人口發(fā)展趨勢預(yù)測

1、浙江省人口開展趨勢預(yù)測楊丙良通信工程高勇數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)楊麗娜計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)2021/3/20浙江省人口增長預(yù)測模型簡述:本文對浙江省人口增長趨勢進(jìn)行了研究,建立人口增長模型.選用了馬爾薩斯人口增長模型,阻滯增長模型,非線性插值,灰度模型.得到預(yù)測結(jié)果如下：年份20212021202120212021人數(shù)52045227.55250.65273.65296.5年份20212021202120212021人數(shù)5319.55342.653665389.65413.6考慮到老齡化以及性別比例對人口增長的影響, 通過灰色序列, 得到了人口的出生率、死亡率的模型,預(yù)測未來長時間內(nèi)的人口增長 情況,并且進(jìn)

2、一步通過圖形解釋,說明了人口增長的大致趨勢.但是由于浙江省統(tǒng)計年鑒中數(shù)據(jù)不全面,無法找到詳盡的數(shù)據(jù) 資料,造成了對年齡結(jié)構(gòu)、性別比例、城鄉(xiāng)差異等因素的無法考慮在 內(nèi),鑒于此因素,本文對長期人口預(yù)測不做說明.一 問題重述背景：伴隨著社會不斷開展,浙江省新時期內(nèi)的開展受到人口增長的極 大影響,人口增長預(yù)測的研究是國家地區(qū)制定未來人口開展目標(biāo) 和生育政策等有關(guān)人口政策的根底,對于經(jīng)濟(jì)方案的制定和社會戰(zhàn)略 目標(biāo)的決策具有重要參考價值.人口增長對人民的經(jīng)濟(jì)生活,政治生 活,文化生活,娛樂生活等方面都有極大的影響.浙江省是人口大省、地域小省資源小省,雖然從“資源小省、 經(jīng)濟(jì)小省國家投入小省、工業(yè)小省迅速開

3、展成為“經(jīng)濟(jì)大省, 但人口問題始終是制約浙江省開展的關(guān)鍵因素之一.因此對浙江省人 口增長做出合理分析和預(yù)測顯得十分的重要. 近年來浙江省的人口發(fā) 展出現(xiàn)了一些新的特點,例如,老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持 續(xù)升高,以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素,這些都影響著浙江省人口的增 長.問題：收集浙江省人口統(tǒng)計資料,并根據(jù)數(shù)據(jù)資料內(nèi)容,從浙江省的實 際情況和人口增長的特點出發(fā),建立浙江省人口增長的數(shù)學(xué)模型, 并 由此對浙江省人口增長做出預(yù)測.分別從不同的方面對人口增長做出 短期,中期,長期的預(yù)測.以及分析老齡化特點等問題.二問題假設(shè)1、假設(shè)所研究問題處在封閉系統(tǒng)中,不考慮外來人口影響.2、在所研究時段內(nèi),不

4、發(fā)生大規(guī)模的人口外遷和移民問題.3、社會穩(wěn)定,沒有戰(zhàn)爭及大規(guī)模疾病影響.4、全省各民族生育政策相同.5、短期內(nèi)人民的生育觀念不發(fā)生改變.6、所研究的處于同一年齡段內(nèi)的人,沒有區(qū)別.7、忽略經(jīng)濟(jì)、社會、資源、政策等因素對人民的影響.三符號說明f( Xi)第Xi年人口總量p(t)1時刻的人口數(shù)量Xi第i年r 人口增長固有增長率(人口總數(shù)很小時)Xm 省內(nèi)人口最大容量(資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量)X浙江省一年的的總?cè)丝趖時間(年份)s假設(shè)參數(shù)(其中 s>0)Xo微分方程的初始值(人口初始值)b(X)人口出生率d(X)人口死亡率r(X)人口增長率四問題分析人口增長需要定量測算,準(zhǔn)確預(yù)測出人口未來

