概率論習(xí)題2答案(供參考)

1、習(xí)題22.1 (2)拋擲一顆勻稱質(zhì)骰子兩次，以X表示前后兩次出現(xiàn)點數(shù)之和，求 X的概率分布,并驗證其滿足(2.2.2)式。2.1解：樣本空間為(1,1),(1,2)，,(16),(2,1)，.,(6,6),且每個樣本點出現(xiàn)的概率均為1,X的所有可能的取值為362,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,且有P(X 2)1(1,1)36,P(X3) P(1,2),(21)36,P(X 4)(1,3),(3,1),(2,2)36類似地P(X5)P(X9)4,P(X 364 一,P(X 366)10)5,P(X363,P(X3667) 36,P(X11)36,P(X8),36112)一, 36

2、X的概率分布為X滿足:Pk36181236361011212P(X2k)2.2設(shè)離散隨機變量2.2解:由于1k2.3甲、乙兩人投籃, 概率：36336X的概率分布為P(X k) k命中率分別為(1)兩人投中的次數(shù)相同k aek=11111211836ae15366/2 12,，試確定常數(shù)a.0.7，和0.4,今甲、乙兩人各投籃兩次，求下列事件的甲比乙投中的次數(shù)多。2.3解：設(shè)X,Y分別為甲、乙投中的次數(shù)，則有 X B(2,0.7),Y B(2,0.4),因此有k k 2 kk k 2 kP(X k) C2 (0.7) (0.3), P(Y k) C2(0.4) (0.6) ,k 0,1,2(1

3、) 兩人投中次數(shù)相同的概率為2P(X Y) P(X k)P(Y k) 0.3142 k 0(2) 甲比乙投中次數(shù)多的概率為P(X 1)P(Y 0) P(X 2)P(Y 0) P(Y 1)2P(X Y) P(X k)P(Y k) k 00.56282.4設(shè)離散隨機變量X的概率分布為(1) P X2,4,6，；(2) P X 2.5 ;12 362.4 解：(1) P1 X 3 P(X 1) P(X 2) P(X 3) - 0.41515_1 23(2) P0.5 X 2.5 P(X1) P(X2) 20.21515_k2.5設(shè)離散隨機變量 X的概率分布為 P X k 一，k=1 ,2, 3, 4

4、, 5.求15(1) P 1 X 3 ;(2) P 0.5 X 2.5 ;2.5 解:(1) PX 2,4,6,.P(X 2k)k 1k 1 211/41k 1 4k1 1/4 3(2) P(X 3) P(X k)k 3k 32k1/811 1/240.252.6設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為0.4,當(dāng)A發(fā)生3次或3次以上時，指示燈發(fā)出信號，求下列事件的概率.(1)進行4次獨立試驗，指示燈發(fā)出信號；(2)進行5次獨立試驗，指示燈發(fā)出信號；2.6 解：設(shè)X為4次獨立試驗時事件 A發(fā)生的次數(shù)，設(shè) Y為5次獨立試驗時事件 A發(fā)生的 次數(shù)，則有 X B(4,0.4),Y B(5,0.4)(1)所求概

5、率為：P(X 3) P(X 3) P(X 4) C30.43(1 0.4)4 3 C40.44(1 0.4)4 44 0.43 0.6 0.44 0.1792(2)所求概率為：P(Y 3) P(Y 3) P(Y 4) P(Y 5) C30.43(1 0.4)5 3 C5 0.44(1 0.4)5 4 C1 0.45(1 0.4)5 5 10 0.43 0.62 5 0.44 0.6 0.450.317442.7 某城市在長度為t (單位：小時)的時間間隔內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.5t的泊松分布，且與時間間隔的2無關(guān)，求下列事件的概率.(1)某天中午12點到下午15點末發(fā)生火災(zāi)；(2)某天

6、中午12點到下午16點至小發(fā)生兩次火災(zāi)。2.7 解:(1)3 0.5X服從參數(shù)為設(shè)X為中午12點到下午15點發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)，根據(jù)題意可知,(2)設(shè) Y4 0.5P(X 0)導(dǎo)J為中午12點到下午16點發(fā)生火災(zāi)的次數(shù), 2的泊松分布，所求概率為P(Y 2) 1 P(Y【2021 e 0!1) 121 -e 1!P(Y0.22313根據(jù)題意可知,Y服從參數(shù)為0) P(Y 1)2 1 3e 20.593992.8為保證設(shè)備正常運行，必須配備一定數(shù)量的設(shè)備維修人員，現(xiàn)有同類設(shè)備180臺，且各設(shè)備工作相互獨立，任一時間設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01 。假定一臺設(shè)備由一人進行修1.5的泊松分布，所求概率為

