2020-2021南京中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練---銳角三角函數(shù)的綜合題分類

1、2020-2021南京中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-銳角三角函數(shù)的綜合題分類一、銳角三角函數(shù)1.如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中，點 A (0, - 6),點B (6, 0) . RtACDE中， /CDE=90,° CD=4, DE=4后，直角邊CD在y軸上，且點C與點A重合.RtCDE沿y軸 正方向平行移動，當(dāng)點 C運動到點O時停止運動.解答下列問題：(1)如圖(2),當(dāng)RtA CDE運動到點 D與點。重合時，設(shè) CE交AB于點M,求/ BME 的度數(shù).(2)如圖(3),在RtA CDE的運動過程中，當(dāng) CE經(jīng)過點B時，求BC的長.(3)在RtACDE的運動過程中，設(shè) AC=h, OAB與 C

2、DE的重疊部分的面積為 S,請寫出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值.即圄2圖3【答案】(1) / BME=15 ;(2BC=4后 ;(3) hW2時，S=-h2+4h+8, 4當(dāng) h>2時，S=18- 3h.【解析】試題分析：(1)如圖2,由對頂角的定義知，/BME=/ CMA,要求/BME的度數(shù)，需先求出/CMA的度數(shù).根據(jù)三角形外角的定理進(jìn)行解答即可；(2)如圖3,由已知可知 /OBC=/ DEC=30,又OB=6,通過解直角 BOC就可求出BC的長度；(3)需要分類討論： hW2時，如圖4,作MNy軸交y軸于點N,作MFLDE交DE于試題解析：解：(1)如圖2,點 F,

3、 S=Sedc Saefm; 當(dāng) h>2時，如圖 3, S=Sobc.圖22 .在平面直角坐標(biāo)系中，點A (0, - 6),點B (6, 0).OA=OB,Z OAB=45 ；3 / CDE=90 ,° CD=4, DE=4晅,/ OCE=60 ；/ CMA=Z OCE- / OAB=60 -45 =15 ;/ BME=/CMA=15 °如圖3,圖3/ CDE=90 ,° CD=4, DE=4g ,/ OBC=Z DEC=30,°,.OB=6,4 BC=4百；(3)hW2時，如圖4,作MNy軸交y軸于點N,作MFLDE交DE于點F,V個B y甲圖4

4、5 . CD=4, DE=4后，AC=h, AN=NM , .CN=4- FM, AN=MN=4+h - FM,6 .CMNACEDCX MN二一CD 力£ '尸 1解得 FM=4 h ,一 _】.匚1 ,.心事-11、/+1 " S=Sedc- Saefm= X 4X3 (4 J3 4 h) X (4 一-百)= h2+4h+8,一一24如圖3,當(dāng)h*時，1 1 . .S=8obc= OCX OB= (6-h) X6=18 3h.考點：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形2.已知RtABC中，/ACB=90°,點D、E分別在BC、AC邊上，連

5、結(jié)BE、AD交于點P,設(shè)AC=kBD, CD=kAE k為常數(shù)，試探究 /APE的度數(shù)：(1)如圖1,若k=1,則/APE的度數(shù)為；(2)如圖2,若k=J3,試問(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出/APE的度數(shù).(3)如圖3,若k=J3,且D、E分別在CRCA的延長線上，(2)中的結(jié)論是否成立,圖2(1)中結(jié)論不成立，理由見解析;C請說明理由.圖1【答案】(1) 450; (2) 由見解析.【解析】 分析：(1)先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進(jìn)而判斷出 FAEAACD,得出EF=AD=BF再判斷出 / EFB=90 ；即可得出結(jié)論

6、;(2)先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進(jìn)而判斷出 FAEAACD,再判斷出/EFB=90；即可得出結(jié)論；(3)先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進(jìn)而判斷出 ACDHEA,再判斷出/ EFB=90；即可得出結(jié)論;詳解：(1)如圖1,過點A作AF/ CB,過點B作BF/ AD相交于F,連接EF,./FBE=Z APE, Z FAC=/ C=90 ；四邊形 ADBF是平行四邊形, BD=AF, BF=AD.1 . AC=BD, CD=AE .AF=AC./ FAC=/ C=90 ,°2 .FAEAACD,EF=AD

7、=BF / FEA=Z ADC.3 / ADC+Z CAD=90 ；4 / FEA+/ CAD=90 = Z EHD.1. AD/ BF,/ EFB=90 . °.EF=BF/ FBE=45,°/ APE=45 .°(2) (1)中結(jié)論不成立，理由如下：如圖2,過點A作AF/ CB,過點B作BF/ AD相交于F,連接EF,C雕 ./FBE=Z APE, /FAC4 C=90 ；四邊形 ADBF是平行四邊形, BD=AF, BF=AD.,. AC= .,3 BD, CD=, 3 AE,ACCDBDAE BD=AF,AC CD 3AF AE / FACC=90 ; .

