現(xiàn)代控制理論——綜合(1)

1、第五章第五章 線性多變量系統(tǒng)的綜合與設(shè)計線性多變量系統(tǒng)的綜合與設(shè)計 5.1 引言引言 描述描述分析分析解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學模型(時域、頻域、內(nèi)部、外部描述)之間的相互轉(zhuǎn)換等； 研究系統(tǒng)的定量變化規(guī)律(如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運動分析等)和定性行為(如能控性、能觀測性、穩(wěn)定性等) ；綜合與設(shè)計綜合與設(shè)計 在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)(被控系統(tǒng)數(shù)學模型)的基礎(chǔ)上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。 5.1.1 問題的提法問題的提法 xAxBuyCx給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式u若再給定系統(tǒng)的某個期望的性能指標，它既可以是時域或頻域的某種特征量(如超調(diào)量、過渡過程時間、極、零點)，也可以是使某個性能

2、函數(shù)取極小或極大。此時，綜合問題就是尋求一個控制作用 ，使得在該控制作用下系統(tǒng)滿足所給定的期望性能指標。uHyr 對于線性輸出反饋控制律rrR其中為參考輸入向量。uKxr 對于線性狀態(tài)反饋控制律()xABK xBryCx由此構(gòu)成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)分別為()xABHC xBryCx或KHAABKAABHC閉環(huán)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣分別為(, , )KA BK B C (, , )HA BHC B C 即或 11( )()KGsCsIABKB11( )()HGsCsIABHCB閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣作為綜合問題，將必須考慮三個方面的因素，即：1)抗外部干擾問題；2)抗內(nèi)部結(jié)構(gòu)與參數(shù)的攝動問題，即魯棒性(Robu

3、stness)問題；3)控制規(guī)律的工程實現(xiàn)問題。5.1.2 性能指標的類型性能指標的類型 II. 非優(yōu)化型性能指標非優(yōu)化型性能指標I. 優(yōu)化型性能指標優(yōu)化型性能指標鎮(zhèn)定問題鎮(zhèn)定問題:漸近穩(wěn)定作為性能指標 極點配置問題極點配置問題:以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點作為性能指標 解耦問題解耦問題: MIMO系統(tǒng)實現(xiàn) “一個輸入只控制一個輸出”作為性能指標( )y t0( )y t跟蹤問題跟蹤問題:使系統(tǒng)的輸出 無靜差地跟蹤外部信號0( ( )()TTJ u tx Qxu Ru dt( )u t稱為最優(yōu)控制（線性二次型最優(yōu)控制，即LQ調(diào)節(jié)器問題）調(diào)節(jié)器問題）。 xu 和控制通常取為相對于狀態(tài)的二次型積分性能

4、指標，即0TQQ00TRR1/2( ,)A Q其中加權(quán)陣或，且能觀測。( )u t( )J u t任務就是確定，使相應的性能指標極小。5.1.3 研究綜合問題的主要內(nèi)容研究綜合問題的主要內(nèi)容1、可綜合條件 2、控制規(guī)律的算法問題 5.1.4 工程實現(xiàn)中的一些理論問題工程實現(xiàn)中的一些理論問題 1、狀態(tài)重構(gòu)問題 2、魯棒性(Robustness)問題 3、抗外部干擾問題 經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，不管是頻率法還是根軌跡法，本質(zhì)上都可視為極點配置問題。 5.2 極點配置問題極點配置問題 K可證明，若被控系統(tǒng)狀態(tài)能控，則可通過選取合適狀態(tài)反饋增益矩陣，利用狀態(tài)反饋方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任意的期望

5、位置。 1s2sns首先假定期望閉環(huán)極點為，,，。以下僅研究控制輸入為標量的情況！以下僅研究控制輸入為標量的情況！ 5.2.1 問題的提法問題的提法 xAxBuuKx 給定單輸入單輸出線性定常被控系統(tǒng)11( ), ( ),nn nnx tRu tR ARBR式中。選取線性反饋控制律為控制輸入由系統(tǒng)的狀態(tài)反饋確定，因此將該方法稱為狀態(tài)反饋方法。 ( )() ( )x tABK x t該閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為()( )(0)ABK tx texABK系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應特性由閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征值決定。如果矩陣KABK選取適當，可使矩陣構(gòu)成一個漸近穩(wěn)定矩陣，此時對所有的s為調(diào)節(jié)器極點。如果這些調(diào)節(jié)器極點均位

