隨即1-7題及答案匯總

1、題庫(1)一、判斷題(共10小題，每小題1分，共10分)1、隨機變量的均值反映了它取值的離散程度，它的方差反映了它取值的平均值。 (X)2、如果一個隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)過程，那么它一定是廣義平穩(wěn)的。(J)3、窄帶隨機過程的正交分量和同相分量在同一時刻是相互獨立的。(X)4、白噪聲通過一個線性系統(tǒng)，它的輸出服從瑞利分布。(X)5、正態(tài)隨機信號通過任何線性系統(tǒng)，輸出都服從正態(tài)分布。(J)6、隨機信號通過線性系統(tǒng)不會產(chǎn)生新的頻率分量，但隨機信號通過非線性系統(tǒng)則可能會產(chǎn)生新的頻率分量。(J)7、隨機信號的復(fù)信號表示的功率譜在正頻率部分是該隨機信號功率譜的兩倍，在負(fù)頻率部分則為零。(J)8、非線性系統(tǒng)普遍

2、具有“欺負(fù)”小信號的特點。(X)9、對于嚴(yán)格平穩(wěn)隨機過程，不相關(guān)和獨立是等價的。(J)二、證明1證明由不相關(guān)的兩個任意分布的隨機變量4、B構(gòu)成的隨機過程X«) = 4cos供/ + 5sin/是寬平穩(wěn)而不一定是嚴(yán)平穩(wěn)的。其中g(shù)f為常數(shù)，A、B的數(shù)學(xué)期望為零，方差相同。證：EX(O = EAcosco0t + EBsni= 0證明：Rx(t,t + T) = E(Acos/f + 3sin/f)(Acos/(f + r) + 5sin/(f +7)=EA2 cosco0t cos cot + t) + AB cos 知sin coQ(t + r)+ AB siii coQt cos /

3、(/ + r) + 5, sin gf sin coQ(t + r)=七A cosg/ cosg(/ + r) + EAEBc os a)Qt sm coQ(t + r) + fAEBsm co0tcosco0(t + r)+ EB2 snisni a)Q(t + r)2=EA2 cos coQt cos (f + r) + sin a)otsui a)0(t + r)(EX2 = DX + (EX)2 ) ="cos/T,EX2(f)<8 因此，是廣義平穩(wěn)的隨機過程。，G) = E(Acos為fi + B sin cOqIA cos coot2 + B siii co0t2)

4、(A cos a)ot5 + BsinG)=f(A2 cos 6Vl cos coot2 + AB cos 6Vl sin co0t2 + AB siii 為乙 cos gf2 + B2 siii coQt siii %，?)( A cos 例 & + 5 sin(=E(A'cos/fCos/G + A'Bcosq/iSin/G + A'Bsin co0tl cosa)Qt2 + AB2 sm a)ot sui dr2)cosr3+ E(A，6cosdVi cos/? + AB2 cos與" sui coQt2 + AB2 sin a)QtL cosa

5、)Qt2 +sin coQti sin a)ot2)sm 與4=EAy coscoQt cosa)Qt2 cosd)0/3+ EZ?3 sing" sin%/? sin例q可見，該隨機過程構(gòu)不成三階平穩(wěn)，因此不符合嚴(yán)平穩(wěn)過程的要求。2已知隨機過程X(f) =，>&),式中是常數(shù)，X#)是平穩(wěn)過程，并且相互;=1之間是正交的，若SxGy)表示X#)的功率普密度，證明X")功率譜密度為Sx3)=尤a；SXi()證：因Xj«)是平穩(wěn)過程，并且相互之間是正交的, 1=1號)=手 j。證明：&«) = EX(f)X(f + r)=可+ 工)&

6、#187;=1»=i=fa 舊 XXjQ + 初=±a;RXi(t) r=li=lSx(=j £。泳式"-”£空式助-8-x f=li=l三、計算題1有三個樣本函數(shù)占=2,x2(t) = 2cosf,芭(f) = 3Sinf組成的隨機過程X(t),每個 樣本函數(shù)發(fā)生的概率相等，是否滿足嚴(yán)平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)的條件？解：X(t) = xL (r), x2 (t), x3 (t) = 2,2 cosf,3 sui t；匕=1=月=g31塌乂0) = 5>«» = -(2 + 285，+ 3511。)由于數(shù)學(xué)期望與時間相關(guān)，不為常數(shù)

