灰色系統(tǒng)理論及其應用(精)

1、灰色系統(tǒng)理論及其應用第一章灰色系統(tǒng)的概念與基本原理1.1 灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生和發(fā)展動態(tài)1982年，北荷蘭出版公司出版的系統(tǒng)與控制通訊雜志刊載了我國學者鄧聚龍 教授的第一篇灰色系統(tǒng)理論論文”灰色系統(tǒng)的控制問題”，同年，華中工學院學 報發(fā)表鄧聚龍教授的第一篇中文論文灰色控制系統(tǒng)，這兩篇論文的發(fā)表標 志著灰色系統(tǒng)這一學科誕生。1985灰色系統(tǒng)研究會成立，灰色系統(tǒng)相關(guān)研究發(fā)展迅速。1989海洋出版社出版英文版灰色系統(tǒng)論文集，同年，英文版國際刊物灰色系統(tǒng)雜志正式創(chuàng) 刊。目前，國際、國內(nèi)300多種期刊發(fā)表灰色系統(tǒng)論文，許多國際會議把灰色系 統(tǒng)列為討論專題。國際著名檢索已檢索我國學者的灰色系統(tǒng)論著3000多

2、次?；疑到y(tǒng)理論已應用范圍已拓展到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟、能源、地質(zhì)、石油等 眾多科學領(lǐng)域，成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學研究中的大量實際問題，取得了 顯著成果。1.2 幾種不確定方法的比較（系統(tǒng)科學-系統(tǒng)理論）概率統(tǒng)計，模糊數(shù)學和灰色系統(tǒng)理論是三種最常用的不 確定系統(tǒng)研究方法。其研究對象都具有某種不確定性，是它們共同的特點。也正 是研究對象在不確定性上的區(qū)別，才派生了這三種各具特色的不確定學科。模糊數(shù)學著重研究 認識不確定”問題，其研究對象具有 內(nèi)涵明確，外延不明確” 的特點。比如 年輕人”內(nèi)涵明確，但要你劃定一個確定的范圍，在這個范圍內(nèi)是 年輕人，范圍外不是年輕人，則很難辦到了。概率統(tǒng)計研究

3、的是隨機不確定”現(xiàn)象，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之 隨機不確 定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性大小。要求大樣本，并服從某種典型分布?；疑到y(tǒng)理論著重研究概率統(tǒng)計，模糊數(shù)學難以解決的小樣本，貧信息”不確定性問題，著重研究 外延明確，內(nèi)涵不明確”的對象。如到2050年，中國要將總 人口控制在15億到16億之間，這“15乙到16億之間 是一個灰概念，其外延很 清楚，但要知道具體數(shù)值，則不清楚。三種不確定性系統(tǒng)研究方法的比較分析項目灰色系統(tǒng)概率統(tǒng)計模糊數(shù)學研究對象貧信息不確 定隨機不 確定認知不確 定基礎(chǔ)集合灰色朦朧集康托 集模糊集方法依據(jù)信息覆蓋映射映射途徑手段灰序列算子頻率統(tǒng)il截集數(shù)據(jù)要求任意分

4、布典型分隸屬度可布知側(cè)術(shù)點內(nèi)涵內(nèi)涵外延目標現(xiàn)實規(guī)律歷史統(tǒng)計 現(xiàn)作認知表達特色小樣本大樣本憑經(jīng)驗1.3 灰色系統(tǒng)理論的基本概念 定義1.3.1信息完全明確的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng)。定義1.3.2信息未知的系統(tǒng)稱為黑色系統(tǒng)。定義1.3.3部分信息明確，部分不明確的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)。在工程技術(shù)、社會、經(jīng)濟、農(nóng)業(yè)、生態(tài)、環(huán)境等各種系統(tǒng)中經(jīng)常會遇到信息不完 全的情況。比如：農(nóng)業(yè)方面，農(nóng)田耕作面積往往因許多非農(nóng)業(yè)的因素而改變，因 此很難準確計算農(nóng)田產(chǎn)量、產(chǎn)值，這是缺乏耕地面積信息；生物防治方面，害蟲 與天敵間的關(guān)系即使是明確的，但天敵與餌料、害蟲與害蟲間的許多關(guān)系卻不明 確，這是缺乏生物間的關(guān)聯(lián)信息；一項土建工

5、程，盡管材料、設(shè)備、施工計劃、 圖紙是齊備的，可是還很難估計施工進度與質(zhì)量，這是缺乏勞動力及技術(shù)水平的 信息；一般社會經(jīng)濟系統(tǒng)，除了輸出的時間數(shù)據(jù)列（比如產(chǎn)值、產(chǎn)量、總收入、 總支出等）外，其輸入數(shù)據(jù)列不明確或者缺乏，因而難以建立確定的完整的模 型，這是缺乏系統(tǒng)信息；工程系統(tǒng)是客觀實體，有明確的內(nèi)“、外"關(guān)系（即系 統(tǒng)內(nèi)部與系統(tǒng)外部，或系統(tǒng)本體與系統(tǒng)環(huán)境），可以較清楚地明確輸入與輸出， 因此可以較方便地分析輸入對輸出的影響，可是社會、經(jīng)濟系統(tǒng)是抽象的對象，沒有明確的內(nèi)“、外”關(guān)系，不是客觀實體，因此就難以分析輸入（投入）對輸出（產(chǎn)出）的影響，這是缺乏模型信息”（即用什么模型，用什么量

6、進行觀測控制等信息）。信息不完全的情 況歸納起來有：元素（參數(shù)）信息不完全；結(jié)構(gòu)信息不完全；關(guān)系信息（特指 內(nèi)“、外”關(guān)系）不完全；運行的行為信息不完全。一個商店可看作是一個系統(tǒng)，在人員、資金、損耗、銷售信息完全明確的情況 下，可算出該店的盈利大小、庫存多少，可以判斷商店的銷售態(tài)勢、資金的周轉(zhuǎn) 速度等，這樣的系統(tǒng)是白色系統(tǒng)。遙遠的某個星球，也可以看作一個系統(tǒng)，雖然知道其存在，但體積多大，質(zhì)量多 少，距離地球多遠，這些信息完全不知道，這樣的系統(tǒng)是黑色系統(tǒng)。人體是一個系統(tǒng)，人體的一些外部參數(shù)（如身高、體溫、脈搏等）是已知的，而 其他一些參數(shù)，如人體的穴位有多少，穴位的生物、化學、物理性能，生物的信

