清華大學(xué) 楊虎 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計課后習(xí)題參考答案3

1、習(xí)題五1 某鋼廠檢查一月上旬內(nèi)的五天中生產(chǎn)的鋼錠重量，結(jié)果如下：（單位：kg）日 期重 量124910 5500 5800 5740 5710 5440 5680 5240 5600 5400 5410 5430 5400 5640 5700 5660 5700 5610 5700 5610 5400試檢驗不同日期生產(chǎn)的鋼錠的平均重量有無顯著差異？（=0.05）解 根據(jù)問題，因素表示日期，試驗指標(biāo)為鋼錠重量，水平為5.假設(shè)樣本觀測值來源于正態(tài)總體 .檢驗的問題：不全相等 .計算結(jié)果：表5.1 單因素方差分析表方差來源自由度平方和均方F值P值因素A誤差4152276802161755692014

2、4123.94960.02199 *注釋: 當(dāng)=0.001表示非常顯著，標(biāo)記為 *，類似地，= 0.01，0.05，分別標(biāo)記為 * ，* . 查表，因為，或= 0.02199<0.05， 所以拒絕，認(rèn)為不同日期生產(chǎn)的鋼錠的平均重量有顯著差異.2 考察四種不同催化劑對某一化工產(chǎn)品的得率的影響，在四種不同催化劑下分別做試驗獲得如下數(shù)據(jù)：催化劑得 率12340.88 0.85 0.79 0.86 0.85 0.830.87 0.92 0.85 0.83 0.900.84 0.78 0.81 0.81 0.86 0.90 0.87 試檢驗在四種不同催化劑下平均得率有無顯著差異？（=0.05）解

3、根據(jù)問題，設(shè)因素表示催化劑，試驗指標(biāo)為化工產(chǎn)品的得率，水平為4 .假設(shè)樣本觀測值來源于正態(tài)總體 .其中樣本容量不等，分別取值為6，5，3，4 .檢驗的問題：不全相等 .計算結(jié)果：表5.2 單因素方差分析表方差來源自由度平方和均方F值P值因素A誤差3140.00834670.01605330.00278220.00114672.42640.1089 查表，因為，或= 0.1089 > 0.05，所以接受，認(rèn)為在四種不同催化劑下平均得率無顯著差異 .3 試驗?zāi)撤N鋼的沖擊值（kg ×m/cm2），影響該指標(biāo)的因素有兩個，一是含銅量A，另一個是溫度B，不同狀態(tài)下的實測數(shù)據(jù)如下： 試驗溫

4、度含銅量20 0 -20 -400.2%0.4%0.8%10.6 7.0 4.2 4.211.6 11.0 6.8 6.314.5 13.3 11.5 8.7試檢驗含銅量和試驗溫度是否會對鋼的沖擊值產(chǎn)生顯著差異？（=0.05）解 根據(jù)問題，這是一個雙因素?zé)o重復(fù)試驗的問題，不考慮交互作用.設(shè)因素分別表示為含銅量和溫度，試驗指標(biāo)為鋼的沖擊力，水平為12.假設(shè)樣本觀測值來源于正態(tài)總體 .記為對應(yīng)于的主效應(yīng)；記為對應(yīng)于的主效應(yīng)；檢驗的問題：（1）全部等于零，不全等于零； （2）全部等于零，不全等于零；計算結(jié)果： 表5.3 雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析表方差來源自由度平方和均方F值P值因素A260.781

5、730.390834.58960.0005*因素B誤差總和361164.31585.2717130.369221.43860.878624.40060.0009* 查表，顯然計算值分別大于查表值，或= 0.0005，0.0009 均顯著小于0.05，所以拒絕，認(rèn)為含銅量和試驗溫度都會對鋼的沖擊值產(chǎn)生顯著影響作用.4 下面記錄了三位操作工分別在四臺不同的機器上操作三天的日產(chǎn)量：日產(chǎn)量操 作 工機 器B1B2B3M115，15，1719，19，1616，18，21M217，17，1715，15，1519，22，22M315，17，1618，17，1618，18，18M418，20，2215，16，

6、1717，17，17設(shè)每個工人在每臺機器上的日產(chǎn)量都服從正態(tài)分布且方差相同 .試檢驗：（=0.05）1） 操作工之間的差異是否顯著？2） 機器之間的差異是否顯著？3） 它們的交互作用是否顯著？解 根據(jù)問題，這是一個雙因素等重復(fù)(3次)試驗的問題，要考慮交互作用.設(shè)因素分別表示為機器和操作，試驗指標(biāo)為日產(chǎn)量，水平為12.假設(shè)樣本觀測值來源于正態(tài)總體 ， .記為對應(yīng)于的主效應(yīng)；記為對應(yīng)于的主效應(yīng)；記為對應(yīng)于交互作用的主效應(yīng)；檢驗的問題：（1）全部等于零，不全等于零； （2）全部等于零，不全等于零； （3）全部等于零，不全等于零；計算結(jié)果： 表5.4 雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析表方差來源自由度平方和

