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文檔簡介
1、安徽省名校2014-2015學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題計 10小題,每小題5分,滿分50分.每小題只有一個選項符合題目要求的)1.已知集合 A=x|x 2 - 3x+2 V 0, B=x|log 4x>1,則()2A. A? BB. B? AC. AA ?rB=RD. AA B=?22 .函數(shù) f (工)二&式門2(a b£R),若f (Isttz-t-)二2013,則 f(lg2014)2014=()A. 2018B. - 2009C. 2013D. - 20133 .在坐標(biāo)平面上直線l的方向向量(-o -5),點O (0, 0) , A ( 1,
2、- 2)在l上的5 5正射影分別為Q、A,設(shè)第7=入%,則實數(shù)入=()A. 2B. - 2C.豆D. 一口554.將函數(shù),一.-工)的圖象上的各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的32倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平移三個單位6所得函數(shù)的圖象的一條對稱軸為()A. RB.工=三C. XD. x=Tt乳 9x gX 25 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,若a=1, a3=5, 3+2-4=36,則k的值為()A. 8B. 7C. 6D. 56 .已知平面 a , 3和直線a, b,若a n 3 =l , a? “,b? 3 ,且平面與平面 3不垂直, 直線a與直線l不垂直,直線 b與直線l不垂直,則()A.直線a
3、與直線b可能垂直,但不可能平行B.直線a與直線b可能垂直,也可能平行C.直線a與直線b不可能垂直,但可能平行D.直線a與直線b不可能垂直,也不可能平行7 .若直線y=kx+1與圓x2+y2+kx - 2y=0的兩個交點恰好關(guān)于 y軸對稱,則k=()A. 0B. 1C. 2D. 38 .若 ABC的周長等于20,面積是10d5, A=60° ,則BC邊的長是()A. 5B. 6C. 7D. 89 .若直線y=x+b與曲線y=3+y4x -,有公共點,則實數(shù) b的取值范圍是()A. 1, 1+2«B. 1 2/2, 1+2-/2C.1 2近,3 D. 1-應(yīng),310 .已知球的
4、直徑 SC=4 A, B是該球球面上的兩點,AB=2, /ASCW BSC=45 ,則棱錐 S-ABC的體積為()BSA -二 A.二、填空題(本大題計5小題,每小題5分,滿分25分)11 .已知| b|=2 ,與b的夾角為120° ,則b在a上的射影為.12 .電動自行車的耗電量 y與速度x之間的關(guān)系為 產(chǎn)工?_笆40工(工,0),為使 32耗電量最小,則其速度應(yīng)定為.13 .已知一個等腰三角形的頂點A (3, 20), 一底角頂點B (3, 5),另一頂點C的軌跡方程是.14 .現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿,自上而下每節(jié)的長度依次構(gòu)成等差數(shù)列,最上面一節(jié)長為10cmx最下面的三節(jié)長度之和為
5、 114cm,第6節(jié)的長度是首節(jié)與末節(jié)長度的等比中項,則 n=.15 .已知 m l是直線,a、3是平面,給出下列命題:若l垂直于a內(nèi)兩條相交直線,則l,a ;若l平行于a ,則l平行于a內(nèi)所有的直線;若 m? a, l ? 3 且 l,m,則若l? 3且l,a,則若 m? a , l ? 3 且 a / 3 ,則 l / m其中正確命題的序號是.、解答題(本大題計 6小題,滿分75分)16 .函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-3)的定義域為集合A,函數(shù)g(x)=2x-a (x<2)的值域為集合B.(I )求集合A, B;(n)若集合 A, B滿足AA B=B求實數(shù)a的取值范圍.17.已知