5、開展的趨勢,同 時還要能預(yù)測出未來人口老齡化問題, 撫育這就需要多方面考慮,諸 如人口基數(shù),年齡結(jié)構(gòu),性別比例,出生率,死亡率,自然增長率.同時還受限于我國的人口政策,國際化外來移民,民族觀念.本文不 考率外來因素和宏觀政治因素,認(rèn)為研究的系統(tǒng)封閉,固可得,人口 數(shù)量=人口基數(shù)+出生數(shù)目一死亡數(shù)目.對于不同時期的預(yù)測,考慮因素也不盡相同.像中短期預(yù)測,可以近似認(rèn)為年齡結(jié)構(gòu),性別比例,出生率,死亡率,自然增長率沒 有太大變化,穩(wěn)定于某一固定數(shù)量周圍.但是,對于長期預(yù)測,由于一系列因素影響,這時,必須考慮年齡結(jié)構(gòu),性別比例,城鎮(zhèn)男女生育觀的差異等因素.此時,建立 Leslie人口模型,對長期人口數(shù)

6、量進(jìn)行預(yù)測.五模型建立與求解I插值模型在不明確知道人口的增長率,只知道年份與人口數(shù)量關(guān)系的 條件下,估計人口的增漲趨勢.我們可以建立簡單的模型來預(yù)測短期的人口增長趨勢. 首先 將年份與年份的人口看作二維平面的節(jié)點K,f K .用這些點集可 以構(gòu)造一個簡單的多項式函數(shù) fX.且fx過的點,由此可以 推斷出未來幾年的開展情形.由于構(gòu)造的多項式函數(shù)與節(jié)點的關(guān)系為：n個點確定一個最高次數(shù)不超過 n-1次的多項式,對于次數(shù)越高 的函數(shù),對于x的變化f (x)變化越快,所以選取的節(jié)點數(shù)不能過多, 另一方面節(jié)點太少問題的解答結(jié)果就不精確,所以此處選擇6個節(jié)點.假設(shè)浙江省人口變化規(guī)律滿足多項式函數(shù).f X0,

7、Xi, Xk為k階均差.2.建立模型由分析可知可以將時間與人口數(shù)看成是平面上的點,對與取出的n個點,依據(jù)牛頓插值公式得f (x)的一般表達(dá)式為：f(x)f (X0)f x0,xi (x xo)f xo,xi,x2 (xxo)(xxi)f xo,xi,xn (x x°)(x xi)(x xn i)選取2005年到20i0年的數(shù)據(jù)作為插值的節(jié)點根據(jù)牛頓插值公式計算f (x)表達(dá)式的系數(shù),如下表table 0i所示table 0ixif xi階均差2階均差3階均差4階均差5階均差20054602.ii20064629.4327.320020074659.3429.9i00i.2950202

8、14687.8528.5i00-0.7000-0.6650202147i6.i828.3300-0.09000.20030.2i7i20i04747.953i.7700i.72000.60330.i000-0.0234由表格的數(shù)據(jù)可以確定f (x)的表達(dá)式:f(x)=4602.11+27.3200*(x-2005)+1.2950*(x-2005)*(x-2006)-0.6650*(x-2005)*(x-2006)*(x-2007)+0.2172*(x-2005)*(x-2006)*(x-2007)*(x-2021)-0.0234*(x-2005)*(x-2006)*(x-2007)*(x-20

9、21)*(x-2021)根據(jù)f (x)的表達(dá)是畫出圖像模型的預(yù)測值：由此圖像可以預(yù)測出人口數(shù)量為:年份20212021202120212021人口萬人4786.44831.64877.44909.14900.1此模型的缺點是對于長期的預(yù)測存在較大的誤差,只能用來估計短 時間內(nèi)的人口變化規(guī)律.誤差的來源主要是所選取的模型沒有考慮到 人口的增長率.另外對于多項式函數(shù)插值,所構(gòu)造的函數(shù)對于節(jié)點的 增加不能增加函數(shù)的精確度,所以能夠選取的點數(shù)嚴(yán)重受限.II馬爾薩斯增長模型在考慮短期人口增長問題的時候,可以簡單的假設(shè)人口的增長率 為一個常數(shù),假設(shè)在時刻t增長率和人口總數(shù)成正比,令增長率為 r, 并且以p

