空間向量與立體幾何測精彩試題及問題詳解

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔文案大全高中 數(shù)學(xué)選修（2-1 ）空間向量與立體幾何測試題一、選擇題1.若把空間平行于同一平面且長度相等的所有非零向量的始點放置在同一點，則這些向量 的終點構(gòu)成的圖形是（）A. 一個圓 B . 一個點 C.半圓D.平行四邊形答案：A2 .在長方體 ABCD ABQQi中，下列關(guān)于 ACi的表達(dá)中錯誤的一個是（）C. AD CC1D1C1 -1D. -(ABi CDi) - ACi答案：B3.若a, b, c為任意向量， mW R ,下列等式不一定成立的是()A. (a+b) +c =a +(b+c)B . (a »b) c =a c b cC . m(a +b) =ma

2、+mbD. (a b) c =a(b c)答案：D4.若三點A B, C共線,P為空間任意一點， 且7大+以足=2葭，則a P的值為（）， ,一，八 1A. 1B . -1C.-2答案：BD. -25.設(shè) a =(r4,3) b =(3,2, z),且 a / b ,則 xz 等于()64A. 4 B. 9 C. -9D.9答案：B6.已知非零向量 eb e2不共線，如果A B, C, D （）A. 一定共圓B.恰是空間四邊形的四個頂點心AB =e e. AC =2 e2 8 e2 AD =3 e -3 e2,則四點C. 一定共面D.肯定不共面 答案：C答案：A9.右向量a =(1,A. 2C

3、 .5 1九2)與b =(2, _1,2)的夾角的余弦值為_2 或 _2_558 一 9一，一,12 27.如圖1,空間四邊形 ABCD的四條邊及對角線長都是a,點E, F, G分別是AB, AD, CD的中點，則a2等于()A. 2BA ACB. 2AD BDC. 2FG CAD. 2$ CB答案：B：b =e1 -Q2 +©3, c =e +e2 -e3,d =e1+2e2 +33, 且 d =xa + yb +zc ,8.若 a =e1 +e2 +e3, 則x, y, z的值分別為答案：C10 .已知ABCD為平行四邊形，且A(413),答案：DB. (2,4,1)B(2,5,

4、1), C(3,7,5),則頂點 D 的坐標(biāo)為(C. (-214,1)D. (513, -3)11 .在正方體 ABCD 一人日&)中,A. 60°B . 90°答篥：O為AC, BD的交點，則C . arccos3CQ與AQ所成角的(八3D. arccos612 .給出下列命題：已知 a_Lb,則 a,(b+c) +c (b -a)=bc;_ '、#T T 一A, B, M, N為空間四點，若BA,BM,BN不構(gòu)成空間的一個基底，那么A, B, M, N共面;已知a_Lb,則a, b與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底；若a, b共線，則a, b所在直線或者平

5、行或者重合.正確的結(jié)論的個數(shù)為()A. 1B . 2 C. 3 D. 4答案：C土、填空題13 .已知 a =(3,15), b =(1,2, 3),向量 c與 z 軸垂直，且滿足 c a =9, c-b= 4,則c=,答案:2221 n,，05514 .已知A B, C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由向量OP=1OA+2OB+?所確 53定的點P與A, B, C共面，那么九=.答案： 1515 .已知線段 八8_1面口，BCca, CD_LBC, DF，面久于點 F , /DCF =30° ,且 D, A 在平面口的同側(cè)，若 AB=BC=CD=2,則AD的長為.答案：2721

6、6 .在長方體ABCD A1B1C1D1中，BQ和CQ與底面所成的角分別為 60°和45°,則異面直 線B1C和CQ所成角的余弦值為 .答案：也 4三、解答題17 .設(shè) a1=2 ij+k a2 =i +3 j -2 k 03 =-2 i+j 4 K a =3 i +2 j 均 k,試問是否存在實 數(shù)九H v,使a 4 =洞十Na 2十班成立？如果存在，求出 九N, v ;如果不存在，請寫出 證明.答案：解：假設(shè)a4 =十Na2十va3成立.a1 聲(2,1,1), a2=(13,-2), a3 =( 2,1, 3), a4 = (3,2,5),(2 Z+k-2v,-九+3