6、于的左半平面內(nèi)，則當將這種使閉環(huán)系統(tǒng)極點任意配置到所期望位置的問題，稱極點配置問題。 (0)0 xt ( )0 x t ABK，當時，都可使。一般稱矩陣的特征值t ( )0 x t 時，有。5.2.2 可配置條件可配置條件 uKx 如果選取控制規(guī)律為現(xiàn)在考慮極點的可配置條件，即如下的極點配置定理。 u考慮由式線性定常系統(tǒng)。假設(shè)控制輸入的幅值是無約束的。K式中為線性狀態(tài)反饋矩陣，由此構(gòu)成的系統(tǒng)稱為閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)定理定理5.1 (極點配置定理極點配置定理) 線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點的充要條件是，此被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。 證明：證明：略xAxBuABK現(xiàn)在考慮單輸入單輸出

7、系統(tǒng)極點配置的算法。給定線性定常系統(tǒng)uKx 若線性反饋控制律為則可由下列步驟確定使12n的特征值為，,（即閉環(huán)系統(tǒng)期望極點值）的線性反饋矩陣KiABK（如果是一個復數(shù)特征值，則其共軛必定也是的特征值）。 111det()nnnnsIAsIAsa sasa第第1 1步：步：考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。12,na aa確定出的值。A的征多項式第第2步：步：利用系統(tǒng)矩陣5.2.3 極點配置的算法極點配置的算法 PQW第第3 3步：步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標準形的變換矩陣P。非奇異線性變換矩陣P可由下式給出1121102310011000aaannaan

8、nWa1nQB ABAB若給定的狀態(tài)方程已是能控標準形，那么P = I。11211)nnnnnssssa sasa（1112211nnnnKaaaaaaaaP 第第4步：步：利用給定的期望閉環(huán)極點，可寫出期望的特征多項式為12,na aa并確定出的值。K第第5 5步：步：此時的狀態(tài)反饋增益矩陣為123Kkkk123()()()sss123()()()sIABKsss閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式，可能更為簡便。例如，若n = 3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為KsIABK進而將此代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式，使其等于即如果n = 2或者n = 3，這種方法非常簡便（對于n =4,5,6,，這種方法可能非常繁瑣

9、）。還有其他方法可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。下面介紹著名的愛克曼公式，可用來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。 3n 注意注意，如果是低階系統(tǒng)（），則將線性反饋增益矩陣K直接代入ss1k2k3k由于該特征方程的兩端均為的多項式，故可通過使其兩端的系數(shù)相等，來確定， ，同次冪的值。5.2.4 愛克曼公式愛克曼公式(Ackermanns Formula) xAxBuuKx ()xABK xAABK11211()()()0nnnnnsIABKsIAssssa sasa*1*11( )nnnnAAa AaAa IO 考慮系統(tǒng)，重寫為1122,nnsss假設(shè)該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，又設(shè)期望閉環(huán)極點為利用線性狀態(tài)反饋控

10、制律則所期望的特征方程為A由于凱萊-哈密爾頓定理指出應滿足其自身的特征方程，所以將系統(tǒng)狀態(tài)方程改寫為以此式來推導愛克曼公式。為簡化推導，考慮n = 3的情況。（需要指出的是，對任意正整數(shù)，下面推導可方便地加以推廣。） 22233322()()IIAABKAABKAABKBKAAABKAA BKABKABKA考慮下列恒等式*23321a Ia Aa AA*2322321()()a IaABKaAABKBKAAA BKABKABKA*23*22321211a Ia Aa AAa BKa ABKa BKAA BKABKABKA*23*321( )a Ia Aa AAAO*32100,(1)aaaaa

11、 將上述方程分別乘以，并相加，則可得 可得也可得到*23*321( )0a Ia Aa AAA*2*2211*2*2211( )( )()()AAa BKa BKABKAa ABKABKAA BKB a Ka KAKAAB a KKAA BK*2212*1a Ka KAKAB AB A Ba KKAK2QB AB A B*22121*1( )a Ka KAKAB AB A BAa KKAK由于系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，所以能控性矩陣的逆存在。在上式兩端均左乘能控性矩陣Q的逆，可得*22121*10 0 1( )0 0 1a Ka KAKAB AB A BAa KKAKK11*0 00 1( )nK

