備戰(zhàn)2021新高考命題點分析與探究,,命題19,,平面向量數量積和平面向量應用（解析版）

1、備戰(zhàn)2021新高考命題點分析與探究,命題19,平面向量數量積和平面向量應用（解析版） 備戰(zhàn) 2021 新高考數學命題分析與探究 命題 19 平面向量的數量積和平面向量的應用 第一部分 命題點展示與分析 點 命題點 1 命題方向 命題難度 平面向量的數量積及其運算律 向量數量積相關概念、性質和運算律的辨析 容易 求向量的數量積的 3 種常規(guī)方法 容易 向量數量積幾何意義的巧妙應用 一般 公式(a+b) 2 a 2 2abb 2 的應用 容易 命題方向一向量數量積相關概念、性質和運算律的辨析 命題方向二求向量的數量積的 3 種常規(guī)方法 解 命題方向三向量數量積幾何意義的巧妙應用 命題方向四公式(a

2、+b) 2 a 2 2abb 2 的應用 點 命題點 2 命題方向 命題難度 利用向量的數量積運算將向量等式數量化 直接平方法和移項平方法 容易 向量等式兩邊與同一向量作點乘 容易 命題方向五直接平方法和移項平方法 命題方向六向量等式兩邊與同一向量作點乘 點 命題點 3 命題方向 命題難度 平面向量數量積的應用 平面向量的垂直問題 容易 平面向量模的相關問題 一般 平面向量的夾角問題 一般 命題方向七平面向量的垂直問題 命題方向八平面向量模的相關問題 命題方向九平面向量的夾角問題 10【2021 年高考全國卷理數 6】已知向量 滿足 ，則 （ ） a b c d 【答案】d 【解析】 ， ，

3、， ， 因此 故選 d 第二部分 命題點素材與精選 1已知 abc 是邊長 3 的等邊三角形，點 d ， e 分別是 ab ， bc 上的點，且13ad ab = ，23be bc = ，連接 de 并延長到點 f ，使得 de ef = ，則 af bc×的值為（ ） a32- b92 c32 d92- 【答案】c 【解析】作示意圖如圖所示： 設 , a ab b ac = = ，則1 3| | 3,| | 3, 3 32 2a b a b = = × = ´ ´ = ， 由13ad ab = ，23be bc = ，得 / de ac ，且23de

4、ac = ，又 de ef = ， 則43df ac = ，即43df b = ，又13ad a = ，得1 43 3af ad df a b = + = + ， bc ac ab b a = - = -， 則1 4( ) ( )3 3a bc a f b b a × = + × -2 2 1 43 3a a b b = - - × + 1 3 4 33 33 2 3 2= - ´ - + ´ = . 故選：c. 2已知 abc d 為等邊三角形，則 cos, ab bc = ( ) a32- b12- c12 d32 【答案】b 【解析】 由

5、圖發(fā)現(xiàn) , ab bc 的夾角不是 b 而是其補角23p，2 1cos , cos3 2ab bcp< >= = - 3在 abc 中，, d e 分別為 , bc ab 的中點， f 為 ad 的中點，若 1 ab ac = -， 2 2 ab ac = = ，則 ce af 的值為（ ） a34 b38 c18 d14 【答案】b 【解析】因為1 1( )2 4af ad ab ac = = + ，12ce ae ac ab ac = - = - ，所以2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3( )( ) 4 ( 1)4 2 8 8 4 8 8 4 8ce af ab ac

6、ab ac ab ab ac ac × = + - = - × - = ´ - ´ - - = ，應選答案b 4若兩個向量 , a b 的夾角是23p， a 是單位向量， 2 b = ，2 c a b = +，則向量 c 與 b 的夾角為（ ） a6p b3p c23p d34p 【答案】b 【解析】因為兩個向量 , a b 的夾角是23p， a 是單位向量， 2 b = ， 可得2 2cos 1 2 cos 13 3a b a bp p× = × = ´ ´ = - ， 又由2 c a b = +，所以2 22(

