力矩迭代法的基本概念

1、一 力矩迭代法的基本概念力矩迭代法常簡稱為迭代法。如同力矩分配法一樣，它也是以位移法為基礎的一種漸近解法，也是以桿端彎矩作為運算對象，桿端彎矩也采用相同的正負號規(guī)定。兩者的區(qū)別是：在每次漸近運算中，力矩分配法計算的是桿端彎矩新添的增量，力矩迭代法計算的是桿端彎矩全量的新一輪近似解。此外，力矩分配法一般只用于解無側移剛架，力矩迭代法科用于解無側移和有側移的剛架。本節(jié)先以無側移剛架為例說明力矩迭代法的基本概念。1. 轉角彎矩圖1a所示為無結點線位移的剛架中任一等截面桿件AB，桿端彎矩公式為 （a）這里是桿的線剛度，m是固端彎矩（圖1b）。定義桿端轉角彎矩如下（圖1c和d）： （b）圖1和稱為AB桿

2、在A端和B端的轉角彎矩。注意，某端轉角彎矩是指由該端轉角在該端引起的彎矩。例如，由近端轉角引起的近端彎矩稱為近端轉角彎矩，由遠端轉角引起的遠端彎矩稱為遠端轉角彎矩。至于有某端轉角在他端引起的彎矩則可利用傳遞系數(shù)由該端轉角彎矩導出，其值為該端轉角彎矩乘以由該端到他端的傳遞系數(shù)。當他端為剛結時，則為該端轉角彎矩的一半。例如，由近端轉角在遠端引起的彎矩等于近端轉角彎矩之半，由遠端轉角在近端引起的彎矩等于遠端轉角彎矩之半。將式（b）代入式（a），就得到以兩端轉角彎矩表示的桿端彎矩的公式如下：（1）即桿件某端彎矩 = 該端轉角彎矩 + （他端轉角彎矩）+ 該端固端彎矩2. 轉角彎矩的迭代公式根據(jù)結點力矩

3、平衡條件，再引入分配系數(shù)的概念，可導出關于轉角彎矩的迭代公式。首先，在無結點線位移剛架中取結點A作隔離體，可寫出力矩平衡方程（圖1e）可簡寫為 (c)這里表示與結點A相連的任一桿，表示對交于A點的所有各桿求和。將式（1）的第一式代入式（c），得引用符號 (2)表示交于結點A的各桿在A端的固端彎矩之和。于是，結點A的力矩平衡方程可表示為 （d）其次，考慮到在剛結點A處相連各桿的桿端轉角彼此相等，由式（b）可知 （e）令 （3）稱為桿的轉角彎矩分配系數(shù)(結點分配系數(shù))。式（e）可寫成 （f）相交于A點的各桿的A端轉角彎矩等于結點A的總轉角彎矩按分配系數(shù)分配給各桿，而分配系數(shù)等于桿的線剛度與交于A點

4、的各桿線剛度之和的比值。同一結點各桿轉角彎矩分配系數(shù)之和應等于1，即 （g）最后，將式（d）代入式（f），得 （4）式（4）即為無結點線位移剛架的轉角彎矩的迭代公式，此式對剛架中的任一結點A都適用。對于結點A來說，式（4）的左邊是桿的近端轉角彎矩，右邊則與遠端轉角彎矩和結點不平衡力矩有關。應用迭代公式（4）時，先將前一輪已經(jīng)求出的遠端轉角彎矩代入公式右邊，于是就求出新一輪的近端轉角彎矩。3. 計算步驟用力矩迭代法計算無結點線位移剛架的步驟可歸納如下：（1）計算由載荷產(chǎn)生的各桿的固端彎矩，由式（2）求出各結點的不平衡彎矩。（2）用式（3）計算剛結點處各桿的轉角彎矩分配系數(shù)。（3）用迭代公式（4）

5、求各桿的（近端）轉角彎矩。在第一輪，可設遠端轉角彎矩為零，由式（4）求得轉角彎矩的第一輪近似解。在以后各輪，遠端轉角彎矩采用前一輪的近似值，由式（4）求得轉角彎矩的新的近似值。經(jīng)過多次迭代計算，直至各桿轉角彎矩的值趨于穩(wěn)定為止。（4）最后一步是用式（1）計算各桿端的最后彎矩。最后說明一下力矩迭代法和力矩分配法的關系。現(xiàn)以力矩分配法的觀點重新解釋一下力矩迭代法的主要迭代公式（4）。式（4）右邊括號內的第二項為結點A由載荷作用產(chǎn)生的不平衡彎矩，第一項為點傳來的傳遞彎矩（端轉角彎矩的一半），所以括號內為結點A的總不平衡力矩。為使A點平衡，需在A點施加負值的不平衡力矩，然后按各桿的彎矩分配系數(shù)分配給各