8、FAEAACD,ACADBF-V3 ,/ FEA之ADC.AFEFEF / ADC+Z CAD=90 ； / FEA+/ CAD=90 = Z EMD.1. AD/ BF/ EFB=90.在 RtEFB 中，tan/FBE=EFBF/ FBE=30,°/ APE=30 ,°(3) (2)中結(jié)論成立，如圖 3,作EH/ CD, DH/BE, EH, DH相交于H,連接 AH,cH圖3/ APE=/ ADH, / HEC=/ C=90 ；四邊形 EBDH是平行四邊形，BE=DH, EH=BD. ac=, 3bd, CD= . 3 ae,AC CD - V3 .BD AE / H

9、EA=Z C=90 ;.ACDAHEAsAD AC J3 , / ADC=Z HAEAH EH / CAD+/ ADC=90 ； / HAE+Z CAD=90 ；/ HAD=90 :AH在 RtDAH 中，tan/ADH= J3AD '/ ADH=30 ；/ APE=30 ,°點睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和 性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì).DE=13.下圖是某兒童樂園為小朋友設(shè)計的滑梯平面圖.已知BC=4 m,AB=6 m,中間平臺寬度m,EN,DM,CB為三根垂直于 AB的支柱，垂足分別為

10、 N,M ,B,Z EAB=31 ：DFL BC于點F,Z CDF=45°,求DM和BC的水平距離 BM的長度.（結(jié)果精確到0.1 m.參考數(shù)據(jù)：sin 31 ° 逐,cos 31.86,tan 31.60）0A N M 且【答案】2.5m.【解析】試題分析：設(shè) DF=x,在RtDFC中，可得CF=DF=x則BF=4-x,根據(jù)線段的和差可得AN=5-x, EN=DM=BF=4-* ,在 RtANE 中，/ EAB=，利用 / EAB的正切值解得值.試題解析：解：設(shè) DF=x,在RtDFC中，/CDF=5", .CF=tan45= DF=X ,又 CB=4,. AB

11、=6, DE=1, BM= DF=X , .AN=5X, EN=DM=BF=4-豈，在 RtANE 中，/EABr, EN=4-X , AN=5-X ,4-xtan j= .LV 5 -=0.60,解得X=2. 5,答：DM和BC的水平距離BM為2. 5米.考點：解直角三角形.4.如圖，等腰 4ABC 中，AB=AC, / BAC=36°, BC=1,點 D 在邊 AC 上且 BD 平分/ABC, 設(shè) CD=x.(1)求證：ABJBCD;(2)求x的值；(3)求 cos36 -cos72 的值.【答案】（1）證明見解析；（2）1 石；（3） 7而 816【解析】試題分析：（1）由等腰

12、三角形 ABC中，頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出/DBC的度數(shù)，得到/DBC=Z A,再由/C為公共角，利用兩對角相等的三角形相似得 到三角形ABC與三角形BCD相似；（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BC根據(jù)AD+DC表示出AC,由（1）兩三角形相似得比 例求出x的值即可；（3）過B作BE垂直于AC,交AC于點E,在直角三角形 ABE和直角三角形 BCE中，利用 銳角三角函數(shù)定義求出 cos36。與cos72。的值，代入原式計算即可得到結(jié)果.試題解析：（1）二.等腰 4ABC 中，AB=AC, / BAC=36 ,/ ABC=Z C=72 ； BD 平分 / ABC,/

13、ABD=Z CBD=36 ； / CBD=Z A=36 ； C C=Z C, .ABCABCD;(2) . / A=/ABD=36 , .AD=BD, BD=BC, .AD=BD=CD=1,設(shè) CD=x,則有 AB=AC=x+1, .ABCABCD,ABBD整理得:解得:則x=BC，即CDx2+x-1=0,15Xi=21亞.2(3)過B作BEX AC,交AC于點E,.E為CD中點,即 DE=CE=-一-54在 RtABE 中,。AEcosA=cos36 =AB在 RtBCE 中,cosC=cos72= ECBC貝U cos36 -cos72 = 51 144【考點】1.相似三角形的判定與性質(zhì)；

