現(xiàn)代控制理論第5章

1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)563二次型最優(yōu)控制問題現(xiàn)在我們來(lái)研究最優(yōu)控制問題。已知系統(tǒng)方程為Ax 旳 Q2U)(5.21)(5.22) 確定最優(yōu)控制向量II 心的矩陣K，使得性能指標(biāo)J(葢HQ葢uHRu)dlO達(dá)到極小。式中Q是正定(或正半定)Hermite或?qū)崒?duì)稱矩陣，R是正定Hermite 或?qū)嵒驅(qū)崒?duì)稱矩陣。注意，式(5.22)右邊的第二項(xiàng)是考慮到控制信號(hào)的能量損耗 而引進(jìn)的。矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性。在此，假設(shè)控制向 量u(t)是不受約束的。正如下面講到的，由式(5.21)給出的線性控制律是最優(yōu)控制律。所以，若能確定 矩陣K中的未知元素，使得性能指標(biāo)達(dá)極小，則對(duì)任意

2、初始狀態(tài)x(0)而言均是最優(yōu)的。圖5.6所示為該最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方塊圖。圖5.6最優(yōu)控制系統(tǒng)現(xiàn)求解最優(yōu)控制問題。將式(5.21)代入式(5.20)，可得Ax BKx (A BK)x x 在以下推導(dǎo)過程中，假設(shè) A是穩(wěn)定矩陣，A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。將式(5.21)代入(5.22)，可得J (xHQx xHKHRKx)dlOxH(Q KHKKJxdtO依照解參數(shù)最優(yōu)化問題時(shí)的討論，取現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)xH(Q KHRK)x dH(xPx)曲式中的P是正定的Hermite或?qū)崒?duì)稱矩陣。于是H1 吹 xHPx xH|(A BK)H 卩 F(A BK)x|xH(Q KHKK)x x比

3、較上式兩端，并注意到方程對(duì)任意 x均應(yīng)成立，這就要求(A BK)H卩 1A BK) (Q KHKK) J(5.23) 的正定矩陣P。(5.23)根據(jù)Lyapunov第二法可知，如果 A是穩(wěn)定矩陣，則必存在一個(gè)滿足式因此，該方法由式(5.23)確定P的各元素，并檢驗(yàn)其是否為正定的(注意，這里 可能不止一個(gè)矩陣P滿足該方程。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則總存在一個(gè)正定的矩陣 P滿足該方程。這就意味著，如果我們解此方程并能找到一個(gè)正定矩陣P,該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。滿足該方程的其他矩陣P不是正定的，必須丟棄)。性能指標(biāo)可計(jì)算為J x(Q KRK)xdl xPxO HHH 0 xH( )Px( ) xH(0)Px(0

4、) J由于假設(shè)A-BK的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，所以。因此J xII(0)Px(0)于是，性能指標(biāo)J可根據(jù)初始條件x(0)和P求得。(5.24)為求二次型最優(yōu)控制問題的解，可按下列步驟操作：由于所設(shè)的A是正定Hermite或?qū)崒?duì)稱矩陣，可將其寫為R THT式中T是非奇異矩陣。于是，式(5.23)可寫為(All KIIBII)P P(A BK) Q KIITIITK 0 上式也可寫為AIIP PA TK (TH) 1BIIPIITK (TII) 1BIIP PBR 1BIIP Q 0 求 j對(duì)K的極小值，即求下式對(duì) K的極小值xIIfTK (TII) 1BI1P1ITK (TII) 1B1IPx

5、 (見例5.21)。由于上面的表達(dá)式不為負(fù)值，所以只有當(dāng)其為零，即當(dāng)TK (TII) 1BIIP時(shí)，才存在極小值。因此K T UTII) 1BIIP R 1BIIP定義時(shí)，其最優(yōu)控制律是線性的，并由(5.25)式(5.25)給出了最優(yōu)矩陣K。所以，當(dāng)二次型最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)由式(5.22)L1 Kx(i) R lBIIPx(t)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)給出。式(5.25)中的矩陣P必須滿足式(5.23)，即滿足下列退化方程AHI* PA 卩 BR 1BH 卩 Q 0式(5.26)稱為退化矩陣?yán)杩ㄌ岱匠蹋湓O(shè)計(jì)步驟如下：(5.26)1求解退化矩陣?yán)杩ㄌ崾?5.26)，以求出矩陣P。如果