6、桿，得各桿的分配彎矩（即轉角彎矩）。從以上的解釋可以看出，力矩迭代法與力矩分配法在原理上是一樣的，都是以位移法作為理論基礎、以桿端彎矩表示的漸近解法。但在具體計算時，兩者又有區(qū)別，在力矩迭代法的迭代公式（4）中，計算的是轉角彎矩的全值；而在力矩分配法中，每一次計算的是分配彎矩（和傳遞彎矩）的增量。當漸近過程結束時，在力矩迭代法中桿端轉角彎矩應趨于穩(wěn)定；而在力矩分配法中分配彎矩的增量應趨于零。二 力矩迭代法計算有側移的剛架本節(jié)進一步將力矩迭代法用于計算有側移剛架，基本思路與上節(jié)相同，但需補充考慮結點線位移的影響及其計算方法。1、 轉角彎矩和位移彎矩在有結點線位移的剛架中，任一等截面桿件AB（圖2

7、a、b）的桿端彎矩公式為 （5）與式（1）相比，上式右邊增加了一項和，它們是由于桿件兩端有相對位移而產(chǎn)生的桿端彎矩，稱為位移彎矩： 式（5）可用文字表述如下：桿件某端彎矩=該端轉解彎矩+（他端轉角彎矩）+該端位移彎矩+該端固端彎矩其中轉角彎矩表示結點角位移的影響，位移彎矩表示結點線位移的影響，固端彎矩表示結點完全被約束時荷載作用的影響。圖2在有側位移剛架中，由于存在結點角位移和線位移兩類基本未各量，存在轉角彎矩和位移彎矩兩類未知桿端彎矩，因此需應用結點力矩平衡和樓層截面水平力平衡兩類平衡方程導出關于轉角彎矩和位移彎矩的兩類迭代公式。2、 轉角彎矩的迭代公式上節(jié)根據(jù)結點力矩平衡方程和轉角彎矩分配

8、系數(shù)的概念導出了無側移情況的轉角彎矩迭代公式（4）現(xiàn)在按照同一思路導出有側移情況的轉角彎矩迭代公式。首先，取結點A為隔離體（圖2c），寫出力矩平衡方程即 由此得 其次，根據(jù)式（3），引入轉角彎矩分配系數(shù)，可由結點A的總轉角彎矩求出Aj桿的A端轉角彎矩，即 （6）式（6）是有側移剛架的第一類迭代公式，此式用于求新一輪的桿端轉角彎矩。3、 位移彎矩的迭代公式根據(jù)樓層截面水平力平衡條件和位移彎矩分配系數(shù)的概念可導出關于位移彎矩的迭代公式。圖2d表示沿第層各柱柱頂作一截面所得的隔離體?？紤]作用于些隔離體上各水平力的平衡，可得 （a）式中為第層柱頂截面以上所有水平荷載的總和，稱為樓層剪力，水平荷載以向右

9、為正； 為第層力各柱柱頂截面剪力之和。作用于柱AB的桿端剪力為式中表示該柱在兩端簡支情況下由荷載產(chǎn)生的剪力。將桿端彎矩公式（5）代入上式，得令表示柱AB的固端剪力，即 （7）則有將QAB代入式（a），則截面水平平衡方程可寫為 （b）因為第層內各柱的高度相同，（即：同層同高）均為，即；由式（b），有 （c）為了表達簡明，再引入以下符號 （8）這里稱為第層的樓層力矩。式（c）變?yōu)橛缮鲜娇梢郧蟪龅趯觾人懈髦奈灰茝澗刂?。因為，而在一樓層內為一常?shù)，故分配到該層各柱內的位移彎矩與其相對i值成正比。因此有式中為AB桿的位移彎矩分配系數(shù)。在同一層內各柱位移彎矩分配系數(shù)之和應為1.下面為了迭代運算的方便

10、，將上兩式改寫為 （9）式中 （10）稱為AB桿修正后的位移彎矩分配系數(shù)（側移分配系數(shù)），以后就稱為位移彎矩分配系數(shù)。這樣，在同一層內各柱修正的位移彎矩分配系數(shù)之和變?yōu)?/4。式（6）和式（9）即為有結點線位移剛架的轉角彎矩和位移彎矩的迭代公式。注意：若第層內各柱的高度不相同（即：同層不同高），此時可選擇多數(shù)相等的柱高為標準柱（層）高，并引入層高影響系數(shù)：，則（9），（10）兩式變?yōu)椋?（9） （10）按照上面的公式，用力矩迭代法計算有結點線位移剛架的步驟可表述如下：（1）計算由荷載產(chǎn)生的各桿的固端彎矩，由式（2）求出各結點的不平衡彎矩；由式（7）計算由荷載產(chǎn)生的各柱的固端剪力，由式（8）求出