14、形.41 521 .541122.等腰三角形的性質(zhì)；3.黃金分割；4.解直角三角5.如圖，在 RtABC中，/BAC=90°, / B=60°, BC=16cm, AD是斜邊BC上的高，垂足為D, BE=1cm.點M從點B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動，點 N從點E出發(fā)，與點 M 同時同方向以相同的速度運動，以 MN為邊在BC的上方作正方形 MNGH.點M到達(dá)點D 時停止運動，點 N到達(dá)點C時停止運動.設(shè)運動時間為 t (s).(1)當(dāng)t為何值時，點 G剛好落在線段 AD上？(2)設(shè)正方形MNGH與RtABC重疊部分的圖形的面積為 S,當(dāng)重疊部分的圖形是正方形 時，求

15、出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量 t的取值范圍.(3)設(shè)正方形 MNGH的邊NG所在直線與線段 AC交于點P,連接DP,當(dāng)t為何值時，【答案】(1) 3; (2); (3) 1=9$或1= (15 6V、)s.【解析】試題分析：(1)求出ED的距離即可求出相對應(yīng)的時間 t.(2)先求出t的取值范圍，分為 H在AB上時，此時BM的距離，進(jìn)而求出相應(yīng)的時間.同樣當(dāng)G在AC上時，求出MN的長度，繼而算出 EN的長度即可求出時間，再通過正方形的面積公式求出正方形的面積.(3)分DP=PC DC=PC兩種情況，分別由 EN的長度便可求出t的值.試題解析：= / BAC=90 , / B=60°

16、;, BC=16cm . AB=8cm, BD=4cm, AC=8%m, DC=12cm, AD=4"cm.(1) .當(dāng)G剛好落在線段 AD上時，ED=BD- BE=3cmt=31 s=3s.(2)二當(dāng)MH沒有到達(dá)AD時，此時正方形 MNGH是邊長為1的正方形，令 H點在AB 上，則 / HMB=90 , / B=60°, MH=1 L/JvBM= C cm. 1-1= S s.當(dāng)MH到達(dá)AD時，那么此時的正方形 MNGH的邊長隨著N點的繼續(xù)運動而增大，令 G點 在AC上，悍設(shè) MN=xcm ,貝U GH=DH=x, AH= " x,.AD=AH+DH=+x=x=

17、42,.x=3.當(dāng) * wtw園,SMiNGN=1cm2.當(dāng) 4V tw 陽寸,Smngh= (t-3) 2cm2.S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為:(3)分兩種情況：二當(dāng)DP=PC時，易知此時 N點為DC的中點，MN=6cmEN=3cm+6cm=9cm. t=9s故當(dāng)t=9s的時候，4CPD為等腰三角形；當(dāng) DC=PC時，DC=PC=12cm . NC=6 cmcm= (15 6V ) cmEN=16cm- 1cm - 6"幾.t= (15-6巴 s故當(dāng)t= (15-6覃)s時，4CPD為等腰三角形.綜上所述，當(dāng)1=9$或1= (15-K") s時，4CPD為等腰三角形.考點：1.

18、雙動點問題；2.銳角三角函數(shù)定義；3.特殊角的三角函數(shù)值；4.正方形的性質(zhì)；5.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式；6.等腰三角形的性質(zhì)；7.分類思想的應(yīng)用.6. (2013年四川攀枝花12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AB/ CD,點 B (10, 0) , C (7, 4).直線 l 經(jīng)過 A, D 兩點，且 sinZ DAB= .動點 P在線段AB上從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點 B運動，同時動點 Q從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿 B-C-D的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線A- D-C相交于點M,當(dāng)P, Q兩點中有一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動.設(shè)點

19、S.(2)試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的 t的取值范圍;(3)試求(2)中當(dāng)t為何值時，S的值最大，并求出 S的最大值；(4)隨著P, Q兩點的運動，當(dāng)點 M在線段DC上運動時，設(shè) PM的延長線與直線l相交于點N,試探究：當(dāng)t為何值時，4QMN為等腰三角形？請直接寫出 t的值.【答案】解：(1) (-4,0); y=x+4.(2)在點P、Q運動的過程中：當(dāng)0vt w時，如圖1,過點C作CF，x軸于點F,則CF=4, BF=3,由勾股定理得 BC=5. 3過點 Q 作 QE, x 軸于點 E,則 BE=BQ?cosZ CBF=5t?=3t5,PE=PB- BE= (14-2