6、存在正定矩陣P (某些系 統(tǒng)可能沒有正定矩陣P)，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即矩陣是穩(wěn)定矩陣。2、將矩陣P代入式(5.25)，求得的矩陣K就是最優(yōu)矩陣。例5.9是建立在這種方法基礎(chǔ)上的設(shè)計(jì)例子。注意。如果矩陣A BK是穩(wěn)定的，則此方法總能給出正確的結(jié)果。確定最優(yōu)反饋增益矩陣K還有另一種方法，其設(shè)計(jì)步驟如下：1由作為K的函數(shù)的式(5.23)中確定矩陣P。2、將矩陣P代入式(5.24),于是性能指標(biāo)成為K的一個(gè)函數(shù)。3、 確定K的各元素，使得性能指標(biāo)為極小。這可通過令等于零，并解 出kij的最優(yōu)值來(lái)實(shí)現(xiàn)J對(duì)K各元素kij為極小。這種設(shè)計(jì)方法的詳細(xì)說明見例 5.11和5.12。當(dāng)元素kij的數(shù)目較多時(shí)，該方

7、法很 不便。如果性能指標(biāo)由輸出向量的形式給出，而不是由狀態(tài)向量的形式給出，即J (yHQy LiHRiL)dl 0則可用輸出方程F ex丨來(lái)修正性能指標(biāo)，使得j為J (xHCHQCx uHRLLjdtO (529)且仍可用本節(jié)介紹的設(shè)計(jì)步驟來(lái)求最優(yōu)矩陣K。例5.9研究如圖5.7所示的系統(tǒng)。假設(shè)控制信號(hào)為 11( Kx(t) |試確定最優(yōu)反饋增益矩陣K，使得下列性能指標(biāo)達(dá)到極小J (xl'Qx u2)dl 0式中10 Q ?00由圖5.7可看出，被控對(duì)象的狀態(tài)方程為Ax Bux現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義) 式中01 A .000 B1圖5.7控制系統(tǒng)以下說明退化矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程如何應(yīng)

8、用于最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。求解 (5.26)，將其重寫為A HP 卩 A PBK 1BH 卩 Q 0注意到A為實(shí)矩陣，Q為實(shí)對(duì)稱矩陣，P為實(shí)對(duì)稱矩陣。因此，上式可寫為00 pllpl2 pllpl? U1pW p p122212p2200pl2 0 p pllpl2 10 OU111011 p U0D ppp22221212PlantP 1BHP現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)pH1U1p!2| Ipl2p空| |nn因此，最優(yōu)控制信號(hào)為pl2 p222| |(5.2S) uKxxl2x2得出最優(yōu)結(jié)果。圖5.8是該系統(tǒng)的方塊圖。注意，由式(5.28)給出的控制律對(duì)任意初始狀態(tài)在給定的性能指標(biāo)下都能

9、圖5.8圖5.7所示對(duì)象的最優(yōu)控制5.7二次型最優(yōu)控制問題的MATLAB解法在MATLAB中，命令lqr(A,B,Q,R)可解連續(xù)時(shí)間的線性二次型調(diào)節(jié)器問題，并可解與其有關(guān)的黎卡提方程。該命令 可計(jì)算最優(yōu)反饋增益矩陣K，并且產(chǎn)生使性能指標(biāo)。J (x Qx u Ru)dt 0在約束方程Ax Bu x條件下達(dá)到極小的反饋控制律u Kx另一個(gè)命令m lqf(ABQ.R)也可計(jì)算相關(guān)的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠蘄t現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)0 PA AHP PBRBHP Q的唯一正定解P。如果為穩(wěn)定矩陣，則總存在這樣的正定矩陣。利用這個(gè)命令能求閉環(huán)極點(diǎn)或的特征值。對(duì)于某些系統(tǒng)，無(wú)論選擇什么樣的 k，都不能使A

10、 BK為穩(wěn)定矩陣。在此情況 下。這個(gè)矩陣?yán)杩ㄌ岱匠滩淮嬖谡ň仃嚒?duì)此情況，命令K lqr(A,B-Q,R),B,Q,R)不能求解，詳見 MATLAB Prgram 5.1。MATLAB FrograntDesign of quad rut iv itplimal rvpuhlur ss?trnrtermination oj I ecd hack gain mainx K (or quiidnitic 邸 optimal control41*Enkr sidle matrix A and control nutiix Bf 6*1A=|-l 1;02B=|I;O|;，!；J4： 'En

