歷屆奧數(shù)數(shù)論競(jìng)賽題講解精選

1、歷屆奧數(shù)競(jìng)賽題講解精選1.假設(shè)n是自然數(shù)，d是2n2的正約數(shù)證明：n2 + d不是完全 平方.【題說】1953年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克題2.【證】 設(shè)2n2 = kd, k是正整數(shù)，如果n2 + d是整數(shù)x的平方，那么 k2x2 = k2 (n2 + d) =n2 (k2 + 2k)但這是不可能的，因?yàn)閗2x2與n2都是完全平方，而由k2< k2 + 2k<(k+1) 2得出k2 + 2k不是平方數(shù).試證四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1的算術(shù)平方根仍為自然數(shù).【題說】1962年上海市賽高三決賽題1 【證】四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積可以表示成n (n+1)(n+2)(n+3) ( n2 + 3n)

2、(n2 + 8n + 2) (n2 + 3n+l) 2 1因此，四個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積加上1,是一完全平方數(shù)，故知本題結(jié)論成 立.1.已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的算術(shù)級(jí)數(shù)，其中一項(xiàng)是完全平方數(shù)，證明: 此級(jí)數(shù)一定含有無窮多個(gè)完全平方數(shù).【題說】1963年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題2.算術(shù)級(jí)數(shù)有無窮多 項(xiàng).【證】設(shè)此算術(shù)級(jí)數(shù)公差是d ,且其中一項(xiàng)a =m2 ( mEN).于是a+ ( 2km+dk2) d= (m+kd) 2對(duì)于任何keN,都是該算術(shù)級(jí)數(shù)中的項(xiàng)，且又是完全平方數(shù).2.求一個(gè)最大的完全平方數(shù)，在劃掉它的最后兩位數(shù)后，仍得到一 個(gè)完全平方數(shù)(假定劃掉的兩個(gè)數(shù)字中的一個(gè)非零).【題說】1964年全俄

3、數(shù)學(xué)奧林匹克十一年級(jí)題1 .【解】 設(shè)n2滿足條件，令n2 = 100a2 + b,其中0 <b<100.于是n >10a,即 nN10a+l.因此b = n21OOa222Oa+l由此得20a +K100,所以aW4.經(jīng)驗(yàn)算，僅當(dāng)a=4時(shí)，n = 41滿足條件.若n>41則n2402422 402>100.因此，滿足本題條件的最大的完全平方數(shù)為4121.求所有的素?cái)?shù)P，使4p2 + l和6p2 + l也是素?cái)?shù).【題說】1964年1965年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克二試題1 .【解】當(dāng) p= +1 (mod 5)時(shí)，5 14p2 + 1當(dāng) p= + 2 (mod 5)時(shí)，5

4、 6p2 +1.所以本題只有一個(gè)解p = 5.2.證明存在無限多個(gè)自然數(shù)a有下列性質(zhì)：對(duì)任何自然數(shù)n, z =n4 + a都不是素?cái)?shù).【題說】第十一屆(1969年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題1,本題由原民主德國(guó)提供.【證】對(duì)任意整數(shù)m>l及自然數(shù)n,有n4 + 4m4 = (n2 + 2m2) 2 4m2n2(n2 + 2mn+ 2m2)( n2 2mn+ 2m2)而 n2 + 2mn+ 2m2> n2 2mn+ 2m2=(nm) 2+m2m2>l故n4 +4m4不是素?cái)?shù).取a = 4 24,4 34,-就得到無限多個(gè)符合要求的a .1如果自然數(shù)n使得2n+l和3n+l都恰好是平方數(shù)

5、，試問5n+3能否是一個(gè)素?cái)?shù)？【題說】第十九屆(1993年)全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)一試題1.【解】 如果 2n+1 k2, 3n+l=m2,貝I5n + 3 = 4 (2n +1) ( 3n + 1) 4k2 m2= (2k+m) (2km) 因?yàn)?5n + 3> (3n + l) + 2=m2 + 2>2m+l,所以 2k-ml (否則 5n + 3 = 2k+ m=2m+l).從而 5n+ 3= ( 2k+ m) ( 2km)是合數(shù).2.能夠表示成連續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和，連續(xù)10個(gè)自然數(shù)之和，連續(xù)11 個(gè)自然數(shù)之和的最小自然數(shù)是多少？【題說】第一屆(1993年)美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題6.

6、【解】答495.連續(xù)9個(gè)整數(shù)的和是第5個(gè)數(shù)的9倍；連續(xù)10個(gè)整數(shù)的和是第5項(xiàng) 與第6項(xiàng)之和的5倍；連續(xù)11個(gè)整數(shù)的和是第6項(xiàng)的11倍，所 以滿足題目要求的自然數(shù)必能被9、5、11整除，這數(shù)至少是495.又 495 = 51 + 52 F 59= 45+46 F 54 = 40+ 41 1 503-021試確定具有下述性質(zhì)的最大正整數(shù)A：把從1001至2000所有 正整數(shù)任作一個(gè)排列，都可從其中找出連續(xù)的10項(xiàng)，使這10項(xiàng)之 和大于或等于A.【題說】第一屆(1992年)中國(guó)臺(tái)北數(shù)學(xué)奧林匹克題6.【解】設(shè)任一排列，總和都是1001 + 1002 + -+ 2000 = 1500500,將它分為10