7、均方F值P值因素A因素B相互效應(yīng)A×B誤差總和32624352.75027.16773.541.333144.750.91713.58312.2501.7220.53237.88717.11290.66450.00233*0.00192* 查表，計算值 ，或，而均顯著小于0.05，所以拒絕，接受，認(rèn)為操作工之間的差異顯著，機器之間的差異不顯著，它們之間的交互作用顯著 .5 某軸承廠為了提高軸承圈退火的質(zhì)量，制定因素水平分級如下表所示因素上升溫度保溫時間(h)出爐溫度水平18006400水平28208500試問應(yīng)選用哪張正交表來安排試驗，并寫出第三號試驗條件；又如果試驗結(jié)果為試驗號1

8、2 3 4硬度合格率 100 45 85 70試填好正交試驗結(jié)果分析表并對試驗結(jié)果進(jìn)行直觀分析和方差分析 .解 根據(jù)題意，這是一個3因素2水平的試驗問題 .試驗指標(biāo)為硬度的合格率 .應(yīng)選擇正交表來安排試驗，隨機生成正交試驗表如下：表5.5 試驗案表方表頭設(shè)計ABC空列硬度合格率（%）列號123411212100221214531122854221170由此可見第三號試驗條件為：上升溫度800、保溫時間6h、出爐溫度500 .直觀分析需要計算K值，計算結(jié)果如下：表5.6 計算表表頭設(shè)計ABC空列硬度合格率（%）列號12341121210022121453112285422117018513017

9、0115K=300P=22500Q=24150=32501151701301852372522900229002372512254004001225直觀分析 由計算的K值知，因素A、B、C的極差分別為70，40，40，因此主次關(guān)系為，B，C相當(dāng) .由于試驗指標(biāo)為硬度的合格率，應(yīng)該是越大越好，所以各確定因素的水平分別是，即最佳的水平組合是，即最佳搭配為：上升溫度800、保溫時間8h、出爐溫度400.采用方差分析法，計算得下表：表5.7 方差分析表方差來源平方和自由度均方差F值A(chǔ)1225112251B40014000.33C40014000.33誤差122511225總和32504如果顯著性檢驗水

10、平取，則查表得，顯然計算的F值均小于查表值，所以認(rèn)為三個因素對結(jié)果影響都顯著 .6 某良種繁殖場為了提高水稻產(chǎn)量，制定試驗的因素位級表如下：因素品種密度（顆/100m2）施肥量（kg/100m2）位級1位級2位級3窄葉青8號南二矮5號珍珠矮11號4.503.753.000.750.3751.125問應(yīng)選用哪張正交表安排試驗，并寫出第8號試驗的條件；如果9組試驗結(jié)果為（單位：kg/100m2）：62.925，57.075，51.6，55.05，58.05，56.55，63.225，50.7，54.45，試對該正交試驗結(jié)果進(jìn)行直觀分析和方差分析.解 該問題屬于3因素3水平的試驗問題，試驗指標(biāo)為水稻

11、產(chǎn)量 .根據(jù)題意應(yīng)選擇正交表來安排試驗，隨機生成正交表如下：表5.8 試驗安排表表頭設(shè)計ABC實驗結(jié)果 產(chǎn)量（kg/m2%）列號123111162.925212257.075313351.6421255.05522358.05623156.55731363.225832150.7933254.45由表可知，第8號試驗的條件：品種（A3）珍珠矮11號，插值密度（B2）3.75棵/100m2 ，施肥量（C1）0.75kg/100m2純氨；直觀分析需要計算K值，計算結(jié)果如下：表5.9 計算表表頭設(shè)計ABC實驗結(jié)果 產(chǎn)量（kg/m2%）列號123111162.925212257.075313351.6

12、421255.05522358.05623156.55731363.225832150.7933254.4557.2565556.12K=174.32560.455.2854.256.7255.5257.62同上題進(jìn)行直觀分析，得出K值的大小關(guān)系為：由直觀分析看出：本例較好的水平搭配是： 采用方差分析法，計算得下表：表5.10 方差分析表方差來源平方和自由度均方差F值A(chǔ)1.75920.879 0.0223B65.861232.9310.8361C6.66023.3300.0845誤差78.776239.38839.388，所以認(rèn)為三個因素對結(jié)果影響都不顯著. 7 在阿魏酸的合成工藝考察中，為了

