關于高一數(shù)學高一數(shù)學北師大版期末復習教案

1、一 . 教學內(nèi)容：高一數(shù)學北師大版期末復習本講是必修二的復習提要， 主要內(nèi)容包括： 立體幾何初步與平面解析幾何初步。二 . 學習目標：1、立體幾何局部：通過對空間幾何體的整體觀察，認識空間圖形；以長方體為 載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系；能用數(shù)學語言表述有關平行、 垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進行論證；了解一些簡單幾何體的外表積與體 積的計算方法；2、解析幾何局部：通過在平面直角坐標系中研究直線和圓的方程代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究其幾何性質(zhì)及其相互位置關系；了解空間直角坐標系；體會數(shù) 形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。三 . 知識要點：I 、立體幾何初步一空間

2、點、線、面的位置關系1點與直線：點P在直線I上，記作P l ;點P在直線I外，記作P l;2、點與平面：點 P 在平面 上，記作 P ；點 P 在平面 外，記作 P ；3、直線與直線：直線l,m共面，包括平行記作1 / m和相交記作11 m P ； 直線1,m異面；4、直線與平面： 直線 l 在平面 內(nèi)，記作 l ；直線 l 在平面 外，包括平行 記 作 l/ 和相交記作 l I P ；5、 平面與平面：平面與平面 相交記作 I l 或平行記作 /注意：中學立體幾何中，如果不加特殊說明，兩個平面、兩條直線均不包括重合。二空間圖形的公理1、公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線

3、上所有的點都 在這個平面內(nèi)即直線在平面內(nèi) ；2、公理 2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面即可以確定一 個平面；3、公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過 這個點的公共直線；4、公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行。5、等角定理：空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等 或互補。三空間關系的判定與性質(zhì) 空間平行關系的判定與性質(zhì)1、直線與平面平行的判定：假設平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么 該直線與此平面平行；2、平面與平面平行的判定：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平 面，那么這兩個平面平行；3、直線與平面平行

4、的性質(zhì)：如果一條直線與一個平面平行，那么過該直線的任 意一個平面與這個平面的交線與該直線平行；4、平面與平面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它 們的交線平行 空間垂直關系的判定與性質(zhì)1、直線與平面垂直的判定：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直, 那么這條直線和這個平面垂直；2、平面和平面垂直的判定：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這 兩個平面互相垂直；3、直線與平面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線 平行；4、平面與平面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于 它們的交線的直線垂直于另一個平面；四簡單幾何體的面積與

5、體積1、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：2、簡單多面體的側(cè)面積：2S直棱柱側(cè)ch, S正棱錐側(cè)* ch 'h '為斜高,S正棱臺側(cè)說明：圓臺側(cè)面積公式可作為旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積統(tǒng)一公式。21c c'h'，其中，c',c,h'為上、下底周長和斜咼說明：正棱臺的側(cè)面積公式可作為簡單多面體的側(cè)面積統(tǒng)一公式3、體積： 匕=懣忌氣隅么氣傀洛十陰忑磯吟爻說明：臺體的體積公式可作為體積公式的統(tǒng)一公式。II、解析幾何初步一直線與直線的方程1、斜率的計算公式：k y2y1X 2X12、直線的方程:點斜式：y y。 kx Xo2、兩條直線垂直：3、兩條直線的交點:4、點到直線的距離:聯(lián)立兩

6、條直線的方程,AXo By。C.A2B2求方程的公共解;斜截式：y kx b兩點式：y%xyy1X2X1截距式：仝y 1a b般式：Ax By C 0(A2 B20)二兩條直線的位置關系1、兩條直線平行：A1B2 A2B1 ；三圓與圓的方程1圓的方程:標準方程：(x a)2 (y b)2 r2一般式方程：x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)2、直線與圓的位置關系：相離：do i r或0相切：d。i r或 0相交：0 d。i r或 03、圓與圓的位置關系：相離：dO O' R r相外切：do o' R r相內(nèi)切：do o' I R r |相交：| R r

7、 | do o R r內(nèi)含：do o' | R r |(四)空間直角坐標系1確定空間點的坐標的方法：由該點 P向xOy平面作垂線，垂足 M的橫、縱坐 標即為點P的橫、縱坐標；假設點P與z軸在xOy平面的同側(cè)，貝V z =|PM| ;假設點P 與z軸在xOy平面的兩側(cè)，那么 z = |PM|;假設點P在xOy平面上，那么z = 0;2、空間兩點的距離公式：do O' 、._(x xj2 (y yj2 (z zj2四考點與典型例題考點一共點、共線或共面問題例1.點P、Q R分別在三棱錐 A BCD的三條側(cè)棱上，且 PQA BC= X，QRH CD =Z, PFH BD= Y。求證：