6、函數(shù)(I )求函數(shù)f(x)=2cos - V3sinxf (x)的最小正周期和值域;(n)若a為第二象限角,且 f (a- -) =1,求空在的值.33 l+cos2a_ sin2a18 .已知點 P (2, 0),及。C: x2+y2 6x+4y+4=0.(1)當(dāng)直線l過點P且與圓心C的距離為1時,求直線l的方程; 設(shè)過點P的直線與OC交于A、B兩點,當(dāng)|AB|=4 ,求以線段AB為直徑的圓的方程.19 . 4ABC中,角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c.已知 3cos (B-C) - 1=6cosBcosC.(1)求 cosA;(2)若a=3, 4ABC的面積為2版 求b, c
7、.20 .如圖,在斜三棱柱 ABC- A1B1C1中,點。E分別是 A。、AA的中點,AOL平面 ABC.已知/BCA=90 , AA1=AC=BC=2(I)證明:OE/平面ABC;(n)求異面直線 AB與AC所成的角;(出)求A1C與平面AAB1所成角的正弦值.5121 .設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,若對任意的正整數(shù) n,總存在正整數(shù) m使得Sn=am,則稱 an是“H數(shù)列”.(1)若數(shù)列an的前n項和為S=2n (nCN*),證明:an是“H數(shù)列”;(2)設(shè)an是等差數(shù)列,其首項 a1=1,公差d<0,若an是“H數(shù)列”,求d的值; 、 、 一 一*(3)證明:對任意的等差數(shù)列an,
8、總存在兩個“H數(shù)列” bn和cn,使得小=>+6 (n C N) 成立.安徽省名校2014-2015學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題計10小題,每小題5分,滿分50分.每小題只有一個選項符合題目要求的)1.已知集合 A=x|x 2- 3x+2 V 0, B=x|log 4x>l,則()2A. A? BB. B? AC. AA ?rB=RD. AA B=?考點:交集及其運算.專題:三角函數(shù)的求值.分析:分別求出A與B中不等式的解集,確定出A與B,即可做出判斷.解答: 解:由A中不等式x2-3x+2<0,變形得:(x-1) (x-2) <0,解得:1<x&
9、lt; 2,即 A=x|1 <x< 2,由B中不等式變形得:log 4x>=log 42,2解得:x>2,即 B=x|x >2,則 AA B=?.故選:D.點評:此題考查了交集及其運算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.22.函數(shù) f (工)=&式口(a,b£R),若f (lg;) =2013(lg2014)2014=()A. 2018B. - 2009C. 2013D. - 2013考點:函數(shù)的值.專題:計算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.2分析: 根據(jù)已知,f (工)-asi(a, b£R) , f (1旦裊h)=2013 ,2014不能求得
10、a, b.注意到1 篇不與lg2014互為相反數(shù)關(guān)系,可以聯(lián)想、借用函數(shù)的奇偶性,整體求解.2解答: 解:: f (工)二 asi n%+bx'+4,Ca, b£R),21f (- x) =asi 門?( 一天)+b (- 工)3+4= asin2j+bx3+4=f x f (x)是偶函數(shù),.f (lg2014) =f ( lg2014) =f=2013.故選:C.點評:本題考查函數(shù)值得計算,函數(shù)的奇偶性判斷與應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.3.在坐標(biāo)平面上直線l的方向向量:二(_9 2),點O (0, 0), A (1, - 2)在l上的 e 5 5正射影分別為Q、A,設(shè)d訪二入之,則實
11、數(shù)入=()A. 2B. - 2C.皂D.-皂55考點:平面向量數(shù)量積的含義與物理意義.專題:平面向量及應(yīng)用.分析:確定須=(1, - 2),根據(jù)乖彳=(1, - 2) ? ( 衛(wèi))=-2,即可得到結(jié)論.5 5解答: 解:.O (0, 0) , A (1, 2),0A= (1, - 2)OA-e= (1, 2)?(衛(wèi))=-25 50%=人已,實數(shù)入=-2故選B.2倍(縱坐標(biāo)不變),點評:本題考查向量知識的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.4 .將函數(shù)y=cOS(X-)的圖象上的各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3再向左平移 三個單位,所得函數(shù)的圖象的一條對稱軸為()671B. .丁C .丁D.