12、B ABABA 上式兩端左乘0 0 1，可得21*0 0 1( )KB AB A BA重寫為K 從而給出了所需的狀態(tài)反饋增益矩陣。對任一正整數(shù)n，有稱為用于確定狀態(tài)反饋增益矩陣K的愛克曼方程。0100001,01561AB xAxBu 例例1 1 考慮如下線性定常系統(tǒng)式中uKx 利用狀態(tài)反饋控制試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。，希望該系統(tǒng)的閉環(huán)極點為s = -2j4和s = -10。20010161631QB AB A B所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點。 首先需檢驗該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：用3種方法中的每一種求解 323

13、212310|016510156ssIAsssssa sa sas 323*2*123(24)(24)(10)14602000sjsjsssssa sa sa 200 1 605 146 199558K 方法方法1 1：該系統(tǒng)的特征方程為：該系統(tǒng)的特征方程為：1236,5,1aaa因此期望的特征方程為*12314,60,200aaa因此可得123Kkkk123000100|000010 001561ssIABKskkks 32323211231001(6)(5)11460200156sssk sk skssskksk 321614,560,1200kkk123199,55,8kkk199558

14、K 方法2：設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益矩陣為|sIABK并使和期望的特征多項式相等，可得因此從中可得或21*0 0 1( )KB AB A BA3201001001010019955800114 00160 001200 01081597156156156001743117 20010161631B AB A B10011995580 01 016815971631743117561199558001 61081597199 55 8100743117K 方法3：利用愛克曼公式可得*32( )1460200AAAAI由于且可得所期望的閉環(huán)極點或所期望狀態(tài)方程的選擇是在誤差向量的快速性和干擾、測量噪聲

15、的靈敏性之間的一種折衷。也就是說，如果加快誤差響應速度，則干擾和測量噪聲的影響通常也隨之增大。對于一個給定的系統(tǒng)，矩陣K不是唯一的，而是依賴于選擇期望閉環(huán)極點的位置（這決定了響應速度與阻尼），這一點很重要。因此，在決定給定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣K時，最好通過計算機仿真來檢驗系統(tǒng)在幾種不同矩陣（基于幾種不同的期望特征方程）下的響應特性，并且選出使系統(tǒng)總體性能最好的矩陣K。 如果系統(tǒng)是2階的，那么系統(tǒng)的動態(tài)特性（響應特性）正好與系統(tǒng)期望的閉環(huán)極點和零點的位置聯(lián)系起來。對于更高階的系統(tǒng)，期望的閉環(huán)極點位置不能和系統(tǒng)的動態(tài)特性（響應特性）聯(lián)系起來。5.3 利用利用MATLAB求解極點配置問題求解極點配

16、置問題 來實現(xiàn)。 用MATLAB易于求解極點配置問題。 現(xiàn)求所需的狀態(tài)反饋增益矩陣K。1a2a3a如果在設(shè)計狀態(tài)反饋控制矩陣K時采用變換矩陣P，則必須求特征方程|sI-A|=0的系數(shù)、和。這可通過給計算機輸入語句P = poly(A)A = 0 1 0; 0 0 1; -1 -5 -6；P = poly(A)P =1.0000 6.0000 5.0000 1.00001231(2),2(3),3(4)aaPaaPaaP2QB AB A B211110100aaWa方法方法1 其次，再求期望的特征方程?？啥x矩陣J，使得123002400000240001000jJj 24*00;024*0;0

17、010;poly( )1 1460200JiiQJQ *1231(2),2(3),3(4)aaaQaaaQaaaQ1332211KaaaaaaP332211*(inv( )KaaaaaaaaaP*iaaai即對于，可采用故狀態(tài)反饋增益矩陣K可由下式確定：或3*2*123( )AAa Aa Aa I010001156A32199558( )146020081597743117AAAAI 如果采用愛克曼公式來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，必須首先計算矩陣特征方程(A)。 對于該系統(tǒng) 在MATLAB中，利用Polyvalm可計算矩陣多項式(A)。對于給定的矩陣J，如前所示，poly(J)可計算特征多項式的