7、N +v, >2N3v)=(3,2,5).2，2 =3,二24九+3N+v =2,解得 4 kl =1,I世 I 、 -2,1- - 3、=5,、. 3 -3.所以存在 九2, N =1, v = 3 使得 a4 2a1 *a2 3a3. 理由即為解答過程.18.如圖2,正三棱柱 ABC - A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為 五a ,求AC1與側(cè)面ABB1A所成的角.G解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，y則 A(0,0,0) B(0, a,0) A(0O瘍)，C1 1 - si,-,j2a 1/ I i2 2 j .LisJ由于n =(1,0,0)是面ABB1A的法向量，tr ti,

8、13 a,cost'AC1, n( = AC1 n =_2=1=(AC： n) =60。.ACi |n3a 2故ACi與側(cè)面ABBiA所成的角為30°.19.如圖3,直三棱柱 ABC- ABC中，底面是等腰直角三角形,/ACB=90° ,側(cè)棱AAi =2, D, E分別是CCi與AB的中點，點 E在平面 ABD上的射影是 求點Ai到平面AED的距離. ABD的重心G ,解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) CA=2a,則 A(2a,0,0) B(0,2a,0) D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,1),BD =(0, 2a ,1).,_一一一，口由

9、 GE _LBDn GE- BD =0 ,得 a=1 ,則 A(2Q2) A(2,0,0) E(1,1,1).自A作AH，面AED于M ,并延長交xOy面于H ,設(shè)H (x, y,0),用-則 AH =(x -2, y, -2).又 AD =(-2,0,1) , AE=(1,1,1).工 A1H _AD,2(x2)2=0,x=1, /口由= W ()= I '得 H (1,1,0).A1H _ AE-(x -2) y -2 =0y =1,又 A1M 斗AA|.cos(A1AAM4 =AAcosAA AH =2 46=2620.已知正方體 ABCD AB1CQ1的棱長為2, P, Q分別

10、是BC, CD上的動點，且| PQ| =J2 , 確定P, Q的位置，使QB1 ,LPD1 .解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) BP=t, 得 CQ =，2 -(2 -1)2 , DQ =2-2-(2-t)2 .那么 B(2,0,2) ”0,2,2) P(2, t0) Q(2-v12-(2 -t)2,2,0),從而 QB1 =(彼-(2 -1)2, -2,2), 而=(-2,2 t,2),A-由 QB1 _L PD1 = QB1 - PD1 =0 ,即-272-(2 -t)2 -2(2 -t) +4 =0= t =1 .故P, Q分別為BC, CD的中點時，QBi _LPDi .21.如圖

11、 4,在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，NABC = 90° , SA_L面ABCD ,1SA=AB =BC =1, AD = -，求面SCD與面SBA所成二面角的正切 2值.解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，_1則 A(0,0,0) B(-1,0,0) C(1,1,0) D.0,20S(0,0,1) 延長CD交x軸于點F ,易得F(1,0,0),作AE 1SF于點E ,連結(jié)DE , 則/DEA即為面SCD與面SBA所成二面角的平面角.11又由于 SA=AF 且 SA_LAF ,得 E._,0, 22那么1EA= 一，0, 一,2從而-EAED cos EA, ED = -i =

12、 EA ED一 t -2因此 tanfEAF,ED j =.故面SCD與面SBA所成二面角的正切值為. 2222.平行六面體 ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且/CQB =2GCD =NBCD ,試問:.CD ，,當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r， AC _L面C1BD ?請予以證明.CCi解：欲使 AC _L面C1BD ,只須 AC IC1D，且 AC _LC1B .，、 . 欲證AC _LGD ,只須證CA-G D =0 ,即(CA +AA)(CD -CC1) =0 ,也就是(CD +CB +CC；) (CD -CC1) =0 ,即 向2 -|CC12 +由 CD cos/BCD -|CBC

13、C；|COSC1cB = 0.由于 NC1cB =/BCD ,顯然，當(dāng)CD =|CC|時，上式成立;同理可得，當(dāng)時,AC ,LC1 B .CD因此，當(dāng)出=1時,CC1.選擇題：（10小題共40分）1.已知A B C三點不共線，對平面ABC外的任一點O,下列條件中能確定點 M與點定共面的是a. oM = OA ob ocB. OM = 2OA -OB -OC-一 1 一 1 一C. OM =OA OB OC-1 1 - 1 一_D.OM =OA -OB -OC2 .直三棱柱 ABC-A1B1C 中，若 CA = a,CB=b,CC1 =C,則A1B =A. a b - c B. a -b cC.

