Chapter43Gauss積分

1、3 Gauss積分積分/*Gauss Integration*/一、引言一、引言二、二、Gauss型求積公式型求積公式三、求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用三、求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用求積公式求積公式當(dāng)求積系數(shù)當(dāng)求積系數(shù)Ak(k=1,2,n)、求積節(jié)點(diǎn)、求積節(jié)點(diǎn)xk(k=1,2,n) 都可以自由選取時(shí)都可以自由選取時(shí),其代數(shù)精確度最高可以達(dá)到多其代數(shù)精確度最高可以達(dá)到多少次少次? 當(dāng)求積系數(shù)當(dāng)求積系數(shù)Ak(k=1,2,n)和求積節(jié)點(diǎn)和求積節(jié)點(diǎn)xk(k=1,2,n)都可以自由選取時(shí)都可以自由選取時(shí),n點(diǎn)的求積公式點(diǎn)的求積公式(1)的代數(shù)精確度最高可以達(dá)到的代數(shù)精確度最高可以達(dá)到2n-1次次.),()()()()(

2、1fRxfAdxxfxfInkkkba(1)一、引言一、引言引理引理1假設(shè)求積公式假設(shè)求積公式(1)具有具有m次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度,即對(duì)任意即對(duì)任意的的m次代數(shù)多項(xiàng)式次代數(shù)多項(xiàng)式mmiiimPxaxp0)(求積公式求積公式(1)精確成立精確成立.111001( )(.)mnbimmikmkmkkaikax x dxA a xaxa xa即即(2)證明證明于是于是mkkmkbamxpAdxxpx1)()()(記記midxxxibai, 2 , 1 , 0,)(111 100.mmmmaaaa由于系數(shù)由于系數(shù) 的任意性的任意性110,.,mmaaa a則則(2)式成為式成為10111.nnnm

3、mkkkkkkkkaA xaA xaA(3)故使故使(3)式成為恒等式的充要條件是式成為恒等式的充要條件是(4)mmnnmmnnnxAxAxAxAxAxAAAA221112211021(4)式的待定系數(shù)有式的待定系數(shù)有2n個(gè)個(gè),所以確定待定系數(shù)的所以確定待定系數(shù)的獨(dú)立條件至多給出獨(dú)立條件至多給出2n個(gè)個(gè),從而可知從而可知m至多為至多為2n-1 n點(diǎn)的求積公式點(diǎn)的求積公式(1)具有具有2n-1次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度(或或稱為具有最高的代數(shù)精確度稱為具有最高的代數(shù)精確度)時(shí)時(shí),稱為稱為Gauss型求積型求積公式公式. 定義定義1 Gauss型求積公式的求積節(jié)點(diǎn)型求積公式的求積節(jié)點(diǎn) , 稱為稱為G

4、auss點(diǎn)點(diǎn),它們可以通過求區(qū)間它們可以通過求區(qū)間a,b上帶權(quán)上帶權(quán) (x)的的n次正交多次正交多項(xiàng)式項(xiàng)式gn(x)的的n個(gè)根獲得個(gè)根獲得.所以先介紹正交多項(xiàng)式及所以先介紹正交多項(xiàng)式及其性質(zhì)其性質(zhì).然后討論然后討論Gauss型求積公式的構(gòu)造型求積公式的構(gòu)造,等等等等.nkkx1二、二、Gauss型求積公式型求積公式n點(diǎn)的求積公式若具有最高的代數(shù)精確度點(diǎn)的求積公式若具有最高的代數(shù)精確度,或具有或具有2n-1次的代數(shù)精確度成為次的代數(shù)精確度成為Gauss型求積公式型求積公式.求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn) 和求積系數(shù)和求積系數(shù) 如何選取如何選取,才能才能使之成為使之成為Gauss型求積公式型求積公式?nkkx1