18、系數(shù)。對于利用MATLAB命令Polyvalm(Poly(J), A)，可計算下列(A)，即方法方法2 5.4 狀態(tài)重構(gòu)問題與狀態(tài)重構(gòu)問題與Luenberger狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 對不能量測狀態(tài)變量的估計通常稱為觀測。估計或者觀測狀態(tài)變量的動態(tài)系統(tǒng)稱為狀態(tài)觀測器，或簡稱觀測器。 最小階狀態(tài)觀測器或最小階觀測器； 觀測器分為：全維狀態(tài)觀測器；降維狀態(tài)觀測器；5.4.1 問題的提法問題的提法 xAxBuyCx()exAxBuKyCx考慮如下線性定常系統(tǒng)x假設(shè)狀態(tài)向量可由如下動態(tài)方程x eK狀態(tài)來近似，則該式表示狀態(tài)觀測器，其中稱為觀測器增益矩陣。yux 注意到狀態(tài)觀測器的輸入為和，輸出為右端最后

19、一項包括可測。yxCKe與估計輸出之差的修正項。矩陣起到加權(quán)矩陣的作用。量輸出x 修正項監(jiān)控狀態(tài)變量，減小動態(tài)模型和實際系統(tǒng)之間的差別的影響。5.4.2 全維狀態(tài)觀測器的誤差方程全維狀態(tài)觀測器的誤差方程 ()()()eexxAxAxK CxCxAK Cxxexx ()eeAK C e觀測器的誤差方程xx定義與之差為誤差向量，即則有eAK CeAK C誤差向量的動態(tài)特性由矩陣的特征值決定。如果矩陣(0)e( )e t是穩(wěn)定矩陣，則對任意初始誤差向量，誤差向量都將趨近于零。eAK C如果所選矩陣的特征值使得誤差向量的動態(tài)特性漸近穩(wěn)定且( )e t都將以足夠快的速度趨近于零 (原點)，足夠快，則任意

20、誤差向量( )x t( )x t稱為的漸近估計或重構(gòu)。 此時將AABKeKeAK C如果系統(tǒng)完全能觀測，下面將證明可以通過選擇，使得具有任意的期望特征值。也就是說，可以確定觀測器的增益矩陣eKeAK C，以便產(chǎn)生期望的矩陣。 5.4.3 對偶問題對偶問題考慮如下的線性定常系統(tǒng)xAxBuyCxeK全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題，是確定觀測器增益矩陣，使得誤差eAK C（由矩陣動態(tài)方程響應足夠快且漸近穩(wěn)定的特征值決定）。TTTzA zCnB z的極點配置問題。 這個問題變成前面討論的極點配置問題。 即，求解如下對偶系統(tǒng)12()()()()TTnsIAC Ksss()()TTTsIAC KsIAK CKz

21、 假設(shè)控制輸入為如果對偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可確定TTAC K狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣得到一12n組期望的特征值。,如果是狀態(tài)觀測器系統(tǒng)矩陣的期望i特征值，則可通過取相同的作為對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征值，TTAC KTAK C和注意到的特征值相同，即有()TsIAK C()esIAK CeKTK比較特征多項式，可找出和和TeKK,TTTTeAABBCCKK即的關(guān)系為5.4.4 可觀測條件可觀測條件 TTzA zC v1()TTTTnTCA CAC 條件為原給定系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。該對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控的充要條件為這正是原系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測性

22、條件。這意味著。系統(tǒng)狀態(tài)觀測器存在的充要條件是系統(tǒng)完全能觀測。eAK CeK使具有期望特征值的觀測器增益矩陣的確定，其充要Bass-Gura算法；直接代入法；愛克曼公式 。設(shè)計算法設(shè)計算法 xAxBuyCx11*0 00 1( )nKB ABABA TTTzA zCnB z5.4.5 愛克曼公式愛克曼公式(Ackermanns Formula)極點配置的愛克曼公式，其結(jié)果為 考慮如下的單輸出線性定常系統(tǒng)對于以上對偶系統(tǒng)11*0 00 1()()TTTTnTTKCA CACA 其愛克曼公式為11*12211000000()( )( )000111TTTennnnCCCACAKKAAA RCACA

23、CACA *12( )()()()nssss12n這里， , , ,是期望的特征值。*( ) s是狀態(tài)觀測器的期望特征多項式，即其中，觀測器增益矩陣的愛克曼公式xAxBuyCx020.60,101AB 121.82.4,1.82.4jj 例例 考慮如下的線性定常系統(tǒng)式中設(shè)計一個全維狀態(tài)觀測器。設(shè)觀測器的期望特征值為01C 01210TTTrank CA Crank先檢驗能觀測性矩陣，即eK狀態(tài)觀測器的設(shè)計歸結(jié)為確定一個合適的觀測器增益矩陣解解 該系統(tǒng)完全能觀測，且可確定期望的觀測器增益矩陣eK1*0( )1eCKACA 1201029.674.1601029.6(3.69 )1013.629.