7、， «=13因此不滿足一階平穩(wěn)，也就不滿足嚴(yán)平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)的條件。2已知隨機過程X(/) = Acos(d + 0),為在0,2乃內(nèi)均勻分布的隨機變量，A可能是常數(shù)、時間函數(shù)或隨機變量。A滿足什么條件時，X(f)是各態(tài)歷經(jīng)過程？解：(1)考查Xt為平穩(wěn)過程的條件在A為常數(shù)或與不相關(guān)的隨機變量時，滿足仇 X(/)=0Rx (/,/ + r) = EX(t)X(t + r)= EA2 cos(<zX + 0)cos co(t + r) + 0= gfA'EcosQd + 20 + 口7)+ Ecoscot=EA2coscot=Rx(r)(2)考查X(/)為各態(tài)歷經(jīng)過程的條件在

8、A為常數(shù)或與不相關(guān)的隨機變量時，滿足一 1 7Ci 7CAX(J) = Inn I X(t)dt = Inn Acos胸 + <P)dt = Inn cosSin0T = 0 = EX(Z)l 7 - 2T J,.7 f 2T7 T a>r/一/X(/)X(r + r) =11111 -J-jx(r)x(r + r)dt = 11111 -i- I, A2 cos(d + 0)cos<y(/ + r) + <Pdt / /T A2=hill 7 j cOSQoJt + 20+ COT) + CQSCOTydt 一 rA =COS5只有在A為常數(shù)時，滿足X(f)X(f +

9、 r)= Ax(r)。欲使X(f)是各 2態(tài)歷經(jīng)過程，A必為常數(shù)。3平穩(wěn)高斯過程X«)的自相關(guān)函數(shù)為Hx«) = ge-kl,求X(f)的一維和二維概率 密度。解：£ =<8)= 11111/«)=山口6+1 = 0； mx = 0；= Rx(0)-Rx(<) =-172-ar-»xr-»x 2'2(1)X(f)的一維概率密度：fx(x,t) =- 聲(2)平穩(wěn)高斯過程n維概率密度等于n個以為概率密度的乘積。4對于兩個零均值聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程X。)和丫，已知呢=5,可=10,說明下 列函數(shù)是否可能為他們的自相關(guān)函數(shù)，

10、并說明原因。(1) RY(r) = -cos(6r)e-lrl (2) 與") = 5:，(3)R)= 6 + 4e(4)/?Y(r) =5sm(5r)(5)Rx (r) = 5w(r)e-3r(6)Rx (r)=5e|r|解：(。)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，僅有(1)、(2)、(3)、(6)滿足；(b) /?x(0)>|/?Y(r)|, (a)中僅有(2)、(3)、(6)滿足；(c)對于非周期平穩(wěn)過程有以=勺(0)-8(8)，(b)中僅有(6)滿足。因此，(6)是自相關(guān)函數(shù)。5設(shè)兩個隨機過程X")和丫各是平穩(wěn)的，且聯(lián)合平穩(wěn)?曹式中。為在°'2R內(nèi)均勻分布

11、的隨機變量，4是常數(shù)。他 們是否不相關(guān)、正交、統(tǒng)計獨立。解：EX（t）=EY（t）=O懇"） = &«）=今必知*RXY(r) = EX(t)Y(t + t) = Ecos(foQt + OJsin(4 I + 0力=sniderGr(r) = RxyO-七X(r)Ey(r) =coor w 0乙x（，）和y（/）是相關(guān)的，不是統(tǒng)計獨立的;又Rxy。）。，X（f）和丫是非正交的。6設(shè)正弦隨機信號X«） = Acos（m）,其中AN（0,g；）。令 7（0 = X0-0）,且A和。統(tǒng)計獨立，求：（1）X（。是否嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)？（2） x（r）是否廣義循環(huán)平穩(wěn)？