7、理，問至小配備多小設(shè)備維修人員，才能保證設(shè)備發(fā)生故障后得到及時維修的概率不小于0.99 ?.2.8 解:設(shè)X為180臺機器同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則 X B(180,0.01)P(1.8),設(shè)需要n修人員才能保證P X n 0.99 ,即 P(X n 1)0.01 , 現(xiàn)在P(X1.8kk) ek!1.8P(X k) 0.1 ,查表得 nn 11 7, n員可滿足要求。其它2.9某種元件的壽命X(單位:小時)的概率密度函數(shù)為:f(x)10002x0,1000,1000.求5個元件使用1500小時后,恰有2個元件失效的概率。2.9解：設(shè)事件A為元件壽命大于1500小時，則 r1000p P(A)P(

8、X 1500)1500 f(x)dx1500下，xdx1000|1500 x1000 21500 3設(shè)Y為5個元件中壽命不大于 1500小時的元件個數(shù)，則B(5,1/3),所求概率為:_2_2_52P(Y 2) C5 (1/3) (1 1/3)110 -9A9380243概率密度函數(shù)為:2.10設(shè)某地區(qū)每天的用電 量X(單位：百萬千瓦)是一連續(xù)型隨機變量,f(x) 120x(1 9 心 0 x 1,0,其它 .假設(shè)每天供電 量僅有80萬千瓦時，求該地區(qū)每天的供電 量不足的概率。若每天供電 量上升 到90萬千瓦時，每天的供電 量不足的概率是多小？2.10解：(1)若供電量為80萬千瓦小時，則供電

9、量不足的概率為：1_1_P(X0.8)08f(x)dx0812x(1x)2dxog12(x2x2x3)dx0.0272(2)若供電量為90萬千瓦小時，則供電量不足的概率為：1o1o.P(X0.9)09f(x)dx0912x(1x)2dxog12(x2x2x3)dx0.02372.11設(shè)隨機變量KU( 2,4),求方程x22Kx 2K 3 0有實根的概率2.11解：K的密度函數(shù)為:1 f(x) 6, 0,2x4,其他，則方程有實根的概率為：2p P4K2 4(2K 3) 0P (K 1) 0,(K 3)P(K 3) P(K 1)2PK2 2K 3 00 P (K41dx1) 0.(K11dx26

10、P (K 1)(K3) 01 16 33) 02.12設(shè)某型號的飛機雷達發(fā)射管的壽命 求下列事件的概率：X (單位：小時)服從參數(shù)為0.005的指數(shù)分布,(1)發(fā)射管的壽命不超過 100小時;(2)發(fā)射管的壽命超過 300小時。(3) 一只發(fā)射管的壽命不超過 100小時，另一只發(fā)射管的壽命在100至300小時之間。2.12 解：X的密度函數(shù)為:f(x)1x/200e200Qx 0,x 0(1) 所求概率為 100 _P(X100) f (x)dxe x/200| 0001 e0.50.39341(2) 所求概率為P(X300)300 f (x)dxe x/200|300e 1.50.22313

11、(3) 由于兩個事件相互獨立，故所求概率為_ _05 _0 51 5 _P(X 100)P(100 X 300) 1 e . e . e . 0.152.13 設(shè)每人每次打電話的時間X (單位：分鐘)服從參數(shù)為 0.5的指數(shù)分布，求282人次所打電話中，有兩次或兩次以上超過10分鐘的概率。2.13解：設(shè)A為事件“打電話時間超過10分鐘”，X為打電話時間，則X服從參數(shù)0.5的指數(shù)分布，即 XExp(0.5),于p P(A) P(X 10)10f(x)dx0.5x0.5x 0.5e dx e |1010110e 50.00674設(shè)Y為282人中“打電話時間超過10分鐘”的人次，貝UY B(282,

12、 p)P(282p)P(1.9)。所求概率為P(Y2) 1 1P(Y 1) 1 P(Y 0) P(Y 1) e 1.9 1.9e 1.91 2.9e 1.9 0.566252.14某高校女生的收縮壓X (單位：毫米汞柱)服從 N (110,122)，求該校某名女生:(1)(2)收縮壓不超過 105的概率;收縮壓在100至120之間的概率。2.14解：(1)收縮壓不超過105的概率為:P(X 105)F(105)105 11010(0.42) 1(0.42) 1 0.6628 0.3372(2)收縮壓在100至120之間的概率為:P(100 X 120) F(120) F(100)120 110

