chapter8量子力學(xué)的定理

1、第七章第七章 量子力學(xué)的定理量子力學(xué)的定理7.1 積分的括號(hào)記法積分的括號(hào)記法7.2 厄米算符厄米算符7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi)7.4 可對(duì)易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù)7.5 宇稱宇稱7.6 測(cè)量與態(tài)的疊加測(cè)量與態(tài)的疊加7.7 量子力學(xué)公設(shè)量子力學(xué)公設(shè)7.1 7.1 積分的括號(hào)記法積分的括號(hào)記法nAmAAdAnmnmnm另一種記法：另一種記法：mnnmAdA在這兩種記法在這兩種記法 和和Amn中隱示著對(duì)第一個(gè)中隱示著對(duì)第一個(gè)出現(xiàn)字母的函數(shù)用了復(fù)共軛。一個(gè)象出現(xiàn)字母的函數(shù)用了復(fù)共軛。一個(gè)象 的的積分叫做算符積分叫做算符 的矩陣元。的矩陣元。nAmAdAnm7.2.1 定義：

2、對(duì)于所有的品優(yōu)函數(shù)都滿足定義：對(duì)于所有的品優(yōu)函數(shù)都滿足(7.1)式式的線性算符叫做厄米算符。的線性算符叫做厄米算符。a.17dAdAb.17dfAggdAf或者或者 對(duì)于這兩個(gè)定義是完全等價(jià)的。一方面當(dāng)對(duì)于這兩個(gè)定義是完全等價(jià)的。一方面當(dāng)(7.1b)式中式中fg時(shí)，就還原為時(shí)，就還原為(7.1a)式了。式了。7.2 7.2 厄米算符厄米算符 現(xiàn)在來(lái)證明現(xiàn)在來(lái)證明(7.1b)式是式是(7.1a)式的推論。式的推論。 令令(7.1a)式中的式中的fcg，這樣，由，這樣，由(7.1a)式給出：式給出： dcgfAcgfdcgfAcgfdcgAcgfdfAcgfdcgAcgffdAcgfdgAgccd

3、gAfcdfAgcdfAfgdAgccgdAfcfdAgcfdAf*7.2 7.2 厄米算符厄米算符 根據(jù)根據(jù)(7.1a)式的定義，可知上式左端第一項(xiàng)應(yīng)式的定義，可知上式左端第一項(xiàng)應(yīng)等于右端第一項(xiàng)，以及左端最后一項(xiàng)等于右端最等于右端第一項(xiàng)，以及左端最后一項(xiàng)等于右端最后一項(xiàng)，這樣就得到：后一項(xiàng)，這樣就得到：dgAfcdfAgcgdAfcfdAgc*無(wú)論無(wú)論c等于何值，上式都成立，令上式中等于何值，上式都成立，令上式中c1，則：，則：7.2dgAfdfAggdAffdAg令令ci，再在兩端同除以，再在兩端同除以i，有：，有：7.3dgAfdfAggdAffdAg7.2 7.2 厄米算符厄米算符7.

4、2 7.2 厄米算符厄米算符 此時(shí)，把此時(shí)，把(7.2)式和式和(7.3)式相加，得：式相加，得：dgAf2gdAf2dgAfgdAf兩端同除以兩端同除以2 2，得，得證畢證畢7.2.2 下面我們證明動(dòng)能算符的厄米性下面我們證明動(dòng)能算符的厄米性(以一維情況為例以一維情況為例)。要證明：要證明：dxTdxTijji7.2.2 7.2.2 動(dòng)能算符的厄米性動(dòng)能算符的厄米性dxdxd2mdxTj22i2jiji2d2mijj*i2d2mji2ij2ij2d2mddxd2md2m7.2.2 7.2.2 動(dòng)能算符的厄米性動(dòng)能算符的厄米性*ijj*i2d2mdxdxd2md2m*ij2*ij2dxdxd2

5、mdxdxd2m2i2j2*i22j2dxTdxdxd2miji222j7.2.3 7.2.3 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)厄米算符的本征值是實(shí)數(shù) 對(duì)應(yīng)于物理量對(duì)應(yīng)于物理量A的算符的算符 的本征值是測(cè)量的本征值是測(cè)量A的可能結(jié)的可能結(jié)果，所以這些本征值必須是實(shí)數(shù)。果，所以這些本征值必須是實(shí)數(shù)。A 接下來(lái)我們證明接下來(lái)我們證明厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。 設(shè)算符設(shè)算符 是厄米算符，則有：是厄米算符，則有：A47iAiiAi. 假設(shè)假設(shè)i是是算符算符 的具有本征值的具有本征值b的一個(gè)本征函數(shù)，即的一個(gè)本征函數(shù)，即A57bAii. 將將(7.5)式代入式代入(7.4)式中，得到：式中，