24、61013.6eKAAI 采用愛克曼公式*212( )()()3.69sssss*2( )3.69AAAI式中因此從而()eexAK C xBuK y112209029.613.613.6xxuyxx 或者全維狀態(tài)觀測器5.4.6 系統(tǒng)設(shè)計的分離性原理：觀測器的引入對閉環(huán)系統(tǒng)的影響系統(tǒng)設(shè)計的分離性原理：觀測器的引入對閉環(huán)系統(tǒng)的影響( )x t在極點配置的設(shè)計過程中，假設(shè)真實狀態(tài)可用于反饋。而實( )x t際上，真實狀態(tài)可能無法量測，所以必須設(shè)計一個觀測器，( )x t用于反饋，如下示：并且將觀測到的狀態(tài)Step1：確定反饋增益矩陣K，以產(chǎn)生期望的反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程；設(shè)計過程：設(shè)計過程：St

25、ep2：是確定觀測器的增益矩陣Ke，以產(chǎn)生期望的觀測器特征方程。 xAxBuyCxuKx x且假定該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀測。對基于重構(gòu)狀態(tài) 的線性狀態(tài)反饋控制對閉環(huán)反饋系統(tǒng)特征方程的影響?？紤]如下線性定常系統(tǒng)( )x t( )x t現(xiàn)在不采用真實狀態(tài)而采用觀測或重構(gòu)的狀態(tài)來研究()()xAxBKxABK xBK xx( )( )( )e tx tx t ()xABK xBKe()eeAK C e，即)(tx)(tx)(te和重構(gòu)狀態(tài)之差定義為誤差將真實狀態(tài)觀測器的誤差方程為將誤差向量代入上式，得利用該控制，狀態(tài)方程為0eABKBKxxAK Cee 00esIABKBKsIAK C0esI

26、ABKsIAK C合并兩式可得描述了帶觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)特性。該系統(tǒng)的特征方程為或觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點由極點配置設(shè)計的極點極點配置設(shè)計的極點和由觀測器觀測器設(shè)計的極點設(shè)計的極點兩部分組成。即：極點配置和觀測器設(shè)計是相互獨立，可分別進行設(shè)計，并合并為觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。稱為系統(tǒng)設(shè)計的分稱為系統(tǒng)設(shè)計的分離性原理離性原理，這就給閉環(huán)系統(tǒng)的設(shè)計帶來了極大的方便。 觀測器極點的選取通常使得觀測器響應比系統(tǒng)的響應快得多。一個經(jīng)驗法則是選擇觀測器的響應至少比系統(tǒng)的響應快2-5倍。 第六章第六章 最優(yōu)控制最優(yōu)控制 本章介紹線性二次型最優(yōu)控制問題。將使用Lyapunov穩(wěn)定性方法作為

27、線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)。 6.1 線性二次型最優(yōu)控制問題線性二次型最優(yōu)控制問題 BuAxx0),(dtuxLJ在設(shè)計控制系統(tǒng)時，經(jīng)常是選擇向量 u(t)，使得給定的性能指標達到極小。可證明，當二次型性能指標的積分限由零變化到無窮大時，如考慮如下的線性定常系統(tǒng)rnnnrnRBRARuRx,式中)()(tKxtu式中的L（x,u）是x和u的二次型函數(shù)或Hermite函數(shù)，將得到線性控制律，即nrnrrnnrxxxkkkkkkkkkuuu2121222211121121nrRK這里，線性狀態(tài)反饋矩陣。從而采用二次型最優(yōu)控制方法的一個優(yōu)點是除了系統(tǒng)不可控的情況外，所設(shè)計的系統(tǒng)將是穩(wěn)定的。0)

