第二十七講空間角與距離

1、第二十七講 空間中的角與距離基礎(chǔ)知識(shí)一. 空間角的計(jì)算空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為（0°, 90° 、0°，90° 和0°，180° 。1. 兩條異面直線所成的角：求法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；（2）通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是 （0,上，向量所成的角范圍是0,二，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)2化成相應(yīng)的銳角2. 直線和平面所成的角：求法：“一找二

2、證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”3. 二面角的證明與計(jì)算：解決二面角的問(wèn)題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：（I）定義法；（n）利用三垂線定理或逆定理；（川）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面， 截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法. 此外，當(dāng)作二面角的平面S*角有困難時(shí)，可用射影面積法解之，cos =，其中S為斜面面積，S'為射影面積，S為斜面與射影面所成的二面角二. 空間距離的計(jì)算1. 點(diǎn)到平面的距離：平面外一點(diǎn)P在該平面上的射影為 P '，則線段PP&#

3、39;的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離； 求法：（1） “一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。（2）等體積法。2. 直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；3. 平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，即一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一平面的距離叫做這兩個(gè)平行平面的距離。典型例題題型一：空間角的計(jì)算例1如圖，已知點(diǎn) P在正方體 ABC A A1B1C1D的對(duì)角線 BD上，/ PDA=60。C'C圖 4-2-6(1) 求DP與CC1所成角的大小；(2) 求DP與平面AA1D1D所成角的大小?！军c(diǎn)擊思維生長(zhǎng)點(diǎn)】 由題目可獲得的主要信

4、息及解題思路：本題是以正方體為背景求空間角問(wèn)題，通性通法是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解題。點(diǎn)P的位置是以/ PDA=60給定的。解決本題必須確定點(diǎn) P的坐標(biāo)。如何求出DP的坐標(biāo)？可以設(shè) DP $；0乜DPDD，。9=(;,1-)1COS<DP,DA>=2 -1 ；2DP =( .2 -1八2 -1,2 -2) =( 一2 -1)(1,1, .2)若把DP延長(zhǎng)與D，B，相交于點(diǎn)H,可設(shè)H(m,m,1),使運(yùn)算更簡(jiǎn)單。uu解：如圖，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系D - xyz 則DA二(10Q ,UUITCC(0,01) 連結(jié) BD , B D 在平面 BBDD 中，延長(zhǎng)

5、 DP 交 B D 于 H UUIT設(shè) DH =(m, m,1)(m0),uuu uuu由已知：DH ,DA *=60o ,uiu uuuuur uuuuuT| uuu由 DAgDH = DA DH cosvDA,DH >可得 2m h ：'；'2m21 .近 uuu解得m ，所以DH2,1 I2 2丿uuu uuu(I)因?yàn)?cos ： DH ,CC -0 -0112 212yuuu uuu所以:：:DH ,CC45° .即DP與CC 所成的角為45：.(n)平面 AADD的一個(gè)法向量是uuuDC =(010).uuu uuu1 .2因?yàn)?cos ： DH ,

6、DC -uuu uuu所以:：:DH ,DC 60°.可得DP與平面AA D D所成的角為30 .【收獲與點(diǎn)評(píng)】3本題以正方體為載體， 考查空間角問(wèn)題，利用空間向量是解此類問(wèn)題 的通性通法。但運(yùn)算量比較大， 得分不高。難度系數(shù)為 0.16。因此復(fù)習(xí)要增強(qiáng)運(yùn)算能力的培 養(yǎng)。平面的法向量只是表示方向與大小無(wú)關(guān)， 因此做題時(shí)可以選擇特殊位置的向量進(jìn)行計(jì)算。比如本題中把 DP延長(zhǎng)變?yōu)镈H;也可以把DP =(、. 2, 2)變成DP =4(1,1,2)簡(jiǎn)化運(yùn)算。例2. ( 2011廣東理)如圖，在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且DAB =60 , PA =PD = 2, PB

7、=2, E,F 分別是 BC, PC 的中點(diǎn).(I)證明：AD _平面DEF ;(n)求二面角 P - AD - B的余弦值.18. (2011廣東理)【解析】(I)連接 AE , BD ,因?yàn)锳BCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且 DAB =60 ,E是BC的中點(diǎn)，所以 ABD BCD均為正三角形,且 DE 3, BE =丄，ABE =120 ,2 2所以 AE2 二 AB2 BE2 -2AB BE cos ABE 二-4所以 AD2 DE2 =1 3=AE2，從而 AD _ DE ,44取AD的中點(diǎn)M ,連接PM, B M 因?yàn)镻 M P D BA = BD ,所以PM _ AD, BM _ AD