12、 x=兀考點: 函數(shù)y=Asin (x+()的圖象變換.專題:計算題.分析:通過函數(shù)y=8S(K-工)的圖象上的各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,求出函3數(shù)的解析式,三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減,求出函數(shù)的表達(dá)式即可.解答: 解:函數(shù) 卡8s卜-工)的圖象上的各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到函3數(shù)的解析式為:y=cos (三一),再向左平移 4個單位得到函數(shù)為:2361717rl TTTTy=cos (=工一7+7二)=cos (士工一下),所得函數(shù)的圖象的一條對稱軸為:x=.23 12242故選C.點評:本題考查三角函數(shù)的圖象的變換,圖象的平移,考查計算能力,是基礎(chǔ)題.5 .設(shè)Sn為等
13、差數(shù)列an的前n項和,若a1=1, a3=5, 8+2-&=36,則k的值為()A. 8B. 7C. 6D. 5考點:等差數(shù)列的前n項和.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:由ai=1, a3=5,可解得公差d,進而由Sk+2-4=36可得k的方程,解之即可.解答: 解:由ai=1, a3=5,可解得公差 dJ-=2,3-1再由 Sk+2- Sk=ak+2+ak+i=2ai+ (2k+1) d=4k+4=36,解得k=8,故選A點評:本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式,屬基礎(chǔ)題.6 .已知平面 a , 3和直線a, b,若a n 3 =l , a? a , b? 3 ,且平面與平面 3不
14、垂直, 直線a與直線l不垂直,直線 b與直線l不垂直,則()A.直線a與直線b可能垂直,但不可能平行B.直線a與直線b可能垂直,也可能平行C.直線a與直線b不可能垂直,但可能平行D.直線a與直線b不可能垂直,也不可能平行考點:空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.專題:空間位置關(guān)系與距離.分析:由平面與平面 3不垂直,直線a與直線l不垂直,直線b與直線l不垂直分別分析當(dāng)a/1 ; b / 1和當(dāng)a與b在a內(nèi)的射影垂直時的 a, b位置關(guān)系.解答: 解:因為平面與平面 3不垂直,直線a與直線l不垂直,直線b與直線l不垂直, 所以當(dāng)a /1 ; b / 1時,a / b;當(dāng)a與b在a內(nèi)的射影垂直時 a與
15、b垂直.故選:B.點評:本題考查了兩個平面相交時平面內(nèi)直線的位置關(guān)系的判斷;開心學(xué)生的空間想象能力.7.若直線y=kx+1與圓x2+y2+kx - 2y=0的兩個交點恰好關(guān)于 y軸對稱,則k=()A. 0B. 1C. 2D. 3考點:直線與圓相交的性質(zhì).專題:計算題;直線與圓.分析: 直線y=kx+1與圓x2+y2+kx - 2y=0聯(lián)立,利用兩交點恰好關(guān)于 y軸對稱,可得xi+X2=0,即可求出k.1+k2解答: 解:由直線 y=kx+1 與圓 x2+y2+kx- 2y=0 的得(1+k2) ?x2+kx - 1=0,一兩交點恰好關(guān)于 y軸對稱,x i+X2=0,l+kJ1. k=0.故選:
16、A.點評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查對稱性,考查學(xué)生分析解決問題的能力,比較基礎(chǔ).8 .若 ABC的周長等于20,面積是10丫反,A=60° ,則BC邊的長是()A. 5B. 6C. 7D. 8考點:余弦定理.專題:計算題.分析: 先設(shè)A、B C所對的邊分別為 a、b、c,然后利用面積公式 S=UcsinA得到bc的2值,因為周長為 a+b+c=20,再根據(jù)余弦定理列出關(guān)于a的方程,求出a的值即為BC的值.解答: 解:依題意及面積公式SbcsinA ,2得 10V=°bcsin60 ,得 bc=40.2又周長為 20,故 a+b+c=20, b+c=20 - a,由余
17、弦定理得:a2=b2+c2 - 2bccosA=b2+c2- 2bccos60°=b2+c2- bc= (b+c) 2- 3bc, 故 a2=2- 120,解得 a=7.故選C點評:考查學(xué)生利用余弦定理解決數(shù)學(xué)問題的能力,以及會用三角形的面積公式, 掌握整體代換的數(shù)學(xué)思想.9 .若直線y=x+b與曲線丫=3+/般_ 7有公共點,則實數(shù) b的取值范圍是()A. 1, 1+2、mB. 1 -2/2, 1+2、mC.1 - 2-/2, 3 D . 1-加,3考點: 直線與圓的位置關(guān)系. 專題:直線與圓.分析: 由曲線 y=3+y4x-得(X 2) 2+ (y-3) 2=4, 0<x&