7、 息傳遞等尚未知道透徹，這樣的系統(tǒng)是灰色系統(tǒng)。顯然，黑色、灰色、白色都是一種相對的概念。世界上沒有絕對的白色系統(tǒng)，因 為任何系統(tǒng)總有未確知的部分，也沒有絕對的黑色系統(tǒng)，因為既然一無所知，也 就無所謂該系統(tǒng)的存在了。1.4 灰色系統(tǒng)理論的基本原理公理1（差異信息原理）差異 即信息，凡信息必有差異。 公理2 （解的非唯一性原 理）信息不完全，不確定的解是非唯一的。公理3 （最少信息原理）灰色系統(tǒng)理論的特點是充分開發(fā)利用已占有的最少信息，公理4（認知根據(jù)原理）信息是認知的根據(jù)。公理5 （新信息優(yōu)先原理）新信息對認知的作用大于老信息。公理6 （灰性不滅原理）：信息完全”是相對的，信息不完全”是絕對的。

8、1.5 灰色系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過20多年的發(fā)展，現(xiàn)在已經(jīng)基本建立起一門新興學科的結(jié)構(gòu)體 系。其主要內(nèi)容包括以灰色代數(shù)系統(tǒng)，灰色方程、灰色矩陣等為基礎(chǔ)的理論體 系。以灰色序列生成為基礎(chǔ)的方法體系，以灰色關(guān)聯(lián)空間為依托的分析體系。以 灰色模型（GM）為核心的模型體系，以系統(tǒng)分析，評估，建模，預測，決策， 控制，優(yōu)化為主體的技術(shù)體系?；疑到y(tǒng)的特點灰色系統(tǒng)理論以 部分信息已知、部分信息未知”的 小樣本“、貧信息”不確定型 系統(tǒng)的研究對象。(1)用灰色數(shù)學來處理不確定量，使之量化。在數(shù)學發(fā)展史上，最早研究的是確定型的微分方程，即在拉普拉斯決定論框架內(nèi) 的數(shù)學。他認為一旦有了描寫事物的微分

9、方程及初值，就能確知事物任何時候的 運動。隨后發(fā)展了概率論與數(shù)理統(tǒng)計，用隨機變量和隨機過程來研究事物的狀態(tài) 和運動。模糊數(shù)學則研究沒有清晰界限的事物，如兒童和少年之間沒有確定的年齡界限加以 截然劃分等，它通過隸屬函數(shù)來使模糊概念量化，因此能用模糊數(shù)學來描述如語 言、不精確推理以及若干人文科學?；疑到y(tǒng)理論則認為不確定量是灰數(shù)，用灰 色數(shù)學來處理不確定量，同樣能使不確定量予以量化。的方法研究)1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計；2、模糊數(shù)學；3、灰色數(shù)學(灰色系統(tǒng)理論) (2)充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運動規(guī)律。研究灰色系統(tǒng)的關(guān)鍵是如何使灰色系統(tǒng)白化、模型化、優(yōu)化?；疑到y(tǒng)視不確定量為灰色量。提出了灰色系統(tǒng)建

10、模的具體數(shù)學方法，它能利用時間序列來確定微 分方程的參數(shù)?；疑A測不是把觀測到的數(shù)據(jù)序列視為一個隨機過程，而是看作 隨時間變化的灰色量或灰色過程，通過累加生成和累減生成逐步使灰色量白化， 從而建立相應于微分方程解的模型并做出預報。這樣，對某些大系統(tǒng)和長期預測 問題，就可以發(fā)揮作用。(3)灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng)?；疑A測模型只要求較短的觀測資料即可，這和時間序列分析，多元分析等概率 統(tǒng)計模型要求較長資料很不一樣。因此，對于某些只有少量觀測數(shù)據(jù)的項目來 說，灰色預測是一種有用的工具。1.6 灰數(shù)灰數(shù)是灰色系統(tǒng)理論的基本單元或“細胞：我們把只知道大概范圍而不知道其 確切值的數(shù)稱為灰數(shù)。在應用中

11、，灰 1, 2, 3量化(用確定量數(shù)實際上指在某一個區(qū)間或某個一般的數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù)。通常用記號？”表示灰數(shù)?；覕?shù)有以下幾類：1 .僅有下界的灰數(shù)。有下界而無上界的灰數(shù)記為 ？ ea,%其中-是灰數(shù)？的下確界，是確定的數(shù)，我,s為？的取數(shù)域，簡稱？的灰域。們稱a-2 .僅有上界的灰數(shù)。有上界而無下界的灰數(shù)記為 ？ -°°,a,其中a-是灰數(shù)？的上確界，是確定的數(shù)。3 .區(qū)間灰數(shù)。既有下界又有上界的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)， 記為？ C -a,a-4 .5 .連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)。 黑數(shù)與白數(shù)。當？ -oo,+OO稱？為黑數(shù)；當？ e a,a且a=a時，稱？為白數(shù)。6 .本征灰數(shù)與

12、非本征灰數(shù)。本征灰數(shù)是指不能或暫時還不能找到一個白數(shù)作為其代表”的灰數(shù)，比如一般的事前預測值，宇宙的總能量等。非本征灰數(shù)是指憑先驗信息或某種手段，可以找到一個白數(shù)作為其代表的灰數(shù)。我們稱此白數(shù)為相應灰數(shù)的白化值。第二章序列算子與灰色序列生成灰色系統(tǒng)理論的主要任務之一，是根據(jù)社會，經(jīng)濟，生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，尋找不同系統(tǒng)變量之間或某些系統(tǒng)變量自身的數(shù)學關(guān)系和變化規(guī)律?；疑到y(tǒng)理論認為任何隨機過程都是在一定幅值 范圍和一定時區(qū)內(nèi)變化的灰色量，并把隨機過程看成灰色過程。灰色系統(tǒng)理論是通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘，整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種就 數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途徑，我們稱為灰色序列生成。灰色