13、10100 11010(0.83)( 0.83)2 (0.83) 12 0.7967 1 0.59342.15公共汽車門的高度按成年男性與車門碰頭的機會不超過0.01設(shè)計的，設(shè)成年男性的身高X (單位：厘米)服從正態(tài)分布N(170,62),問車門的最低高度應(yīng)為多小?2.15解：設(shè)車門最低高度為 a,則P(X a)0.01,即P(X a)0.01F(a) P(Xa) 0.99a 17060.99反查標準正態(tài)分布函數(shù)表得(a 170)/6 2.33,即a 170 6 2.33 183.98 184, 即車門最低高度為184厘米。2.16 .20同類型產(chǎn)品中有2件次品，其余為正品，今從該20件產(chǎn)品中

14、每次任取 4次，每次只取1件，取后不放回，以 X表示4次取到正品的件數(shù)，求 X的分布律與分布函數(shù).2.16. ：這是一個超幾何分布問題，即 X的概率分布為X01260323Pk959595即X的分布律為PkP(Xk)k 4 k C2 C18C4,k 0,1,2P0P(X0)P1P(X0)P2P(X0)C0C180C4C1860C40C4C2095_ 14 1C2c182C342C1832C4C20c 4C2095_ 2 _ 4 2C2c18C2C183C4C20C4C2095x的分布函數(shù)為:F(x) P(X x)0, 609592951,x 00 x 11 x 2x 22.17. 袋中有同類型

15、的小球 5只，編號分別為1,2,3,4,5 ，今在袋中任取小球 3只， 示3總小球的最小號碼，求隨機變量X的分布律與分布函數(shù).Pk1610P(XP(X1)2)P(X 3)2310C2C3C32C536 10131011C31031102.17解：X的所有可能取值為1, 2, 3,其概率分布為X的分布函數(shù)為:F(x) P(X x)Q6109101,x 11 x 22x3x 32.18. 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為0, x 1, F(x) In x, 1 x e 1, x e(1)求 P X 2 , P 0 X 3 , P 2 X 2.5 .(2)求X的密度函數(shù) 2.18解：(1)因為X是連續(xù)

16、型隨機變量，故P(X 2) P(X 2) F(2) ln2 0.69314P(0 X 3) P(0 X 3)F(3) F(0) 1 0 1,P(2 X2.5) F(2.5) F(2) In 2.5 In 2 ln1.25 0.22314(2) X的密度函數(shù)為0, x 1,1f (x)F(x)-, 1 x e,x 0, x e- x 0,1 x e其他，2.18 .設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為x* 2F(x)a be 2,x 0(1)求常數(shù)a和b, (2)求X的概率密度函數(shù),(3)求 p(而4xTinw)2.19 解：(1)由于 1 F()lim F(x) xa,得a 1,又由于F(x)在x

17、0點右連續(xù),f(x) F(x)xex2/2x 0,0,(3)因為X是連續(xù)型隨機變量，故P(Jln42.20.設(shè)型隨機變量XXvln76)11ln _ln_e 2e 4X的概率分布為:0F (Vln16) F (111c 02 4 4/2Jln4) 1 .25ln16e 21 e3 /2Pk0.30.20.40.1求型隨機變量Y的1 Y (2X)22.20解：(1)由X白 XV率分布：(2) Y COS(勺分布律得02X )./23 /2Pk0.30.20.40.1Y于是即得Y (2XY22)的分布律：00224 24 2Pk(2)由X的分布律得X0.20i0.7，20.13 /2Pk0.30.

18、20.40.1Y1111于是即得Y COS(2X )的分布律:ln 4 Y11Pk0.70.32.21.設(shè)型隨機變量X的分布函數(shù)為0, x 1F(x)0.3,1 x 10.8, 1 x 21, x 2(1)求X的概率分布(2)求yx X的概率分布。2.21解：(1) X的概率分布為:X112Pk0.30.50.22.22.設(shè)隨機變量(2) |X|X的概率分布為:|X |12Pk0.80.2X N(0,1),求下列隨機變量 丫的概率密度函數(shù):X2Y 2X 1; (2) Y e ; (3)Y X ,求Y 1 X的密度函數(shù)2.22 解：X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為：2 1x7_ fX(x)(x) =

19、e , Fx(x)(x) P(X x),.2且有 Fx(x)(x)(x)fx(x)(1) Y 2X 1的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY(y),FY(y) P(Y y),其中FY(y) P(Y y) P(2X 1 y)因此Y的密度函數(shù)為fY(y)甯y 1 y 1 , 1 y 12222(2) Y e X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY(y),FY(y) P(Y y),其中Fy(y) P(Y y) P(eX y)0, y 0P(X Iny), y 0FY(y)P(X In y) 1 P(X In y) 1 P(X In y) 1( In y)(In y)于是Y的密度函數(shù)為fY(y) FY(y)Q y