18、lt;4,直線 y=x+b 與曲線 丫=3+,43_ J有公共點,圓心(2, 3)至ij直線y=x+b的距離d不大于半徑r=2 ,由此結(jié)合 圖象能求出實數(shù)b的取值范圍.解答: 解:由曲線y=3+Jq;得(x-2) 2+ (y-3) 2=4, 0<x<4,直線y=x+b與曲線丫=3+54工-J有公共點,圓心(2, 3)到直線y=x+b的距離d不大于半徑門口 12 - 3+b | )即 d=又 2,. 1 - 2f2<b<l+2Vs,0<x<4,,x=4 代入曲線 v=3+,&x _ 得 y=3,把(4, 3)代入直線 y=x+b,得 bmin=34=1
19、,聯(lián)立,得-lVb4l+2后.,實數(shù)b的取值范圍是T, 1+2近.點評:本題考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題, 注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用.10.已知球的直徑 SC=4 A, B是該球球面上的兩點,AB=2, /ASCW BSC=45 ,則棱錐 S-ABC的體積為()考點: 球內(nèi)接多面體;棱柱、棱錐、棱臺的體積.專題:綜合題;空間位置關(guān)系與距離.分析: 證明SCL面ABQ利用VS abc=VC oa+VS oab,求出棱錐 S- ABC的體積.解答: 解:.AB=2 .OAB為正三角形.y. Z BSC= ASC=45 ,且 SC為直徑, ASC與 BSC均為等腰直角三角形
20、. .BOLSC AOLSC又 AS BO=O SCL面 ABOs-ab(=VC- oab+V=;- oae=?Saoab? (SO+OC = 1 X X 4 X 4=故選:D.點評:本題考查線面垂直,考查棱錐S- ABC的體積,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.二、填空題(本大題計 5小題,每小題5分,滿分25分)11 .已知|芯|=2 , W與芯的夾角為120。,則芯在W上的射影為.考點:平面向量數(shù)量積的運算;數(shù)量積表示兩個向量的夾角.專題:平面向量及應(yīng)用.分析:已經(jīng)知道了 |七|=2,%向量的夾角為120。,所以由射影的定義及計算公式即可得出答案.解答:解:根據(jù)射影的定義, Z在彳
21、上的射影為|b|cosl20" = - 1故答案為:-1.點評:考查向量夾角的定義,射影的定義及計算公式.12 .電動自行車的耗電量 y與速度x之間的關(guān)系為y=3 - -x2- 40x Ik>。),為使 32耗電量最小,則其速度應(yīng)定為40.考點:導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用.專題:計算題.分析:欲求使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為多少,即求出函數(shù)的最小值即可, 對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求研究函數(shù)的單調(diào)性,判斷出最小值位置,代入算出結(jié)果.解答: 解:由題設(shè)知y'=x 2 - 39x - 40,令 y' >0,解得 x>40,或 xv- 1,故函數(shù) 廠工工
22、-二?氐2 - 40K (其0)在40 , +°°)上增,在(0, 40上減,32當(dāng)x=40, y取得最小值.由此得為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為40;故答案為:40.點評:考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值,本題是導(dǎo)數(shù)一章中最基本的應(yīng)用題型.13 .已知一個等腰三角形的頂點A (3, 20), 一底角頂點B (3, 5),另一頂點C的軌跡方程是(x-3) 2+ (y- 20) 2=225 (x3).考點:軌跡方程.專題:綜合題;直線與圓.分析: 設(shè)出點C的坐標(biāo),利用|AB|=|AC| ,建立方程,根據(jù) A, B, C三點構(gòu)成三角形,則三點不共線且B, C不重合,即可求得結(jié)論
23、.解答: 解:設(shè)點 C 的坐標(biāo)為(x, y),則由 |AB|二|AC| 得(x - 3) 2+ (y-20) 2= (3-3) 2+, 一一、 2(5-20),化簡彳導(dǎo)(x- 3) 2+ (y- 20) 2=225.A, B, C三點構(gòu)成三角形,三點不共線且 B, C不重合,頂點 C 的軌跡方程為(x-3) 2+ (y- 20) 2=225 (x3).故答案為:(x-3) 2+ (y- 20) 2=225 (x3).點評: 本題考查軌跡方程,考查學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14 .現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿,自上而下每節(jié)的長度依次構(gòu)成等差數(shù)列,最上面一節(jié)長為10cmx最下面的三節(jié)長度之和為 114cm