13、系統(tǒng)理論認為， 盡管客觀系統(tǒng)表象復雜，數(shù)據(jù)離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊含某種 內(nèi)在規(guī)律。關(guān)鍵在于如何選擇適當?shù)姆绞饺ネ诰蛩屠盟Ｒ磺谢疑蛄卸寄?通過某種生成弱化其隨機性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。例如考慮4個數(shù)據(jù)，記為X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),X(0)(4),其數(shù)據(jù)見下表：序號1234符號YXLO,(4)數(shù)據(jù)11,54將上表數(shù)據(jù)作圖得上圖表明原始數(shù)據(jù)X(0)沒有明顯的規(guī)律性，其發(fā)展態(tài)勢是擺動的。如果將原始數(shù)據(jù)作累加生成，記第K個累加生成為X(1)(K),并且X(1)(1)=X(0)(1)=1X(1)(2)=X(0)(1)+X(0)(2)=1+2=3X(1)(3)=X(

14、0)(1)+X(0)(2)+X(0)(3)=1+2+1.5=4.5X(1)(4)=X(0)(1)+X(0)(2)+X(0)(3)+X(0)(4)=1+2+1.5+3=7.5得到數(shù)據(jù)如下表所示序號1234稱號¥“儲X禺力”X,"(4)數(shù)據(jù)134.51 « U上圖表明生成數(shù)列X(1)是單調(diào)遞增數(shù)列。2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子定義2.1.1設(shè)X0=(x0(1),x0(2),x0(n)為系統(tǒng)真實行為序列，而觀察到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1),x(2),x(n)=(x0(1)+£ 1,x0(2)+ £ 2,x0(n)+£ n)=X0+

15、 £其中，£ =( £ 1, &九七杷)擾動項(干擾項)。X稱為動序列。所以本章我們的討論圍繞：由。X0展開(擾動還原真實)2.2 緩沖算子公理定義2.2.1設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X1 .若？ k=2,3,n,x(k)-x(k-1)>0 ,則稱=(x(1),x(2),x(n) , X 為單調(diào)增長序列；2 .若1中不等號反過來成立，則稱 X為單調(diào)衰減序列；3 .若？ k,k' 2,3,n,有 x(k)-x(k-1)>0,x(k')-x(k'-1)<0 ,則稱 X 為隨機振蕩序列c4 .設(shè) M=maxx(k)|k=12,

16、3, , ,n,m=x(k)|k=12,3, , ,n,則稱 M-m 為序列 X 的振幅 定義2.2.2設(shè)X=(x(1),x(2),x(n)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，D為作用于X的算子，X 經(jīng)過算子D作用后所得序列記為XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d)稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。序列算子的作用可以多次，相應的，若D1,D2,D3都是序列算子，我們稱D1D2為二階算子，并稱XD1D2=(x(1)d1d2,x(2)d1d2,x(n)d1d2)為二階算子作用序列，同理，D1D2D3為三階序列算子,定義2.2.3稱下述三公理為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子D稱為緩沖算子

17、，一階，二階，三階,緩沖算子作用序列稱為一階，二階，三階, 緩沖序列。公理1 (不動點公理)設(shè)X=(x(1),x(2),x(n)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，D為序列算子，則D滿足x(n)d=x(n)。不動點公理限定在序列算子作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)x(n)保持不變。根據(jù)定性分析的結(jié)論，亦可使x(n)以后的若干個數(shù)據(jù)在序列算子作用下保持不變。例如，令x(j)d * x(j) x(i)d=x(i)其中,j=1,2,k-1i=k,k+1,n.公理2.(信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個數(shù)據(jù)x(k),k=1,2,都要充分地參與算子的作用全過程公理3 (解析化、規(guī)范化公理)任意的皆可由一個統(tǒng)一

18、的x(1),x(2),x(k)d,(=k1,2 , ,x(n)的初等解析式表達。定義2.2.4設(shè)X為原始數(shù)據(jù)序列，D為緩沖算子，當X分別為增長序列，衰減序 列或振蕩序列時：1 .若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減小，則 稱緩沖算子D為弱化算子。2 .若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)加快或振幅增大，則 稱緩沖算子D為強化算子。2.3實用緩沖算子的構(gòu)造定理2.3.1設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X=(x(1),x(2),x(n)令緩(1)d,x(2d),x, n(d 沖序列 XD=(x其中 x(k)d=1x(k)+x(k+1)+n-k+1+x(n) ； k=1,2,

19、, n,則當 X 為增長序列，衰減序 列或振蕩序列時，D為弱化算子，并稱為平均弱化緩沖算子(AWBO )證明：直接利用x(k)d,(k=1,2,)的定義，可知定理成立。推論2.3.1對于定理1中定義的弱化算子D,令 XD2=XDD=(x(1)d2,x(2)d2,x(k)d2=1x(k)d+x(k+1)d+n-k+1,x(n)d2) +x(n)d,k=1,2n ,則D2對于增長序列，衰減序列或振蕩序列時，皆為二階弱化算子。定理2.3.2設(shè)原始序列和其緩沖算子序列分別為X=(x(1),x(2),x(n)XD=(x(1)d,x(2)d, 其中x(k)d=x(1)+x(2)+,x(n)d) ,k=1,

20、2,n-1 +x(k-1)+kx(k)2k-1x(n)d=x(n)則當X為增長序列(越來越大)，衰減序列或振蕩序列時，D為強化算子。推論2.3.2設(shè)D為定理2中定義的強化算子，令2=XD=D(1x)2d, XD2(x2)d,2,x ,其中(n)d )x(n)d2=x(n)d=x(n)x(k)d2=x(1)d+x(2)d+x(k-1)d+kx(k)d2k-1,k=1,2,n-1 ,則D2對于增長序列，衰減序列或振蕩序列皆為二階強化算子。定理2.3.3原始數(shù)據(jù)序列和其緩沖算子序列分別為X=(x(1),x(2),x(n)XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d)其中 x(k)d=kx(k)+(k+

21、1)x(k+1)+nx(n)(n+k)(n-k+1)/2,k=1,2 則當，n, X 為增長序列，衰減序列或振蕩序列時，D為弱化算子，并稱D為加權(quán)平均弱化緩沖算子 (WAWBO )定理2.3.4設(shè)X=(x(1),x(2),x(n)為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令 XD=(x(1)d,x(2)d, 其中 x(k)d=x(k)x(k+1)x(n)1n-k+1n,x(n)d) 1n-k+1= I!x(i)i=k,k=1,2,n。則當X為增長序列，衰減序列或振蕩序列時，D為弱化緩沖算子，并稱D為幾何平均弱化緩沖算子(GAWBO)定理2.3.5設(shè)X=(x(1),x(2),x(n)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，各時點的