12、（3）當(dāng)。滿足什么分布時，丫（。是廣義平穩(wěn)信號？ 解：（1）由廠X （占,4）= PX（ti）xi9.X（tn）xn= PXg + 2）WX,X9 + 2）Wx/可知,它是嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)的,循 二&（為,.七%+ 2,乙+ 2）環(huán)周期為2。（2）由石X«） = 0為常數(shù)，周期可為任意值。RxQ + Jt）/到3（2加+"） + 3（皿周期為葭可知，它是廣義循環(huán)平穩(wěn)的， 循環(huán)周期為1。（3）由定理可知，當(dāng)。U0, 1時，Y（t）是廣義平穩(wěn)信號。題庫（2）一、填空1 .假設(shè)連續(xù)隨機變量的概率分布函數(shù)為F（x）則F（-8）=o,F（+oo）=12 .隨機過程可以看成是一（_

13、隨時間t變化的隨機變量_）的集合，也可以看成是 （三樣本函數(shù)）的集合3 .如果隨機過程X(t)滿足(任意11維分布不隨時間起點不同而變化)，則稱 X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程，如果隨機過程X(t)滿足(均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與時間差相關(guān))，則稱X(t)為廣義平穩(wěn)隨機過程4 .如果一零均值隨機過程的功率譜，在整個頻率軸上為一常數(shù)，則稱該隨機過程為(白 噪聲)該過程的任意兩個不同時刻的狀態(tài)是(不相關(guān)的)5 .寬帶隨機過程通過窄帶線性系統(tǒng)，其輸出近似服從 (高斯(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài))一分布, 窄帶正態(tài)噪聲的包絡(luò)服從(瑞麗)分布，而相位服從(均勻)分布26 .分析平穩(wěn)隨機信號通過線性系統(tǒng)的兩種常用的方法是_(J巾

14、激響應(yīng)法,頻譜法)7 .若實平穩(wěn)隨機過程相關(guān)函數(shù)為Rx( t )=25+4/( 1+6 T ),則其均值為一(_5或-5_), 方差為(4) 8 .匹配濾波器是一(輸出信噪比最大)作為準(zhǔn)則的最佳線性濾波器 二、判斷1 .若平穩(wěn)隨機過程在任意兩個不同時刻不相關(guān)，那么也一定是相互獨立的2 .如果一個隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)過程，那么它一定是廣義平穩(wěn)的對3 .正態(tài)隨機信號通過任何線性系統(tǒng)輸出都服從正態(tài)分布對4 .寬平穩(wěn)的高斯過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程錯5 .對于未知的非隨機參量，如果有效估計存在，則其有效估計一定是最大考驗估計 對三、計算題1.求隨機相位正弦信號X(t) = cos®。什到的功率譜密度

15、，為在兀2內(nèi)均勻分布的隨 機變量，。是常數(shù)。解：Rx (t, t+ t ) =EX(t) X(t+ t )=E cos(coof+0) coscoO(r+ t )+0/ =1/2COSCD0 T ；Sx(w)= f Rx( td t =1/2 f coscoo t e dr = n /2 S (w+coo)-0°.ooS (w-coo) jn2 .已知隨機過程x (t) =E aiXi(t),式中a1是常數(shù)，Xi是平穩(wěn)過程，并且相互之間是正交的，若Sxi (w)表示Xi(t)的功率譜密度，證明，X功率譜密度為2Sx (w) =E 3i Sxi (w)解：因Xi(t)是平穩(wěn)過程，并且相

16、互之間是正交的密度，Rij(T)=O, (iWj)nnRx(t)= EX(t) X(t+T)=EL aiXi (t) E atXi (t+ T ) i-11-1n2n 2=EL ai EXi(t)Xi(t+T)= YBi Rxi ( T ) i-lI800 nnS/o)=j上3行=2>陽方(。)OOoo f = l7=13 .由X (t)和Y (t)聯(lián)合平穩(wěn)過程定義了一個隨機過程V (t) =X (t) cos(oot+Y (t) smo)ot求：(1) X (t)和Y (t)和的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)滿足那些條件可使是平 穩(wěn)過程。(2)將(1)的結(jié)果用到V (t),求以X (t)和Y (