24、,第6節(jié)的長度是首節(jié)與末節(jié)長度的等比中項,則 n=16.考點:等差數(shù)列的通項公式;等比數(shù)列的通項公式.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:把已知問題用一個等差數(shù)列表示,然后利用等差數(shù)列的通項公式和等比中項即可得出.解答: 解:設(shè)此根n節(jié)的竹竿的自上而下每節(jié)的長度依次構(gòu)成等差數(shù)列為an,公差為d.由題息可知:a1=10, an-2+an- 1+an=114,己.a二10f r G聯(lián)立可得 3%+ (3門-6) d=114,解得勺二1031+5d) at+ Cn- 1) d 1*2因此n=16.故答案為16.點評:熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和等比中項是解題的關(guān)鍵.15 .已知 m l是直線,a、3是平
25、面,給出下列命題: 若l垂直于a內(nèi)兩條相交直線,則l,a ; 若l平行于a ,則l平行于a內(nèi)所有的直線; 若 m? a, l ? 3 且 l,m,則 a,3; 若l? 3且l,a,則a ± 3 ;若 m? a , l ? 3 且 a / 3 ,則 l / m 其中正確命題的序號是.考點:空間中直線與直線之間的位置關(guān)系;空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.專題:壓軸題.分析:對于,考慮直線與平面垂直的判定定理,符合定理的條件故正確;對于,考慮直線與平面平行的性質(zhì)定理以及直線與平面的位置關(guān)系,故錯誤;對于考慮a X 3的判定方法,而條件不滿足,故錯誤;對于符合面面垂直的判定定理,故正確;對于
26、不符合線線平行的判定,故錯誤.解答: 解:若l垂直于a內(nèi)的兩條相交直線,則 l,a ,故正確,若l / a ,則l行于a內(nèi)的大部分直線,還與一部分直線是異面關(guān)系,故不正確,若m? a , l ? 3,且l,m則a ± 3或平行或斜交,故不正確,若l? 3,且l,a,則a,3;這是面面垂直的判定定理,故正確若m? a , l ? 3且a / 3 ,則m/ 1或異面,故不正確,總上可知有1個命題正確,故選B.故正確命題的序號是 .點評: 本題考查立體幾何中線線關(guān)系中的平行、 線面關(guān)系中的垂直、 面面關(guān)系中的垂直的 判定方法,要注意對比判定定理的條件和結(jié)論,同時要注意性質(zhì)定理、空間直線與直
27、線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用.三、解答題(本大題計 6小題,滿分75分)16 .函數(shù)f (x) =lg (x2-2x-3)的定義域為集合 A,函數(shù)g (x) =2x- a (x<2)的值域為 集合B.(I )求集合A, B;(n)若集合 A, B滿足AA B=B求實數(shù)a的取值范圍.考點:交集及其運算;函數(shù)的定義域及其求法;函數(shù)的值域.專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: (I)對數(shù)的真數(shù)。求解函數(shù)f (x) =lg (x2-2x-3)的定義域得到集合 A,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域求解 B即可;(II )由題意A, B滿足An B=B得B是A的子集,建立關(guān)于 a的不等關(guān)系,可解出實數(shù)
28、a 的取值范圍.解答: 解:(I) A=x|x 2 - 2x - 3 > 0=x| (x3) (x+1) > 0=x|x < - 1,或 x>3 ,. .B=y|y=2 x- a, x<2=y| - a<y<4- a.(n) AAB=R /.B ? A,.4 - a< - 1 或-a>3,.a< 3或 a>5,即 a 的取值范圍是(8, -3 U (5, +8).點評: 本題考查集合的求法,對數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求解是解題的關(guān)鍵,考查計算能 力.17-已知函數(shù)f (x) = 2得一加三inx(I)求函數(shù)f (x)的最小正周期和
29、值域;(n)若a為第二象限角,且f (a工)=4,求;浮紋的值.33 l+cos2a_ sin2a考點:三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值;三角函數(shù)的周期性及其求法;復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性.專題:計算題;壓軸題.分析:(I)利用三角函數(shù)間的關(guān)系將 f (x)化為f (x) =1+2cos (x+),即可求函數(shù) f (x)的最小正周期和值域;(n) 依題意可求得 cos a = - -1, sin a =,%, 3s2 "可化簡為33 l+cos2a - sin2assQ+sinQ從而可求得其值.2cos 口解答: 解:(I)因為 f (x) =1+cosx J5sinx, 一 , TT、=1