22、權(quán)重向量為Cl) =( (JL)1, (JL)2XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d),則 n)其中 x(k)d= kx(k)+ cok+1x(k+1)+ nx(n) k+3 k+1+co n,k=1,2,n則當 X D 皆為弱化緩沖算子，并稱D為加權(quán)平均弱化緩沖算子(WAWBO )。定理2.3.6設(shè)X量為=(312=(x(1),x(2),x(n)洛時點的權(quán)重向con)>0,x(n)d)令 XD=(x(1)d,x(2)d, 其中1x(k)d=x(k)x k k+1(k+1)x(n) nk+k+1+n= Hx(i)i=kn1k+k+1+n,k=1,2,n則當X D為弱緩沖算子，并稱D

23、為加權(quán)幾何平均弱化緩沖算子(WGAWBO)。 定理2.3.7設(shè)X=(x(1),x(2),x(n)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令 XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d) ,k=1,2,n。 (n-k+1)x2(k)其中 x(k)d=x(k)+x(k+1)+x(n)則當X為增長序列，衰減序列或振蕩序列時，D為強化緩沖算子，并稱D為平均強化緩沖算子(ASBO)定理2.3.8設(shè)X=(x(1),x(2),x(n)為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令 XD=(x(1)d,x(2)d, 其中 x(k)d=x2(k)x(k)x(k+1)x(n)1n-k+1,x(n)d) x2(k)n1n-k+1=,k=1,2,n。 1

24、1x0 i=k則當X為增長序列，衰減序列或振蕩序列時，D為強化緩沖算子，并稱D為幾何平均強化緩沖算子(GASBO)以上列舉了部分緩沖算子，當然，我們還可以考慮構(gòu)造其它形式的實用緩沖算 子，緩沖算子不僅可以用于灰色系統(tǒng)建模，而且還可以用于其它各種模型建模。 通常在建模之前根據(jù)定性分析結(jié)論對原始數(shù)據(jù)序列施以緩沖算子，淡化或消除沖 擊擾動對系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的影響，往往會收到預期的效果。例2.3.1河南省長葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值數(shù)據(jù)(1983年-1986年)為 X=(10155,12588,23480,35388)其增長勢頭很猛，1983-1986年每年平均遞增51.6%,尤其是1984-1986年，每年

25、平均遞增67.7%。因此普遍認為今后不可能一直保持這么高的發(fā)展速度。經(jīng)過認 真分析，大家認識到增長速度高主要是基數(shù)低，而基數(shù)低的原因是過去對有利與 鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展的政策沒有用足，用活，用好。要弱化序列增長趨勢，就要將鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展比較有利的現(xiàn)行政策因素附加到過去的年份中去，為此，引進推論1所示的二階弱化算子，得二階緩沖序列XD2=(27260,29547,32411,35388)用XD2建模預測得，1986-2000年該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)每年平均遞增9.4%,這一結(jié)果是1987年得到的，與 八五”后半期和 九五”期間該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā) 展實際基本吻合。2.4 均值生成算子在收集數(shù)據(jù)時，常常由于一些不易克服的困

26、難導致數(shù)據(jù)序列出現(xiàn)空缺(也稱空 穴)，有些數(shù)據(jù)序列雖然完整，但由于系統(tǒng)行為在某個時點上發(fā)生突變而形成異 常數(shù)據(jù)，剔除異常數(shù)據(jù)就會留下空穴，如何填補空穴，自然成為數(shù)據(jù)處理過程中 首先遇到的問題，均值生成是常用的構(gòu)造新數(shù)據(jù)，填補原序列空穴，生成新序列 的方法。定義2.4.1設(shè)序列X在k出現(xiàn)有空穴，記為？(k),即X=(x(1),x(2),x(k-1), ? (k),x(k+1),x(n)則稱 x(k-1)和 x(k+1)為？(k)的界值，x(k-1)為 前界，x(k+1)為后界當？(k)是由x(k-1)和x(k+1)生成時，稱生成值x(k)為x(k-1) , x(k+1)的內(nèi)點 定義2.4.2設(shè)序

27、列X=(x(1),x(2),x(k-1), ? (k),x(k+1),x(n)為 k 處有空穴？(k)的序列，而？ (k) =x*(k)=0.5x(k-1)+0.5x(k)稱為非緊鄰均值生成數(shù)，所得序列稱為非緊鄰生成序 列。定義 2.4.3設(shè)序列 X=(x(1),x(2),x(n),若x*(k)=0.5x(k-1)+0.5x(k),則稱x*(k)為緊鄰生成數(shù)，由緊鄰生成數(shù)構(gòu)成的序列稱為緊鄰均值生成序列。2.5 序列的光滑性定義2.5.1設(shè)序列X是X的均值生成序列：Z=(z(1),z(2),=(x(1),x(2),x(n),x(n+1) , Z,z(n),其中 z(k)=0.5x(k-1)+0.

28、5x(k), X* 是 某一可導函數(shù)的代表序列，d為n維空間的距離函數(shù)，我們將 X刪去x(n+1)后所 得的序列仍記X,若X滿足1 .當k充分大時，x(k)< Ex(i)i=1k-1x*(k)-x(k) > maxx*(kz(k) 2. max1 < k< n1< k< n則稱X為光滑序列，1, 2為序列光滑條件。定義 2 . 5 . 2 稱 p (k)=x(k)匯 x(i)i=1k-1;k=2,3,n為序列X的光滑比。定義2 .5 .3若序列X滿足1 . p(k+1)<1; p (k)k=2,3,n2 . p(k)0, e； 3 . £ &

29、lt;0.5則稱X為準光滑序列。3 . 6級比生成算子k=3,4,n定義 2 .6.1 設(shè)序列 X=(x(1),x(2),x(n),則稱0- (k)=x(k);x(k1)k=2,3,n 為序列X的級比。4 . 7累計生成算子與累減生成算子累加生成是使灰色過程由灰變白的一種方法，它在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要 的地位。通過累加可以看出灰量積累過程的發(fā)展態(tài)勢，使離亂的原始數(shù)據(jù)中蘊含 的積分特性或規(guī)律充分顯露出來。定義 2 . 7 . 1 設(shè) X0=(xO(1),x0(2),x0(n) , D 為序列算子X0D=(x0(1)d,x0(2)d, x(k)d= Ex0(i);0 i=1k,x0(n)d)