5、nkkA1定理定理1 求積公式求積公式(1)中的中的n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)個(gè)求積節(jié)點(diǎn) ,取在區(qū)取在區(qū)間間a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的的n次正交多項(xiàng)式次正交多項(xiàng)式 gn(x)的的n個(gè)根成為個(gè)根成為Gauss型求積公式型求積公式.nkkx1a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的的n次正交多項(xiàng)式次正交多項(xiàng)式gn(x)的的n個(gè)個(gè)根記為根記為 nkkx1在兩邊同乘在兩邊同乘 (x),并從并從a到到b積分積分. 由正交多項(xiàng)式的由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)可知性質(zhì)可知,含含 項(xiàng)的積分為零項(xiàng)的積分為零.*( ) ( )ngx q x,首項(xiàng)系數(shù)為首項(xiàng)系數(shù)為dn ,由定義有由定義有證明證明,)(12baPxfn設(shè)設(shè)nnnkkn

6、dxgxxxg)()()(1*1( ), ( ) , nq x r xPa b因此因此,)()()()(*xrxgxqxfn所以所以babadxxrxdxxfx)()()()(至少具有至少具有n-1次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度,()()(1,2,., )kkf xr xkn又可知又可知( )( )nnIfIr即即注意到當(dāng)注意到當(dāng) 作為插值節(jié)點(diǎn)時(shí)建立的作為插值節(jié)點(diǎn)時(shí)建立的n點(diǎn)插值點(diǎn)插值求積公式求積公式nkkx1nkkknxfAfI1)()(1( ) , nr xPa b而而所以所以)()()(1rIxrArInnkkk21( ) , nf xPa b綜合可知當(dāng)綜合可知當(dāng)時(shí)時(shí),求積公式求積公式成立成立

7、.nkkkbaxrAdxxfx1)()()(證明略證明略.之值近似積分值之值近似積分值, In(f) 有下面的誤差估計(jì)有下面的誤差估計(jì)用用n點(diǎn)點(diǎn)Gauss求積公式求積公式nkkknxfAfI1)()(定理定理22( ) , nf xCa b則則Gauss型求積公式型求積公式(1)的誤差的誤差估計(jì)估計(jì)R( ,f)為為其中其中banndxxgxnffR2*)2()()()!2()(),(nkknxxxg1*)()(在稍后討論在稍后討論Gauss積分值數(shù)列的收斂性等問題時(shí)積分值數(shù)列的收斂性等問題時(shí),需要用到需要用到Gauss型求積公式的求積系數(shù)大于零的型求積公式的求積系數(shù)大于零的結(jié)論結(jié)論. 這里用下

8、面的定理給出這里用下面的定理給出.,定理定理3 Gauss型求積公式的求積系數(shù)型求積公式的求積系數(shù) 大于零大于零nkkA1證明證明21()( )nkkkxxf xxx這里這里 為區(qū)間為區(qū)間a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的的n次正交多項(xiàng)式次正交多項(xiàng)式gn(x)的的n個(gè)根個(gè)根nkkx1顯然顯然kjxxkjxfnkiiikj, 1)(0)(1( )( ) ( )( )()nbnjjajI fx f x dx IfA f x21,()nkkiii kAxx，由于由于 ,所以對(duì)所以對(duì)f(x)求積公式求積公式(1)精確成精確成立立, 即即22( )nf xP21,()0,( ) ( )0nbkiaii

9、 kxxx f x dx因?yàn)橐驗(yàn)?,1,2,3,.,kAkn所以所以存在存在 ,使得使得( ) , mmpxP a bGauss型求積公式的收斂性型求積公式的收斂性 若若f(x) Ca,b,則則Gauss型求積公式所求積分值型求積公式所求積分值序列序列In(f)收斂于積分值收斂于積分值I(f).因?yàn)橐驗(yàn)閒(x) a,b, 由由Weierstrass定理對(duì)任意的定理對(duì)任意的 10,定理定理4即即bankkkndxxfxxfAlim)()()(1證明證明1( )( )mf xpx對(duì)任意的對(duì)任意的x a,b成立成立.()()0mnmI pIp由于公式由于公式(1)為為Gauss型求積公式時(shí)具有型求積

