解析幾何中的定點定值問題含答案

1、解析幾何中的定點和定值問題【教學(xué)目標】學(xué)會合理選擇參數(shù)(坐標、斜率等)表示動態(tài)圖形中的幾何對象，探究、證明其不 變性質(zhì)(定點、定值等)，體會“設(shè)而不求”、“整體代換”在簡化運算中的作用.【教學(xué)難、重點】解題思路的優(yōu)化.【教學(xué)方法】討論式【教學(xué)過程】一、基礎(chǔ)練習(xí)221、過直線x=4上動點P作圓O: x +y =4的切線PA、PB ,則兩切點所在直線 AB恒過一定點.此定點的坐標為.【答案】(1,0)【解析】設(shè)動點坐標為 P(4,t),則以O(shè)P直徑的圓C方程為：x(x4)+y(y1)=0 ,故AB是兩圓的公共弦，其方程為 4x +ty =4 .注：部分優(yōu)秀學(xué)生可由/x+y0y =r2公式直接得出.

2、入 4x-4=0令c 得定點(1,0).y =0' ，2、已知PQ是過橢圓C： 2x2+y2 =1中心的任一弦， A是橢圓C上異于P、Q的任意一點.若AP、AQ分別有斜率3 k2 ,則K k2=.【答案】-2【解析】設(shè) P(x, y), A(x0, yO),則 Q(-x, - y)22v。y y。 y _v。 -yk1 k2 -一 22，x0 f x0 x x0 f2x/ y? =1又由A、P均在橢圓上，故有：4 ° y0 ' 2x2 y2 =122兩式相減得2(xo2-x2)+(y。2_y2)=0,kK=y02y2=-2x0 - x2 x3、橢圓362B兩點,AB的

3、垂直平分線交x軸于N ,則|nf|：|ab|等于e_ 124-1【答案】14【解析】設(shè)直線AB斜率為k,則直線方程為 y=k(x-3),與橢圓方程聯(lián)立消去y 整理可得(3+4k2 )x224k2x+36k2108 = 0,則 x1x2 =24k23 4k2 ,x1x22_36k -108""23 4k所以yy2-18k2",3 4k則AB中點為12k2-9k3+4k2,3+4k2所以AB中垂線方程為9k y 3 4k212k2x -23 4k2“3k2令 y =0,則*=23 4k2，即N3k23+4k213k2所以 NF =3 - -3 3+4k229(1 k2

4、)3 4k2AB = J(1+ k2 )(x1 +x2 f -4x236 1 k23 4k2,所以NFAB224、已知橢圓 0+、=1(a >b >0),a bA,F是其左頂點和左焦點,P是圓22.2x y = b+ =1 ,過右焦點F作不垂直于x軸的直線交橢圓于 A、 27PA 上的動點，若 PA=常數(shù)，則此橢圓的離心率是PF【答案】e=15s!2【解析】因為pAPF=常數(shù)，所以當點P分別在（土 b, 0）時比值相等,即 a-b = a+b b -c b+c,整理得：b2 =ac,又因為b2 =a2 -c2 ,所以 a2 -c2 -ac = 0同除以a2可得e2+e-1=0,解得

5、離心率一 5 -1 e=2二、典例討論x2 y2.一 .一.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： 一+工=1的左頂點為A,過原點O的直線（與42坐標軸不重合）與橢圓 C交于P, Q兩點，直線PA, QA分別與y軸交于M, N兩點.試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點（與直線PQ的斜率無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.分析一：設(shè)PQ的方程為y =kx ,設(shè)點P （x0, y0 ） （ X0 >0）,則點Q（.，）.消去y得x2=1 2k2y =kx,聯(lián)乂方程組x2 2y2 =4所以 xo,則 yo 二 _2k_ .1 2k2. 1 2k2 k/ 2k所以直線 AP的方程為y=： (x + 2從而 M

6、 0,2k1 + "1 +2k2、 1+Jl+2k2一2k同理可得點N 0,2=: 1-J1+2k2 J所以以MN為直徑的圓的方程為 x2 +(y2k2k)(y)=01 J 2k21 - J 2k2c c2k2k整理得：x2 y2 -()y-2 = 01 ,1 2k2 1 - J 2k2, 22由!x y -2=0,可得定點 F(±V2, 0)y =0分析二2設(shè)P (x0, y0),則Q (- x0, - y0),代入橢圓方程可得 x0+2yo2.=4.由直線PA方程為:丫0, 一、 ry =一(x+2),可得 m 0, x0 +22y0x +2J,同理由直線QA方程可得N