13、提高產(chǎn)量，選取了原料配比A，吡啶量B和反應(yīng)時間C三個因素，它們各取了7個水平如下：原料配比A：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4吡啶量B：10，13，16，19，22，25，28反應(yīng)時間C：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5試選用合適的均勻設(shè)計表安排試驗，并寫出第7號試驗的條件；如果7組試驗的結(jié)果（收率）為：0.33，0.336，0.294，0.476，0.209，0.451，0.482，試對該均勻試驗結(jié)果進(jìn)行直觀分析并通過回歸分析發(fā)現(xiàn)可能更好的工藝條件.解 根據(jù)題意選擇均勻設(shè)計表來安排試驗，有3個因素，根據(jù)使用表，實驗安排如：表5.11 試驗安排表AB

14、C收率列號12311230.33224 6 0.33633620.29444150.47655310.20966540.45177770.482所以 第7號實驗的條件為：原配料比3.4，吡啶量28ml，反應(yīng)時間3.5h.通過直觀分析，最好的實驗條件是：原配料比3.4，吡啶量28ml，反應(yīng)時間3.5h.通過回歸分析，最合適的實驗條件是：原配料比2.6，吡啶量16ml，反應(yīng)時間0.5h.習(xí)題六1 從某中學(xué)高二女生中隨機選取8名，測得其升高、體重如下： 1 2 3 4 5 6 7 8身高（cm）160 159 160 157 169 162 165 154體重（kg） 49 46 53 41 49

15、50 48 43在絕對距離下，試用最短距離法和離差平方和法對其進(jìn)行聚類分析. 解 由R軟件，用最短距離（左）和差離平方和法（右）對題目進(jìn)行聚類分析如下圖6.1，表6.1和表6.2：最短距離法 離差平方和法圖6.1 聚類樹形圖表6.1 聚類附表(最短距離法)步驟聚類合并系數(shù)首次出現(xiàn)的階段類別下一步 組 1組 2 組 1組 2 1165.00000221210.00010434813.00000741713.00020551313.00040661517.00050771429.000630表6.2 聚類附表(離差平方和法)步驟聚類合并系數(shù)首次出現(xiàn)的階段類別下一步 組 1組 2 組 1組 2 11

16、62.5000042489.00000735717.50000641326.33310551244.750406615106.833537714257.3756202 已知五個變量的距離矩陣為 試用最短距離法和最長距離法對這些變量進(jìn)行聚類，并畫出聚類圖和二分樹.解 針對距離矩陣1），采用兩種方法計算如下.最短距離法的聚類步驟如下：a ）將，聚類圖和樹狀圖如圖6.2：圖6.2 聚類圖（左）與樹狀圖（右）最長距離法與最短距離法類似，步驟如下： a），聚類圖和樹狀圖如圖6.3：圖6.3 聚類圖（左）與樹狀圖（右）（2）針對距離矩陣2）最短距離法的聚類步驟如下a）聚類圖和樹狀圖如圖6.4：圖6.4 聚

17、類圖（左）與樹狀圖（右）由于本題數(shù)據(jù)的特殊性，最長距離法與最短距離法結(jié)果相同（略）.(3) 最短距離法的聚類步驟如下) ，聚類圖和樹狀圖如圖6.5：圖6.5 聚類圖（左）與樹狀圖（右）由于本題數(shù)據(jù)的特殊性，最長距離法與最短距離法結(jié)果相同(略).3 在一項關(guān)于作物對土壤營養(yǎng)的反應(yīng)的研究中，要測定土壤的總磷量和總氮量（占干物質(zhì)重的百分比），今對10份土樣測得數(shù)據(jù)如下： 土樣 變量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10總磷量（）總氮量（）0.12 0.15 0.36 0.17 0.14 0.06 0.10 0.11 0.11 0.120.63 1.19 2.30 1.29 0.73 0.52 0

18、.33 0.61 0.47 0.66在絕對距離下，試用重心法對其進(jìn)行聚類分析.解 由R軟件得到重心法聚類分析的結(jié)果如圖6.6與表6.3：圖6.6 聚類樹形圖表6.3 聚類過程記錄表步驟聚類合并系數(shù)首次出現(xiàn)的階段類別下一步組 1組 2組 1組 2118.0010022110.002104369.005006415.010207524.010008667.027307716.048468812.4597599132.5728004 1975年Dagnelie收集了11年的氣象數(shù)據(jù)資料如下表 變量 年序 x1 x2 x3 x4 123456789101187.9 19.6 1.0 1661 89.9