30、+2cos (x+),3所以函數(shù)f (x)的周期為2兀,值域為-1,3.(n)因為f (a 三),33所以 1+2COS a =_,即 COS a = - _ .33l+cos2a - sin2a_ cos- cl - sm a= 2cos?a - 2sinQcos a=(cnsQ+finQ) (cos- sind )2cos Cl (costl - sind )_cos 口 +sinCt,2cos<X又因為a為第二象限角,所以 sin3所以原式= 'T'2cos, 1 >/2=3=1-班.2點評:本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,考查三角函數(shù)的周期性及其求法,
31、考查倍角公式,掌握三角函數(shù)間的關(guān)系是化簡求值的關(guān)鍵,屬于中檔題.18 .已知點 P (2, 0),及。C: x2+y2 6x+4y+4=0.(1)當(dāng)直線l過點P且與圓心C的距離為1時,求直線l的方程; 設(shè)過點P的直線與OC交于A、B兩點,當(dāng)|AB|=4 ,求以線段AB為直徑的圓的方程.考點:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線的一般式方程.專題: 綜合題;分類討論.分析: (1)把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后,分兩種情況斜率k存在時,因為直線經(jīng)過點巳設(shè)出直線的方程,利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d,讓d等于1列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到 k的值,根據(jù)k的值和P的坐標(biāo)寫出直線l的方 程即可;
32、當(dāng)斜率不存在時顯然得到直線 l的方程為x=2;(2)利用弦|AB|的長和圓的半徑,根據(jù)垂徑定理可求出弦心距|CP|的長,然后設(shè)出直線l的方程,利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d,讓d等于|CP|列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到 k的值,寫出直線l的方程,把直線l的方程與已知圓的方程聯(lián) 立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程,利用韋達(dá)定理即可求出線段AB中點的縱坐標(biāo),把縱坐標(biāo)代入到直線l的方程中即可求出橫坐標(biāo),即可得線段AB的中點坐標(biāo)即為線段 AB為直徑 的圓的圓心坐標(biāo),圓的半徑為|AB|的一半,根據(jù)圓心和半徑寫出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.解答:解:(1)由題意知,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x-
33、3) 2+ (y+2) 2=9,設(shè)直線l的斜率為k ( k存在)則方程為 y- 0=k (x 2)即 kx - y - 2k=0又OC的圓心為(3, - 2), r=3 ,3k 二2k+2所以直線方程為(s_2)即3x+4y - 6=0;當(dāng)k不存在時,直線l的方程為x=2.綜上,直線l的方程為3x+4y - 6=0或x=2 ;2喈)二場,即|CP尸娓,設(shè)直線l的方程為y- 0=k (x-2)即kx-y-2k=0則圓心(3, - 2)到直線l的距離d二3k+2 - 2k=、高,解得k=l,所以直線l的方程為x-2y-2=0聯(lián)立直線l與圓的方程得 2'x - 2y- 2=0l (X - 3
34、) 2+ ty+2) 2=9消去x得5y2-4=0,則P的縱坐標(biāo)為0,把y=0代入到直線l中得到x=2,則線段AB的中點P坐標(biāo)為(2, 0),所求圓的半徑為: J|AB|=2 ,故以線段AB為直徑的圓的方程為:(x-2) 2+y2=4.點評:此題考查學(xué)生靈活運用點到直線的距離公式化簡求值,靈活運用垂徑定理及韋達(dá)定理化簡求值,會根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,是一道中檔題.19 .4ABC中,角A,B,C的對邊分別為a, b,c.已知 3cos(B-C)- 1=6cosBcosC.(1)求 cosA;(2)若a=3, 4ABC的面積為2dz 求b, c.考點: 余弦定理;誘導(dǎo)公式的作用;兩角