28、(dtRuuQxxJHH考慮系統(tǒng)性能指標為式中，Q為正定（或正半定）Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，R為正定Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，u是無約束的向量。最優(yōu)控制系統(tǒng)使性能指標達到極小，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 解決此類問題有許多不同的方法，這里介紹一種基于李亞普夫諾夫第二法的解法。是相同的。 0)(dtRuuQxxJTT 以下討論二次型最優(yōu)控制問題，將采用復二次型性能指標（Hermite性能指標），而非實二次型性能指標，因為復二次型性能指標包含作為特例的實二次型性能指標。對于含有實向量和實矩陣的系統(tǒng)，這與下述性能指標 如果能用Lyapunov第二法作為最優(yōu)控制器設(shè)計的基礎(chǔ)，就能保證系統(tǒng)正常工作，也就是說

29、，系統(tǒng)輸出將能連續(xù)地朝所希望的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。6.1.1 基于基于Lyapunov第二法的控制系統(tǒng)最優(yōu)化第二法的控制系統(tǒng)最優(yōu)化與此不同的是先用公式表示出穩(wěn)定性條件，再在這些約束條件下設(shè)計系統(tǒng)： 從經(jīng)典理論來說，首先設(shè)計出控制系統(tǒng)，再判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 因此，設(shè)計出的系統(tǒng)具有固有穩(wěn)定特性的結(jié)構(gòu)。 參數(shù)最優(yōu)化問題 對于一大類控制系統(tǒng)，在Lyapunov函數(shù)和用來綜合最優(yōu)控制系統(tǒng)的二次型性能指標之間可找到一個直接的關(guān)系式。6.1.2 參數(shù)最優(yōu)問題的參數(shù)最優(yōu)問題的Lyapunov第二法的解法第二法的解法 xAx下面討論Lyapunov函數(shù)和二次型性能指標之間的直接關(guān)系，并利用這種關(guān)系求解參數(shù)最優(yōu)問題?？紤]如

30、下的線性系統(tǒng)0QxdtxJH達到極小，式中Q為正定（或正半定）Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣。因而該問題變?yōu)榇_定幾個可調(diào)參數(shù)值，使得性能指標達到極小。0 x式中，A的所有特征值均具有負實部，即原點矩陣A為穩(wěn)定矩陣）。假設(shè)矩陣A包括一個（或幾個）可調(diào)參數(shù)。要求下列性能指標是漸近穩(wěn)定的（稱)(PxxdtdQxxHHxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxQxxHHHHHHHH)(在求解該問題時，利用Lyapunov函數(shù)是很有效的。假設(shè)式中，P是一個正定的Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，因此可得QPAPAH)0()0()()(00PxxPxxPxxQxdtxJHHHH)0()0(PxxJH0)(x計算。由于

31、A的所有特征值均有負實部，可得。所以根據(jù)Lyapunov第二法可知，如果A是穩(wěn)定矩陣，則對給定的Q，必存在一個P，使得因此，可由該方程確定P的各元素。 性能指標J可按)0()0(PxxH)0(x因而性能指標J可依據(jù)初始條件x(0)和P求得，而P與A和Q是相關(guān)的。若欲調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)，使性能指標J達到極小，則可對討論中的參數(shù)，用取極小值來實現(xiàn)。由于Q也是給定的，所以P是A的各元素的函數(shù)。因此求J為極小，將使得可調(diào)參數(shù)達到最優(yōu)值。 是給定初始條件，x10( )不等于零的分量，例如0，而其余的初始分量均等于零，)0(x)0(x參數(shù)最最優(yōu)值通常與初始條件有關(guān)。然而，如果只含一個x10( )的數(shù)值無關(guān)。

32、那么參數(shù)最優(yōu)值與例例1 研究下圖系統(tǒng)。確定阻尼0的值，使得系統(tǒng)在單位階躍輸入r(t)=1(t)作用下，性能指標0220,)(dteeJ達到極小。式中的e為誤差信號，并且e =r -c。假設(shè)系統(tǒng)開始時是靜止的。121)()(2sssRsCrccc 2rreee 22 由圖可得或依據(jù)誤差信號e的形式，可得 xAx1222212120000210()()0TxJee dtxxdtxxdtx Qxdtx則狀態(tài)方程為2110A式中001,21Qeexxx這里性能指標J可寫為)0()0(PxxJTQPAPAT式中的P由下式確定由于A是穩(wěn)定矩陣，所以J的值取為001211021102212121122121

