高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 拋物線(xiàn) 新人教B版

1、名師伴你行名師伴你行名師伴你行拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)1.了解拋物線(xiàn)的實(shí)際背景了解拋物線(xiàn)的實(shí)際背景. 2.掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形，以及它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)形，以及它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).3.能利用拋物線(xiàn)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題能利用拋物線(xiàn)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題.名師伴你行 從近兩年的高考試題來(lái)看，拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)從近兩年的高考試題來(lái)看，拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等是方程、幾何性質(zhì)，以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題;客觀(guān)題突出客觀(guān)題突出“小而巧小而巧”，主要考

2、查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)，主要考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，主觀(guān)題考查的較為全面，除考查定義、幾何準(zhǔn)方程，主觀(guān)題考查的較為全面，除考查定義、幾何性質(zhì)外，還考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查基本性質(zhì)外，還考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查基本運(yùn)算能力及邏輯推理能力運(yùn)算能力及邏輯推理能力. 預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)2012年高考仍將以?huà)佄锞€(xiàn)的定義、性質(zhì)，以年高考仍將以?huà)佄锞€(xiàn)的定義、性質(zhì)，以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查函及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想等. 1.拋物線(xiàn)的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)和一條定

3、直線(xiàn)l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距距離離 點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn).點(diǎn)點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的的 ,直線(xiàn)直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的叫做拋物線(xiàn)的 .相等相等 焦點(diǎn)焦點(diǎn) 準(zhǔn)線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn) 名師伴你行 2.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)(如表所示) 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍x x0 x x0準(zhǔn)線(xiàn)方程準(zhǔn)線(xiàn)方程X=X=X=X=焦點(diǎn)焦點(diǎn)( )( )對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)頂點(diǎn)（0 0，0 0）離心率離心率e=p,02p,02-p2p2x軸軸 1 名師伴你行1 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程x x2 2=2py(

4、p0)=2py(p0)x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍y0y0準(zhǔn)線(xiàn)方程準(zhǔn)線(xiàn)方程x xx x焦點(diǎn)焦點(diǎn)( )( )對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)頂點(diǎn)（0 0，0 0）離心率離心率e=p0,2p2-p0,2y軸軸 -p2名師伴你行已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)是的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),又又有點(diǎn)有點(diǎn)A(3,2),求求|PA|+|PF|的最小值的最小值,并求出取最小值時(shí)并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo).由定義知由定義知,拋物線(xiàn)上點(diǎn)拋物線(xiàn)上點(diǎn)P到焦點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等的距離等于于P到準(zhǔn)線(xiàn)到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離的距離d,求求|PA|+|P

5、F|的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為|PA|+d的問(wèn)題的問(wèn)題.名師伴你行將將x=3代入拋物線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程y2=2x,得得y= . 2,A在拋物線(xiàn)內(nèi)部在拋物線(xiàn)內(nèi)部. 如圖，設(shè)拋物線(xiàn)上點(diǎn)如圖，設(shè)拋物線(xiàn)上點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)到準(zhǔn)線(xiàn)l:x=- 的距離為的距離為d,由由定義知定義知|PA|+|PF|=|PA|+d, 當(dāng)當(dāng)PAl時(shí)時(shí),|PA|+d最小最小, 最小值為最小值為 ,即即|PA|+|PF|的最小值為的最小值為 ,此時(shí)此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)點(diǎn)縱坐標(biāo)為為2,代入代入y2=2x,得得x=2, 點(diǎn)點(diǎn)P坐標(biāo)為坐標(biāo)為(2,2).66127272名師伴你行 重視定義在解題中的應(yīng)用重視定義在解題中的應(yīng)用,靈活地進(jìn)行拋物線(xiàn)上的靈

6、活地進(jìn)行拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離到準(zhǔn)線(xiàn)距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離到準(zhǔn)線(xiàn)距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化,是解決拋物線(xiàn)是解決拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑.名師伴你行已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)拋物線(xiàn)，過(guò)拋物線(xiàn)C上的點(diǎn)上的點(diǎn)A作準(zhǔn)線(xiàn)作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為的垂線(xiàn)，垂足為M，若，若AMF與與AOF（其中（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積之比為為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積之比為3：1，則，則點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 ( )A.(2,2 ) B.(2,-2 )C.(2, ) D.(2,2 )名師伴你行2222 【解析】【解析】如圖，由題意可知，如圖，由題意可知，|OF|