6、得到：7.2.3 7.2.3 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)ibiibii | ibi | ib0i | ii | i因?yàn)椋阂驗(yàn)椋核?，就得到：所以，就得到：bb*即：厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。（證畢）即：厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。（證畢）7.2.4 7.2.4 厄米算符的本征函數(shù)的正交、歸一性厄米算符的本征函數(shù)的正交、歸一性定理：厄米算符的本征函數(shù)是，或者可選作是正交的。定理：厄米算符的本征函數(shù)是，或者可選作是正交的?？煞謨煞N情況來(lái)證明：可分兩種情況來(lái)證明：(1) 非簡(jiǎn)并時(shí)，即：非簡(jiǎn)并時(shí)，即：tstG,GBsF,FB式中，式中，F(xiàn)和和G是算符是算符 的兩個(gè)線性獨(dú)立的本征函數(shù)，對(duì)的兩

7、個(gè)線性獨(dú)立的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值分別為應(yīng)的本征值分別為s和和t，且，且s不等于不等于t。B根據(jù)厄米算符的定義，得：根據(jù)厄米算符的定義，得：FBGGBFFsGGtF7.2.4 7.2.4 厄米算符的本征函數(shù)的正交、歸一性厄米算符的本征函數(shù)的正交、歸一性F|GsGFt|因?yàn)椋阂驗(yàn)椋簊sF|GGF以及,|所以：所以：GFsGFt|0GFs-t|此時(shí)此時(shí)ts，所以有：，所以有：0GF|這樣就證明了厄米算符對(duì)應(yīng)于不同本征值的兩個(gè)這樣就證明了厄米算符對(duì)應(yīng)于不同本征值的兩個(gè)本征函數(shù)是正交的。本征函數(shù)是正交的。7.2.4 7.2.4 厄米算符的本征函數(shù)的正交、歸一性厄米算符的本征函數(shù)的正交、歸一性(2) 在

8、簡(jiǎn)并的情況下，雖然不能保證本征函數(shù)的正在簡(jiǎn)并的情況下，雖然不能保證本征函數(shù)的正交性，但是我們總可以構(gòu)成彼此正交的本征函數(shù)。交性，但是我們總可以構(gòu)成彼此正交的本征函數(shù)。此時(shí)，我們假設(shè)此時(shí)，我們假設(shè)F和和G是厄米算符是厄米算符 的具有同一本征的具有同一本征值值s的兩個(gè)線性獨(dú)立的本征函數(shù)，即：的兩個(gè)線性獨(dú)立的本征函數(shù)，即：BsGGBsF,FB根據(jù)定理，我們知道：根據(jù)定理，我們知道：F和和G的任意線性組合必然的任意線性組合必然也是算符的具有同一本征值的本征函數(shù)。令：也是算符的具有同一本征值的本征函數(shù)。令：7.2.4 7.2.4 厄米算符的本征函數(shù)的正交、歸一性厄米算符的本征函數(shù)的正交、歸一性cFGF,

9、21為使為使1 1和和2 2正交，我們確定常數(shù)正交，我們確定常數(shù)c。0d21要使：要使：即：即：FdFcGdFdcFGF所以，可使所以，可使c為：為：FdFGdFc 這樣，我們就可以找到對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)并本征值的本這樣，我們就可以找到對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)并本征值的本征函數(shù)征函數(shù)1和和2。7.2.5 7.2.5 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化正交化 對(duì)于對(duì)于n重簡(jiǎn)并的情況，我們總可以用施密特正重簡(jiǎn)并的情況，我們總可以用施密特正交化選得它們的一套正交的本征函數(shù)。交化選得它們的一套正交的本征函數(shù)。 施密特正交化的標(biāo)準(zhǔn)步驟：施密特正交化的標(biāo)準(zhǔn)步驟： 設(shè)設(shè) 為為n重簡(jiǎn)并能級(jí)的一套本征函重簡(jiǎn)并能級(jí)的一