8、,又PM n BM =M，所以AD _平面PBM，所以AD _ PB在 BCP中，因?yàn)镋,F分別是BC, PC的中點(diǎn)，所以EF/PB，所以AD _ EF又 EFI DE 二 E ,所以 AD _ 平面 DEF .(n)解法一：由(i)知.BMP為二面角P _ AD _ B的平面角， 易得 BM 3 , pm =、(、2)2 J)27 ,2V22在. BPM中，PB =2,由余弦定理得cos. BMPBM 2 PM 2 - PB2.212BM PM所以二面角P - AD -B的余弦值為一 1解法二：先證明DF _平面ABCD，即證明DF _ DE即可,在 Rt.PBC 中，PC = 22 125

9、c oD sC1 P( _5一)(2匯5 V所以在 FDC 中，DF2 =12(丄2 - 2 15_22 45在 DEF中,22 v3 212DE2 DF 2 = ( )21 = EF 2,故24DEF為直角三角形，從而建立空間直角坐標(biāo)系D -xyz如圖所示，則 D(0,0,0), A(1,0,0), P(2,f,1),1所以DA"",.3T1),設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為 m =(x, y,z)，則n1 DA =0n dp -0x = 0從而143-x-y +z = 0.22x = 0解得 t43 ，令 y = 2得n,=(0,2,J3)z =yi2顯然平面DAB的一個(gè)法

10、向量為 山珂0,0,1)，從而cos, n26 n2 =丄321 ,所以二面角P 一 AD - B的余弦值為 21Imig | 77177例3.如圖，在四面體 A-BCD中，AD _平面BCD , BC _CD,AD =2, BD =2.2. M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC 上,且AQ二3QC .(1)證明：PQ /平面BCD ;(2)若二面角C - BM -D的大小為600,求.BDC的大【答案】 解：證明(I)方法一：如圖6,取MD的中點(diǎn)F,且M是AD中點(diǎn)，所以AF = 3FD .因?yàn)镻是BM中點(diǎn)，所以PF /BD ;又因?yàn)?I) AQ = 3QC且AF =3FD ,所以Q

11、F /BD ,所以面PQF /面BDC ,且PQ 面BDC ,所以PQ/ 面 BDC ;1方法二：如圖7所示,取BD中點(diǎn)O,且P是BM中點(diǎn)，所以PO/ MD ;取CD的三等211分點(diǎn) H ,使 DH =3CH ,且 AQ =3QC ,所以 QH/-AD/-MD ,所以42P CL/ Q HP Q/ ，(且H)H BCD ,所以 PQ / / 面 BDC ;(n )如圖 8所示，由已知得到面 ADB _面BDC ,過(guò)C作CG _ BD于G ,所以CG _ BMD,過(guò)G作GH _ BM于H ,連接CH ,所以 CHG就是C - BM - D的二面角；由已知得到BM =癥廠厲=3,設(shè)BDC =,所以

12、CD. CG CBcos： ,sin :BDCD二 CD = 2、2 cos： ,CG = 2、2 cos： sin : , BC = 2 2 sin ：, BD在 RT BCG 中，BCGBG一 2-:sinBG =2 一 2sin :-,所以在BCRT：BHG中，HG2>/2si n2 aJ HG，"3,所以在RT CHG中DEH * cctan CHG=tan603 花2 2 cos sin :2 2sin2:.tan ：二.卅三(0,90：二 60、 BDC 二 60 ；題型二：空間距離的計(jì)算例 4在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 中，AB=4，BC=3，CC1=2

13、，如圖：求證：平面A1BC1/平面ACD1； 求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離； 求點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離。證明：由于 BC1 / AD1，貝U BC1 /平面ACD1,(1)(2)(3) 例 4. (1)AlD1BlCl同理，A1B /平面ACD1,則平面 A1BC1 /平面ACD1。(2)解：設(shè)兩平行平面 A1BC1與ACD1間的距離為d，貝U d等于D1到平面 A1BC1的距離。易求 A1C1=5,A1B=2 ,5 , BC1= 13，貝U cosA1BC1=2 ，則V'656i1由于 VD1*BC1 =VBTC1D1，則 3 S 也! BGsinAiBCi= 61，貝V=

14、T61。d=3 (2AD1c1D1)BB1,代入求得 dlT，即兩平行平面間的距離為 12芒1 。61(3)解：由于線段 BiDi被平面AiBCi所平分，則Bi、Di到平面AiBCi的距離相等， 則由(2)知點(diǎn)Bi到平面AiBCi的距離等于12-61 。61點(diǎn)評(píng)：立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地 “立”起來(lái)。在具體的問(wèn)題中，證明和計(jì)算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個(gè)輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在， 通過(guò)對(duì)這個(gè)平面的截得， 延展或構(gòu)造，綱舉目張，問(wèn)題就迎刃而解了。例5.( 2009江西卷理)在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_平面ABCD，P