17、t)的功率譜密度和互譜密度表 示的的功率譜密度。(3)如果X (t)和Y (t)和不相關(guān)，那么V (t)的功率譜密度是什么？解：(1) £P«) = EX(t)cosay + Z(r)suifr = £X(r) cos(y0r + 瓦f(r)sin(oQt欲使司P(r)與時間無關(guān)，不隨時間函數(shù)cos4/、sin。變化，X(r)和丫的數(shù)學(xué)期望必須是 EX(f) = 0,Er(r) = 0 :4("+1)=現(xiàn)次)咋+力=£ (r)cos<y0r + Y(t) sm<yor X(t + r)cosd?0(r + r) + Y(t + r)

18、siii<y0(r + r)=EX(t)X(t + r)cos(y0rcoscy0(r + r) + EX(t)Y(t + t)cosq/疝%。+ r)+ EY (f)X (t + r) sin a)Qt cos ? (f + r) + EY(f)Y (t + r) sin gf sin 4 (r + r)=Rx (r) coscos 外(f + t) + &仃(r)cos a)Qt sm coQ(t + r)+sm a)Qt cos coQ(t + r) + 號(r)sin 6yorsmd(r + r)在&C) = &Q),&t(玲=-時，上式可寫作與時

19、間起點無關(guān)的表達(dá)式：&-(r) = 2?r(r) cos <yor + 2?AT(r)sin(v01因此，當(dāng)用X(f) = o,與YQ) = 0, &(7)=號,&) = 時，PQ)是平穩(wěn) 過程。(2)對與=2?v(r)coscoqt + &丁(r)sinqr兩邊同時作傅氏變換：XI Rx (r) cos 4 r + &T (r)sm a)Qreci rS* (出)=j & (r)e-，&'dr = =5 Sr (0q ) + Sf (ty + g )+3 SAT(<y-<y0) + SAT(<y+<

20、y0)(3) XQ)和y(f)不相關(guān)，P的互功率譜密度為零。s> 3) =s( 3 - 4)+sx 3+4)題庫(3)一、填空1 .廣義各態(tài)歷經(jīng)過稱的信號 一定是廣義平穩(wěn)隨機信號，反之，廣義平穩(wěn)的隨機信號 不一定是廣義各態(tài)歷經(jīng)的隨機信號2 .具有高斯分布的噪聲稱為 高斯噪聲 具有均勻分布的噪聲叫均勻噪聲，而如果一個隨機過程的概率譜密度是常數(shù)，則稱它為 白噪聲3 .白噪聲通過都是帶寬的線性系統(tǒng)，輸出過程為高斯過程4 .平穩(wěn)高斯過程與確定的信號之和是高斯過程，確定的信號可以認(rèn)為是該過程的 數(shù)學(xué)期望5 .平穩(wěn)正態(tài)隨機過程的任意概率密度只由 均值和 協(xié)方差陣確定二、判斷1 .隨機信號的均值計算是

21、線性計算，而方差則不是線性計算2 .非線性變換不可增加新的頻率分量，則線性變換會增加新的頻率分量3 .對于零均值的正態(tài)隨機過程來說，隨機信號的解析信號只存在正的三、計算題，1.己知正態(tài)平穩(wěn)隨機過程X (t)功率譜密度為Gx (w) = (14w2 +14) /(w 4.卜5w +4) (1)求X (t)的均值與方差(2)求X (t)的自相關(guān)函數(shù)(3)求X (t)的一維概率度求相關(guān)時間_°凰22提不：e >2 q / ( q +w )解:G%(0)=14+ 14 _ 14a/ + 5co2 +4 # + 4鳥g-爾in = lim/?v(r) = 0 r->«=

22、0ax = %(0)= J均值和方差分別為:mx =0概率密度:N(0,3.5)2 .假設(shè)功率譜密度為l/2n的高斯白噪聲通過如圖所示的RC電路，（1）求輸出 Y的功率譜密度（2）求輸出Y的自相關(guān)函數(shù)Ry（t）（3）求輸出Y的一維 概率密度CT Y(t)解：根據(jù)電路圖可求得RC電路的沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)分別為h(t) =易知系統(tǒng)是線性時不變的。根據(jù)題意：功率譜密度為常數(shù)的高斯白噪聲是平穩(wěn)白噪聲；即輸入是平穩(wěn)隨機過程的，而本系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，即當(dāng)t<0時，h（t） = 0 ,假定輸入始終作用于系統(tǒng) 的輸入端，則輸出一般是平穩(wěn)的；如果輸入在t= tl時才作用入系統(tǒng)的輸入端，則輸出 將有一個

