全是零常返態(tài)，有相同的周期，且fij 1。D是由全體非常返態(tài)組成。分解定理說明：狀態(tài)空間的狀態(tài)可按常返與非常返分為兩類，非常返態(tài)組成集合D,常返態(tài)組成一個閉集 C o閉集C又可按互通關(guān)系分為若干個互不相交的基本常返閉集C1,C2,L CnL 。含義：一個馬爾可夫鏈如果從D中某個非常返態(tài)出發(fā)，它或者一直停留在D中，或某一時刻進入某個基本常返閉集Cn, 一旦進入就永不離開。一個馬爾可夫鏈如果從某一常返態(tài)出發(fā)，必屬于某

22、個基本常返閉集Cn,永遠在該閉集 Cn中運動。4 .有限馬爾可夫鏈：一個馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間是一個有限集合。性質(zhì)：所有非常返態(tài)組成的集合不是閉集；沒有零常返態(tài)；必有正常返態(tài)；狀態(tài)空間I D Ci C2 L Cn, D是非常返集合，Ci,C2,L Cn是正常返集合。不可約有限馬爾可夫鏈只有正常返態(tài)。4 . pijn)的漸近性質(zhì)與平穩(wěn)分布1 .為什么要研究轉(zhuǎn)移概率 Pi(n)的遍歷性？研究Pj當(dāng)n時的極限性質(zhì)，即P Xn j Xo i的極限分布，包含兩個問題：一是 lim pi(n)Jn J是否存在；二是如果存在，是否與初始狀態(tài)有關(guān)。這一類問題稱作遍歷性定理。如果對i,j I ,存在不依賴于i的極

23、限lim pjn) pj 0,則稱馬爾可夫鏈具有遍歷性。一個n不可約的馬爾可夫鏈，如果它的狀態(tài)是非周期的正常返態(tài)，則它就是一個遍歷鏈。具有遍歷性的馬爾可夫鏈，無論系統(tǒng)從哪個狀態(tài)出發(fā)，當(dāng)轉(zhuǎn)移步數(shù)n充分大時，轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j的概率都近似等于 pj,這時可以用pj作為pijn)的近似值。2 .研究平穩(wěn)分布有什么意義？判別一個不可約的、非周期的、常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v的，可以通過討論lim pi(n)來解決，n但求極限時困難的。所以，我們通過研究平穩(wěn)分布是否存在來判別齊次馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v鏈。一 個不可約非周期常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的充要條件是存在平穩(wěn)分布，且平穩(wěn)分布即極限分布nim pjn)

24、=, j i。3 . Xn,n 0是齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間為I , 一步轉(zhuǎn)移概率為 pj ,概率分布j,j I稱為ji pij馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，滿足i 1j 1 j I4 .定理：不可約非周期馬爾可夫鏈?zhǔn)钦７档某湟獥l件是存在平穩(wěn)分布，且此平穩(wěn)分布就是極限分-1布 ,j I。 推論：有限狀態(tài)的不可約非周期馬爾可夫鏈必存在平穩(wěn)分布。5 .在工程技術(shù)中，當(dāng)馬爾可夫鏈極限分布存在，它的遍歷性表示一個系統(tǒng)經(jīng)過相當(dāng)長時間后達到平 衡狀態(tài)，此時系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布不隨時間而變，也不依賴于初始狀態(tài)。6 .對有限馬爾可夫鏈，如果存在正整數(shù)k ,使pjk) 0,即k步轉(zhuǎn)移矩陣中沒有零元素，則該鏈?zhǔn)潜闅v的。

25、第六章平穩(wěn)隨機過程一.定義(第一章)嚴(yán)平穩(wěn)過程：有限維分布函數(shù)沿時間軸平移時不發(fā)生變化。2范平穩(wěn)過程：滿足二個條件：二階矩過程EX(t);均值為常數(shù)EX(t)常數(shù)；相關(guān)函數(shù)只與時間差有關(guān)，即 RX(t,t) E X(t)X(t)RX()。寬平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程，而嚴(yán)平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程。二.聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1 .定義：設(shè)X(t),t T和X(t),t T是兩個平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù)E X(t)Y(t一)及E Y(t)Xt)僅與時間差有關(guān)，而與起點t無關(guān)，則稱X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程。即，RXY(t,t) E X(t)Y(t)Rxy( ) RYX(t,t)