30、,其中，n。k=1,2,3,則稱D為X0的一次累加生成算子，記為1 -AGO (Accumulating Generation Operator)，稱r階算子Dr為X0的r次累加生成算子，記為r-AGO,習慣上，我們 記X0D=X1=(x1(1),x1(2),x1(n)X0Dr=Xr=(xr(1),xr(2),xr(n)其中 x(k)d= Exr1(i);r i=1kk=1,2,3,n定義 2.7.2 (累減)設(shè) X0=(x0(1),x0(2), 算 X0D=(x0(1)d,x0(2)d,x0(n)d),其中 x0(k)d=x0(k)-x0(k-1)k=1,2,3,n ,x0(n) , D 為

31、序列 2.8灰指數(shù)律定義2.8.1設(shè)序列X1. x(k)=ceak;2. x(k)=ceak;=(x(1),x(2),x(n),若對于 c,a w 0;k=1,2c,a,bw 0;k=12rX 為齊次指數(shù)序列。X為齊次指數(shù)序列。,x(n)若n,稱定義2.8.2設(shè)序列X1.?k,(T (k)= 律。2.律。3. ?k,(r(k)=k,(r(k)=(x(1),x(2),x(k(0,1,則稱序列 x(k-1)X 具有負的灰指 數(shù)規(guī)x(k) C (1,b,則稱序列x(k-1)X具有正的灰指數(shù)規(guī)x(k) C a,b,b-a=6 x(k1)則稱 序列X具有絕對灰度為6的灰指數(shù)規(guī)律。4. 6定理2.8.1設(shè)

32、序列X0=(x0(1),x0(2),x0(n)為非負準光滑序0.5時，稱X具有準指 數(shù)規(guī)律。歹I，則X0的一次累加生成序列X1具有準指數(shù)規(guī)律。 注：定理2.8.1是 灰色系統(tǒng)建模的理論基礎(chǔ)第三章灰色關(guān)聯(lián)分析對兩個系統(tǒng)或兩個因素之間關(guān)聯(lián)性大小的量度，稱為關(guān)聯(lián)度。它描述系統(tǒng)發(fā)展過 程中因素間相對變化的情況，也就是變化大小、方向及速度等指標的相對性。如 果兩者在系統(tǒng)發(fā)展過程中相對變化基本一致，則認為兩者關(guān)聯(lián)度大；反之，兩者關(guān)聯(lián)度就小?；疑?統(tǒng)理論的關(guān)聯(lián)度分析與數(shù)理統(tǒng)計學的相關(guān)分析是不同的，兩者的區(qū)別在于第一， 它們的理論基礎(chǔ)不同。關(guān)聯(lián)度分析基于灰色系統(tǒng)的灰色過程，而相關(guān)分析則基于 概率論的隨機過程

33、；第二，分析方法不同。關(guān)聯(lián)分析是進行因素問時間序列的比 較，而相關(guān)分析是因素間數(shù)組的比較；第三，數(shù)據(jù)量要求不同。關(guān)聯(lián)分析不要求 數(shù)據(jù)太多，而相關(guān)分析則需有足夠的數(shù)據(jù)量；第四，研究重點不同。關(guān)聯(lián)度分析 主要研究動態(tài)過程，而相關(guān)分析則以靜態(tài)研究為主。因此，關(guān)聯(lián)度分析適應性更廣，在用于社會經(jīng)濟系統(tǒng)中的應用更有其獨到之處。一般的抽象系統(tǒng)，如社會系統(tǒng)，經(jīng)濟系統(tǒng)，農(nóng)業(yè)系統(tǒng)，生態(tài)系統(tǒng)等都包含有許多 種因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了該系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢。我們常常希望知道 眾多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素對系統(tǒng)發(fā)展影響 大，哪些因素對系統(tǒng)發(fā)展影響小，哪些因素對系統(tǒng)發(fā)展起推動作用需加強，哪些

34、 因素對系統(tǒng)發(fā)展起阻礙作用需抑制,數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析，方差分析，主成分分析等都是用來進行系統(tǒng)特征分析的 方法。但數(shù)理統(tǒng)計中的分析方法往往需要大量數(shù)據(jù)樣本，且服從某個典型分布。 灰色關(guān)聯(lián)分析方法彌補了采用數(shù)理統(tǒng)計方法作系統(tǒng)分析所導致的缺憾.它對樣本量的多少和樣本有無規(guī)律都同樣適用，而且計算量小，十分方便，更不會出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分 析結(jié)果不符的情況?；疑P(guān)聯(lián)分析的基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯(lián)系是否 緊密。曲線越接近，相應序列之間關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小。例如某地區(qū)農(nóng)業(yè) 總產(chǎn)值X0,種植業(yè)總產(chǎn)值畜牧業(yè)總產(chǎn)值X2和林業(yè)總產(chǎn)值X3 ,從X1 , 統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：X0= (18,

35、20, 22, 35, 41, 46)X1= (8, 11, 12, 17, 24, 29)X2= (3, 2, 7, 4, 11, 6)產(chǎn)值散點圖5040七30' 20100199719981999200020012001年份X0= (5, 7, 7, 11, 5, 10)1997-2002年共6年的從直觀上看，與農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值曲線最相似的是種植業(yè)總產(chǎn)值曲線，而畜牧業(yè)總產(chǎn)值 曲線和林果業(yè)總產(chǎn)值去與農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值曲線在幾何形狀上差別較大。因此我們可以 說該地區(qū)的農(nóng)業(yè)仍然是以種植業(yè)為主的農(nóng)業(yè)，畜牧業(yè)和林果業(yè)還不夠發(fā)達。3.1 灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集進行系統(tǒng)分析，選準系統(tǒng)行為特征的映射量后，還需