10、套本征函數(shù)（不一定是正交，歸一的）。數(shù)（不一定是正交，歸一的）。n21,(1) 定義第一個(gè)新函數(shù)：定義第一個(gè)新函數(shù)：111c(2)第二個(gè)新函數(shù)為：第二個(gè)新函數(shù)為：211222|c歸一化確定歸一化確定c1，c2，c3等等7.2.5 7.2.5 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化正交化證明：證明：0|c|c|21212211121221(3)第三個(gè)新函數(shù)為：第三個(gè)新函數(shù)為：322311333|c0|c|c|313133221311131331證明：證明：7.2.5 7.2.5 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化正交化同理，可證明：同理，可證明：0|32依次類

11、推，可以得到依次類推，可以得到n4, 最終得到的一套新函數(shù)最終得到的一套新函數(shù) 就是就是n重重簡(jiǎn)并能級(jí)的正交、歸一的本征函數(shù)。簡(jiǎn)并能級(jí)的正交、歸一的本征函數(shù)。n321,7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi) 在前面的內(nèi)容中，我們?cè)鴮⒁粋€(gè)函數(shù)用臺(tái)勞在前面的內(nèi)容中，我們?cè)鴮⒁粋€(gè)函數(shù)用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，現(xiàn)在我們將一個(gè)函數(shù)用具有相同邊界級(jí)數(shù)展開(kāi)，現(xiàn)在我們將一個(gè)函數(shù)用具有相同邊界條件的一組函數(shù)來(lái)展開(kāi)。條件的一組函數(shù)來(lái)展開(kāi)。如：我們將滿足一維勢(shì)箱邊界條件的任意函數(shù)如：我們將滿足一維勢(shì)箱邊界條件的任意函數(shù)f(x)可可用一維勢(shì)箱的本征函數(shù)集來(lái)展開(kāi)。用一維勢(shì)箱的本征函數(shù)集來(lái)展開(kāi)。 67lx,0lxnal2

12、axf1nn211nnn.sin7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi) 對(duì)對(duì)(7.6)式我們不做證明，只將說(shuō)明它用于表式我們不做證明，只將說(shuō)明它用于表示一個(gè)具體的函數(shù)。示一個(gè)具體的函數(shù)。 在應(yīng)用在應(yīng)用(7.6)式展開(kāi)一個(gè)具體函數(shù)前，我們必式展開(kāi)一個(gè)具體函數(shù)前，我們必須要先推導(dǎo)出展開(kāi)系數(shù)須要先推導(dǎo)出展開(kāi)系數(shù)an的表達(dá)式。的表達(dá)式。 為此，我們用為此，我們用mm* *乘以乘以(7.48)式兩端，得：式兩端，得： 77lxmlxnal2axf1nn1nnmnm.sinsin 將上式兩端從將上式兩端從0到到l積分，有：積分，有：7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi) 87dxlxm

13、sinlxnsinl2adxadxxf1nl0n1nl0nmnl0m. 根據(jù)一維箱中粒子波根據(jù)一維箱中粒子波函數(shù)的正交、歸一性函數(shù)的正交、歸一性 m1nmnnl0maadxxf這樣，我們就導(dǎo)出了這樣，我們就導(dǎo)出了(7.6)式中展開(kāi)系數(shù)式中展開(kāi)系數(shù)an的表達(dá)式：的表達(dá)式： l0nndxxfa7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi)將上式代入將上式代入(7.6)式中，得：式中，得： 1nnl0nxdxxfxf考慮函數(shù)考慮函數(shù)f(x)為如下函數(shù)，然后用為如下函數(shù)，然后用(7.6)式將其展開(kāi)：式將其展開(kāi)： lx2lx,lxf2lx0 x,xf l0nndxxfa7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)

14、按本征函數(shù)的展開(kāi)將上式代入將上式代入(7.6)式中，得：式中，得： 1nnl0nxdxxfxf考慮函數(shù)考慮函數(shù)f(x)為如下函數(shù)，然后用為如下函數(shù)，然后用(7.6)式將其展開(kāi)：式將其展開(kāi)： lx2lx,lxf2lx0 x,xf7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi)首先對(duì)于這個(gè)函數(shù)，先計(jì)算展開(kāi)系數(shù)首先對(duì)于這個(gè)函數(shù)，先計(jì)算展開(kāi)系數(shù)an，得：，得： 2nsinn2ldxlxnsinx-ll2dxlxnxsinl2dxxflxnsinl2a2223l2l212l021l021n7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi)將系數(shù)將系數(shù)an表達(dá)式代入表達(dá)式代入(7.6)式，得：式，得： 1n