7、0段，每段10項(xiàng)，至少有一段的和$15005,所以A215005另一方面,將10012000排列如下:200010011900110118001201170013011600140119991002189911021799120216991302159914021901110018011200170113001601140015011300并記上述排列為al, a2,a2000(表中第i行第j列的數(shù)是這個(gè)數(shù)列的第10 (i -1) +j項(xiàng)，lWi <20, lWj <10)令 Si =ai + ai +l+-+ai + 9 (i =1, 2,，1901)則 Sl = 15005,

8、S2 = 15004.易知若 i 為奇數(shù),則 Si =15005；若 i 為偶數(shù)，則Si =15004.綜上所述A=15005.1n為怎樣的自然數(shù)時(shí)，數(shù)32n+1 22n+1 6n是合數(shù)？【題說】第二十四屆(1990年)全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十一年級(jí)題5【解】32n +1 22n+l 6n= (3n 2n)(3n+l + 2n+l)當(dāng)n>l時(shí)，3n 2n>l, 3n+l + 2n + l>l,所以原數(shù)是合數(shù).當(dāng)n =1 時(shí)，原數(shù)是素?cái)?shù)13.2.求證：對(duì)任何正整數(shù)n,存在n個(gè)相繼的正整數(shù)，它們都不是素?cái)?shù)的整數(shù)幕.【題說】第三十屆(1989年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題5.本題由瑞典 提供.【

9、證】 設(shè)a= ( n+ 1) !,貝【J a2 + k (2<k<n+l),被k整除而 不被k2整除(因?yàn)閍2被k2整除而k不被k2整除).如果a2 + k 是質(zhì)數(shù)的整數(shù)幕P1,則k =pj (1、j都是正整數(shù))，但a2被p2j 整除因而被pj +1整除，所以a2 + k被pj整除而不被pj +1整 除，于是a2+k = pj =k,矛盾.因此a2 + k (2WkWn+ 1)這n個(gè)連續(xù)正整數(shù)都不是素?cái)?shù)的整數(shù)幕.1.求出五個(gè)不同的正整數(shù)，使得它們兩兩互素，而任意n ( nW5)個(gè)數(shù)的和為合數(shù).【題說】第二十一屆(1987年)全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題1 .【解】由n個(gè)數(shù)ai =i n

10、! +1, i =1, 2, n組成的集合滿足要求.因?yàn)槠渲腥我鈑個(gè)數(shù)之和為m n! +k ( mE N, 2W kW n)由于n! = 1 2 - 是n k的倍數(shù)，所以mn! +k是k的倍數(shù)，因而為合數(shù).對(duì)任意兩個(gè)數(shù)ai與aj (i >j ),如果它們有公 共的質(zhì)因數(shù)p,則p也是ai aj = (i j) n!的質(zhì)因數(shù)，因?yàn)?i j<n,所以p也是n!的質(zhì)因數(shù).但ai與n!互質(zhì)，所以ai與aj 不可能有公共質(zhì)因數(shù)P，即ai、aj (i Hj )互素.令n =5,便 得滿足條件的一組數(shù)：121, 241, 361,481, 601.設(shè)正整數(shù)d不等于2、5、13.證明在集合 2, 5

11、, 13, d中可以 找到兩個(gè)不同元素a、b,使得ab-1不是完全平方數(shù).【題說】第二十七屆(1986年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題1.本題由原 聯(lián)邦德國(guó)提供.【證】 證明2d1、5d1、13d-l這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不是完全 平方數(shù)即可.用反證法，設(shè)5d-l=x2(1)5d-l = y2 (2)13d- l = z2 ( 3)其中x、y、z是正整數(shù).由(1)式知，x是奇數(shù)，不妨設(shè)x = 2n1.代入有2d 1= (2n 1) 2即d = 2n2 2n+l ( 4)(4)式說明d也是奇數(shù).于是由(2)、( 3)知y、Z是偶數(shù),設(shè)y = 2p, z = 2q,代入(2)、(3)相減后除以4有2d = q

12、2 p2= (q + p) (q p)因2d是偶數(shù)，即q2 p2是偶數(shù)，所以p、q同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，從而q+ P和qP都是偶數(shù)，即2d是4的倍數(shù)，因此d是偶 數(shù).這與d是奇數(shù)相矛盾，故命題正確.1.如果一個(gè)自然數(shù)是素?cái)?shù)，并且任意地交換它的數(shù)字，所得的數(shù)仍然 是素?cái)?shù)，那么這樣的數(shù)叫絕對(duì)素?cái)?shù).求證：絕對(duì)素?cái)?shù)的不同數(shù)字不能 多于3個(gè).【題說】第十八屆（1984年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年 級(jí)題8 .【證】若不同數(shù)字多于3個(gè)，則這些數(shù)字只能是1、3、7、9.不難驗(yàn)證 1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139 除以 7,余數(shù)分別為0、1、2、3、4、5、6.因此對(duì)任意自然數(shù)M, 10