20、t) - 3t=14 - 5t,S=- PM?PE= X 2t g45t) =- 5t2+14t.22當(dāng)1 vt w對，如圖2,過點C Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F, E,則CQ=5t- 5, PE=AF- AP- EF=11-2t -(5t 5) =16- 7t.c 1 一 1、2 ”S=PM?PE=X 2t K16-7t) =- 7t2+16t.22當(dāng)點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7,即(2t 4) + (5t 5) =7,解得 t=.7當(dāng)2vtv 時，如圖3,MQ=CDDM CQ=7 ( 2t 4) ( 5t 5) =16 7t,S=1 PM?MQ= 1 X 4X16 - 7t

21、) =T4t+32. 22綜上所述，點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式為5t2 14t 0<t 1S 7t2 16t 1<t 214t322<td7274«(3)當(dāng) 0vtwM, S5t2 14t5 t -55- a= - 5< 0,拋物線開口向下，對稱軸為直線 t=1,5當(dāng)0vtw時，S隨t的增大而增大.當(dāng)t=1時，S有最大值，最大值為 9.22864當(dāng) 1vtw對，s 7t 16t7 t - 一，778a= - 7< 0,拋物線開口向下，對稱軸為直線 t=,7.當(dāng)t=8時，S有最大值，最大值為 64當(dāng) 2v tv 16 時，S=- 14t+327.

22、k=- 14<0,，S隨t的增大而減小.又.當(dāng) t=2 時，S=4;當(dāng) t=16 時，S=0, .-.0<S<4.7綜上所述，當(dāng)t=8時，S有最大值，最大值為 64 .t=20或t*時, QMN為等腰三角形.(1)利用梯形性質(zhì)確定點 D的坐標(biāo)，由sinZ DAB=,利用特殊三角函數(shù)值，得到2 AOD為等腰直角三角形，從而得到點A的坐標(biāo)；由點 A、點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式：. C (7,4), AB/ CD,D (0, 4).,2. sinZ DAB= , Z DAB=45 . . OA=OD=4. ，A(4, 0).24kb 0k 1設(shè)直線l的解析式為：y

23、=kx+b,則有b 4,解得：I ，y=x+4.，點A坐標(biāo)為(-4, 0),直線l的解析式為：y=x+4.(2)弄清動點的運動過程分別求解：當(dāng)0vtw附，如圖1；當(dāng)1vtw對，如圖2；當(dāng)2vtv 16時，如圖3. 7(3)根據(jù)(2)中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計算，最終確定S的最大值.(4) 4QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論：如圖4,點M在線段CD上，MQ=CDDM CQ=7 ( 2t 4) ( 5t 5) =16 7t, MN=DM=2t - 4, 2220 由 MN=MQ ,得 16 - 7t=2t - 4,解得 t=.9如圖5,當(dāng)點M運動到C點，同時當(dāng)Q剛好運動至終

24、點 D,ZL/a o| P B X ffi5.,一 ，一一, 12 此時4QMN為等腰三角形，t=.5.當(dāng)t=20或t=12時，4QMN為等腰三角形.考點：一次函數(shù)綜合題，雙動點問題，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函 數(shù)值，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類 思想的應(yīng)用.7.如圖，矩形 OABC中，A(6, 0)、C(0, 2)3)、D(0, 30),射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸的正半軸上的動點，滿足 /PQO= 60o.(1)點B的坐標(biāo)是 , /CAO=o當(dāng)點Q與點A重合時，點P的坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,

25、4OPQ與矩形OABC重疊部分的面積為 S,試求S與x 式和相應(yīng)的自變量 x的取值范圍.【答案】(1) (6, 2./3). 30. (3, 373) (2)4-x 4.3 0 x 333 2 13.33 ox x 3 2322-x 12J3 5x9 3解：(1) (6, 2«)30. (3, 373)(2)當(dāng) 0WxW時,如圖1,1、E= (3+x),3OI=x, IQ=PI?tan60 °, =OQ=OI+IQ=3+x;由題意可知直線l / BC/ OA,/曰 EF PE DC 31可得 =-=OQ PO DO 3 3 3此時重疊部分是梯形，其面積為:431S S梯形