7、2 ) 4 4 4 4 4 2 c a b a a b b = + = + × + = - + =， 所以2(2 ) 2 2 4 2 c b a b b a b b × = + × = × + =- + =， 設向量 c 與 b 的夾角為 q ，其中 0, q p Î ， 則2 1cos2 2 2c bc bq×= = =´×，可得3pq = , 即向量 c 與 b 的夾角為3p. 故選：b. 5已知向量( ) ( )1, , 2, 1 a x b = = - ，若 ab ，則 x = _ 【答案】 2 【解析】因

8、為向量 ( ) ( )1, , 2, 1 a x b = = - ，若 ab ，2 0 a b x × = - =， 則 2 x = . 故答案為：2 6如圖，在abc 中，已知 ab2，ac4，a60若 d為 bc 邊上的任意一點，m 為線段 ad的中點，則 ( ) mb mc ad + × 的最大值是_ 【答案】7 【解析】由余弦定理得2 2 21+ 2 cos 4+16 2 4 2 122bc ab ac ac ab a = - × = - ´ ´ ´ = ，2 2 2, ac ab bc ab bc = + ， 所以以 b 為

9、原點 ， bc 所在直線為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系 ， 則 (0 0) (2 3,0), (0,2) b c a ， ，(2 0) d x， ，( ,1),0 3 m x x £ £ ， ， (2 3 2 , 2), (2 , 2) mb mc x ad x + = - - = - ， 223( ) 2 (2 3 2 ) 4 4 4 3 4 4 72mb mc ad x x x x xæ ö+ × = - + = - + + = - - +ç ÷ç ÷è ø， ， 當32

10、x = 時， ( ) mb mc ad + × 的最大值，最大值是 7. 故答案為：7. 7在 rt abc 中, 4 ab= , 2 ac =, p 為斜邊 bc 上靠近點 b 的三等分點, o 為 bc 邊的中點,則 ap ao×的值為_. 【答案】183 【解析】由已知可知：0 ab ac × =，1( )2ao ab ac = + ，1 1 2 1( )3 3 3 3ap ab bp ab bc ab ac ab ab ac = + = + = + - = + ， 所以2 22 22 1 1 1 1 1 1 1 18( ) 4 23 3 2 3 2 3 6

11、 3 6ap ao ab ac ab ac ab ac ab acæ ö× = + × + = + + × = ´ + ´ =ç ÷è ø， 故答案為：183. 8已知 abc 的三邊長 3 ac = ， 4 bc = ， 5 ab =，p 為 ab 邊上任意一點，則 ( ) cp ba bc × - 的最大值為_. 【答案】9 【解析】根據題意，如圖建立直角坐標系， ( ) 0,3 a ( ) 4,0 b ， ( ) 0,0 c ， ( ) 4, 3 ab = - ， (

12、) ( ) ( ) 0,3 4 , 3 4 ,3 3 cp ca ap ca ab l l l l l = + = + = + - = - ， 0,1 l Î ， ( ) ( ) ( ) 4 ,3 3 0,3 9 9 0,9 cp ba bc cp ca l l l × - = × = - × = - Î ( ) cp ba bc × - 的最大值為 9 . 故答案為： 9 . 9如圖所示， abd d 為正三角形， 2 2 ad dc = = ，則 ad cb × = _ 【答案】-4 【解析】如圖建立平面直角坐標系， 易

13、知： ( ) ( ) ( ) ( ) a 1,0 d 1,0 c 2,0 b 0 3 - ， ， ， ， ， ( ) ( ) 2,0 2, 3 ad cb = = - ， 4 ad cb × = - 故答案為 4 - 10已知 (cos2 ,1) a x = ， (1,sin 1) b x = + ，,3xppæ ùÎ çúè û，則 a b×的取值范圍是_. 【答案】171,8é ùê úë û 【解析】因為 (cos2 ,1) a x = ， (1,sin 1) b x = + ， 所以2cos2 sin 1 2sin sin 2 a b x x x x × = + + = - + + 21 172 sin4 8xæ ö= - - +ç ÷è ø 因為 ,3xppæ ùÎ çúè û，所以 sin 0,1 xÎ ， 所以當1sin4x = 時，21 172 sin4 8xæ ö- - +ç