11、ter matrices Q jnd R of the quadratic pcrtormancc*' indcP 八八Q=| I 0:0 11：R=l 11；lj * ! - : 10 obtain optiiiuil teed hack ram matrix.K.enter he*( following comnuind * + * +K=tqrtA,B.Q.R|Warning：Muinx 小 xingruhr " uarkm: pircisiix).NaN NaN現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)例5.10考慮由下式確定的系統(tǒng)11 XX201 xl 1u2 x2 0證明：無(wú)

12、論選擇什么樣矩陣 K，該系統(tǒng)都不可能通過狀態(tài)反饋控制 u Kx來(lái)穩(wěn)定（注意，該系統(tǒng)是狀態(tài)不可控的） 定義K kl則虛111A BKklk2 20()1 kll k202因此特征方程為： It we cnto* the command K.PTE|=JqrtA.B.QTR,thcn* fJLKEl=lqrrA.B.Q,RlXVaming;MairiK is singi hr to u orkitig pcecision.K*NaN NaNF=*lnfInf -Inf-2.0000siA BK s 1klc s 2Lin現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章（講義）-L4I42(s 1 kl)(s 2) 0閉環(huán)極

13、點(diǎn)為s 1 kl.s 2 由于極點(diǎn)$ 2在s的右半平面，所以無(wú)論選擇什么樣的矩陣 K，該系統(tǒng)都是不穩(wěn) 定的。因此，二次型最優(yōu)控制方法不能用于該系統(tǒng)。假設(shè)在二次型性能指標(biāo)中的 Q和R為Q ,R I ()1并且寫出 MATLAB Progam 5.1。所得的MATLAB 解為K農(nóng)NWN其中NaN表示 不是一個(gè)數(shù)”每當(dāng)二次型最優(yōu)控制問題問題的解不存在時(shí)， MATLAB將顯示矩陣K由NaN組成。例5.11考慮下式定義的系統(tǒng)Ax Bux式中性能指標(biāo)J為這里假設(shè)采用下列控制u QI Q A 3101J (x'Qx u'Ru)ktO 10 Q ,R |1|01 JU Kx確定最優(yōu)反饋增益矩陣

14、K。最優(yōu)反饋增益矩陣K可通過求解下列關(guān)于正定矩陣 P的黎卡提方程得到將該矩陣P代人下列方程，即可求得最可求得最優(yōu)矩陣K為現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)K R lB'P因此，最優(yōu)控制信號(hào)為211川川J1J11u Kx xl x2利用MATLAB Program 5.2也能求解該問題。MATIAB Program £2Doign of quadrulk upiinul Kguliilor system%*Determinabort of feedback gain matrix K for qiMdr；uic.i optimal controlq i 卜 Etikr sidle

15、iiKitnx A and hjoIrk! rmti ix B 卜A=0 kO-l：H=| 仆;1|：V 1 £nkr ULiirices Q and R of tbt quadratic performance喘index*Q=H 0；0 1|:R=H)；i I'hc oplininjl fccdK k gam rikilri K 川 inalri K7 exists )cun be obtained bj entering the lol lowing command 丨 “ K=lqr(A.B,Q.RiK=1,0000 1.0000例5.12考慮下列系統(tǒng)AxBuxH式中

16、OA 035109 27000 1 , B91 J現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義) 性能指標(biāo)j為式中(X Qx 11 Ru)dlO 100 *R I Q 01000求黎卡提方程的正定矩陣R、最優(yōu)反饋增益矩陣K和矩陣A-BK的特征值。M AT! ABqX?bifn ol quadralk optkml rep ulEttursylcmDelcriuirjdUon of IrtdKijck ain nutri K for quadratic "hnter nuu is and CLincrol niairix H1 * * *A-|0 OiO 0|;-5-27-y|;H-出£:

17、11%*Entcr nutnce Q and K nl ihc quadrat k pcrfnnrHincc*O(t 0 Orf) 1 0100 1UR-IH：癥 r (he q'UmjJ krd阮L*k“弼：譏 K, -iilumin P nf Ric< ihtfqlmlionnnd closed-luop pul曲 ilul is,the eigtnvuJu卓gSi of be nbtaiiwd bj entering theI comnund "* *lK_P.t|-|qn.VB.Q.Rl)K=0.0143(LIIU7OJJ676J.2W52470 0 432.4