26、 E Y(t)Xt)Rx()當(dāng)然，當(dāng)兩個平穩(wěn)過程聯(lián)合平穩(wěn)時，其和也是平穩(wěn)過程。2 .相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：Rx(0) 0 ；Rx ( ) Rx(),對于實平穩(wěn)過程，Rx()是偶函數(shù)。Rx( )| Rx(0)非負定。若X(t)是周期的，則相關(guān)函數(shù) Rx()也是周期的，且周期相同。如 果X(t)是不含周期分量的非周期過程，X(t)與x(t )相互獨立，則limrx( ) mXmX。聯(lián)合平穩(wěn)過程 X(t)和 Y(t)的互相關(guān)函數(shù)，|rxy( )Rx(0)Ry(0) , |RYX( )RX(0)RY(0);Rxy( ) Ryx( ) o X(t)和Y(t)是實聯(lián)合平穩(wěn)過程時，則，Rxy( ) Ryx()。三

27、.隨機分析略四.平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性1 T1 .時間均值 X(t); 13m 隹 TX(t)dt時間相關(guān)函數(shù)：,X(t)X(t )m TrX(t)X(t一)dt2 .如果(X(t) EX(t) mx(t)以概率1成立，則稱均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值有各態(tài)歷經(jīng)性。如果(X(t)x(t» EX(t)X(t ) Rx()以概率1成立，則稱均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)有各態(tài)歷經(jīng)性。如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值和相關(guān)函數(shù)都有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過程是各態(tài)歷經(jīng)的或遍歷的。一方面表明各態(tài)歷經(jīng)過程各樣本函數(shù)的時間平均實際上可以認為是相同的；另一方面也表明EX(t)與EX(t)X(t一)必定與t無關(guān)，

28、即各態(tài)歷經(jīng)過程必是平穩(wěn)過程。3 .討論平穩(wěn)過程的歷經(jīng)性，就是討論能否在較寬松的條件下，用一個樣本函數(shù)去近似計算平穩(wěn)過程的均值、協(xié)方差函數(shù)等數(shù)字特征，即用時間平均代替統(tǒng)計平均。 具有各態(tài)歷經(jīng)性。只在一定條件下的平穩(wěn)過程，才均值各態(tài)歷經(jīng)性定理：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件是Tim2T (1 )(Rx() 2T 2T 2T Xmx2)d 0相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性定理:均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件是Tim12T 1(1 )B( 1)2T2T2T第七章平穩(wěn)過程的譜分析一.平穩(wěn)過程的譜密度推導(dǎo)過程：隨機過程 X(t),可積，所以存在FT,得F(X(t)dtX2(t)dt

29、對時間區(qū)間T,T取,2 Rx( ) d 0 B( 1) EX(t)X(t )X(t 1)X(t為均方連續(xù)過程，作截尾處理XT(t)X(t), t T0, t T由于,T)1)XT(t)均方XT(t)e j tdt2F( ,T) d還要取概率意義下的統(tǒng)計平均,X(t)e j tdt ,利用paserval定理及IFT定義該式兩邊都是隨機變量，取平均值，這時不僅要ljm12Tdt孫5 E 2T F(2,T) dljm1.E F( ,T) d 2T定義“m E12TX2(t)出為X(t),平均功率。Sx(1ljm 亓E F(,T)為 X(t),功率譜密度，簡稱譜密度。可以推出當(dāng)X(t),是均方連續(xù)平

30、穩(wěn)過程時，有l(wèi)jm1 E 2TX2(t)1 T出lTm彳te2一 2_X (t) E X (t)Rx (0)Sx( )d說明平穩(wěn)過程的平均功率等于過程的均方值，或等于譜密度在頻域上的積分。2 .平穩(wěn)過程的譜密度和相關(guān)函數(shù)構(gòu)成FT對。Rx()21Sx( )ejsx( )Rx( )e j d若平穩(wěn)隨機序列xn,n0,1, 2,L,則其譜密度和相關(guān)函數(shù)構(gòu)成FT對1Rx(n)一2Sx()ejndSx()Rx (n)en二.譜密度的性質(zhì)1 Sx(KRx()的 FT。 Sx()Rx( )e如果x(t),是均方連續(xù)的實平穩(wěn)過程，有Rx( )Rx(), Sx()是也實的非負偶函Sx( ) 2Sx()是的有理分