26、efqo ( EF OQ) OC 2DS S梯形 EFQO S HAQS梯形 EFQO當(dāng)3vxW5時，如圖2,二 43 Yx32-AH 2,3 2x2AQ13 3 x3OA) OC當(dāng)5vxW9時，如圖3,2 、x)312.3。綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為:1 /S (BE22 3=x34 3 x3亞x2S 2 .2 3 x354 3 x4.3 0x3”x312 3 5T3 x 5x（1） 由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點B的坐標(biāo):四邊形 OABC是矩形，AB=OG OA=BQ.A (6, 0)、由正切函數(shù), tan CAOC （0, 2，3）,，點 B 的坐標(biāo)為：（6, 2

27、J3）.即可求得 /CAO的度數(shù)：OC = 23=*, ./CAO=30。.OA 63由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點P的坐標(biāo)；如圖：當(dāng)點 Q與點A重合時，過點P作PE! OA 于 E,3 / PQO=60 ； D和01(0, 3出)， PE=3幾.AL PEAE 0tan600，OE=OA- AE=6- 3=3, .點 P 的坐標(biāo)為（3, 3 J3 ） .（2）分別從當(dāng)0WxW時，當(dāng)3vxW5時，當(dāng)5vxW9時，當(dāng)x>9時去分析求解即可求得答 案.8.如圖，已知點 /從（1，°）出發(fā),以1個單位長度/秒的速度沿X軸向正方向運動，以億 月為頂點作菱形。八使點可在第一象限內(nèi)，且;以P

28、（0. 3）為圓心，”為半徑作圓.設(shè)點 八運動了 ,秒，求：（1）點。的坐標(biāo)（用含1的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點力在運動過程中，所有使° P與菱形。力跖的邊所在直線相切的【答案】解：（i）過q作y軸于q, VO4 = 1+ |A0C=1 +r?（2）當(dāng)OP與OU相切時（如圖1）,切點為。，此時PALOC,二 01)t)Ccos60* = fDC- OCsintOq =匕“,點二的坐標(biāo)為當(dāng)O P與O P,即與、軸相切時（如圖2）,則切點為1過上作PC = 8于X則"一嚴(yán)，1 + t3J3|*，= OPtosS tlQ = -2J -"一22，£=33-1當(dāng)&

29、#176; °與O P所在直線相切時（如圖3）,設(shè)切點為葉，交"于0,?v3(l + t)a FG = CD = 2PE10C2?(1+02 I.過U作C，1y軸于此則p打CM=P,1+ t 2 、3(1 + t) * 3 七砥1 + t) 丁)+<3) =C- + )化簡，得 U + 1)2-13a + 1) + 罰=0解得t + 1 =八花±60乂 = 9、<?6萬】VO, 叫"印=5也7八所求'的值是，3,3-1和9爐+ 6%-1.【解析】(1)過C作匚1.軸于匕利用三角函數(shù)求得 OD、DC的長，從而求得點1c的坐標(biāo)OP與菱形O

30、ABC的邊所在直線相切，則可與 OC相切；或與OA相切；或與AB相切，應(yīng) 分三種情況探討： 當(dāng)圓P與OC相切時，如圖1所示，由切線的性質(zhì)得到 PC垂直于OC,再由OA=+t,根據(jù)菱形的邊長相等得到 OC=1+t,由/AOC的度數(shù)求出/POC為30。， 在直角三角形 POC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出cos30°=oc/op ,表示出OC,等于1+t列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；當(dāng)圓P與OA,即與x軸相切時，過P作PE垂直于OC,又PC=PO利用三線合一得到 E為OC的中點，OE為OC的一半，而OE=OPcos30,列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；當(dāng)圓P

31、與AB所在的直線相切時，設(shè)切點為 F, PF與OC交于點G,由切線的性質(zhì)得到 PF垂直于 AB,則PF垂直于OC,由CD=FG在直角三角形 OCD中，利用銳角三角函數(shù)定義由OC表示出CD,即為FG,在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG,用PG+GF表示出PF,根據(jù)PF=PC表示出PC,過C作CH垂直于y軸，在直角三角形 PHC中，利用勾股定理列出 關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值.9.在4ABC中，/B=45°, Z C= 30°,點D是邊BC上一點，連接 AD,將線段 AD繞點A 逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段AE,連接DE.(1)