7、0,2y0x0 -2,可得以MN為直徑的圓為x2 + y - 2y0<%+2J2y0整理得：x2 y2 -由于 x。2 -4 二2y。22y0 . 2y°x0 2 x0 - 2，代入整理即可得2xOx2-44x°y。y-2 = 0分析三：勿證：kAPkAQb22 a故可設(shè)直線AP斜率為k ,則直線AQ斜率為12k直線AP方程為y=k(x+2),從而得M (0, 2k),以2k1代k得N.0,I kJ121故知以MN為直徑的圓的萬程為 x2+(y2k)(y+) = 0 k1整理得：x2 y2 -2 ( 2k)y=0 kx2 +y2 2 = 0l由Jx y 2 0,可得定

8、點F(±V2, 0).y = 0分析四、 設(shè)M(0, m), N(0, n),則以MN為直徑的圓的方程為 x2 + (y m)( y n) = 022.即 x y _(m n)y mn = 0一. b21一再由 kAPkAQ= kAMkAN= 2= 一仔mn =- 2,下略a 222例2、已知離心率為e的橢圓C : +4=1(a Ab>0)恰過兩點(1, e)和(2, 0). a b求橢圓C的方程;(2)已知AB、MN為橢圓C上的兩動弦，其中 M、N關(guān)于原點O對稱，AB過點E(1, 0),且AB、MN斜率互為相反數(shù).試問：直線 AM、BN的斜率之和是否為定值？證明你的結(jié)論.解析

9、:由題意:a = 21e2I +a2b2e 二 一二 2二12b2 -1所以橢圓2C的方程為？- + y2=1.4(2)設(shè) AB 方程為 y =k(x-1) , A(xi,y1)，B(x, y2),則MN方程為y = -kx又設(shè) M (X3,一%),N(X3, kx3)_ yi -y2 -仇 _ k(xi -1) 區(qū) k(x2 -1)-心KamKbn 一一Xi -x3x2x3Xi -x3x2x3士匕，口k (x1 x3 -1)(x2 x3) (x2。x3-1)(x1。x3) I則整理得：kAM - kBN = (-1一3一、2一V23一Ax匕 由巾)汽2 x3)k 2x1x2 2x3 -(xi

10、 x2)kAM +kBN (xi -x3)(x2 必)y = k(x -1) 一由9 消元整理得：(4k2+1)x2 8k2x+4k2 4 = 0 ,x2 4y2 =44k2 -4x1x2 =24k2 18k2所以 x1 x2 = -8-4k2 1,y = -kx , 一又由22消兀整理得：x 4y =422-_24(4k +1)x =4,所以 x34k2 1將、代入式得：kAM kBN 0.22例2(變式)、已知離心率為e的橢圓C ：0+與=1(a Ab。)恰過兩點(1,e)和(2,0). a b(3)求橢圓C的方程；(4)已知AB、MN為橢圓C上的兩動弦，其中M、N關(guān)于原點O對稱，AB過定

11、點E(m, 0), ( 2 m < 2)且AB、MN斜率互為相反數(shù).試問：直線AM、BN的斜率之和是否為定值？證明你的結(jié)論解析：a 二2二ce =一由題意：1 1 e2=<2+ =12la2 b2Jb =12所以橢圓C的方程為人 + y2 =1.4(4)設(shè) AB方程為 y=k(xm),人(人,乂)，B(x2, y?),則MN方程為y = -kx又設(shè) M(X3, -僅),N(X3, kx3),y1 kx3y2 - kx3kAM ' kBN 二x1 -x3x2x3k(x1 m) kx3 k(x2 m) -kx3=r xi - x3x2x3則整理得:_ k hi x3 -m)(x

12、2 x3) (x2 x3 m)(x1 x3) 1kAM ' kBN =；-；(x -x3)(x2 x3)kAMk BNk |2x1x2 2x32 -m(x1 x2)(x1 -x3)(x2 x3),y =k(x -m)2222 2由 W 22消兀整理得：(4k +1)x -8k mx+4k m 4=0,x2 4y2 =4所以x1x228k m,224k m -4=2, xix2 -24k2 14k2 1,y = -kx , 一 又由0消兀整理得:x2 4y2 =42224(4k2 +1)x2 = 4 ,所以 x324k2 1將、代入式得:kAMkBN = 0三、課外作業(yè)221、已知橢圓