31、式，分母無實根。數(shù)，則一、1Rx( )cos( )d Rx( ) Sx( )cos( )d2 .譜密度的物理含義，Sx ()是一個頻率函數(shù)，從頻率域來描繪 x (t)統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)字特征，而x (t)是各種頻率簡諧波的疊加，Sx ()就反映了各種頻率成分所具有的能量大小。3 .計算可以按照定義計算,也可以利用常用的變換對a| I)e2a2 2acos( 0 )(0)(0) sin( 00)0)Rx( ) ej 0sx(o) Rx(T) Sx()ejt sin 01,0,三.窄帶過程及白噪聲過程的功率譜密度1 .窄帶隨機過程：隨機過程的譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)。2 .白噪聲過程：設(shè)x(t)

32、,t為實值平穩(wěn)過程，若它的均值為零，且譜密度在所有的頻率范圍內(nèi)為非零白常數(shù)，即 sx( ) N0,則稱 x(t),t為白噪聲過程。是平穩(wěn)過程。其相關(guān)函數(shù)為 Rx( ) No ()。表明在任意兩個時刻ti和t2, x(ti)和x(t2)不相關(guān)，即白噪聲隨時間的變換起伏極快，而過程的功率譜極寬，對不同輸入頻率的信號都有可能產(chǎn)生干擾。四.聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度互譜密度沒有明確的物理意義，引入它主要是為了能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關(guān)性。1 .互譜密度與互相關(guān)函數(shù)成FT對關(guān)系1jj .RXY ( )2-SXY ( )edSXY( )RXY ( )ed1 jj .Ryx( )Syx( )edsYX(

33、 )RYX( )ed22 .性質(zhì)Sxy ( ) Sxy ( ) Sxy ()的實部是的偶函數(shù)，虛部是的奇函數(shù)，SfX ()也是。2Sxy( )|sX( )|sY();若 X(t)和 Y(t)相互正交，有 Rxy() 0,則 Sxy( ) Syx( ) 0五.平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)1 .系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H()(也可以寫成 H (j ) 一般是一個復(fù)值函數(shù)，是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的FT。 j t1j tH ( ) h(t)e j tdt h(t) H ( )ej td2 .系統(tǒng)輸入X(t)為實平穩(wěn)隨機過程，則輸出Y(t)也是實平穩(wěn)隨機過程。即輸出過程的均值為常數(shù),相關(guān)函數(shù)是時間差的函數(shù)。且有RY()R

34、xy( ) h()Rx( ) h( ) h()說明輸出過程的相關(guān)函數(shù)可以通過兩次卷積產(chǎn)生。Rxy()Rx()h()的應(yīng)用：給系統(tǒng)一個白噪聲過程X(t),可以從實測的互相關(guān)資料估計線。 因 為Rx( ) No (),Rxy( )Rx()h(Nou)h(u)du N0h()，從而h()Rxy()3 .輸入輸出譜密度之間的關(guān)系Sy( ) H( )2Sx()H( )2 H( )H()稱為系統(tǒng)的頻率增益因子或頻率傳輸函數(shù)。有時，采用時域卷積的方法計算輸出的相關(guān)函數(shù)比較煩瑣，可以先計算輸出過程的譜密度，然后反FT計算出相關(guān)函數(shù)。Rx( )Sy( ) |H( )|2Sx( )Ry()另外 Rxy()Rx() h()，所以Sxy( ) H()Sx(),Sx() H()Sx()補充：排隊輪平均間隔時間=總時間/到達顧客總數(shù)平均服務(wù)時間=服務(wù)時間總和/顧客總數(shù)平均到達率=到達顧客總數(shù)/總時間平均服務(wù)率=顧客總數(shù)/服務(wù)時間總和一.當(dāng)顧客到達符合泊松過程時，顧客相繼到達的間隔時間T必服從負指數(shù)分布。對于泊松分布, 1 ,表本單位時間平均到達的顧客數(shù)，所以1表小顧客相繼到達的