14、 一 a b cD. - a b - c3 .若向量mft直向量a和b,向量n = 7總+ Nb（九,N R R且九、N豐0）則A. m n B. m _L n C.m不平行于n,m也不垂直于n D.以上三種情況都可臺匕 目匕4 .以下四個命題中，正確的是11b.設(shè)向量a, b,c是空間一個基底，則A.右OP = OA+ OB,則p、a、B三點共線 23 a + b , b+c, c +a構(gòu)成空間的另一個基底c. (a b)c = a b c. ABC是直角三角形的充要條件是AB AC =05 .對空間任意兩個向量a,b（b #O）,a，的充要條件是（）ffTr一A. a = bB. a -

15、-bC. b - aD. a - b6 .已知向量a=（0,2,1）,b=（1,1,2），則a與b的夾角為（）A.0 累 B.45°C.90 °D.180°AC與 BD的交點，若7 .在平行六面體 ABCD AB1C1D1中，M為A1B1 = a, A1D1 =b, A1A =c,則下列向量中與B1M相等的是111,11*11"1A.a+ b+ cb. a+ b+ cC.a b + c D.-222222221-a -2A.5,2B.5, 2D.-5 ,-28 .已知a =(九+1,0,27)6 =(6,2N1,2),若36,貝壯與N的值分別為9 .已知

16、a =3i +2j k,b =i j +2k,則5at3b勺數(shù)量積等于A.-15B.-5C.-3D.-1AM-W10 .在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCD中，M和N分別為AB和BB的中點，那么直線CN所成角的余弦值是A. -252B.-5C.35二.填空題：(4 小題共16分)三點共線，則 m+n=11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)*j-tr »1!12 .已知 A (0, 2, 3), B (-2 , 1, 6), C (1, -1 , 5),若 |a|= 43,且 a_L AB,a_L AC,則向量 a的坐標(biāo)為13 .已知

17、a,b是空間二向量,若 高=3,|6|=2,|5bi= j7,則露b的夾角為14 .已知點 G是ABC的重心，。是空間任一點，若 OA + OB + OC = 7uOG,則上的值.解答題：(10+8+12+14=44 分)15 .如圖：ABCM矩形，PAL平面 ABCD PA=AD M N分別是PG AB中點,(1)求證：MNL平面PCD (2)求NM平面 ABCM成的角的大小.16 .一條線段夾在一個直二面角的兩個面內(nèi)，它和兩個面所成的角都是30°,求這條線段與這個二面角的棱所成的角的大小17 .正四棱錐S ABCM,所有棱長都是 2, P為SA的中點，如圖(1)求二面角B SC-

18、 D的大??；(2)求DP與SC所成的角的大小18 .如圖，直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面 ABC中，CA=CB=1 / BCA=90 ,棱 AA=2, M N分別是AiBi, A1A的中點；求BN的長；(2)求COS 的，函的值;(3)求證:A1B _LC1M .求CB與平面A1ABB所成的角的余弦值DDBB15.(1)18.(1)高中數(shù)學(xué)選修2-1DCDA AB 11.0略(2)4503(2)12.(116.453010測試題(10)18.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 緘xyz.1,1)一空間向量(1)參考答案13.6017.(1)(4)依題意得B (0,014.33 101013(2)1, 0)、N (1 , 0,1).I BN |=(1 -0)2 (0 -1)2 (1-0)2(2)依題意得 A1 (1, 0, 2)、B (0, 1 , 0)、C (0, 0, 0)、B (0, 1,