10、代表t時刻的人口數(shù),假設(shè)p連續(xù)可微.于是有以下式 子成立：p(t Vt) p(t) r*p(t)*Vt于是：p(t Vt) p(t)Vtr p(t)電r*p dt又：p(t() p0那么有：p(t) p0*er(tt0)在此處,由于是預(yù)測短期內(nèi)的人口增長問題,于是可以選擇從2005年開始,即to =2005.利用matlab計算出最近五年的平均增長率, 得到r=0.0088于是可以預(yù)測最近五年的浙江省人口數(shù)量增長模型為p(t) p0*e0.0088(tt0)得到最近幾年的人口預(yù)測數(shù)量為年份20212021202120212021人數(shù)4789.94832.34875.04918.14961.5顯

11、然,受到環(huán)境,資源等因素的限制,增長率不可能保持不變, 于是就有,時間跨度愈大,預(yù)測的準(zhǔn)確性越低.馬爾薩斯模型確實定 就是只適用于短期的人口模型預(yù)測.當(dāng)時間跨度變大,不能使用此模 型.考慮到這一點,下面我們建立了阻滯增長模型.III 阻滯增長模型人口的增長受到出生率與死亡率的影響. 所以在考慮長期的人口 走向的時候需要考慮出生率和死亡率. 為了模型的簡單,將出生率跟 死亡率統(tǒng)一起來考慮,即為人口自然增長率r (x),其中r (x)=出生率一死亡率.增長率受到時間的影響會隨時間的變化而改變.假設(shè)：人口的自然增長率與時間成一次函數(shù)關(guān)系, 并且人口在增長的 過程中會出現(xiàn)最大值.建立模型：人口的自然增

12、長率滿足：r x r sx(r,s 0)當(dāng)人口到達(dá)最大的時候有：r(Xm) 0Xm將S代入r(x)得到：r(x) r 1 Xm又有時間與人口的關(guān)系滿足微分方程:dX /、 r(X)Xdt將r(x)代入可得微分方程：dXrx(1 )xm微分方程的通解可以求出為:x(t) xm1 (xm 1)ertX0對于方程X (t)我們可以通過浙江省2000年到2021年的人口數(shù)與自然增長率的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值擬合.選取X0=4501.22 (2000年的人口數(shù))由插值計算出4813.3 r=0.0044813.3即有X(t)麗X48 13.30.004t1 (1)e4501.22根據(jù)X (t)的函數(shù)可以作出X (

13、t)的函數(shù)圖像00000 0-000 OODOOOOOOwuaManH. 5443 3 2 211黑口¥血500 匕11111106001M0150020 加250030003500時間軸t1年份模型的預(yù)測：由圖可知,隨著時間的推移,最終人口將到達(dá)一個穩(wěn)定的狀態(tài),此時即到達(dá)了人口最大存在點xm °由上述擬合模型x(t) ,.對3,3,在以2000年為初始點的時1( 4813.30.004t4501.22候,得到如下估計值：年份20212021202120212021總?cè)丝跀?shù)(萬人)4748.134748.764749.214749.944750.43此模型對于人口增長率的預(yù)