23、瞬態(tài)過程，瞬態(tài)過程是非平穩(wěn)的，只有其達(dá)到穩(wěn)態(tài)時輸出隨機過程才是平穩(wěn)的。（1）輸出的功率譜密度為%3 =牛|3)吟（2）輸出的自相關(guān)函數(shù)為（3）總平均功率為概率密度:N（0, 73 .設(shè)隨機過程X（t戶Acos總時，其中A是均值為0,方差為2的正態(tài)隨機變量。 求（1） X（t）的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)；（2） X（t）的概率密度函數(shù)（3） X（t）是否為 廣義平穩(wěn)隨機過程？3、(1)EX (r) = EA cos 7rt = EA cos 7rt = 0Rx (f + cJ) = EA cos 7r(t + r)A cos R =EA2 COS 7T(t + T)COS 7Vt=2 COS+ T)

24、COS 7lt=COS 7T(2t + T)+ COS 71T與2有關(guān)(2)注意正態(tài)隨機變量的線性變換仍然是正態(tài)隨機變量。Cx (r+r,r) = Rx (r + 7 j)加、(r + r)mx(r) =COS 7T(2t + r) + COS 71TCx (t.t) = Rx (t,t) = cos(2加j +1EX(1) = O, VarX(i) = 2i .(-y-°)2“"E '2111 一工."=5 " F 2(3)因為Rx« + 7，f)= COS；F(2r + Tj + COS"與f有關(guān)，所以X(t)不是廣義平穩(wěn)

25、隨機過程。4 .試判斷下列函數(shù)哪些可作為實平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)，為什么？(Jit)(Du (t+2) -u (t-1) (2) 5e (3) Itle (4) Sa4、(i) w(r + 2)-w(r-l)該函數(shù)不具有偶對稱，故非自相關(guān)函數(shù)。(2)mx (t- r)h(r)dr該函數(shù)不具有偶對稱，故非自相關(guān)函數(shù)。"*卜I”W|尺不成立，故非自相關(guān)函數(shù)。(4) Sa2(")偶函數(shù)，囚|我(。)，連續(xù)。是自相關(guān)函數(shù)。題庫(4)一、填空題(每空2分，共20分)1 .白噪聲是指功率譜密度在整個頻域內(nèi)均勻分布的噪聲。2 .線性系統(tǒng)的分析方法有微分方程法、頻譜響應(yīng)法、頻譜法。而自相關(guān)函

26、數(shù)只與t13 .對于嚴(yán)格平穩(wěn)的隨機過程，它的均值和方差是與時間無關(guān)的常數(shù), 和t2的差值有關(guān),而與本身的取值是無關(guān)的。4 .沖擊響應(yīng)法分析線性輸出，其均值為5 .偶函數(shù)的希爾伯特變換是奇函數(shù)。6 .窄帶隨機過程的互相關(guān)函數(shù)公式為R,、=Ry（r） sin /7 一八丫（t） c osr二、判斷題（每題1分，共5分）1 .嚴(yán)格平穩(wěn)一定廣義平穩(wěn)，廣義平穩(wěn)不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)。（對）2 .功率譜密度是從時域上描述隨機過程很重要的數(shù)字特征。（錯）3 .相關(guān)性越弱，功率譜越寬平；相關(guān)性越強，功率譜越陡窄。（對）4 .白噪聲通過有限帶寬的線性系統(tǒng)后，輸出過程必為高斯過程。（對）5 .平穩(wěn)高斯過程與確定信號之和

27、是高斯過程，確定信號可以認(rèn)為是該過程的均值。（錯）三、簡答給出各態(tài)歷經(jīng)的定義及其物理意義如果隨機過程的各集平均都以概率1等于其相應(yīng)的各種時平均，則稱此過程是各態(tài)歷經(jīng)的。 其物理意義是：過程的每個樣本函數(shù)經(jīng)歷了隨機過程各種可能的狀態(tài)，也就是說從隨機過程 的任何一個樣本函數(shù)都可以獲得隨機過程的全部統(tǒng)計信息。四、證明1 .證明平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)在TR時的最大值 證明：f(X(r)±X(r+r)2>0Ex2(r)±2X(0X(f + r) + X2(r + r)>0對于平穩(wěn)過程，有EX2(t) = EX2(t-t)=Rx(O) =>2/?x(0)±2