10、公式時(shí)具有2n-1次代次代數(shù)精確度數(shù)精確度,取取 N(m+1)/2()()nmmIpI p故當(dāng)故當(dāng) nN時(shí)時(shí),即即m2N-12n-1時(shí)時(shí), 有有成立成立.( )( )( )()()()nmmnmI fIfI fI pI pIp()( )nmnIpIf于是于是( )()( ) ( )( )bmmaI fI pxf xpx dx11nkkA1()()kmkf xpx1()( )()()nnmnkmkkkIpIfA pxf x11nkkA0,1,2,.,kAkn因?yàn)橐驗(yàn)橛浻?( )nbkakCx dxA故故11111( )( )02nnnkkkkI fIfAAClim( )( ).nnIfI f即即

11、三、三、Gauss型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用定理實(shí)際上給出了構(gòu)造定理實(shí)際上給出了構(gòu)造Gauss型求積公式的一種型求積公式的一種方法方法.先求出區(qū)間先求出區(qū)間a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的的n次正交多項(xiàng)式次正交多項(xiàng)式然后求出多項(xiàng)式的然后求出多項(xiàng)式的n個(gè)根個(gè)根,從而獲得了求積節(jié)點(diǎn)。從而獲得了求積節(jié)點(diǎn)。 最后代入下式求求積系數(shù)。最后代入下式求求積系數(shù)。mmnnmmnnnxAxAxAxAxAxAAAA221112211021Gauss-Lagendre求積公式的積分區(qū)間為求積公式的積分區(qū)間為-1,1,權(quán)權(quán)函數(shù)函數(shù) (x)=1. Gauss-Legendre求積公式的積分區(qū)間為求

12、積公式的積分區(qū)間為0,+ ),權(quán)權(quán)函數(shù)函數(shù)Gauss-Hermitte求積公式的積分區(qū)間為求積公式的積分區(qū)間為(- ,+ ),權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)( )xxe2( )xxe表表4-5為為Gauss-Legendre求積公式的求積系數(shù)和求積公式的求積系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)注意：注意：需要指出的是需要指出的是,不同求積公式的求積系數(shù)與求積不同求積公式的求積系數(shù)與求積節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn),積分區(qū)間和權(quán)函數(shù)是不同的積分區(qū)間和權(quán)函數(shù)是不同的.(1)例如例如,n點(diǎn)的點(diǎn)的Gauss-Chebyshev求積公式求積公式,它的它的n個(gè)個(gè)求積系數(shù)求積系數(shù):而而n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)則為個(gè)求積節(jié)點(diǎn)則為:12nAAAn21cos,1,2,. .2

13、kkxknn.正是因?yàn)檎且驗(yàn)镚auss-Chebyshev求積公式的求積系數(shù)求積公式的求積系數(shù)相同相同,所以在實(shí)際計(jì)算時(shí)所以在實(shí)際計(jì)算時(shí),乘法的次數(shù)只需一次乘法的次數(shù)只需一次,節(jié)節(jié)省了省了n-1次的乘法運(yùn)算次的乘法運(yùn)算.Gauss-Chebyshev求積公式的積分區(qū)間為求積公式的積分區(qū)間為-1,1,權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)211)(xx(2) Gauss-Chebyshev求積公式的求積系數(shù)是相同的求積公式的求積系數(shù)是相同的.問題是構(gòu)造區(qū)間問題是構(gòu)造區(qū)間0,1上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) 的兩的兩點(diǎn)點(diǎn)Gauss型求積公式型求積公式.( ) xx容易計(jì)算出當(dāng)容易計(jì)算出當(dāng) 時(shí)時(shí)23( )1, ,f xx xx111