11、各層的縷層力矩。（2）用式（3）計算結點處各桿的轉角彎矩分配系數(shù)；用式（10）計算各層各柱的位移彎矩分配系數(shù)。（3）用式（6）計算各桿的轉角彎矩，用式（9）計算各柱的位移彎矩。這里是交替地運用這兩個式子進行演算，即逐次迭代；直至達到所需精度時為止。迭代的的順序可以任意。但通常仍按一定的順序，如無水平荷載作用時，常先從計算轉角彎矩開始；當有水平荷載作用時，則常先從計算位移彎矩開始；并均按照一定的結點和樓層順序進行。（4）最后，用式（5）計算各桿的桿端彎矩。迭代法計算公式匯總： (2) 結點不平衡彎矩； 層高影響系數(shù)，為標準柱（層）高； （3） 結點分配系數(shù) （10） 側移分配系數(shù) （8） 樓層彎

12、矩其中為外水平力之和； 為樓層各柱頂剪力之和（即固端剪力）； （6） 轉角迭代公式； （9） 側移迭代公式； 例1用力矩迭代計算圖3所示剛架各桿的桿端彎矩。解：（1）各結點的不平衡彎矩和各層的樓層力矩各桿的固端彎矩為將這些固端彎矩寫在圖4中各桿端部，并在其下邊畫一虛線，以便和以后寫入的轉角彎矩有所區(qū)別。然后，算出各結點的不平衡彎矩將各結點的不平衡彎矩寫在各結點的內框中。各柱的固端剪力為各樓層剪力為第2 層頂 第1層頂 由式（8），各層的樓層力矩為 將這些樓層力矩寫在圖4中各承受荷載的左方的方格內。圖4（2）轉角彎矩分配系數(shù)和位移彎矩分配系數(shù)以結點D為例，各桿端的轉角彎矩分配系數(shù)為將各結點桿端的

13、轉角彎矩分配系數(shù)寫在結點處內、外方框之間的桿端相應位置。以底層（第1層）柱為例，各柱位移彎矩分配系數(shù)為將各層各柱的位移彎矩分配系數(shù)寫在圖4中各柱中間的左旁。（3）迭代計算位移彎矩和轉角彎矩本例題中因位移彎矩的數(shù)值大于轉角彎矩數(shù)值，故從位移彎矩的計算開始。起算時先假設各轉角彎矩為零，從式（9）可得各層各柱的位移彎矩的第一次近似值如下：第2層各柱，結果寫在各柱的右側邊。然后，進行轉角彎矩的計算。用式（6）計算各結點轉角彎矩的第一次近似值，開始時仍假設各桿遠端轉角彎矩為零，當有了遠端轉角彎矩值后，即按其值計入。計算結點順序為。如結點D，結點E，結點F，將各結點的轉角彎矩第一次近似值寫在圖4中各桿端的

14、相應位置。第一輪迭代計算結束后，可以按照同樣的順序，進行第二、三、輪迭代計算。本倒是圖4中進行了五輪迭代。第四、五輪數(shù)值已穩(wěn)定，迭代停止。用式（5）計算各桿桿端彎矩。圖4中已有各桿的固端彎矩mAB和求出的近端轉角彎矩，位移彎矩，只需把遠端的轉角彎矩傳過一半（即），疊加在一起即得最后桿端彎矩MAB。結果示于圖5a中，橫線下為最后桿端彎矩。彎矩圖如圖5b所示。圖5三 多層多跨剛架的近似計算用精確法計算多跨多層剛架，常有大量的計算工作，如不藉助于計算機，往往無法進行計算。近似法可以在一定條件下，以較小的工作量，取得較為粗略的解答，具有一定的實際意義。下面介紹幾種常用的近似方法。1、分層計算法分層計算

15、法適用于多層多跨剛架承受豎向荷載作用下的情況，其中兩個近似假設：第一，忽略側移的影響，用力矩分配法計算。第二，忽略每層梁的豎向荷載對其他各層的影響，把多層剛架分解成一層一層地單獨計算。例如，圖6a所示為一個四層剛架，可按層分為圖64b所示的四個剛架分別計算。除底層外，每個柱同屬于相鄰兩層剛架，因此柱的彎矩應由兩部分疊加得出。圖6為了說明第二個假設，我們來分析某層的豎向荷載對其他各層的影響問題。首先，荷載在本層結點產(chǎn)生不平衡力矩，分配和傳遞，才影響到本層柱的遠端。然后，在柱的遠端再經(jīng)過分配，才影響到相鄰的樓層。這里經(jīng)歷了“分配傳遞分配”三道運算，余下的影響已經(jīng)較小，因而可以忽略。在各個分層剛架中