8、X、Y、Z三點共線。證明：t P、Q R三點不共線， P、Q R三點可以確定一個平面a。 X PQ PQ a，A Xa，又 X BC, BC 平面 BCD 二 X 平面 BCD點X是平面a和平面 BCD的公共點。同理可證，點 Y、Z都是這兩個平面的 公共點，即點X、Y、Z都在平面a和平面 BCD的交線上。說明：證明點共線的根本方法是利用公理 2,證明這些點是兩個平面的公共點。證明線共點的根本方法是證明其中兩線的交點在第三條直線上；證明面共點的基 本方法是證明兩個平面的交線與第三個平面相交?？键c二平行關系的研究例2.如圖，在正方體 ABC A1B1CD中，P是CD的中點，M N分別是對角線 AC

9、 DA上的點，且滿足 AM： MC= DN： NA = 1 : 2。證明：(1) BD/ MN(2) BD/平面 MND(3) 平面PBC/平面MND證明：(1)連結(jié)DN并延長交AD于 Q, ADNMA DQN 且 DN： NA= 1 : 2， Q為AD的中點，連QB交AC于M，易證M與M重合，在厶 QDB 中，t QN : ND= QM： MB= 1 : 2， MN/ BD。(2) 由(1)證得 MN/ BD,又 BDi皐面MND M應面MND BDi /面 MND(3) 連結(jié) BC,t AiBCD四邊形AiBCD是平行四邊形， AiD/ BiC,. AiD/面 PBC。延長DM交AB于H,

10、那么H為 AB中點，取 CD中點L,易證 DH纟BL, BPB, D H/ PB，二 D H/面 PBC,又 AiD與DH是面MND勺兩條相交直線，故面 PBC/面MND說明：判斷平行關系主要根據(jù)平行的判定定理和定義；另外，可根據(jù)面面平 行的性質(zhì)證明線線平行，根據(jù)面面平行的傳遞性、垂直于同一條直線的兩個平面 平行等結(jié)論可證明面面平行(具體可參看第i4講)考點三垂直關系的研究例3.直角 ABC所在平面外一點 S,且SA= S吐SC D為AC中點。求證：面SAC面ABC假設直角邊 B心BC求證：BD 面SAC證明：(i)連結(jié)SD,那么由S心SC可知：sA= aD+sD 且 SD丄 AC ( * )

11、。又 BD是 Rt ABC斜邊上中線，故 BD= AD,從而 SA" = AD+ SD = BD + SD。又 SA= SB,故 SB= BD+ SD，即 SD丄 BD ( * )。由(* )、(* )可知：SDL平面 ABC故平面 SACL平面 ABC(2)假設B心BC貝9 BD±AC;又由(i)可知：SD丄平面ABC從而有：SD丄BD, 故BD丄平面SAC說明：垂直關系中最重要的是線線垂直，無論是線面垂直還是面面垂直，大多 數(shù)情況下都是通過線線垂直研究的；但證明線線垂直除了定義法，計算法外，很 多情況下又是通過線面垂直進行判斷的?？键c四 面積和體積的求解例4.正六棱柱的

12、一條較長對角線長是 i3cm,側(cè)面積為i80cm2，求棱柱的體積。 解：設底面邊長為a,高為h,那么S側(cè)=6ah = i80,故ah = 30。因為較長對角 線長為i3,故有：i3?=( 2a) + h，解得：a= 6或2.5。代入V 3 a2 6 h 45、3a 225 3 或 270、3(cm3)42o說明：求面積和體積的問題一般先將其分解為求線段長度和夾角兩種基此題 型，然后再利用相關公式進行求解。在求線段和夾角前需要考慮選擇哪個公式(面積公式或體積公式)，這樣才能確定求哪條線段和哪個角。考點五求直線方程例5.求直線lo： x y 2 0關于直線1 ：3x y 30對稱的直線方程。解：設

13、所求的對稱直線上任意一點坐標為(x, y)關于直線I的對稱點為(Xo， yo),那么X。解得yo4 39x y 5 55343xy-555因為x。，yo在直線x y 20上所以X。 y。2。即 7x y 220說明：求直線方程的主要思路有直接法、公式法待定系數(shù)法、相關點法、直線系法等。此題屬相關點法?？键c六研究兩直線位置關系 2例6.兩直線li： x+ my+ 6 = 0, 12： mv2 x+ 3m葉2m0,當m為何值 時，li與l 2： 1相交；2平行；3重合？解：當 ir= 0 時，li： x+ 6= 0, 12： x= 0,.l 1 / l 2 o當 m= 2 時，li： x + 4y