36、進一步明確影響系統(tǒng)行為的 有效因素。如要作量化研究分析，則需要對系統(tǒng)行為特征映射量和各有效因素進 行處理，通過算子作用，使之化為數(shù)量級大體相近的無量綱數(shù)據(jù)，并將負相關(guān)因 素轉(zhuǎn)化為正相關(guān)因素。定義3.1.1設(shè)Xi=(xi(1),xi(2),序列，D1為序列算子，且XiD1)d1,xi(2)d1,1=(xi(,xi(n)d1)n,xi(n)為因素Xi的行為其中 xi(k)d1 =xi(k)xi(1)xi(1) w0;k=1,2,則稱D1為初值化算子。XiD1為Xi在初值化算子D1的象，簡稱初值象。 定義3.1.2設(shè)Xi=(xi(1),xi(2)，序列，D2為序列算子,且 XiD2=(xi(1)d2

37、,xi(2)d2,xi(n)d2) n,xi(n)為因素Xi的行為 其中 xi(k)d2xi(k)1n Ex(k) i k=1 n ；k=1,2 ,則稱D2為均 值化算子。XiD2為Xi在均值化算子D2的象，簡稱均值象。 定義3.1.3設(shè)Xi=(xi(1),xi(2)，序列，D3為序列算子,且 XiD3=(xi(1)d3,xi(2)d3,xi(n)d3) ；k=1,2 n,xi(n)為因素Xi的行為 其中 xi(k)d3xi(k)-minxi(k) kmaxxi(k)-minxi(k) k k則稱D3為區(qū)間化算子。XiD3為Xi在區(qū)間化算子D3的象，簡稱區(qū)間 值象。命題4.1.1初值化算子、均

38、值化算子和區(qū)間值化算子皆可以使系統(tǒng)行為序列無量綱化，且在數(shù)量上規(guī)一。一般地，不宜混合、重疊使用定義 3.1.4設(shè) Xi=(xi(1),xi(2),素Xi的行為序列，D4為序列算子，且XiD4=(xi(1)d4,xi(2)d4,xi(n)d4)n,xi(n), x(k) C 0,1為因其中 xi(k)d4=1-xi(k);k=1,2 ,則稱 D4 為逆化算子。XiD4為Xi在逆化算子D4的象，簡稱逆化象。定義 3.1.5設(shè) Xi=(xi(1),xi(2),素Xi的行為序列，D5為序列算子，且XiD5=(xi(1)d5,xi(2)d5,xi(n)d5),xi(n) , x(k)C0,1為因 n其中

39、 xi(k)d5=1xi(k)xi(k) w0;k=1則稱D5為倒數(shù)算子。XiD5為Xi在倒數(shù)化算子D5的象，簡稱倒數(shù)化象。命題4.1.3若系統(tǒng)因素Xi=(xi(1),xi(2),為呈負相關(guān)關(guān)系，則Xi=(xi(1),xi(2),xi(n)與系統(tǒng)主行，xi(n)的逆化算子作用像和倒數(shù)化作用像與X0具有正相關(guān)關(guān)系。定義3.1.6稱D=Di|i=1,2,3,4,5為灰色關(guān)聯(lián)算子集(以上五個)。定義3.1.7設(shè)X為系統(tǒng)因素集合，D為灰色關(guān)聯(lián)算子集，稱(X,D)為灰色關(guān)聯(lián)因 子空間。3.2 灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度灰色系統(tǒng)理論提出了一種新的分析方法 一關(guān)聯(lián)度分析方法，即根據(jù)因素之間發(fā)展 態(tài)勢的相似或相

40、異程度來衡量因素間關(guān)聯(lián)的程度，它揭示了事物動態(tài)關(guān)聯(lián)的特征 與程度。由于以發(fā)展態(tài)勢為立足點，因此對樣本量的多少沒有過分的要求，也不 需要典型的分布規(guī)律，計算量少到甚至可用手算，且不致出現(xiàn)關(guān)聯(lián)度的量化結(jié)果 與定性分析不一致的情況。這種方法已應用到農(nóng)業(yè)經(jīng)濟、水利、宏觀經(jīng)濟等各方 面，都取得了較好的效果?；疑到y(tǒng)理論建模的主要任務是根據(jù)具體灰色系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，充分開發(fā)并 利用不多的數(shù)據(jù)中的顯信息和隱信息，尋找因素間或因素本身的數(shù)學關(guān)系。通常 的辦法是采用離散模型，建立一個按時間作逐段分析的模型。但是，離散模型只 能對客觀系統(tǒng)的發(fā)展做短期分析，適應不了從現(xiàn)在起做較長遠的分析、規(guī)劃、決 策的要求。盡管

41、連續(xù)系統(tǒng)的離散近似模型對許多工程應用來講是有用的，但在某 些研究領(lǐng)域中，人們卻常常希望使用微分方程模型。事實上，微分方程的系統(tǒng)描 述了我們所希望辨識的系統(tǒng)內(nèi)部的物理或化學過程的本質(zhì)。大千世界里的客觀事物往往現(xiàn)象復雜，因素繁多。我們往往需要對系統(tǒng)進行因素 分析，這些因素中哪些對系統(tǒng)來講是主要的，哪些是次要的，哪些需要發(fā)展，哪 些需要抑制，哪些是潛在的，哪些是明顯的。一般來講，這些都是我們極為關(guān)心 的問題。事實上，因素問關(guān)聯(lián)性如何、關(guān)聯(lián)程度如何量化等問題是系統(tǒng)分析的關(guān) 鍵和起點。對于兩系統(tǒng)之間的因素，其隨時間或不同對象而變化的關(guān)聯(lián)性的大小的量度，稱 為關(guān)聯(lián)度。在系統(tǒng)發(fā)展過程中，若兩個因素變化的趨勢

42、具有一致性，即變化程度 較高，即可謂二者的關(guān)聯(lián)度較高；反之，則較低。因此，灰色關(guān)聯(lián)度分析方法， 是根據(jù)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，即灰色關(guān)聯(lián)度”作為衡量因素之間關(guān)聯(lián)程度的一種方法?；疑到y(tǒng)理論提出了對各子系統(tǒng)進行灰色關(guān)聯(lián)度分析的概 念，意圖透過一定方法，去尋求系統(tǒng)各子系統(tǒng)(或因素)之間數(shù)值的關(guān)系。因 此，灰色關(guān)聯(lián)度分析對于一個系統(tǒng)的發(fā)展變化態(tài)勢提供了量化的度量，非常適合 動態(tài)歷程分析。關(guān)聯(lián)分析實際上是動態(tài)過程發(fā)展態(tài)勢的量化比較分析。所謂發(fā)展態(tài)勢比較，也就是系統(tǒng)各時期有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的幾何關(guān)系的比較。例如，某地區(qū)19771983年總收入與養(yǎng)豬、養(yǎng)兔收入資料見表 1。1 I "L；19