13、+L=1 a、B是其左、右頂點，動點 M滿足 42在x軸上有異于點 A、B的定點Q,以MP為直徑的圓經(jīng)過直線為.【答案】(0,0)【解析】 試題分析：設(shè) M (2,t),則AM : y=-(x +2),與橢圓方程聯(lián)立消4MB LAB,連結(jié)AM交橢圓于點P,BP、MQ的交點，則點 Q的坐標y得(t2 +8)x2 +4t2x+4t2_32=0,8t216 -2t8t2 a 2所以xp 2，yp ，因此kBP2=，即kiBMk=11,點 Q的坐標為O 0,0 )t2 8t 816 -2t c t2-2t 822x y 2、已知P是橢圓 一十二=1上不同于左頂點 A、右頂點B的任意一點，記直線 PA,

14、 PB的斜率分 124別為ki, k2,則ki k2的值為【答案】-13【解析】設(shè) P(x,y) , A( -273,0), B(2晶0)k yk k2x -2 3kkx2 3 x-2.3 x2 -1222因為P在橢圓上，所以 上+上=1 ,即1242 _ 12 -x2把代入，得2kZx2"223、已知橢圓 '+'=1(2 >b >0)的離心率 a be= , A,B是橢圓的左右頂點,2P為橢圓上不同于AB的動點，直線PA,PB的傾斜角分別為 豆邛，則cos似>=cosQ '.-1)【答案】7【解析】試題分析：因為 A,B是橢圓的左右頂點，P

15、為橢圓上不同于 AB的動點，2222_2 一_ b i_1 c _ 1 a -b _ 1 b _ 3,_ b _ 3， kPA kPB =2*e =二'.一='. 2=_'=_,kPA，kPB =2 =,a2 a 2 a 4 a 4a 43cos(：>' ''')cos： cos : -sin 二 sin 11 - tan tan :14_7cosG, )cos： cos : sin 二 sin ：1 tan： tan ：1342x 24、如圖所不，已知橢圓C: + y =1,在橢圓C上任取不同兩點 A, B,點A關(guān)于x軸的對稱4點

16、為A',當A, B變化時，如果直線 AB經(jīng)過x軸上的定點T(1 , 0),則直線 A'B經(jīng)過x軸上的【答案】（4, 0）【解析】設(shè)直線 AB的方程為x=my+ 1, 2x 2由 « 4 y 得(my+ i)2+4y2=4,即(m2+4) y2+2my lx = my i3= 0.記 A(xi,yi) , B(x2, y2),則 A' (xi, - yi),且 yi + y2= 一2m，yiy2= - -2，m 4m 4當mw。時，經(jīng)過點A'(xi,-yi),B(x2,y2)的直線方程為y + Yi=jxZLxL.令 y=0,得 x=x2 xy2yiyi

17、 + xi =my2 一 my1yi + myi + i =Y2 Yi2 ,2阿丫20+哂+ myiy?+ yi2my選 +i =¥2+ yi-32mm4- + i = 4,所以 y=0 時，x= 4.-2 mm2 4當m = 0時，直線 AB的方程為x=i,此時A,B重合，經(jīng)過A' , B的直線有無數(shù)條，當然可以有一條經(jīng)過點（4, 0）的直線.當直線 AB為x軸時，直線 A' B就是直線AB,即x軸，這條直線也經(jīng)過點（4 ,0）.綜上所述，當點A, B變化時，直線 A' B經(jīng)過x軸上的定點（4, 0）.5、過橢圓22土+一=i的右焦點43F2的直線交橢圓于于

18、M ,N 兩點，令 |F2M|=m,|F2N=n，則y2 yix2 - ximn m +22試題分析：不失一般性，不妨取M麻直x軸的情況，此時MN x=i,聯(lián)立。亍+ =1，得M （i ,3 ) ,n (1, - 3 ),m=n=3 ,222mn 3m n 46、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A,左焦點為-2,0),點B(2, J2)在橢圓C上，直線y =kx(k #0)與橢圓C交于E , F兩點，直線AE , AF分別與y軸交于點M ,N .(I)求橢圓C的方程；(n)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.22x y斛析：(I)斛法一

19、：設(shè)橢圓C的方程為 +-2- =1 (a > b > 0), a b因為橢圓的左焦點為 F1(2,0),所以a2 -b2 =4.設(shè)橢圓的右焦點為 F2(2,0),已知點B(2,巧)在橢圓C上，由橢圓的定義知|BF1 + BF2 =2a,所以 2a -3,2 ,2 - 4,2 .所以a =2j2,從而b=2.22所以橢圓C的方程為二十匕=1.8422解法二：設(shè)橢圓C的方程為 "+4=1 (a >b>0), a b22因為橢圓的左焦點為Fi(2,0),所以a -b =4.42.因為點B(2,衣)在橢圓C上，所以=十方=1 .a b由解得，a=2j2, b = 2.