28、/?x(r)>0 =>/?x(0)>|/?x(r)|2 .試證明X (t=) N(t) cos30t為非平穩(wěn)隨機過程0() = EXQ + t)XQ)=EN(t + t) cos coo (Z + T)N(t) cos cooZ)=Rn (t) cos CO0(2r + T)+ cos co0t)五、計算，1 .設(shè)一個平穩(wěn)隨機序列X (11)的自相關(guān)函數(shù)為。6 (m),線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是h (n) =t , n»O，MvL求輸出y (n)的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度2 .已知一零均值的平穩(wěn)隨機過程輸入到圖示的低通濾波器(無圖)，設(shè)該隨機過 程的自相關(guān)函數(shù)為(1)

29、Rx(tl,t2)= 8 (tl-t2) =2 (t)(2) Rx (t) =2x -e-pt分別求該函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)Rx ( t )分別求自相關(guān)函數(shù) 解:由題意可知其沖擊響應(yīng)(0 =八”(，)，其中a = l/RC。則系統(tǒng)的頻率響MH （co） = -4 + /（1）有：|(0)廣=不cr+ CDGK（0）=（ R、（co）e'5dc（1）、 J=| 8（0）e h,rdT = 1J -oo所以飛(工)=£j 口（C0）| Gx（CD）uEdco a -咋| =e 11 9Gx(ct)=| Rv(co)e jwtcItJ -8= £>%比2時一，c/所以此(

30、T)/?1 (t ) = G 丫( 3 )e-,c，K <It2兀_6 廣附_且-i-(p/ot)2L a。y=10,說明下列函23 .對于兩個均值聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程x (t), y (t)已知。x=5, 數(shù)是否可能為他們的自相關(guān)函數(shù)并說明原因(1) Ry (t) =cos (6t) e',Tl (2) Rx ( t ) =5sm(3 t )/3 t (3) Ry ( t ) =6+4e-3t2(4)Rx( t ) =5 sm(5 t )(5) R ( t ) =5u (t) e-3T (6) Rx (t) =5e-1T12,11對于兩個零均值聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程xs和丫，已知送=5尤

31、=10,說明下列函數(shù)是否可能為他們的白相關(guān)函數(shù),并說明原因。（1） Ry 3 = -cos(6r)b' Q) 號(r) = 6 + 4。-獷(4) 勺()二5(丁)，尸討(6)R, (r) =3r /?x(r)=5sm(5r) 砥(玲=56第題庫（5）一、 填空1 .按照時間和狀態(tài)是連續(xù)還是離散的，隨機過程可分為四類，這四類是連續(xù)時間隨即 過程、離散型隨機過程、隨機序列、離散隨機序列。2 .如果隨機過程一任意維概率密度不隨時間起點的變化而改變，則稱X（t）為嚴(yán)格平 穩(wěn)隨機過程。3 .如果平穩(wěn)隨機過程均值和相關(guān)函數(shù)具有遍歷性一，則稱該隨機過程為各態(tài)歷經(jīng)過稱。4 .如果均勻分布白的噪聲通過

32、線性系統(tǒng)，輸出服從正態(tài) 分布。5 .正態(tài)隨機過程的任意n維分布，只有由、二階矩 確定。6 .窄帶正態(tài)隨機過程的相位服從均勻分布,幅度服從任意分布 o7 .隨機過程相關(guān)時間反應(yīng)了隨機過程變化的快慢程度，相關(guān)時間越長，過程的取值變化 越慢，隨機過程相關(guān)時間反應(yīng)了隨機過程變化的快慢程度，相關(guān)時間越短, 過程的取值變化越快,8 .平穩(wěn)隨機過程信號通過線性系統(tǒng)分析，輸入，輸出過程的自相關(guān)函數(shù)可表示為 ，輸出與輸入過程中功率譜之間的關(guān)系可表示為 o二、判斷題1 .隨機變量的均值反應(yīng)了他的取值統(tǒng)計平均值，它的方差反應(yīng)了它的取值偏離均值的平均 值。（V）2 .如果一個平穩(wěn)隨機過程的時間平均值等于統(tǒng)計平均值，實