20、0,(in y)(in y), y 00, y 0, 1一(in y), y 0 y0,1y、2exp(in y)22y 0,y 0，一 2 .(3) Y X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY(y),FY(y) P(Y y),其中20,y 0,Fy(y)P(Y y) P(X2 y)P( y X , y, y 00,0.0,y 0,0,y(,y) ( ,y), y 02 (,. y) 1, y于是Y的密度函數(shù)為0, y 0,fY(y)FY1(y)2(.y)(.,y), y 0.y0,(. y),0,y 0,1_-2 yexp2.23 .設(shè)隨機變量 X U(0,),求下列隨機變量 Y的概率密度函數(shù):(

21、1)Y 2in X; (2)Y cosX; (3)Y sinX.,求 Y 1 X 的密度函數(shù)2.23解：X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為:fX(x)1/0,0 X其他,，F(xiàn)x(x) P(X x),且有 Fx(x)fx(x)(1) Y 2in X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY(y),FY(y) P(Y y),其中_y_yFy(Y) P(Y y) P(2inX y) P XeaFx e* ,因此Y的密度函數(shù)為fY(y) FY(y)fxye21 y y 產(chǎn)X e22e21/ ,0,y0e1其他,12 y 1 2e2, Oe2,e2, y 2ln ,220,其他，0,其他，(2) Y cosX的密度函數(shù)和

22、分布函數(shù)分別為fY(y),FY(y) p(y y),其中FY(y) P(Y y) P(coxXy) P arccosy XFx( ) Fx (arccosy)于是Y的密度函數(shù)為fY(y)Fy (y)fx (arccosy)(arccosy)fx (arccosy) !1 y2(3) YFY(y)12 y0,0 arccosy其他,12 yQ1 y 1,其他,sin X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY(y), Fy(y)P(Y y),其中P(Y y) P(sinX y) P 0Fx (arcsiny) Fx(0) Fx(arcsin y)P( arcsiny XFx(arcsiny)于是Y的密度函

23、數(shù)為fY(y)Fy(Y)fX(arcsin y)(arcsin y) fX (arccos y)(arccosy)112 f1 y1Jy2 ,0,x (arcsin y)fx ( arcsin y)arcsin y其他,12 y0,arcsin y其他,11 y20,arcsin y其他,12 y0,arcsin y其他,2J y20,arcsin y其他,21 y20,y 1,其他,第二章綜合練習(xí)1.填空題(1).已知隨機變量 X的分布列為Pk則：p= 03PXPX0.10.20.4設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)3e0,;X的概率分布.設(shè)X的概率分布為f(x)2(4).設(shè)隨機變量X的概率密度為P0

24、(5).設(shè)隨機變量X的概率分布為f(x)f(x)2X32的分布律為(6)1一,20,其它Acosx,0,.設(shè)隨機變量 X的概率分布為 P(X K)其它則 PX 12 ,則：系數(shù)A =的分布函數(shù)F(x)為KA一 K!K 1,2,若隨機變量 X的概率密度為 f(x)時，有-1P(X C) 2(8).設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)2x0x 1/ L ，對X進行三次獨立重復(fù)觀察, 其他1用Y表小事件(X 萬)出現(xiàn)的次數(shù)，則 P(Y 2) 0,x 0,(9).設(shè)連續(xù)型隨機變量 X的分布函數(shù)為F(x)Asin x, 0 x ，則 a= 2， P(|X I 6) 2.選擇題(1)設(shè)隨機變量X的概率密度為f

25、(x)，且f ( x)f (x) , F(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a有()aA. F( a) 1 f(x)dxC. F( a) F(a)1 a ,B. F( a) -0 f(x)dxD. F( a) 2F(a) 1(2)下述函數(shù)中，可作為某個隨機變量的分布函數(shù)的是(A. F(x)B. F(x)1 x211 -arctan x2C. F(x)1 x(1ex), x0;20,x0.xD. F(x) f (t)dt ,其中 f(t)dt 1 o(3)設(shè)X1，X2是隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為F(x) , Fz(x),為使F(x) aF(x) bF2(x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給出的各組數(shù)中應(yīng)取C. a3一,512B. aD. a4 .設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)4x3,0,x其它則使P(Xa) P(X a)成立的常數(shù)a (1(A)4,(B)(C)(D) 112Pi5.設(shè)X的概率分布為f(x)Ax,0,0 x其它PX *(A)PX4,P2PY(A)對任何實數(shù)都有PiP2(C)僅對的個別值有P1P2(C) 4分布XN(,4* 2 *), Y (B)對任何實數(shù)(D)對任何實數(shù)都有