32、如圖，當(dāng)點E落在邊BA的延長線上時，ZEDC=度(直接填空)；1(2)如圖，當(dāng)點E落在邊AC上時，求證：BD= EC；2(3)當(dāng)AB= 2 J2,且點E到AC的距離等于 J3 - 1時，直接寫出tan/CAE的值【答案】(1) 90; (2)詳見解析;3) tan EAC6 3 311(1)利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；(2)如圖2中，作PA，AB交BC于 巳 連接PE.只要證明 BA44PAE (SAS ,提出BD=PE再證明EC=2P聊可；(3)如圖3,作EH AC于F,延長FE交BC于H,作AGLBC于G, PA! AB交BC于P, 連接 PE.設(shè) PH= x,在 RtEPH中，可

33、得 EP= V3x, EH= 2PH=2x,由此 FH= 2x+ 73 - 1 , CF= 273x+3 73,由 BA4 PAE,彳B BD= EP= V3x, AE= AD,在 RtABG 中，AG= GB= 2,在 RtA AGC中，AC= 2AG=4,故 aE? = AD2= AF2+EF2, 由勾股定理得 AF=1 + J3,由此tan/EAF= 2- J3,根據(jù)對稱性可得tan / EAC=6-3 . 3.11【詳解】 / EDC= / B+Z BED, / B= / BED= 45 ;/ EDC= 90 ；故答案為90；(2)如圖2中，作PA，AB交BC于巳連接PE. / DAE

34、= / BAP= 90 °,/ BAD= / PAE / B= 45 :/ B= ZAPB= 45 ；.AB= AP,.AD= AE,.BADAPAE (SA§ ,.BD=PE, /APE=/B = 45 °,/ EPD= / EPC= 90 °,Z C= 30 °,.EC= 2PE= 2BD;(3)如圖3,作EH AC于F,延長FE交BC于H,作AGBC于G, PAI AB交BC于P, 連接PE.圖3設(shè) PH= x,在 RtEPH 中，. /EPH= 90°, Z EHP= 60°,EP= 73x, EH= 2PH=2x,

35、FH= 2x+ 5/3 - 1 , CF= y13 FH= 2 >/3x+3 - /3 ,.BADAPA,-.BD=EP= x/3x, AE= AD,在 RtABG 中， AB= 2 后，,-.AG=GB= 2,在 RtA AGC 中,AC= 2AG= 4,AE2 = AD2= AF2+EF2,-22+ (2 - 73x) 2=(石-1) 2+ (4-2 百x-3+5 2,整理得：9x2 - 12x= 0,解得x= 4 （舍棄）或03.PH=0,此時 E, P, H 共點,AF= 1 + 33 ,EF .tan / EAF= AFtan / EAC= 6-3 代11根據(jù)對稱性可知當(dāng)點 E

36、在AC的上方時，同法可得【點睛】 本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性 質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問 題，屬于中考壓軸題.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 DE交x軸于點E (30, 0),交y軸于點D (0,八 140),直線AB： y=x+5交x軸于點A,交y軸于點B,交直線DE于點P,過點E作3EF± x軸交直線 AB于點F,以EF為一邊向右作正方形 EFGH(1)求邊EF的長；(2)將正方形EFGH沿射線FB的方向以每秒 J10個單位的速度勻速平移，得到正方形E1F1G1H1,在平移

37、過程中邊 FiGi始終與y軸垂直，設(shè)平移的時間為 t秒(t>0).當(dāng)點F1移動到點B時，求t的值； 當(dāng)Gi, Hi兩點中有一點移動到直線 DE上時，請直接寫出此時正方形日F1G1H1與4APE重疊部分的面積.【答案】(1) EF= 15; (2) 10 ; 120 ;【解析】【分析】(1)根據(jù)已知點E (30, 0),點D (0, 40),求出直線 DE的直線解析式y(tǒng)=-x+40,可3求出P點坐標(biāo)，進(jìn)而求出 F點坐標(biāo)即可; 易求B (0, 5),當(dāng)點Fi移動到點B時，t=10 J10+JT0 =10;F點移動到F'的距離是 廂 t, F垂直x軸方向移動的距離是 t,當(dāng)點H運動到直