14、220( )()()(,)x f x dxA f xA f xRx f求求A1, A2, x1, x2使求積公式使求積公式具有三次代數(shù)精確度具有三次代數(shù)精確度.方法方法110( )x f x dx2 2 2 2,3 5 7 9的積分值分別為的積分值分別為1212,A A x x,所求所求公式具有公式具有3次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度.故可得故可得為未知數(shù)的方程組為為未知數(shù)的方程組為例例1解解*2122()()0gxgx又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤1,x2為為Gauss型求積公式的求積節(jié)點(diǎn)型求積公式的求積節(jié)點(diǎn)所以它們是區(qū)間所以它們是區(qū)間0,1上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) 且且( )xx*2( )gx首項(xiàng)系數(shù)為首項(xiàng)系數(shù)為1

15、的二次正交多項(xiàng)式的二次正交多項(xiàng)式的兩個(gè)根的兩個(gè)根.*22( )gxxpxq不妨記不妨記,為此為此12,x x又因?yàn)橛忠驗(yàn)楸仨殱M足必須滿足(2),(3),(4)121 122221 122331 1222/32/52/72/9AAAxA xAxA xAxA x(1)(2)(3)(4)*121222*1 1212222(1)(2)(3)()()0(2)(3)(4)()()0qpAgxA gxqpAx gxA x gx所以由所以由222357222579qpqp 可得關(guān)于可得關(guān)于p,q的方程組為的方程組為109521pq 解此方程組得解此方程組得120.2899491980.821161912xx1

16、20.2775559970.389110669AA*22( )gxxpxq將所求將所求p,q代入代入,求得其根為求得其根為12,x x再將所求再將所求代入方程代入方程(1)(2),聯(lián)立解得聯(lián)立解得10( )0.277555997 (0.289949198)x f x dxf0.389110669 (0.821161912)(,)fRx f為此為此,公式公式為所求具有為所求具有3次代數(shù)精確度的求積公式次代數(shù)精確度的求積公式.( )xx*2( )gx求出區(qū)間求出區(qū)間0,1上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù)的二次正交多項(xiàng)式的二次正交多項(xiàng)式12,x x,并求出其根并求出其根,獲獲得求積節(jié)點(diǎn)得求積節(jié)點(diǎn).*012( )

17、,( ),( )gx gx gx21, ,x x由于由于和和都是都是線性無(wú)關(guān)組線性無(wú)關(guān)組,11/220( , )( ) ( ),( ,)f gx f x g x dxff f記記方法方法212,A A再求方程組獲得求積系數(shù)再求方程組獲得求積系數(shù)20,1P求得所需的求得所需的正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式.這種方法可以稱作將它們正交化這種方法可以稱作將它們正交化.所以考慮由所以考慮由*1000000( ),)( ,),)( ,)( ,)0gx exx e e ex ex e*00002( )1,(,)2/3,2/3gxggg令令*00*02( )3.2( )gxegx所以所以*100( )( ,),gxx

18、x e e又令又令這樣這樣*1( )gx0e0( )gx即如此作出的即如此作出的與與正交正交,也與也與正交正交.100323( ,)252x ex xdx 由于由于*11238( ),( )5175gxxgx所以所以*22221100( )(,)(,) .gxxx e ex e e2117516(,)8315x e2032(,),27x e*11*12( )1753175858( )gxexgx這樣這樣,同理可令同理可令*2( )gx10,e e并且容易驗(yàn)證并且容易驗(yàn)證,與與正交正交.*22105( )921gxxx所以所以容易求得容易求得這里需要附帶說明的是這里需要附帶說明的是,Gauss-Legendre,Gauss-Chebyshev求積公式作數(shù)值求積精度求積公式作數(shù)值求積精度不夠時(shí)不夠時(shí),可以采取將積分區(qū)間可以采取將積分區(qū)間a,b若干等分后若干等分后,將每一個(gè)子區(qū)間映射到區(qū)間將每一個(gè)子區(qū)間映射到區(qū)間-1,1上再用相同節(jié)上再用相同節(jié)點(diǎn)數(shù)的求積公