15、21n222212nlx12nsin14llx5sin51lx3sin31lxsin4lxf現(xiàn)在，來(lái)驗(yàn)證在現(xiàn)在，來(lái)驗(yàn)證在xl/2時(shí)的正確性。時(shí)的正確性。根據(jù)函數(shù)形式，可得：根據(jù)函數(shù)形式，可得：f(l/2)=l/27.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi) 下表表示了將此函數(shù)用一維勢(shì)箱波函數(shù)展開(kāi)下表表示了將此函數(shù)用一維勢(shì)箱波函數(shù)展開(kāi)時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)中所取項(xiàng)數(shù)與函數(shù)值的關(guān)系：時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)中所取項(xiàng)數(shù)與函數(shù)值的關(guān)系： 從表中可以看出，只要取從表中可以看出，只要取20項(xiàng)，就可以得到項(xiàng)，就可以得到很好的值。如果取無(wú)限多項(xiàng)，函數(shù)值應(yīng)為很好的值。如果取無(wú)限多項(xiàng)，函數(shù)值應(yīng)為l/2。 這樣，我們看到了用一維勢(shì)箱

16、中粒子的波函這樣，我們看到了用一維勢(shì)箱中粒子的波函數(shù)來(lái)展開(kāi)任意一個(gè)滿足同樣邊界條件的函數(shù)。事數(shù)來(lái)展開(kāi)任意一個(gè)滿足同樣邊界條件的函數(shù)。事實(shí)上，可以有許多不同的函數(shù)集可用來(lái)展開(kāi)任意實(shí)上，可以有許多不同的函數(shù)集可用來(lái)展開(kāi)任意一個(gè)具有相同邊界條件的函數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)集一個(gè)具有相同邊界條件的函數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)集能將任意一個(gè)與能將任意一個(gè)與 i服從同樣邊界條件的品優(yōu)函數(shù)服從同樣邊界條件的品優(yōu)函數(shù)f按下式展開(kāi)為按下式展開(kāi)為i的線性組合，則我們就說(shuō)的線性組合，則我們就說(shuō)i構(gòu)成構(gòu)成一個(gè)完備集。一個(gè)完備集。7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi),i21iiiaf 這樣，我們看到了用一維勢(shì)箱中粒子的波函這

17、樣，我們看到了用一維勢(shì)箱中粒子的波函數(shù)來(lái)展開(kāi)任意一個(gè)滿足同樣邊界條件的函數(shù)。事數(shù)來(lái)展開(kāi)任意一個(gè)滿足同樣邊界條件的函數(shù)。事實(shí)上，可以有許多不同的函數(shù)集可用來(lái)展開(kāi)任意實(shí)上，可以有許多不同的函數(shù)集可用來(lái)展開(kāi)任意一個(gè)具有相同邊界條件的函數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)集一個(gè)具有相同邊界條件的函數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)集能將任意一個(gè)與能將任意一個(gè)與 i服從同樣邊界條件的品優(yōu)函數(shù)服從同樣邊界條件的品優(yōu)函數(shù)f按下式展開(kāi)為按下式展開(kāi)為i的線性組合，則我們就說(shuō)的線性組合，則我們就說(shuō)i構(gòu)成構(gòu)成一個(gè)完備集。一個(gè)完備集。7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi),i21iiiaf厄米算符的一個(gè)重要性質(zhì)厄米算符的一個(gè)重要性質(zhì)：一個(gè)厄米算

18、符的全部一個(gè)厄米算符的全部本征函數(shù)構(gòu)成了完備集。本征函數(shù)構(gòu)成了完備集。7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi) 這樣，我們可以用一厄米算符的本征函數(shù)完這樣，我們可以用一厄米算符的本征函數(shù)完備集來(lái)展開(kāi)任意一個(gè)與之服從相同邊界條件的品備集來(lái)展開(kāi)任意一個(gè)與之服從相同邊界條件的品優(yōu)函數(shù)。優(yōu)函數(shù)。iiiaffda*ii這樣：這樣： ii*ifdf厄米算符的性質(zhì)概括為厄米算符的性質(zhì)概括為：一個(gè)厄米算符的全部本一個(gè)厄米算符的全部本征函數(shù)構(gòu)成了一個(gè)正交、歸一完備集，以及本征征函數(shù)構(gòu)成了一個(gè)正交、歸一完備集，以及本征值是實(shí)數(shù)。值是實(shí)數(shù)。7.3 7.3 按本征函數(shù)的展開(kāi)按本征函數(shù)的展開(kāi)7.4 7.4 可對(duì)