38、線DE上時，在RtF'NF中,NF 1_,=_, EM=NG'=15-F'N=15-3t,在NF 3RDMH'中，-MH-EM 3 't=4, S=lx(12+45-) X 111=023 ;當(dāng)點 G 運動到直線 DE上時，在 RtF'PK中, 248PK _1F K 一3PK t 34 一一_ 一PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG中，=,t=7, S=15X (15-7) =120.KG 15 3t 93【詳解】(1)設(shè)直線DE的直線解析式 y=kx+b, 將點 E (30, 0),點 D (0, 40),30k b 0b

39、 4040y = x+40,3直線AB與直線DE的交點P (21, 12),由題意知F (30, 15),EF= 15；(2)易求 B (0, 5),.BF=10Vio ,，當(dāng)點F1移動到點B時，t=10j10 ，16=10；當(dāng)點H運動到直線DE上時，F(xiàn)點移動到F'的距離是V10 t, NF 1在 RtF'NF 中，=-NF 3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中，MH 4 一 ,EM 3t 4 - -,15 3t 3. .t =4,.EM = 3, M

40、H'= 4,1023145.S= (12 ) 1124當(dāng)點G運動到直線DE上時,F點移動到F'的距離是Tw t,- PF=3 .10 ，1 .PF'=布 t-3后, 在 RtF'PK 中，.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKG 15 3t 932 .t = 7,3 .S= 15 X(15-7) = 120.【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用三角 形的正切值求邊的關(guān)系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確確定陰影 部分的面積是解題的關(guān)鍵.11 .超速行駛是引發(fā)交通事故

41、的主要原因.上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知 識檢測車速，如圖，觀測點設(shè)在到萬豐路(直線AO)的距離為120米的點P處.這時，輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為5秒且/AP*60°, /BPO= 45°.(1)求A、B之間的路程；(2)請判斷此車是否超過了萬豐路每小時65千米的限制速度？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：應(yīng) 1.414,73 1.73) .B【小題1】73.2【小題2】超過限制速度.【解析】解：(1) AB 100(73 1)天 73.2 (米).6分73，(2)此車制速度v=y=18.3米/秒12 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy

42、中，拋物線 y= - x2+bx+c與直線y=x-3分別交x42軸、y軸上的B、C兩點，設(shè)該拋物線與 x軸的另一個交點為點 A,頂點為點D,連接CD交x軸于點E.(1)求該拋物線的表達(dá)式及點D的坐標(biāo)；(2)求/ DCB的正切值；(3)如果點F在y軸上，且/ FBC= / DBA+/DCB,求點F的坐標(biāo).1 01【答案】(1) y x2 2x 3, D (4, 1) ； ( 2) ; (3)點 F坐標(biāo)為(0, 1)或 43(0, - 18) .【解析】【分析】(1) y= 1x-3,令y=0,則x= 6,令x= 0,則y=- 3,求出點B、C的坐標(biāo)，將點 B、 2C坐標(biāo)代入拋物線 y= - x2

43、+bx+c,即可求解；4/、c /3八(3, 0) , EH= EB?sin/ OBC=TT CE= 372，9(2)求出則點E則CH= j=,即可求解；(3)分點F在y軸負(fù)半軸和在y軸正半軸兩種情況，分別求解即可.【詳解】(1) y= x - 3,令 y= 0,則 x= 6,令 x= 0,則 y = 3,2則點B、C的坐標(biāo)分別為(6, 0)、 ( 0, - 3),則c= - 3,將點B坐標(biāo)代入拋物線 y= - -x2+bx- 3得：0=- 1x36+6tr 3,解得：b=2, 44 1 o故拋物線的表達(dá)式為：y= - -x2+2x- 3,令y= 0 則x= 6或24即點 A (2, 0),則

44、點 D (4, 1);(2)過點E作EHI±BC交于點H,C、D的坐標(biāo)分別為：(0, - 3)、(4, 1), 直線CD的表達(dá)式為：y=x-3,則點E (3, 0),tan" OCOB1一,貝U sinZ OBC=2則 EH= EB?sin/CE= 3應(yīng)，則 CH=EH貝U tan / DCB=CH(3)點 A、B、C、 (3, 0),貝U BC= 3 75 ,13 ；D、E的坐標(biāo)分別為(2, 0)(6, 0)(0, 3)、 ( 4, 1)、.OE=OC,，/AEC= 45；11tan / DBE= 一 ,6 42故：/DBE=/OBC,貝U / FBC= / DBA+Z