19、 15.2 90.1 968153.0 19.7 56.6 1353132.1 17.0 91.0 1293 88.8 18.3 93.7 1153220.9 17.8 106.9 1286117.7 17.8 65.5 1104109.0 18.3 41.8 1574156.1 17.8 57.4 1222181.5 16.8 140.6 902181.4 17.0 74.3 1150其中：x1前一年11月12日的降水量；x27月均溫；x37月降雨量；x4月日輻射，試對這四個氣象因子進(jìn)行主成分分析.解 由R軟件分析得到如下表6.4，6.5：表6.4 各主成分的重要性:主成分1主成分2主成分3

20、主成分4標(biāo)準(zhǔn)差1.61033490.98908480.534077410.37854199方差貢獻(xiàn)率0.64829470.24457220.071309670.03582351累積貢獻(xiàn)率0.64829470.89286680.964176491.00000000表6.5 因子荷載:主成分1主成分2主成分3主成分4X10.2910.8710.332-0.214X2-0.5060.425-0.742-0.111X30.5770.136-0.4180.688X4-0.5710.2050.4040.685由于前兩個主成分對應(yīng)的累積貢獻(xiàn)率已經(jīng)達(dá)到89.287，因此選取主成分的數(shù)目為2.5 對某初中12歲

21、的女生進(jìn)行體檢，測量其身高x1、體重x2、胸圍x3和坐高x4，共測得58個樣本，并算得的樣本協(xié)方差為試進(jìn)行樣本主成分分析.解 首先計算樣本的相關(guān)系數(shù)矩陣：設(shè)相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量分別為和陣，計算得到即四個特征值依次為：2.6681，0.9647，0.3126，0.0546，前兩個主成分的累計貢獻(xiàn)率為：90.8471%，因此提取主成分為2.四個特征根相應(yīng)的特征向量為因此，兩個主成分的表達(dá)式為：6 比較因子分析和主成分分析模型的異同，闡明兩者的關(guān)系.解 （1）提取公因子的方法主要有主成分法和公因子法.若采取主成分法，則主成分分析和因子分析基本等價，該法從解釋變量的變異的角度出發(fā)，盡量使變量

22、的方差能被主成分解釋；而公因子法主要從解釋變量的相關(guān)性角度，盡量使變量的相關(guān)程度能被公因子解釋，當(dāng)因子分析目的重在確定結(jié)構(gòu)時則用到該法. （2）主成分分析和因子分析都是在多個原始變量中通過他們之間的內(nèi)部相關(guān)性來獲得新的變量，達(dá)到既減少分析指標(biāo)個數(shù)，又能概括原始指標(biāo)主要信息的目的.但他們各有其特點：主成分分析是將n個原始變量提取m個支配原始變量的公因子，和1個特殊因子，各因子之間可以相關(guān)或不相關(guān). （3）統(tǒng)用降維的方法，但差異也很明顯：主成分分析把方差劃分為不同的正交成分，而因子分析則把方差化分為不同的起因因子；因子分析中的特征值的計算只能從相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)，且必須把主成分劃分為因子. （4）因

23、子分析提取的公因子比主成分分析提取的主成分更具有可解釋性. （5）兩者分析的實質(zhì)及重點不同.主成分的數(shù)學(xué)模型為，因子分析的數(shù)學(xué)模型為.因而可知主成分分析是實際上是線性變換，無假設(shè)檢驗，而因子分析是統(tǒng)計模型，某些因子模型是可以得到假設(shè)檢驗的；主成分分析主要綜合原始數(shù)據(jù)的信息，而因子分析重在解釋原始變量之間的關(guān)系. （6）SPSS數(shù)據(jù)的實現(xiàn)：兩者都通過“analyze data reduction Factor···”過程實現(xiàn)，但主成分分析主要使用“descriptires”,“extraction”,“stores”對話框，而因子分析處使用這些外，還可使用“rota

24、ction”對話框進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn).7 試對第4題的變量作因子分析，并將結(jié)果和上面的結(jié)果進(jìn)行比較.解 用SPSS分析，計算結(jié)果如下表6.6-6.8：表6.6 反應(yīng)壓縮比情況表初始值提取值前一年11月12日的降水量1.000.219當(dāng)年7月均溫1.000.665當(dāng)年7月降雨量1.000.864月日輻射1.000.845提取方法: 主成分法計算的相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和方差貢獻(xiàn)率：表6.7 方差解釋度主成分初始特征根提取因子的方差解釋度總計方差百分比%累積百分比%總計方差百分比%累積百分比%12.59364.82964.8292.59364.82964.8292.97824.45789.287 3.2857.13196.418 4.1433.582100.000 提取方法: 主成分法表6.8 主成分矩陣主成分1前一年11月12日的