43、7719781979198019«11982198J總收入1S2022404460養(yǎng)鞫1015142iat4050養(yǎng)施i71210221820楹拼&L做曲線圖I.»*y j)圖 1由上周易看曲.曲線a與曲線R發(fā)展巖勢比較接近.而，曲線。相/較人*因此 可明判斷.讀地區(qū)時總收入黑胴較力稽的是界矯業(yè).而不是養(yǎng)能業(yè).瞅隨然，兒何死狀越接近*關(guān)聯(lián)程度也就越大.力然，力觀分析對于精通址外些 的問題副痘科般于進生jn此產(chǎn)要給山種沙算。法米西cm泰間關(guān)聯(lián)程度的大小.定義3.2.1 (灰色關(guān)聯(lián)公理)設(shè) X0=(x0(1),x0(2),X1=(x1(1),x1(2),x0(n)為，且

44、，x1(n),Xi=(xi(1),xi(2),xi(n)Xm=(xm(1),xm(2),xm(n)為相關(guān)因素序列，給定實數(shù)r(x0(k),xi(k),若實數(shù)1nr(X0,Xi)= !2r(x0(k),xi(k)滿足 nk=1規(guī)范性 0<r(X0,X <)1r,0X(iX,=? 10X= iXi2 .整體性 對于 Xi,Xj CX=XS|s=0,1,m;m 白四r(Xi,Xj) wr(Xj,Xi)i -3 .偶對對稱性Xi,Xj CX,有r(Xi,Xj尸r(Xj,Xi) ?X=Xi,Xj4 .接近性 |x0(k-)ix(k 越小，)|r(x0(k),xi(k)越大。1n 則稱 r(X

45、0,Xi尸 4 r(x0(k),xi(k訪Xi,Xj CX的灰色關(guān)聯(lián)度，其中nk=1r(x0(k),xi(k)為Xi和Xj在k點的關(guān)聯(lián)系數(shù)，并稱條件1.2.3.4為灰色關(guān)聯(lián)四公理。在灰色關(guān)聯(lián)公理中，規(guī)范性0<r(X0,Xi) 表明系統(tǒng)中任何兩個行為序列都不可能 嚴格無關(guān)聯(lián)。整體性則體現(xiàn)了環(huán)境對灰色關(guān)聯(lián)比較的影響，環(huán)境不同，灰色關(guān)聯(lián) 度也隨之變化，因此對稱性不一定滿足。偶對對稱性表明，當灰色關(guān)聯(lián)因子集中只有兩個序列時，滿足對稱性。接近性是對關(guān)聯(lián)量化的約束。定義3.2.2設(shè)系統(tǒng)行為序列X0=(x0(1),x0(2),x0(n)X1=(x1(1),x1(2),x1(n),Xi=(xi(1),x

46、i(2),xi(n),Xm=(xm(1),xm(2),xm(n)對于氏(0,1)令r(x0(k),xi(k)=minminx0(k)- xi(k)+ ?maxmaxx0(k)-xi(k)ikikx0(k)-xi(k)+ ?±maxmaxx0(k)-xi(k)ik記 r(x0(k),xi(k)為 r0i(k), 1n1nr(X0,Xi)= E r(x0(k),xi(k)=12 roi(k)nk=1nk=11nr(X0,Xi)= Er(x0(k),xi(k)足灰色關(guān)聯(lián)公理，其中己nk二稱為分辨系數(shù)。r(X0,Xi)稱為X0,Xi的灰色關(guān)聯(lián)度，記為r0i。根據(jù)關(guān)聯(lián)度的定義，可得關(guān)聯(lián) 度的計

47、算步驟如下：1 .根據(jù)評價目的確定評價指標體系，收集評價數(shù)據(jù) 設(shè)m個數(shù)據(jù)序列形成如下矩陣：(X0,X1?x0(1)x1(1) x0(2)x1(2) ,Xm尸 x(n)x(n)1 ?0xm(1)? xm(2)? ?xm(n)?其 中n為指標的個數(shù)，Xi=(xi(1),xi(2),xi(n),i=1,2,T,m .m是比較數(shù)列，n是數(shù)據(jù)指標，X0是參考數(shù)據(jù)列2 .確定參考數(shù)據(jù)列X0參考數(shù)據(jù)列應該是一個理想的比較標準，可以以各指標的最優(yōu)值(或最劣值)構(gòu)成參考數(shù)據(jù)列，也可根據(jù)評價目的選擇其它參照值.記作 X0=(x0(1),x0(2),x0(m)3 .對指標數(shù)據(jù)序列用關(guān)聯(lián)算子進行無量綱化(目的是消除數(shù)

48、量級大小不同的影 響，以便于進行計算和比較分析)，無量綱化后的數(shù)據(jù)序列形成如下矩陣： (X0',X1', ?x'(1)x'(1)1 x'(2)x'(2)1 ')=0,Xm x'(n)x'(n)1?0xm'(1)? xm'(2)? ?'xm(n)?常用的無量綱化方法有均值化像法、初值化像法等.1nxi(k) E nk=1 i=0,1,m； k=1,2, xi'(k)= xi(k) ,xi'(k)= ,n.xi(k)xi1由于系統(tǒng)中各因素的量綱(或單位)不一定相同，如勞動力為人，產(chǎn)值為萬

49、元，產(chǎn)量為噸等，且有時數(shù)值的數(shù)量級相差懸殊，如人均收入為幾百 元，糧食每公頃產(chǎn)量為幾千公斤，費用為幾十萬元，有些產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值達百億元，有 些產(chǎn)業(yè)才幾萬元，等等，這樣的數(shù)據(jù)很難直接進行比較，且它們的幾何曲線比例 也不同。因此，對原始數(shù)據(jù)需要消除量綱(或單位)，轉(zhuǎn)換為可比較的數(shù)據(jù)序列。 目前，原始數(shù)據(jù)的變換有以下幾種常用方法：a）均值化變換。先分別求出各個序列的平均值，再用平均值去除對應序列中的各 個原始數(shù)據(jù)，所得到新的數(shù)據(jù)列，即為均值化序列。其特點是量綱為一，其值大 于0,并且大部分近于1,數(shù)列曲線互相相交。b）初值化變換。分別用同一序列的第一個數(shù)據(jù)去除后面的各個原始數(shù)據(jù)，得到新 的倍數(shù)數(shù)列，即為初