18、WJ.KI5O0.1 t(>70.014?0. | U70()67650958 -O.9H59+1 JUiU1.W9 1.7l0i利用MATLAB Program 5.3，可求解該問題。例5.13考慮與例12.7中討論的相同的系統(tǒng)。該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為Ax Bux v Cx Du 式中 010030I ,c io。p 叫 pmQ231 丨現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義) 假設(shè)控制信號(hào)u為uET(r區(qū)1 口|2吃 衛(wèi)匸衛(wèi)迺扎匸衛(wèi)扎口£口如圖3.9所示。在確定最優(yōu)控制律時(shí)，假設(shè)輸入為零，即r =0o確定狀態(tài)反饋增益矩陣k(K klk2k3 )，使得性能指標(biāo)丿 仗Qx u Ru)d

19、i°達(dá)到極小。這里qllQ 000q2200 xl v x v 0 .R hx 2q33 v x3為了得到快速響應(yīng)，q11與q22、q33和R相比必須充分大。在該例中，選取qll 100,q22 q33 1,R 0+01為了利用MATLAB求解，可使用命令k lqr(A,B.yj<)由MATLAB Program 5.14，可得到該例題的解。Design atquatlr.itic opljiii.il 門、nlrE qyiJcin'stiuJl Jterniind the <i|itLitijl k社JtbcL <.ktti niali iK K thul

20、幺 nuniuii/es ibe peihfrnwrKe indi J*M*A-|O t 林;U O 110 -5 ”邛Wl|囁“ Eiilrr nu!rict?< QlhiJ R<pI the qurjGv perf* n ithince%inckn J*0(00 0 0;0 I OiD O 打：性-* “由心血 ihe piiuud rf.iie retrdhL fain injinx K,Q enter I he fo Chewing command*K-!qr<A4B.QhR>k=現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)采用確定的矩陣K來(lái)研究所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)特

21、性。所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)的 狀態(tài)方程為Ax BuxAx 13( Kx klr)1r輸出方程為xl y Cx 100 x 2I x3 丨為求對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)，使用下列命令頭呵 stcp(AA3B.CC.DD)式中AA A BOB BkLCC CDD DMATLAB Program 5.5可求出該系統(tǒng)對(duì)單位階躍的響應(yīng)。圖5.10畫出了輸出y對(duì)時(shí)間t的響應(yīng)曲線，圖5.11在同一張圖上畫出了 x1,x2和x3亦 71血 Fntjcrtinf 必UUnit-nicp tvHist utyy ivm一甘弋価占 ihc LiptimaltccdhacL piin milrk k JelrrmmuJ tn * t

22、 MATLAB Pro£rzun 5.4*we *ihall obtiin the umi >lup repoase 瞋 of ihc deincd sysiem rT對(duì)t的響應(yīng)曲線。12MMHXKN) 542IM> H h7H kl=K(lU2=Kt2Kk5=k(3>kl-IUO.OUUUkj=?3.2On11.6711現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)%*Note that matrices A,B,a nd K are give n as tollows* A=0 1 0;0 0 1;0 -2 -3;B=0;0;1K=100.0000 53.1200 11.671

23、1;K仁 K(1);k2=K(2);k3=K(3);%*The state equati on for the desig ned system is%xdot=(A-BK)x+Bk1r and the output equation is%y=Cx+Du,where matrices C and D are give n by* C=1 0 0;D=0;%*Defi ne the state matrix,co ntrol matrix, output matrix, %and direct tran smissi on matrix of the desig ned systems as

24、AA, %BB,CC,a nd DD *AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=D;%*To obtai n the un it-step resp onse curves for the first eight %sec on ds,e nter the followi ng comma nd*t=0:0.01:8;y,x,t=stepAA,BB,CC,DD,l,t);%*Toplot the uni t-step resp onse curve y(=xl)versus t, %en ter the followi ngcomma nd*plot(t,y)gridtitle( Unit-Step Response of Quadratic Optimal Control System' ) ylabel( Output y=xl '現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義)圖5.10二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖5.11 x1,x2和x3對(duì)t的響應(yīng)曲線下面總