19、易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù) 證明證明1：如果存在兩個(gè)線性算符的一個(gè)共同本：如果存在兩個(gè)線性算符的一個(gè)共同本征函數(shù)完備集，則這兩個(gè)算符可對(duì)易。征函數(shù)完備集，則這兩個(gè)算符可對(duì)易。 證明：令證明：令 和和 表示具有共同本征函數(shù)完備表示具有共同本征函數(shù)完備集集i的兩個(gè)線性算符。即：的兩個(gè)線性算符。即：ABiiiiiitB,sA7.9ffABBAB,A f為任意函數(shù)，我們用本征函數(shù)的完備集為任意函數(shù)，我們用本征函數(shù)的完備集i來(lái)來(lái)展開(kāi)展開(kāi)f。得：。得：107cfiii.7.4 7.4 可對(duì)易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù) 將將(7.10)式代入式代入(7.9)式，得：式，得：0sttscsB

20、tAcABBAcABBAccABBAfABBAiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii 這樣，就證明了這樣，就證明了0B,A（證畢）（證畢）思考：思考：如果存在如果存在 與與 的一個(gè)共同本征函數(shù)的話，的一個(gè)共同本征函數(shù)的話，則它們可對(duì)易，對(duì)嗎？則它們可對(duì)易，對(duì)嗎？7.4 7.4 可對(duì)易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù)AB 設(shè)設(shè)是它們的一個(gè)共同的本征函數(shù)。即有：是它們的一個(gè)共同的本征函數(shù)。即有：tB,sA0tsstABBA這樣，這樣，所以：所以：0B,A 證明證明2：如果兩個(gè)算符可對(duì)易，則可找到它們：如果兩個(gè)算符可對(duì)易，則可找到它們的一套共同的本征函數(shù)完備集。的一套共同的本征函數(shù)完備集。

21、7.4 7.4 可對(duì)易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù) 證明：令證明：令i和和ti分別是算符分別是算符 的本征函數(shù)和本的本征函數(shù)和本征值，即：征值，即：BiiitB 將算符將算符 作用于上式兩端，得：作用于上式兩端，得：AiiitABA 由于算符由于算符 和和 可對(duì)易，且可對(duì)易，且 是線性算符，則：是線性算符，則：ABA7.4 7.4 可對(duì)易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù)117AtABiii. 此式表明函數(shù)此式表明函數(shù) 也是算符也是算符 的具有本征值的具有本征值ti的本的本征函數(shù)。征函數(shù)。iAB 若算符若算符 的本征值是非簡(jiǎn)并的的本征值是非簡(jiǎn)并的，則對(duì)應(yīng)于本征值，則對(duì)應(yīng)于本征值ti的線性

22、獨(dú)立的本征函數(shù)只有一個(gè)，函數(shù)的線性獨(dú)立的本征函數(shù)只有一個(gè)，函數(shù) 和和 應(yīng)是應(yīng)是線性相關(guān)的。即：線性相關(guān)的。即：BiAi為任意常數(shù)為任意常數(shù)iiiiccA 此式表明函數(shù)此式表明函數(shù) 也是算符也是算符 的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。iA7.4 7.4 可對(duì)易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù) 這樣，我們就證明了在非簡(jiǎn)并情況下，若兩個(gè)算這樣，我們就證明了在非簡(jiǎn)并情況下，若兩個(gè)算符可對(duì)易，則它們可有一共同的本征函數(shù)完備集。符可對(duì)易，則它們可有一共同的本征函數(shù)完備集。 對(duì)于簡(jiǎn)并情況的對(duì)于簡(jiǎn)并情況的，令具有本征值，令具有本征值ti的能級(jí)是的能級(jí)是n重簡(jiǎn)并重簡(jiǎn)并的。從的。從(7.11)式可以得知式可以得知 是是