33、際相關(guān)函數(shù)等于統(tǒng)計相關(guān)函數(shù), 那么它是各態(tài)歷經(jīng)過稱。（V）3 .對于均方連續(xù)的隨機過程他的每一個樣本函數(shù)也都是連續(xù)的。（X）4 .白噪聲通過一個理想的低通濾波器，它的輸出過程仍為白噪聲，但分布變成了正態(tài)分布。 （X）5 .對于平穩(wěn)正態(tài)隨機過程的任意n維分布只由它的均值和自相關(guān)函數(shù)確定。（V）6 .正態(tài)隨機過程通過非線性系統(tǒng)輸出仍為正態(tài)分布（X）7 .隨機過程的嚴(yán)平穩(wěn)是指任意維概率與時間無關(guān)（X）8 .對于零均值的正態(tài)隨機過程正交、不相關(guān)和獨立，3個概念是等價的（V） 三、計算9 .15設(shè)兩個隨機過程XQ)和y各是平穩(wěn)的，旦聯(lián)合平穩(wěn)Ar) = cos(ry0r+ 0)=sin(gf +)式中，必

34、為在0.2/內(nèi)均勻分布的隨機變量，4是常數(shù)。他們是否不相關(guān)、正交、統(tǒng) 計獨立。解：EX(t) = EY(r) = 0&x(r) = J?r(r) = cosd?0rsinr 豐 07?XT(r) = EX(t)Y(t + r) = Ecos(% + 初 sin(% + 初=sinCn.(r) = %(7)- EX(t)EY(t)=工和1()是相關(guān)的，不是統(tǒng)計獨立的;又R.(r) * 0, X(t)和Yt是非正交的。四、證明若兩個隨機過程X和Y(t)均不是平穩(wěn)隨機過程，X(t)=A (t) cost, Y(t)= B (t) suit,式中 隨機過程A (t), B (t)是相互獨立的零

35、均值平穩(wěn)隨機過程并有相同的相關(guān)函數(shù)，證明Z(t尸 X (t) +Y (t)是廣義平穩(wěn)過程。題庫(6)一、 填空1 .如果一零均值隨機過程功率譜在整個頻域軸上為一常數(shù)，則稱該隨機過程為 白噪聲 該過程的任意兩個不同時刻的狀態(tài)是不相關(guān)的 O2 .平穩(wěn)隨機過程信號通過非線性系統(tǒng)分析常用的方法是直接法和 變換法 與級數(shù)展開法。3 .窄帶正態(tài)噪聲，加正弦信號在信噪比遠(yuǎn)小于1的情況下包絡(luò)趨向什么分布？ 瑞利分布，而相位則趨向什么分布？ 均勻分布 o4 .典型的獨立增量過程有 泊松過程 和 維納過程5 .對于無偏估計而言 均方誤差總是大于等于某個量，這個量稱為克拉美-羅(Cramer-Rao)下限 達(dá)到這個

36、量的估計稱為有效估計。二、多選題1 .X為X.)希爾伯特變化，下列表示正確的是(ACD A)A. .X(t)與.X(t)功率譜相等B. Rx ( t ) =Rx ( t )C.X(t)=X(t)&) 1/ntD.X(t)與.X(t)在同一個時刻相互正交2 .白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)，下列性質(zhì)正確的是(AC )A.輸出隨機信號的相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)帶寬成反比B輸出隨機信號的相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)帶寬成正比C系統(tǒng)帶寬越窄，輸出隨機過程越緩慢D系統(tǒng)帶寬越窄，輸出隨機過程越緩慢劇烈3 .設(shè)平穩(wěn)隨機序列x(n)通過一沖激響應(yīng)h (n)線性系統(tǒng)，其輸出用y (n)表示，那么下列 正確的是(AD Rf 8A.E