16、，柱的遠端都假設為固定端。除底層柱底外，其余各柱的遠端不是固定端，而是彈性約束端。為了反映這個特點，在各個分層剛架中，可將上層各柱的線剛度乘以折減系數(shù)0.9，傳遞系數(shù)由改為。分層計算的結果，在剛結點上彎矩是不平衡的，但一般誤差不會很大。如有需要，可對結點的不平衡彎矩，再進行一次分配。2、反彎點法上面介紹的分層計算雙只能應用于多層多跨剛架承受豎向荷載作用下的情況，面不能應用于承受水平荷載作用下的情況。因為這時既不能忽略側移的影響，而且荷載的影響也不局限在本層。反彎點法是多層多跨剛架在水平結點荷載作用下最常用的近似方法，對于強梁弱柱的情況最為適用。反彎點法的基本假設是把剛架中的橫梁簡化為剛性梁。例

17、如，圖7a所示簡單剛架，橫梁與立柱線剛度之比為，屬于強梁弱柱的情況。其彎矩圖如圖7b所示。如果采用反彎點法，則假設，按圖8a的理想剛架計算。這時，剛架變形的特點是結點有側移而無轉角；彎矩圖的特點是立柱中點的彎矩為零（8b），利用這個特點，整個彎矩圖即可按下列程序直接畫出。第一步，由于對稱性，得知各柱剪力為；第二步，由于彎矩零點（即反彎點）在立柱中點，可知各柱兩端彎矩為，由此可畫出立柱的彎矩圖；第三步，根據(jù)結點的平衡條件，可求出梁端彎矩，并畫出橫梁的彎矩圖。由此看出，在反彎點法中，由于近似地規(guī)定了反彎點位置，從而使計算工作大為簡化。圖7圖8另一方面，從圖7b和8b看出，彎矩的相對誤差只有5%。由

18、此看出，如果梁柱線剛度比值，則可采用反彎點法計算，并能得到較好的精度。反彎點法也可應用于各柱剛度不相等的剛架。在圖9a中，橫梁為剛性梁；左柱線剛度為i1，高度為h1；右柱線剛度為，高度為。由于兩柱側移相等，因此，兩柱的剪力應為（圖9b）： （a）這里，是柱的側移剛度系數(shù)，即柱頂有單位側移時所引起的剪力。由平衡條件，兩柱剪力的和應等于等于P，即 （b）由式（a）和（b）可求出 （c）由此看出，各柱 剪力與該柱的側移剛度系數(shù)k成正比，稱為剪力分配系數(shù)。因此，荷載P按剪力分配系數(shù)分配給各柱。由于彎矩零點在柱中點，故可作出剛架彎矩圖如圖9c所示。圖9綜上所述，反彎點法的要點可歸納如下：（1）剛架在結點

19、水平荷載作用下，當梁柱剛度比值時，可采用反彎點法計算。（2）反彎點法假設橫梁相對線剛度為無限大，因而剛架結點不發(fā)生轉角，只有側移。（3）剛架同層各柱有同樣側移時，同層各柱剪力與柱的側移剛度系數(shù)成正比。每層柱共同承受該層以上的水平荷載作用。各層的總剪力按各柱側移剛度所占的比例分配到各柱。所以，反彎點法又可稱為剪力分配法。（4）柱端彎矩是由側移引起的，所以，柱的反彎點在柱中點處。在多層剛架中，底層柱的反彎點常設在柱的高度處。（5）柱端彎矩根據(jù)柱的剪力和反彎點的位置確定。梁端彎矩由結點力矩平衡條件確定，中間結點的兩側梁端彎矩，按梁的轉動剛度分配不平衡力矩求得。例 用反彎點法計算圖10所示剛架，并畫出

20、彎矩圖。括號內數(shù)字為桿件線剛度的相對值。解：設柱的反彎點在高度中點。本例中，因為底層梁與柱的線剛度比較大，所以底層柱的反彎點沒有設在柱的2/3高度上，仍設在高度中點。在反彎點處將柱切開，隔離體如圖10 所示。（1）求各柱剪力分配系數(shù)頂層 圖10圖11底層 （2）計算各柱剪力（3）計算桿端彎矩以結點E為例說明桿端彎矩的計算。桿端彎矩計算梁端彎矩時，先求出結點柱端彎矩之和為按梁剛度分配：圖12是剛架彎矩圖。括號內數(shù)值是精確法計算的桿端彎矩。圖12最后指出，對于橫梁與柱線剛度比小于1的剛架，有一種廣義反彎點法D值法可以計算。 3.復式剛架的剪力分配法復式剛架是指一層或數(shù)層橫梁不全部貫通的剛架（圖13）。這種剛架