23、的一個(gè)具有本征值的一個(gè)具有本征值ti的的本征函數(shù)。它必定是對(duì)應(yīng)于本征值本征函數(shù)。它必定是對(duì)應(yīng)于本征值ti的的n個(gè)線性獨(dú)立的個(gè)線性獨(dú)立的本征函數(shù)的某一線性組合。但是還不能斷言本征函數(shù)的某一線性組合。但是還不能斷言i是是 的的本征函數(shù)。事實(shí)上，取本征函數(shù)。事實(shí)上，取n個(gè)線性獨(dú)立的本征函數(shù)的合個(gè)線性獨(dú)立的本征函數(shù)的合適的線性組合總可以構(gòu)成適的線性組合總可以構(gòu)成 的另一個(gè)的另一個(gè)n個(gè)線性獨(dú)立的本個(gè)線性獨(dú)立的本征函數(shù)集，使得其同時(shí)也是算符征函數(shù)集，使得其同時(shí)也是算符 的本征函數(shù)集。的本征函數(shù)集。BiAABA7.4 7.4 可對(duì)易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù) 例如：對(duì)于氫原子，算符例如：對(duì)于氫原子，

24、算符 與與 是可對(duì)易的。是可對(duì)易的。 的的本征函數(shù)中的本征函數(shù)中的因子可以為因子可以為sin(m)和和cos(m)，在，在此情況下，此函數(shù)不是此情況下，此函數(shù)不是 的本征函數(shù)的本征函數(shù)(除了除了m0以外以外)。然而其線性組合：然而其線性組合：zLzLHH imRSemimSrRsincos 給出了給出了 的本征函數(shù)，它當(dāng)然仍是的本征函數(shù)，它當(dāng)然仍是 的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。HzL7.4 7.4 可對(duì)易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù) 定理：若定理：若i是厄米算符是厄米算符 的具有本征值的具有本征值si的本征函的本征函數(shù)，則對(duì)于與算符數(shù)，則對(duì)于與算符 可對(duì)易的算符可對(duì)易的算符 ，有：，有：AA

25、Bjij*iijss0dBB對(duì)于對(duì)于, 證明：證明：jijjijjjijjij*iijBAs1ABs1sBs1BdBB7.4 7.4 可對(duì)易算符的本征函數(shù)可對(duì)易算符的本征函數(shù)ijijiiij*iiijijjiijjBsB|s|Bss|BABBABs算符算符 的厄米性的厄米性A厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)這樣就得到：這樣就得到：0BssBsBsijijijiijj因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篿jss 所以：所以：0Bij證畢證畢7.5 7.5 宇稱宇稱 宇稱算符宇稱算符 是將函數(shù)的每個(gè)笛卡兒坐標(biāo)換成其負(fù)值是將函數(shù)的每個(gè)笛卡兒坐標(biāo)換成其負(fù)值的算符：的算符：zy,x,fzy,x,f 例如：例如：ay

26、2ay2zexzex 考慮宇稱算符的本征函數(shù)和本征值：考慮宇稱算符的本征函數(shù)和本征值：iiigcg 7.5 7.5 宇稱宇稱zy,x,fzy,x,fzy,x,fzy,x,fzy,x,f 2 由于函數(shù)由于函數(shù)f是任意函數(shù)，所以斷定算符是任意函數(shù)，所以斷定算符 是單是單位算符：位算符：212 這樣，將算符這樣，將算符 作用于其本征方程兩端，得：作用于其本征方程兩端，得：ii2iiiiggcgcg27.5 7.5 宇稱宇稱 這樣，就得到：這樣，就得到：1c2i所以：所以：1ci即，算符即，算符 的本征值是：的本征值是：1和和1。 當(dāng)本征值為當(dāng)本征值為1時(shí)，時(shí)， 的本征函數(shù)為：的本征函數(shù)為：zy,x,

27、gzy,x,gizy,x,gzy,x,gi得到：得到：即：當(dāng)本征值為即：當(dāng)本征值為1時(shí)，時(shí)， 的本征函數(shù)是任意的偶函數(shù)。的本征函數(shù)是任意的偶函數(shù)。當(dāng)本征值為當(dāng)本征值為-1時(shí)，時(shí)， 的本征函數(shù)為：的本征函數(shù)為：zy,x,gzy,x,gizy,x,gzy,x,gi得到：得到：即：當(dāng)本征值為即：當(dāng)本征值為-1時(shí)，時(shí)， 的本征函數(shù)是任意的奇函數(shù)。的本征函數(shù)是任意的奇函數(shù)。7.5 7.5 宇稱宇稱所以，宇稱算符所以，宇稱算符 的本征函數(shù)是任意的奇、偶函的本征函數(shù)是任意的奇、偶函數(shù)，本征值是數(shù)，本征值是1和和1。這樣，我們常說(shuō)如果一個(gè)。這樣，我們常說(shuō)如果一個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù)，那么它就具有一定函數(shù)不