14、 + 6 = 0, l 2: 3y+ 2= 0, l 1與l 2相交。1 m216 當 m# 0 且 m 2 時，由 m 2 = 3m 得 m= 1 或 m= 3,由 m 2 = 2m 得 m= 3。 故1當 1,3且0時，l 1與12相交；2當 m= 1 或 m= 0 時，l 1 / 12;3當m= 3時，11與12重合。說明：研究兩直線的位置關系包括求交點和夾角，主要通過直線方程的系數(shù)間的關系進行判斷?？键c七圓的方程與性質(zhì)2例7.圓A的圓心在曲線y18x上，圓A與y軸相切，又與另一圓2 2x 2 y 31相外切，求圓A的方程。2匹 解：設圓A的圓心坐標為18，y0，半徑為r，依題有解之得：

15、y0 6或y0 3所求圓A的方程為：1 2 2(X 2)2 (y 6)24或(X ?) (y 3)4考點八直線與圓及圓與圓的位置關系例8.由點P 70, 1引圓X2 + y2= 4的割線1，交圓于A, B兩點，使 AOB的面積為2O為原點，求直線I的方程。解：設直線I的方程為y= kx + 1將代入圓的方程整理得1 + k2 x2+ 2kx 3 = 0設其兩實數(shù)根為X1, X2，由根與系數(shù)的關系得2k2X1 + X2=1 k3X1X2=1 k2設點 A xi, yi, B X2, y2即 16k2 12、71 k2解得k= 1，故直線I的方程為y = x +1說明：直線與圓的關系主要研究相切、

16、相交的相關問題，如方程、弦長及參數(shù) 范圍的求解等?？键c九空間坐標例9.證明：頂點是A2，4，3，B4，1, 9，C 10, 1, 6的三角形是 直角三角形并求出各邊的長和各內(nèi)角的大小。證明： A2,4,3,B4,1,9,C10, 1,6 AB 7, AC 7、2,BC 7即：AB2 BC2 AC2 ABC 是 Rt又：屈BCAC -4故各邊長為：|ABBC乙ACA/2;AC1B各內(nèi)角為：42五.本講涉及的主要數(shù)學思想方法B i立體幾何是對三維空間關系的研究，我們將在立體幾何的學習中認識一些空間 圖形，培養(yǎng)和開展空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流能力以 及幾何直觀能力；解析幾何的學

17、習中主要掌握解析法，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究 圖形的幾何性質(zhì)，表達了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學思想方法?！灸M試題】答題時間：50分鐘一、選擇題1. 假設一個幾何體的三視圖都是等腰三角形，那么這個幾何體可能是A.圓錐B.正四棱錐 C.正三棱錐 D.正三棱臺2. 長方體三個面的面積為,，；,那么長方體的對角線長A. ' B. 丿 C.D.3. 直線ax+ by + c= 0 abc 0與圓x2 + y2= 1相切，那么三條邊長分別為a,|b,|c的三角形A.是銳角三角形 B.是直角三角形C.4. 點0, 5到直線y= 2x的距離為5 A. 2B.5 6C.是鈍角三角形D.不存在1234A. -B.

18、5C.5D.57.過點P (2,1作圓C:2 | 2x + y -ax+ 2ay + 2a +1 = 0的切線有兩條，那么 a的取值范圍為)A. a> 3B.a v 322C. 3 v a V-5D.3v av 5 或 a>2二、填空題8. 2007 個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上。已知正三棱柱的底面邊長為 2,那么該三角形的斜邊長為 o9. 山東理與直線：和曲線" -11都相切的半徑最小的圓的標準方程是 o三、解答題10. 2007山東改。O的方程是'- 1 ,O 的方程是只十於-弘+10=0,由動點0向。O和。O所引的切線長相等，求動點P

19、的軌跡方 程。11. 2007全國改四棱錐 S ABCD中，底面ABC:為平行四邊形，側(cè)面 SBCL 底面 ABCD / ABC= 45°, SQ SB 證明：SAL BC12. 2007湖北改由直線上的一點向圓 v 引切線，求切線長的最小值。13. 2007全國改如圖，在四棱錐 S- ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱 SD丄底面ABCD E、F分別是AB SC的中點。I求證：EF/平面SAD U設SD= 2CD求二面角A EF D的正切值；試題答案、選擇題:CDBBC DD、填空題：8. :宀。解答：一個等腰直角三角形 DEF的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，/ EDF= 90°,正三棱柱的底面邊長為AB= 2,那么該三角形的斜邊 EF