45、DCB= / AEC= 45°,當(dāng)點F在y軸負(fù)半軸時，過點F作FGJ± BG交BC的延長線與點 G,則 / GFO / OBC=%設(shè)：GF= 2m,則 CG= GFtana= m,./CBF= 45；BG= GF,即：3J5+m=2m,解得：m = 3 J5,CF= JgF2 CG2 = 75 m=15，故點 F (0, - 18);當(dāng)點F在y軸正半軸時，同理可得：點F (0, 1);故：點F坐標(biāo)為(0, 1)或(0, - 18).【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等相關(guān)知識，其中(3),確定 /FBC=/DBA+/ DCB=/AEC= 45

46、°,是本題的突破口.13.拋物線 y=ax2bx+4 (awQ 過點 A(1, - 1), B(5, - 1),與 y 軸交于點 C.(1)求拋物線表達(dá)式；(2)如圖1,連接CB,以CB為邊作？CBPQ若點P在直線BC下方的拋物線上，Q為坐標(biāo) 平面內(nèi)的一點，且？CBPQ的面積為30,求點P坐標(biāo)； 過此二點的直線交y軸于F,此直線上一動點 G,當(dāng)GB+ GF最小時，求點G坐標(biāo).2(3)如圖2,。01過點A、B、C三點，AE為直徑，點 M為上的一動點(不與點A,E重合)，/MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于 N,求線段BN長度的最大值£21I【答案】(1) y=x2- 6x

47、+4 (2)P(2, -4)或 P(3,-5)G(0,-2) (3) 3質(zhì)【解析】【分析】(1)把點A (1, -1) , B (5, -1)代入拋物線y=ax2+bx+4解析式，即可得出拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，連接PC,過點P作y軸的平行線交直線 BC于R,可求彳#直線BC的解析式1為：y=-x+4,設(shè)點 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4),因為？CBPQ的面積為 30,所以 Sapbc=-2X (-t+4-t2+6t-4) 書 15,解得t的值，即可得出點 P的坐標(biāo)；當(dāng)點P為(2,-4)時，求2得直線QP的解析式為：y=-x-2,得F (0, -2) , / GO

48、R=45,因為GB+X22GF=GB+GR所以當(dāng)G于F重合時，GB+GR最小，即可得出點 G的坐標(biāo)；當(dāng)點P為(3,- 5)時，同理可求；(3)先用面積法求出 sin/ACB=Z®3, tan Z ACB=2 ,在RtABE中，求得圓的直徑，133因為 MBLNB,可得 /N=/AEB=/ ACB,因為 tanN=MB = 2,所以 BN=- MB 當(dāng) MB 為 BN 32'直徑時，BN的長度最大.【詳解】 解：(1)二.拋物線 y=ax2+bx+4 (aw。過點 A (1, -1) , B (5, -1),1= a b 41= 25a 5b 4a=1，解得, cb= 61拋物

49、線表達(dá)式為 y=x2- 6x+4.(2)如圖，連接PC,過點P作y軸的平行線交直線 BC于R,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,. B (5, -1) , C (0, 4),1= 5k m k= 1.,解得4= mm= 4直線BC的解析式為：y=-x+4,設(shè)點 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4), .?CBPQ的面積為30, SapbC=- X (-t+4-t2+6t-4)15,解得t=2或t=3 ,當(dāng) t=2 時，y=-4當(dāng) t=3 時，y=-5, 點 P坐標(biāo)為（2, -4）或（3, -5）;當(dāng)點P為（2,-4）時， 直線 BC 解析式為：y=-x+4, QP/ BC,

50、 設(shè)直線QP的解析式為：y=-x+n,將點P代入，得-4=-2+n, n=-2, 直線QP的解析式為：y=-x-2, .F （0, -2） , /GOR=45； .GB+-GF=GB+GR當(dāng)G于F重合時，GB+GR最小，此時點 G的坐標(biāo)為（0, -2）,同理，當(dāng)點P為（3, -5）時，直線QP的解析式為：y=-x-2, 同理可得點G的坐標(biāo)為（0, -2）,）.A （1, -1） , B （5,-1） C （0, 4）,1一 ABX 5,2 AC=/26 , BC=5a/2 ，. . Saabc= 1 ACX BCsM ACB=2sin / ACB=, tan / ACB=一,13AE 為直徑，AB=4,/ ABE=90 ,. sin / AEB=sinZ ACB=213 =,13 AE.ae=2/13,