7、=1，由拋物線(xiàn)定，由拋物線(xiàn)定義得義得|AF|=|AM|,AMF與與AOF（其中（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積之比為的面積之比為3：1， |AM|=3,設(shè)設(shè)A（ ,y0）, +1=3, 解得解得y0=2 , =2, 點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(2,2 ). 故應(yīng)選故應(yīng)選D.名師伴你行3)MAFsin(AFOF21MAFsinAMAF21SSAOFFAM 4y204y2024y202名師伴你行2009年高考山東卷設(shè)斜率為年高考山東卷設(shè)斜率為2的直線(xiàn)的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y2=ax（a0）的焦點(diǎn)）的焦點(diǎn)F，且和，且和y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A.若若OAF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4

8、，則拋物線(xiàn)方程為，則拋物線(xiàn)方程為 （ ）A.y2=4x B.y2=8xC.y2=4x D.y2=8x名師伴你行【分析】【分析】畫(huà)出草圖如圖畫(huà)出草圖如圖,利用條件利用條件,求參數(shù)求參數(shù)a.【解析】【解析】圖由拋物線(xiàn)方程知焦點(diǎn)圖由拋物線(xiàn)方程知焦點(diǎn)F( ，0)，直線(xiàn)直線(xiàn)l為為y=2(x- )，與與y軸交點(diǎn)軸交點(diǎn)A(0，- ).SOAF = |OA|OF|= = =4.a2=64，a=8.故故y2=8x.故應(yīng)選故應(yīng)選B.4a4a2a21212a4a16a2 求拋物線(xiàn)方程的基本方法仍然是待定系數(shù)法，需要注求拋物線(xiàn)方程的基本方法仍然是待定系數(shù)法，需要注意的是：（意的是：（1）當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確

9、定拋物）當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線(xiàn)方程屬于四種類(lèi)型的哪一種；（線(xiàn)方程屬于四種類(lèi)型的哪一種；（2）要注意把握拋物線(xiàn)）要注意把握拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）要注意焦參數(shù)要注意焦參數(shù)p的幾何意義，并利用它的幾何意義來(lái)解決的幾何意義，并利用它的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題，特別是當(dāng)頂點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，更要注意利用參數(shù)問(wèn)題，特別是當(dāng)頂點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，更要注意利用參數(shù)p的的幾何意義，以及焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離和頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離均幾何意義，以及焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離和頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離均為為 來(lái)求其方程來(lái)求其方程.這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開(kāi)口方向的

10、討這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開(kāi)口方向的討論，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解論，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解. 反過(guò)來(lái)，也要注意由拋物線(xiàn)方程讀有關(guān)信息，如參數(shù)反過(guò)來(lái)，也要注意由拋物線(xiàn)方程讀有關(guān)信息，如參數(shù)p及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出有關(guān)幾何性質(zhì)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出有關(guān)幾何性質(zhì).p2名師伴你行名師伴你行試分別求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程試分別求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,并求對(duì)應(yīng)并求對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程:(1)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F在在x軸上，直線(xiàn)軸上，直線(xiàn)y=-3與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，|AF|=5；(2)焦點(diǎn)在直線(xiàn)焦點(diǎn)在直線(xiàn)x-2y-4=0上上

11、.名師伴你行【解析】【解析】 (1)設(shè)所求焦點(diǎn)在設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)方程為軸上的拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p0)，A(m,-3)，由拋物線(xiàn)定義得，由拋物線(xiàn)定義得5=|AF|= m+ ，又，又(-3)2=2pm,p=1或或p=9.故所求拋物線(xiàn)方程為故所求拋物線(xiàn)方程為y2=2x或或y2=18x.對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y= 或或x= .2p2921名師伴你行(2)令令x=0得得y=-2,令令y=0得得x=4,即拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為即拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(4,0)或或(0,-2).當(dāng)焦點(diǎn)為當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)時(shí), =4,p=8.此時(shí)拋物線(xiàn)方程為此時(shí)拋物線(xiàn)方程為y2=16x.當(dāng)焦點(diǎn)為（當(dāng)焦點(diǎn)為（0，

12、-2）時(shí)，）時(shí)， =2，p=4.此時(shí)拋物線(xiàn)方程為此時(shí)拋物線(xiàn)方程為x2=-8y.故所求的拋物線(xiàn)方程為故所求的拋物線(xiàn)方程為y2=16x或或x2=-8y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程分別是程分別是x=-4或或y=2.2p2p設(shè)拋物線(xiàn)設(shè)拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，PAl,A為垂足，如果直線(xiàn)為垂足，如果直線(xiàn)AF的斜率為的斜率為- ，那么，那么|PF|= ( )A.4 B.8 C.8 D.16333名師伴你行名師伴你行【分析】【分析】由已知可求直線(xiàn)由已知可求直線(xiàn)AF的方程的方程,則則A點(diǎn)坐標(biāo)可求點(diǎn)坐標(biāo)可求,進(jìn)而求出進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo),|PF|