33、211pppppppp0)0(r 0)0(r 由于r(t)是單位階躍函數(shù)，所以，。因此，對于t00)0(, 1)0(, 02eeeee exex21,定義如下狀態(tài)變量1212p02221211ppp221242pp即4121214122121211ppppP性能指標J為22112211(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )44TJxPxxxxx41J04112J1)0(1x0)0(2x將初始條件：，代入上式，可得0/J對 使J為極小，可令，即21可得12/12 2/因此， 的最優(yōu)值是。若，則的最優(yōu)值為。BuAxx)(tu達到極小。式中Q是正定（或正半定）Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，R

34、是正定Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣。注意，右邊的第二項是考慮到控制信號的能量損耗而引進的。矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對重要性。在此，假設(shè)控制向量是不受約束的。)()(tKxtu若能確定矩陣K中的未知元素，使得性能指標達極小，則對任意初始狀態(tài)x(0)而言均是最優(yōu)的。最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方塊圖如上圖所示。 6.1.3 二次型最優(yōu)控制問題二次型最優(yōu)控制問題已知系統(tǒng)方程為)()(tKxtu確定最優(yōu)控制向量的矩陣K，使得性能指標0)(dtRuuQxxJHH()xAxBKxABK x求解最優(yōu)控制問題可得00()()HHHHHJx Qxx K RKx dtxQK RK xdt)()(PxxdtdxRKK

35、QxHHH依照解參數(shù)最優(yōu)化問題時的討論，取BKABKA假設(shè)是穩(wěn)定矩陣，的所有特征值均具有負實部。將控制代入指標，可得式中的P是正定的Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣。則)()()(xBKAPPBKAxxPxPxxxRKKQxHHHHHH)()()(RKKQBKAPPBKAHH滿足上式的正定矩陣P。比較上式兩端，并注意到方程對任意x均應成立，這就要求BKA根據(jù)Lyapunov第二法可知，如果是穩(wěn)定矩陣，則必存在一個因此，由上式確定P的各元素，并檢驗其是否為正定的（可能不止一個矩陣P滿足該方程。若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則總存在一正定矩陣P滿足該方程。即，若解該方程并能找到一個正定矩陣P，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。必須丟

36、棄非正定的P ）。性能指標可計算為)0()0()()()(00PxxPxxPxxxdtRKKQxJHHHHH因假設(shè)A-BK所有特征值均具有負實部，故0)(x。因此于是，性能指標J可根據(jù)初始條件x(0)和P求得。)0()0(PxxJHTTRH式中T是非奇異矩陣。 為求二次型最優(yōu)控制問題的解，可按下列步驟操作：由于所設(shè)的R是正定Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，可將其寫為0)()(TKTKQBKAPPBKAHHHHH0)()(111QPBPBRPBTTKPBTTKPAPAHHHHHHHxPBTTKPBTTKxHHHHHH)()(11于是有上式也可寫為求J對K的極小值，即求下式對K的極小值PBRPBTTK

37、HHH111)(PBTTKHH1)(由于上面的表達式不為負值，所以只有當其為零，即當時，才存在極小值。因此)()()(1tPxBRtKxtuH01QPBPBRPAPAHH給出最優(yōu)矩陣K。所以，當二次型最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制律是線性的，并由給出。式中矩陣P必須滿足下列退化矩陣黎卡提方程設(shè)計方法設(shè)計方法1步驟如下：步驟如下： 2、將矩陣P代入1、求解退化矩陣黎卡提式01QPBPBRPAPAHHBKA求出矩陣P。若存在正定矩陣P，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即矩陣是穩(wěn)定矩陣。PBRPBTTKHHH111)(BKA能給出正確的結(jié)果。求得的矩陣K就是最優(yōu)矩陣。如果矩陣是穩(wěn)定的，則此方法總設(shè)計方法設(shè)計方法2步驟如下：步驟如下： 1、由作為K的函數(shù)的下式中確定矩陣P。)()()(RKKQBKAPPBKAHH 2、將矩陣P代入下式,于是性能指標成為K的一個函數(shù)。)0()0(PxxJHijk為極小。3、確定K的各元素，使得性能指標為極小。ijkJ /ijk等于零，并解出的最優(yōu)值來實現(xiàn)J對K各元素這可通過令0)(dtRuuyQyJHH0)(dtRuuQCxCxJH