20、22所以橢圓C的方程為二十匕=1.84(n)解法一：因為橢圓C的左頂點為 A,則點A的坐標為(-2石,0).22x y因為直線y=kx(k=0)與橢圓 一 +工=1交于兩點E , F ,84設(shè)點 E (x0, y0 )(不妨設(shè) Xo >0 ),則點 F (%, yO ).y =kx,聯(lián)立方程組，x2v2消去y得x2= 8 2一工=112k84所以xo =普:，則yo =善11 2k21 2k2所以直線 AE的方程為y=k<x + 2、/2)1 J 2k2因為直線 AE , AF分別與y軸交于點M , N ,2/2k,即點 M 10,1 J 2k22,2k1 J 2k2同理可得點0,

21、 2三1 -、1 2k2所以MN2、2k2、2k1 、1 2k2 1 - J 2k22. 2 1 2k2、k設(shè)MN的中點為P ,則點P的坐標為P 'o,I k J則以MN為直徑的圓的方程為 x2y -2k、2T Y1+2k2)L即 x2+y2+咯 y=4.2令 y=0,得 x =4,即乂 = 2 或 x = -2 .故以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點 P(2,0), F2(2,0).解法二：因為橢圓C的左端點為 A,則點A的坐標為(-26,0 ).22因為直線y =kx(k =0)與橢圓人+工=1交于兩點E , F ,84設(shè)點 E(x°,y0),則點 F(x。，y0).所以直線AE

22、的方程為y =yo(x+2/2 ).因為直線AE與y軸交于點令x =0得即點M/0 2&y°、 , x0 +272同理可得點22j2y。N 0, 八Xo-272/所以MN2 2y02 . 2yox0 2,2x0 -2 216y°x2 -8因為點E(Xo,yo)在橢圓C上，所以所以MN 設(shè)MN的中點為P ,則點P的坐標為P '0 叵° jy0則以MN為直徑的圓的方程為 x2,3y016-2 y。即 x2 + y2 + 2x0 y = 4 .V。令 y =0 ,得 x2 = 4 ,即 x = 2或 x = -2 .故以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點P(2,0

23、), P2(-2,0 ).解法三：因為橢圓C的左頂點為 A,則點A的坐標為(-2五,0 ).22x y 因為直線y=kx(k#0)與橢圓 一 +=1交于兩點E , F,84設(shè)點 E(2/2cos9,2sin 6 ) ( 0 曰 兀)，貝U點 F (-272 cos, -2sin 日).所以直線AE的方程為y =2sin -2、2cosu 2 - 2(義+2五、.因為直線AE與y軸交于點M ,2sin2sin 二令乂=0得丫=,即點M , 0,cosi 1cos 1同理可得點N ,0, 2sin 8 i cos1-1所以MN2sin 0 2sin 94cos日+1 cos 9 -1 sin 日設(shè)

24、MN的中點為P ,則點P的坐標為P . 0,2cos92則以MN為直徑的圓的方程為 x2 + fy + 2cos6 = 一4r- l sin 8 J sin2e22 4cos 二即 x + y +y = 4 .sin1令 y = 0 ,得 x2 = 4 ,即 x = 2 或 x = -2 .故以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點P1(2,0), F2(2,0).?在橢圓C上.22§7、已知橢圓 C: 1+冬=1 (a>0, b>0)的離心率為 ，點A(1,a b2(I)求橢圓C的方程；(n)設(shè)動直線i與橢圓C有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點O為圓心的圓，滿又因為點A(1,Y3

25、)在橢圓C上，2足此圓與l相交于兩點P1，P2 (兩點均不在坐標軸上)，且使得直線 OP1，OP2的斜率之 積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由.(I)解：由題意，得c=也,a2=b2+c2, a 2所以二十金二1，解得a =2, b=1, c = J3, a2 4b22所以橢圓C的方程為± + y2=1.42,2_(n)結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為X +y =5.證明如下:222 ,假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為x +y =r (r>0).當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx + m.y =kx m,222由方程組 h2得(4k +1)x +8kmx+4m 4 = 0,x 2y =1,4因為直線i與橢圓c有且僅有一個公共點，所以 A =(8km)2 4(4k2 +1)(4m2 -4) =0 ,即 m2 =4k2 +1 .由方程組 (y2 = kx2+m,2得(k2 +1)x2 +2kmx +m2x y =r ,r2 =0則.與=(2km)2 -4(k2 1)(m2 -r2) 0設(shè)立Xi,yi), 2(x2,y2),則 為 +用=等, k 1y = -2x + b，設(shè)直線OPi, OP2的斜率分別為ki, k2,kk -VW2儼2 一所以x1x222(kx1 m)(kx2 m) _ k x1x2 km(x1x2) mxx2