35、和與差的余弦函數(shù);正弦定理.專題:計算題.分析: (1)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡已知等式左邊的第一項,移項合并后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式得出cos (B+。的值,將cosA用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式變形后,將 cos (B+。的值代入即可求出 cosA的值;sinA的值,(2)由cosA的值及A為三角形的內(nèi)角,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積,將已知的面積及sinA的值代入,得出bc=6,記作,再由a及cosA的值,利用余弦定理列出關(guān)于b與c的關(guān)系式,記作,聯(lián)立即可求出b與c的值.解答:化簡得:變形得:解:(1) 3cos (B-Q
36、 - 1=6cosBcosC,3 (cosBcosC+sinBsinC ) - 1=6cosBcosC,3 ( cosBcosCsinBsinC ) = - 1,即 cos ( B+C = - _,3貝U cosA= cos ( B+C =;3(2) ,.飛 為三角形的內(nèi)角,cosA=-l,3-sinA=# - sJa=¥'又 Saabc=2、/,即工bcsinA=2&,解得:bc=6,2又 a=3, cosA,3,由余弦定理 a2=b2+c22bccosA 得:b2+c2=13(2),聯(lián)立解得:32或1 c-3b=3c=2點評:此題考查了余弦定理, 三角形的面積公式
37、,兩角和與差的余弦函數(shù)公式, 誘導(dǎo)公式,以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.20.如圖,在斜三棱柱 ABC- A1BC1中,點。E分別是 AG、AA的中點,AOL平面 ABC.已知/BCA=90 , AA1=AC=BC=2(I)證明:OE/平面ABC;(n)求異面直線 AB與AC所成的角;(出)求A1C與平面AAB1所成角的正弦值.考點: 用空間向量求直線與平面的夾角; 異面直線及其所成的角;直線與平面平行的判定; 直線與平面所成的角.專題分析:(II)計算題;證明題.解法一:(I)證明 OE/ AO,然后證明 OE/平面ABCi.先證明AC BiC,再證明AC平面
38、ABG,推出異面直線 AB與AiC所成的角為90° .(出)設(shè)點C到平面AAB1的距離為d,通過丫&,口口二,廣 口 ,求出AiCi與平面 7A-A1BlCl G -AA1E1AAB所成角的正弦值返L7解法二:如圖建系 O- xyz,求出A,(I)通過計算無二-人。;,證明-.A, E, Ci, Bi, C 的坐標(biāo)OE AC,然后證明 OE/平面ABC.(n)通過 函片=0,證明ABXAiC,推出異面直線AB與AiC所成的角為90° .(出)設(shè)AiC與平面AABi所成角為0 ,設(shè)平面AABi的一個法向量是 口二k. y, z)禾1J用AjBj n=0推出n= (1,
39、 A 占 二。近),通過3sin8 =cos< AC,:22 V21 , , 一一一一,.一萬二丁廠,求出AiCi與平面AAB所成角的正弦值.Y3解答: 解法一:(I)證明:二.點 。E分別是AiC、AA的中點,.OE/ ACi,又.在0?平面 ABCi, AC?平面 ABG,.OE/平面 ABC.(n) .AOL 平面 AiBC,,AOL BiC,又 A iCB iCi,且 AiCinAO=Q .BiCi,平面 AiCCA,AiC,BiO.又AAi=AC, 四邊形ACCA為菱形, -.AiC±AG,且 BiCinAG=G,AiC,平面 ABC, .ABAiC,即異面直線 AB
40、與AC所成的角為90° .(出) 設(shè)點C到平面AABi的距離為d, 吃 =V.-,3rl丫 C 一乩乩凡即.,二, 1 .I?"又在4AAB 中,ABlABl2a,SSAB=/V.d*,'AiG與平面AABi所成角的正弦值 華解法二:如圖建系 O-xyz,A(0,0, V3)出(0, 一 1, 0) , E (0,立), iiMC (0, i , 0), Bi (2, i, 0), C(0, 2,肥).(I) 0E= (0,記二(Q, 1,-a),瓦二-弓記,即。日/ AG,又EO?平面 ABG, AG?平面 ABG,,OE/平面 ABCi.(n)二西二(2, 1, - Vs)0 3,如),,可二0,即.ABAC,,異面直線AB與AiC所成的角為90° .(出)設(shè) AiC與平面AABi所成角為0 , 7=(0, 2, 0),/B二(2, 2> 0), AtA= (05 1,西)設(shè)平面AABi的一個法向量是 門二(七 了,AiB 1 n=0則,A1 A* n =0即"1升總二0.不妨令x=1,可得門二(1,sin9=cos< AC i,,AiCi與平面AAB所成角的正
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