14、測相對精確,考慮了人口增長的有最大限制的因素.但是由于沒有考慮年齡結(jié)構(gòu)、性別比例等問題,對 于長期的人口增長趨勢還是不能做出相對精確的預(yù)測.下面我們從長期的出生率和死亡率出發(fā),利用灰度模型進(jìn)行新 的預(yù)測.IV 灰度預(yù)測模型GM (1,1)影響人口增長的因素有很多,有經(jīng)濟(jì)、政策、科學(xué)技術(shù)、自然 環(huán)境等,這些眾多的因素之間的關(guān)系難以準(zhǔn)確描述出來,它們對人口 增長的作用不是用幾個指標(biāo)就能精確計算出來的.人口系統(tǒng)具有明顯的灰色性,是一個局部信息而局部信息未知的系統(tǒng).灰色系統(tǒng)理 論把這樣受眾多因素影響,而又無法確定其復(fù)雜關(guān)系的量,稱為灰色 量.灰色系統(tǒng)所要考察和研究的是對信息不完備的系統(tǒng),通過信 息來研

15、究和預(yù)測未知領(lǐng)域從而到達(dá)了解整個系統(tǒng)的目的.采用了灰色系統(tǒng)預(yù)測方法進(jìn)行長期人口預(yù)測灰色系統(tǒng)模型建模是利用離散的時間序列數(shù)據(jù)建立近似連續(xù)的 微分模型.顧名思義,灰色預(yù)測就是對灰色系統(tǒng)問題進(jìn)行未來的預(yù)測, 這里 討論的灰色預(yù)測是以 GM(1,1)(即GM(1, N)當(dāng)N=1時的特例)模 型為根底的.選擇灰色模型GM(1,1)的方程式如下：dx(t)ax(t) udtdx(t)a x(t) udta x(t 1) ud(t 1)dx(t 1)從而近似有一次差分為：D(x) x(t 1) x(t) a 1/2x(t) x(t 1) u令：A= (a,u)T1-(x(0) x(1)12B=MM1 (x(

16、n 1) x(n)12C= (DX (0), DX (1),DX (2)L DX (n 1)T于是就有A= (Bt* B 1) 1*( Bt*C)從而可以計算出a和u然后,在原等式的兩邊,同時乘上一個eat于是就有ate uat dxate e ax(t) dt繼而(eatX(t) eatu dx eatX(t)eatudtX (t) Ceat u a令t=0得到 C=X(0) u 帶入數(shù)據(jù)有:對于出生率:10.895 110.47 110.16 11019.821B 10.185 110.905 110.695 110.335 110.29 110.2110.510.340.280.040.

17、32C 1.050.390.810.090.180.02于是可以算出a=0.2459u=2.4631c=1.134從而有出生率b(x)= 1.134*exp(-0.2459*t)+10.0166對于死亡率：6.3416.2416.1916.2216.2851B 6.0715.9215.7515.49515.59515.60510.020.220.120.060.19C 0.620.320.660.150.050.03于是利用matlab軟件可以計算出a=-0.0103u=-0.1288C=-6.1780于是可以得到死亡率函數(shù)為d(x)= -6.1780*exp(0.0103*t)+12.508

18、0于是可以得到人口的自然增長率為：r(x)=b(x)-d(x)=567/500*exp(-2459/10000*t)-12457/5000+3089/500*exp(103/10000*t)那么我們就可以預(yù)測未來長時間內(nèi)的人口數(shù)量為：年份20212021202120212021人數(shù)52045227.55250.65273.65296.5年份20212021202120212021人數(shù)5319.55342.653665389.65413.6由于計算沒有考慮到年齡結(jié)構(gòu),性別比例等因素,此模型還有待于進(jìn)一步完善.但是已經(jīng)給出了出生率和死亡率的相關(guān)函數(shù),那么,對函 數(shù)進(jìn)行深一步的研究,可以預(yù)測省內(nèi)人口老齡化的趨勢. 在這里不再 闡述.VI模型優(yōu)缺點的分析在模型建立的過程中,幾個模型各有優(yōu)缺點.線性插值和馬爾薩 斯操作比擬簡單易懂,但是局限性就是只能預(yù)測近幾年的人口數(shù)量, 不能預(yù)測長時間的人口變化情況.灰度增長模型,較好的一點是計算 出了出生率以及死亡率,于是我們就可以較為方便的研究人口變化情 況,以及對老齡化問題做出預(yù)測和解釋. 但是由于沒有考慮到