37、Y(n)= EX(n) L h (k)B. RXY(m) =Rx (m) Gh (m)n=_ ooC. RYX (m)= RXY(m)D. RY(m)= RYX (m) h (-m)三、判斷1 .隨機信號的均值計算是線性運算而方差則不是線性運算T2 .如果隨機過程即時間平均和集合平均是依概率1是相等的，則該隨機過程具有便力性F3 .平穩(wěn)隨機信號在-8時刻起加入物理可實現(xiàn)線性系統(tǒng)，即輸出為平穩(wěn)隨機信號；平穩(wěn)隨 機信號在t=-8時刻起加入物理不可實現(xiàn)線性系統(tǒng)，即輸出為非平穩(wěn)隨機信號F4 .隨機信號的解析信號只存在正的功率譜T5 .如果對隨機參量的估計是有效估計，那么這個估計必定是最大似然估計F6

38、.廣義各態(tài)歷經(jīng)隨機信號不一定廣義平穩(wěn)，廣義平穩(wěn)隨機信號也未必是廣義各態(tài)歷經(jīng)F7 .希爾伯特變換將改變隨機信號統(tǒng)計平均功率F8 .系統(tǒng)等效噪聲帶寬由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和輸入信號功率共同決定F9 .高斯隨機過程的嚴(yán)平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)等價T10 .隨機過程可以看成一組確知時間函數(shù)的集合，同時也可以看成是一組隨機變量的集合T 四、解釋名詞1.各態(tài)歷經(jīng)過程：指隨機過程的任一樣本特性都經(jīng)歷了其它樣本所經(jīng)歷的狀態(tài)，即可用任一樣本的時間平均特性來等效整個過程的統(tǒng)計特性。2窄帶白高斯噪聲：指功率譜密度滿足窄帶特性(中心頻率遠(yuǎn)大于帶寬)，且在其帶寬內(nèi)功率譜密度的值為常數(shù))，過程的概率分布滿足高斯概率分布特性的隨機過程。3

39、嚴(yán)格平穩(wěn)過程：指隨機過程的所有統(tǒng)計特性都不隨具體觀察時刻的改變而改變的 特性。4.多維聯(lián)合分布函數(shù)： 指多個隨機變量的聯(lián)合統(tǒng)計特性，同時大于等于或小于某 一個值或不同值的概率！表示多個隨機變量的概率關(guān)聯(lián)。五、證明X（t尸acos （Qt+。）a為常數(shù)，0在（0, 2元）均勻分布，C為隨機變量，概率密度數(shù) f（ W）為偶函數(shù)，試證明X（t）的功率譜密度為冗a2 f （w）解：證明：/也也)=Ea2 co5(Oi + 48s(Cg + &)=一9cosGR +%) + 29 + cos CRl - %)2 cos&+幻+ 26卜/(G)d%G+土 J。鬣眸&一芍)/(dG2

40、 c22U -9f2 g=0 + J cosm(2-4)/(何862 F以2 8=一 j CQS/(£(ds（4分）2 -to備 = < j-J)八 d 仍乙2 8=一 J 爾占0'+。)+/0'一如如0(G)dG 2 -7rd2二 乙7Ta2 . 一 、 =乙（4分）六、計算1.若隨機變量X、Y隨機變量分布律為表中所示，（1）求X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)和密度函 數(shù)（2）求X與Y的邊緣分布律（3）求2=乂丫分布律（4）求X與Y相關(guān)系數(shù)Y x-10100.07080.1510.080.320.20：(1)尸(x, y) = 0.07w(x,y + l) + 0.18w

41、(x, y ) + 0.15w(x,y-l)+ 0.08m(x-1,)j + 1) + 0.32 (x- 1, y) + 0.20 (x -1, y-1)/(x,y) = 0.075(x,y + l) + 0.185(x, y) + 0.155(x,y-l) + 0.08(x-l,y + l) + 0.325(x-l,y) + 0.205(x-l,y-l)(2)X的分布律為p(x =0) = 0.07 + 0.18 + 0.15 = 0.40P(X=1) = 0.08 + 0.32 + 0.20 = 0.60y的分布律為產(chǎn)(丫 = -1) = 0.07 + 0.08 = 0.15p(y = 0) = 0.18 + 032 = 0.50P(y = l