15、A=AD=4， AB = 2.以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球面交 PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N . (i)求證：平面 ABM丄平面PCD ；(2)求直線CD與平面ACM所成的PNMAOD角的大小；(3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離.例5、解：方法一：(i)依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM 丄 MC。又因?yàn)镻 A丄平面 ABCD，貝y PA丄CD，又CD丄AD ,所以CD丄平面PAD，貝U CD丄AM，所以A M丄平面 PCD, 所以平面 ABM丄平面 PCD。(2)由(i)知，AM _ PD，又PA二AD，則M是PD的中點(diǎn)可得AM =2、2 , MC = .MD2 CD2 =2.3則 S

16、ACm i AM MC =2 .62設(shè)D到平面ACM的距離為h，由 VcM =VM丄CD即2 6h = 8 ,設(shè)所求角為二，則si nrCD 3(1) 可求得PC=6。因?yàn)锳N丄NC,-arcs in 3PN pa8，得 PN 。所以 NC:PC =5:9。3由pa pc5故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的Y。9又因?yàn)?M是PD的中點(diǎn)，貝U P、D到平面 ACM 的距離相等，由(510、6h =927方法二：(1) 同方法一；2)可知所求距離為C(2) 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0, 0, 0), P(0,0,4),B(2,0,0) ,C(2,4,0) , D(0,4

17、,0) , M (0,2,2)；設(shè)平面 ACM 的一個(gè)法向量 n = (x, y,z),，令z = 1，則由ham可得：2x 4八02y + 2z = 0n =(2, -1,1)。設(shè)所求角為二，則sin ：-3，所以所求角的大小為arcsin至。(3)由條件可得，NC =PC PN 二1038AN _ NC 在 Rt PAC 中，PA2 二 PN PC所以 PN ,則355，所以所求距離等于點(diǎn) P到平面ACM距離的，設(shè)點(diǎn)P-9NCPC 9到平面ACM距離為h則h =AP nT =蘭，所以所求距離為51。39273拓展練習(xí)1. (2013 年高考新課標(biāo) 1 (理)如圖，三棱柱 ABC-ABiCi

18、 中,CA=CB,AB=AA, / BAAi=60°(I )證明AB丄AC;(II)若平面 ABCL平面 AAB1B,AB=CB=2,求直線 AC與平面BBGC所成角的正弦值【答案】(I )取AB中點(diǎn)E,連結(jié)CE'AB'AE, AB=AA , NBAA = 60°, A BAA 是正三角形(n )由(I )知 ECL AB, EA 丄 AB,又面 abcl面 ABBA ,面 ABcn面 ABBA =ab, ec丄面ABBA,二 eclEA, ea,ec, EA兩兩相互垂直，以e為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA勺方向?yàn)閤軸正方向,| eA |為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示空間直角坐

19、標(biāo)系O -xyz,有題設(shè)知 A(1,0,0), A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0), 則BC =(1,0, V3), BB = AA =(-1,0,-3), AC =(0,-3 ,3),設(shè)n = (x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,n. .n*BC =0則 ,即 Jx + £z=0,可取 n =(73,1,-1),n * BR =0 x , 3y = 010 cos： n, AC ； = n'|n| AC| 5I-直線AC與平面BBCC所成角的正弦值為 二052. (2013江蘇理)如圖，在直三棱柱 ABG - ABC中，AB _ AC , AB =

20、 AC =2 , AA, =4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線 A1B與C1D所成角的余弦值 求平面ADCi與ABAi所成二面角的正弦值【答案】 本題主要考察異面直線二面角空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算 空間向量解決問(wèn)題的能力,考察運(yùn)用解: 以AB, AC, AA1 為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) - xyz,(工22壯I則 A(0,0,0) B(2,0,0), C(0,2,0), A (0,0,4) , D(1,1,0), Ci (0,2,4) AB =(2,0,-4), AB =(1,-1,-4)二 cos ：AB,GD =A1B C1 DA| B C1D18_ 3、10.20-18 10異面直線 ab與C1D所成角的余弦值為3,1010(2) AC =(0,2,0)是平面ABA1的的一個(gè)法向量設(shè)平面 ADC1 的法向量為 m=(x, y,z), / AD =(1,1,0), AG =(0,2,4)由 m _ AD,m _ AC1x + y = 0 、2y +4z =0取z =1,得y = -2, x = 2 , 平面A