高三數(shù)學(xué) 不等式的性質(zhì)復(fù)習(xí) 人教大綱版

1、.1名師課堂輔導(dǎo)講座名師課堂輔導(dǎo)講座高中部分高中部分.2學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、不等式的性質(zhì)(1)ab a-b0 a=b a-b=0ab a-bb bb, bc ac(4) ab , cR a+cb+c(5)ab, c0 acbc ab, c0 acb0 (nN*且n1)a+bc ac-bab,cd a+cb+dab0,cd0 acbd 可推廣為：a1a2an0, b1b2bn0 a1b1a2b2anbn0ab0 anbn(nN*且n1) nnba .42不等式證明常用方法比較法 綜合法 分析法 換元法 反證法 放縮法利用函數(shù)單調(diào)性注：以上這些方法基本方法，是輔助證明方法。 比）作商比較（與比）作差比較

2、（與10.53不等式證明的依據(jù)不等式的性質(zhì)均值定理：i若a,bR，則a2+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）若a,bR+,則a+b2 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）若a,b,cR+，則a3+b2+c33abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號）若a,b,cR+，則a+b+c3 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號）柯西不等式： , ab3abc2222baba33222cbacba.6學(xué)習(xí)要求 1掌握不等式的性質(zhì)及不等式證明的三種基本方法：比較法、綜合法、分析法 2初步學(xué)會運用重要定理證明不等式.7學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1本講重點：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用 不等式的證明 2本講難點；不等式的證明方法 3剖析：不等式的證明是本講

3、的難點，突破難點的關(guān)鍵是觀察不等式的特點，從已知條件入手，結(jié)合所證的結(jié)論來尋求證題的途徑。 .8典型例題解析例1對于實數(shù)，判斷下列命題的真假：若ab，則acbc（假）若ab，則ac2bc2（假）若ac2bc2，則ab（真）若ababb2（真） 若aba+b證明：（方法一）(a-1)20,(b-1)20,(a+b)20但這三個式子的等號不能同時成立a2+b2+1+ab-a-b0 a2+b2+ab+1a+b2222222112122222221.1bababaabbabaabba.11（方法二）記 y=a2+b2+ab+1-(a+b)=a2-(1-b)a+b2+b+ay0 a2+b2+1+ab-a

4、-b0a2+b2+ab+1a+b0383133231412222bbbbbb.12例4設(shè)0a1a2a3an，記 求證：An-1An(n2)證明： 00 An-An-10 An-1AnnaaaAnn211121211naaanaaaAAnnnn 13211212111111nnnnnnnaaaaaaaannaaanaaannn.13例5已知a0、b0、nN*,求證：(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)證明： (1)當(dāng)ab0時,anbn a-b0,bn-an0 (a-b)(bn-an)a0時,a-ban bn-an0 (a-b)(bn-an)0時,a-b=0 (a-b)(bn-an)=

5、0 (a-b)(bn-an)0綜上:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)()()(22)(2)(11111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnabbabaabababababbabbaababababa.14 例 6 已 知 a 、 b 、 c 為 互 不 相 等 的 正 數(shù) ， 求 證 ：a2ab2bc2cab+cba+cca+b證明：a、b、c互不相等 不妨設(shè)abc0，則 , , bcacabcbcababacacbcbacbacbacba222cbcababcacabcbcabacbcabaccbbaa1222bacacbcbacbacbabacacbcbacbacba

6、2221baba1caca1cbcb.15abccbabaaccb222222abccbabaaccb222222例7求證： (a,b,cR+) 證明：b2c2+c2a22abc2 a2c2+a2b22a2bc a2b2+b2c22ab2c +得：a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c) 又a、b、c為正數(shù) a+b+c0 .16例8已知0ab1，求證： 證明：易證 同理 +得：原式成立 22111122222222babababa2222babababa2222baba122122baba122122baba11221122222222221111babababa22111122bab

7、aba.17例9若a、b、c均為正數(shù)且a+b+c=1，求證： 證明：a+b+c=1 a、b、c正數(shù) abc abc 271abc9111cba27111222cba31222cba29111accbba271)31()3(33cba271.1833 abccba313111abccba339133)111)(abcabccbacba9111cba（方法一）a、b、c為正數(shù) 又a+b+c=1 .19（方法二） 9111922233111)111)(1111cbacbbccaacbaabcbbccaacbaabcbcabcbaacabccbabcbaacbacbacbacbacba.2027331

8、3)()(111(111333222222222abcabccbacbacbacbacba a2+b22ab b2+c22bc a2+c22ac2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ac3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2ca+2bc a+b+c=1a+b+c=1 原式成立 2222)(31cbacba31222cba accbbaaccbbaaccbbacbaaccbba11121111111291332133accbbaaccbba.213cbacbacba323cba022cabcabcba0)()()(222accbba例10 a、b、c是正數(shù)且a+b+c=1，求證：證

9、明：a+b+c=1要證：只需證：即證：即證： 上式顯然成立，故原式成立。 .22)1 ()1 ()2()1 ()(12222222xxxxbababxaxbaxbxa011)1 ()1 (2)1 (22222xxxbaxxxabxxbxax222)(1baba222)(1baba例11已知：0 x1,求證： 證明：（方法一）0 x1 01-x1 =（方法二）0 x1 設(shè)x=sin2，則1-x=cos222222222222222222222tancot2seccsccossin1baabbabababababa222)(1baba.23212122aaaa2121aataa21222taa2222tt22224422222222tttttt42242222222ttttt例12已知aR+，求證：證明：令 則原不等式 t2成立 t24 原式成立 .242221baba2221cbcb2221acac3222213accbba例13求證：已知0a,b,c1,b(2-c)1,c(2-a)10a,b,c0,2-c0,2-a0 +得：33矛盾 故原式成立 .25cbacacababa222222222222432432acaabacacababacbacabacaba22)2(