28、是奇函數(shù)就是偶函數(shù)，那么它就具有一定的宇稱。的宇稱。考慮宇稱算符與哈密頓算符的對(duì)易關(guān)系：考慮宇稱算符與哈密頓算符的對(duì)易關(guān)系：7.5 7.5 宇稱宇稱H,以單粒子體系為例：以單粒子體系為例： V,V,T,H,x2m,x2m,x2m222222222 zy,x,xzy,x,xzy,x,xxzy,x,x222222所以：所以：7.5 7.5 宇稱宇稱 V,H,0,x22同理，可以求得：同理，可以求得：0,y220,z22這樣，就得到：這樣，就得到： zy,x,zy,x,Vzy,x,zy,x,V此時(shí)，若勢(shì)能函數(shù)是偶函數(shù)，則有：此時(shí)，若勢(shì)能函數(shù)是偶函數(shù)，則有： zy,x,zy,x,Vzy,x,zy,x,

29、Vzy,x,zy,x,V所以：所以：7.5 7.5 宇稱宇稱0V,結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)勢(shì)能函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，宇稱算符與體系的當(dāng)勢(shì)能函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，宇稱算符與體系的哈密頓算符可對(duì)易，即：哈密頓算符可對(duì)易，即：是偶函數(shù)時(shí)當(dāng)VH,，0結(jié)論表明：結(jié)論表明：當(dāng)勢(shì)能函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，體系的哈密當(dāng)勢(shì)能函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，體系的哈密頓算符和宇稱算符可以有共同的本征函數(shù)集。而頓算符和宇稱算符可以有共同的本征函數(shù)集。而宇稱算符的本征函數(shù)是奇偶函數(shù)，因此我們可以宇稱算符的本征函數(shù)是奇偶函數(shù)，因此我們可以選擇奇偶函數(shù)作為體系哈密頓算符的本征函數(shù)，選擇奇偶函數(shù)作為體系哈密頓算符的本征函數(shù)，即體系的哈密頓算符可具有一定的宇稱。即體系的

30、哈密頓算符可具有一定的宇稱。7.5 7.5 宇稱宇稱 若能級(jí)沒(méi)有簡(jiǎn)并性（若能級(jí)沒(méi)有簡(jiǎn)并性（一維體系通常如此一維體系通常如此）則）則對(duì)應(yīng)于每一個(gè)能級(jí)的線性獨(dú)立的本征函數(shù)只有一對(duì)應(yīng)于每一個(gè)能級(jí)的線性獨(dú)立的本征函數(shù)只有一個(gè)，沒(méi)有選擇的余地，所以，個(gè)，沒(méi)有選擇的余地，所以，當(dāng)勢(shì)能函數(shù)是偶函當(dāng)勢(shì)能函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，對(duì)于非簡(jiǎn)并情況，定態(tài)波函數(shù)必須有一定數(shù)時(shí)，對(duì)于非簡(jiǎn)并情況，定態(tài)波函數(shù)必須有一定的宇稱。的宇稱。 例如：一維諧振子的勢(shì)能函數(shù)是偶函數(shù)，所例如：一維諧振子的勢(shì)能函數(shù)是偶函數(shù)，所以其定態(tài)波函數(shù)必有一定的宇稱。（這一點(diǎn)在前以其定態(tài)波函數(shù)必有一定的宇稱。（這一點(diǎn)在前面的學(xué)習(xí)中已看到）面的學(xué)習(xí)中已看到） 對(duì)

31、于簡(jiǎn)并情況，就有選擇波函數(shù)的余地。但對(duì)于簡(jiǎn)并情況，就有選擇波函數(shù)的余地。但是我們總可以選擇適當(dāng)?shù)慕M合使選的波函數(shù)具有是我們總可以選擇適當(dāng)?shù)慕M合使選的波函數(shù)具有一定的宇稱。一定的宇稱。7.5 7.5 宇稱宇稱 為什么要選擇有宇稱的波函數(shù)呢？因?yàn)橛罘Q為什么要選擇有宇稱的波函數(shù)呢？因?yàn)橛罘Q可以使得積分的計(jì)算變得什么簡(jiǎn)單。可以使得積分的計(jì)算變得什么簡(jiǎn)單。 為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xf, 0dxf 將此結(jié)果推廣到將此結(jié)果推廣到3n維情況。一個(gè)維情況。一個(gè)3n個(gè)變量的個(gè)變量的奇函數(shù)滿足：奇函數(shù)滿足：7.5 7.5 宇稱宇稱nnn111nnn111z ,y,x,z ,y,xgz,y,x,z,y,xg 若若g