50、值化數(shù)列。量綱為一，各值均大于0,且數(shù)列有共同的起點。c）標準化變換。先分別求出各個序列的平均值和標準差，然后將各個原始數(shù)據(jù)減 去平均值后再除以標準差，這樣得到的新數(shù)據(jù)序列即為標準化序列。量綱為一， 其均值為0,方差為1。一般情況下，對于較穩(wěn)定的社會經(jīng)濟系統(tǒng)數(shù)列作動態(tài)序列的關(guān)聯(lián)度分析時，多采 用初值化變換，因為這樣的數(shù)列多數(shù)是增長的趨勢。若對原始數(shù)列只作數(shù)值間的 關(guān)聯(lián)比較，可用均值化變換，譬如進行產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)變化的關(guān)聯(lián)分析，自然因素周期 性變化的關(guān)聯(lián)分析等。補充2.1博二技術(shù)力保證座欖的康系統(tǒng)分析的正好果對女靠熊韻政蠟酸擒必裁送行敷揖H 和姓FL使其調(diào)胃呈!M邛叫有好比性，定義I橙學風V二門山.1

51、，口一一，T舊”翻林映射為序列x利序列r的數(shù)檄身拱.1)當/(«*)=嘿=好)"go*z林/是初值化變換2)為/(x(i) =,，伏). f，5 x(k)林/是均依化受換3)為 maxx(<)位/是百分比殳換.4)當/(X點)=,= y(k1 nunx(k)# 0minx(r)*稱/此倍數(shù)受推其中將力大于零的某個值,徐了是打 化變黑.6i '1v|i)7um 口)的a")")，伏- txiiti x(i |D"蕊皿力,而一環(huán)/dM圖仍化?班4.逐個計算每個被評價對象指標序列與參考序列對應元素的絕對差值即？i(k)=x0'(

52、k)-xi'(k) ； knm=1,n i=1,m minx0'(k)-xi'(k)與 5.確定 M=mini=1k=1m=maxmaxx0'(k)-xi'(k) i=1k=1nm6.計算關(guān)聯(lián)系數(shù)分別計算每個比較序列與參考序列對應元素的關(guān)聯(lián)系數(shù)r(x0'(k),xi'(k)=k=1,m+ ? M?i(k)+ ?M ,n式中己為分辨系數(shù)，在（0, 1）內(nèi)取值，己越小，關(guān)聯(lián)系數(shù)間的差異越大，區(qū)分 能力越強.通常己取05P稱為分辨系數(shù)，其意義是削弱最大絕對差數(shù)值太大引起的失真，提高關(guān)聯(lián)系數(shù) 之間的差異顯著性，pC （0, 1）, 一般情況下可取

53、0.10.5。關(guān)聯(lián)系數(shù)反映兩個被比較序列在某一時刻的緊密（靠近）程度。如在？min的時刻，Lio =1,而在？max的時刻則關(guān)聯(lián)系數(shù)為最小值。因此，關(guān)聯(lián)系數(shù)的范圍為0 < L< 17 .計算關(guān)聯(lián)度1nr（X0,Xi）= 12 roi（k） nk=1由以上所述可知，關(guān)聯(lián)度分析實質(zhì)上是對時間序列數(shù)據(jù)進行幾何關(guān)系比較，若兩 序列在各個時刻點都重合在一起，即關(guān)聯(lián)系數(shù)均等于1,則兩序列的關(guān)聯(lián)度也必等于1。另一方面，兩比較序列在任何時刻也不可垂直，所以關(guān)聯(lián)系數(shù)均大于0,故關(guān)聯(lián)度也都大于00因此，兩序列的關(guān)聯(lián)度便以兩比較序列各個時刻的關(guān)聯(lián)1n系數(shù)之平均值計算，即：r（X0,Xi）= 12 roi

54、（k） nk=1式中r0i為子序列i與母序列0的關(guān)聯(lián)度，N為比較序列的長度（即數(shù)據(jù)個數(shù)）。用幾何坐標表示，即在橫坐標為時間 3縱坐標為關(guān)聯(lián)系數(shù)L的坐標圖中，繪出 關(guān)聯(lián)系數(shù)曲線（虛線）。該折線與橫坐標間圍成的面積，稱為關(guān)聯(lián)面積，記作 S0i, 而母序列自身的關(guān)聯(lián)系數(shù)處處為1。所以，取縱坐標L=1,作水平線與橫坐標問 圍成的面積為重合面積，記為 S00,則關(guān)聯(lián)度的幾何意義為兩面積之比，即r0i=S0iS00o因關(guān)聯(lián)系數(shù)曲線為等時距，且 S00= 1,故1r0i=S0i=Nk=1 ELoi（k）N o8 .依據(jù)各觀察對象的關(guān)聯(lián)序，得出綜合評價結(jié)果.因素有關(guān)：1）母序列X0不同，則關(guān)聯(lián)度不同；2）子序

55、列Xi不同，則關(guān)聯(lián)度不同；3）參考點0 （或數(shù)據(jù)變換）不同，關(guān)聯(lián)度不同；4）數(shù)據(jù)序列長度N不同，關(guān)聯(lián)度不同；5）分辨系數(shù)p不同，關(guān)聯(lián)度不同。一般來說，關(guān)聯(lián)度也滿足等價 關(guān)系”三公理，即：1）自反性：r00 = 1; 2）對稱性: r0i = ri0; 3）傳遞性：r0a >r0b , r0b >r0c,則 r0a >r0c。將m個子序列對同一母序列的關(guān)聯(lián)度按大小順序排列起來，便組成關(guān)聯(lián)序，記為X。它直接反映各個子序列對于母序列的優(yōu)劣”關(guān)系。若r0a >r0b,則稱Xa 對于相同母序列X0有優(yōu)于Xb 的特點，記為Xa不難看出，關(guān)聯(lián)度與下列|X0Xb|X0；若ar0a <r0b,則稱Xa r0a =r0b,則稱對于母序列X0劣于Xb ,