13、可求可求.【解析】【解析】如圖所示如圖所示,直線(xiàn)直線(xiàn)AF的方程為的方程為y=- (x-2),與準(zhǔn)與準(zhǔn)線(xiàn)方程線(xiàn)方程x=-2聯(lián)立得聯(lián)立得A(-2,4 ).設(shè)設(shè)P(x0,4 ),代入拋物線(xiàn)代入拋物線(xiàn)y2=8x,得得8x0=48,x0=6,|PF|=x0+2=8.故應(yīng)選故應(yīng)選B.333名師伴你行 本題考查了拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解本題考查了拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，難度適中能力和數(shù)形結(jié)合思想，難度適中.名師伴你行已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn)y=2px2(p0)的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，點(diǎn)P（1, ）在拋物）在拋物線(xiàn)上，過(guò)線(xiàn)上，過(guò)P作作PQ垂直拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為垂直拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，垂

14、足為Q，若拋物線(xiàn)，若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)的準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)M，則四邊形，則四邊形PQMF的面積的面積為為 .41名師伴你行【答案】【答案】【解析】【解析】由由P（1, ）在拋物線(xiàn)上，得）在拋物線(xiàn)上，得p= ，故拋物線(xiàn)的，故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y，點(diǎn)，點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線(xiàn)為），準(zhǔn)線(xiàn)為y=-1,|FM|=2,|PQ|=1+ = ，|MQ|=1，則直角梯形，則直角梯形PQMN的面積為的面積為 （ +2）1= .813418141452145813名師伴你行2010年高考福建卷已知拋物線(xiàn)年高考福建卷已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p0)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A(1,-2).(1)求拋物線(xiàn)求拋

15、物線(xiàn)C的方程的方程,并求其準(zhǔn)線(xiàn)方程并求其準(zhǔn)線(xiàn)方程;(2)是否存在平行于是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線(xiàn)的直線(xiàn)l,使得直線(xiàn)使得直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)C有公共點(diǎn)有公共點(diǎn),且直線(xiàn)且直線(xiàn)OA與與l的距離等于的距離等于 ?若存若存在在,求出直線(xiàn)求出直線(xiàn)l的方程的方程;若不存在若不存在,說(shuō)明理由說(shuō)明理由.55名師伴你行【分析】【分析】 (1)易求易求;(2)假設(shè)存在假設(shè)存在,設(shè)出方程代入拋物線(xiàn)方程設(shè)出方程代入拋物線(xiàn)方程,由位置關(guān)系、距離公式求解由位置關(guān)系、距離公式求解.【解析】【解析】 (1)將將(1,-2)代入代入y2=2px,得得(-2)2=2p1,所以所以p=2,故所求的拋物線(xiàn)故所

16、求的拋物線(xiàn)C的方程為的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線(xiàn)假設(shè)存在符合題意的直線(xiàn)l,其方程為其方程為y=-2x+t.由由 y=-2x+t y2=4x 得得y2+2y-2t=0.名師伴你行因?yàn)橹本€(xiàn)因?yàn)橹本€(xiàn)l與拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)C有公共點(diǎn)有公共點(diǎn),所以所以=4+8t0,解得解得t- .另一方面另一方面,由直線(xiàn)由直線(xiàn)OA與與l的距離的距離d= 可得可得 ,解得解得t=1.因?yàn)橐驗(yàn)?1 - ,+）,1- ,+）,所以符合題意的直線(xiàn)所以符合題意的直線(xiàn)l存在存在,其方程為其方程為2x+y-1=0.2155515| t | 2121名師伴你行 研究直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系

17、研究直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系,一般應(yīng)用判別式一般應(yīng)用判別式;同時(shí)常常用到弦長(zhǎng)公式、距離公式、韋達(dá)定理同時(shí)常常用到弦長(zhǎng)公式、距離公式、韋達(dá)定理.名師伴你行已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(1,0),且與定直線(xiàn)且與定直線(xiàn)l:x=-1相切相切,點(diǎn)點(diǎn)C在在l上上.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)設(shè)過(guò)點(diǎn)P,且斜率為且斜率為- 的直線(xiàn)與曲線(xiàn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)M相交于相交于A(yíng),B兩點(diǎn)兩點(diǎn);問(wèn)問(wèn)ABC能否為正三角形能否為正三角形?若能若能,求出求出C點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo);若不能若不能,說(shuō)明理由說(shuō)明理由.3名師伴你行【解析】【解析】 (1)依題意依題意,曲線(xiàn)曲線(xiàn)M是以點(diǎn)是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)為焦點(diǎn),直線(xiàn)直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)拋物線(xiàn),所以曲線(xiàn)所以曲線(xiàn)M的方程為的方程為y2=4x.如圖所示如圖所示.（2）由題意得，直線(xiàn)）由題意得，