32、是是3n個(gè)變量的奇函數(shù)，則：個(gè)變量的奇函數(shù)，則：0zddxz ,xgn1n1 更普遍的情況是被積函數(shù)為某幾個(gè)變量的奇更普遍的情況是被積函數(shù)為某幾個(gè)變量的奇函數(shù)而不是全部?jī)蓚€(gè)的奇函數(shù)時(shí)。函數(shù)而不是全部?jī)蓚€(gè)的奇函數(shù)時(shí)。7.5 7.5 宇稱宇稱 令令f就是這樣的一個(gè)函數(shù)：就是這樣的一個(gè)函數(shù)：m2k1kk21m2k1kk21q,q,q,q, ,q,qfq,q,q,q, ,q,qf 式中式中1km。對(duì)于函數(shù)。對(duì)于函數(shù)f服從下式：服從下式：0qddqq,qfm1m17.5 7.5 宇稱宇稱 證明：證明：0dqdqqddqq,q,q,qfqddqq,qfm1kk1m1kk1m1m10這些變量在中括號(hào)內(nèi)這些變

33、量在中括號(hào)內(nèi)的積分時(shí)可看作常數(shù)的積分時(shí)可看作常數(shù)7.6 7.6 測(cè)量與態(tài)的疊加測(cè)量與態(tài)的疊加 對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè)n粒子體系，用符號(hào)粒子體系，用符號(hào)q表示表示3n個(gè)坐標(biāo)。個(gè)坐標(biāo)。假設(shè)算符假設(shè)算符 的本征值的本征值gi是測(cè)量性質(zhì)是測(cè)量性質(zhì)G的僅有的可能的僅有的可能結(jié)果。結(jié)果。i表示它的本征函數(shù)，則有：表示它的本征函數(shù)，則有：G qgqGiii 代表一物理量可觀測(cè)量的任一線性厄米算符代表一物理量可觀測(cè)量的任一線性厄米算符的本征函數(shù)構(gòu)成一個(gè)完備集，可以將任意一個(gè)滿的本征函數(shù)構(gòu)成一個(gè)完備集，可以將任意一個(gè)滿足相同邊界條件的品優(yōu)函數(shù)展開(kāi)。因此，我們可足相同邊界條件的品優(yōu)函數(shù)展開(kāi)。因此，我們可用用 的本征函數(shù)

34、完備集的本征函數(shù)完備集i來(lái)展開(kāi)態(tài)函數(shù)來(lái)展開(kāi)態(tài)函數(shù)(q) ：Giiic 根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件，得：根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件，得：1cccdccdccdccdiji2iijjiijjijiijjijijjjiii 波函數(shù)的歸一性表現(xiàn)為展開(kāi)它的本征函數(shù)完備波函數(shù)的歸一性表現(xiàn)為展開(kāi)它的本征函數(shù)完備集的各個(gè)本征函數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值的平方和為集的各個(gè)本征函數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值的平方和為1。7.6 7.6 測(cè)量與態(tài)的疊加測(cè)量與態(tài)的疊加 若若是體系的歸一化的態(tài)函數(shù)，則性質(zhì)是體系的歸一化的態(tài)函數(shù)，則性質(zhì)G的平的平均值是：均值是：ii2iijjijj*ij*iijj*ijjji*iigcgccdGccdcGcdGG 是在測(cè)量性質(zhì)是在測(cè)量性質(zhì)G時(shí)得到時(shí)得到gi的幾率；的幾率；ci是波函數(shù)的是波函數(shù)的展開(kāi)式中本征函數(shù)的系數(shù)。展開(kāi)式中本征函數(shù)的系數(shù)。2ic7.6 7.6 測(cè)量與態(tài)的疊加測(cè)量與態(tài)的疊加7.6 7.6 測(cè)量與態(tài)的疊加測(cè)量與態(tài)的疊加 總結(jié)：總結(jié)： qgqGiiiiiicii2igcGi是算符是算符 的本征函數(shù)，且歸一化的本征函數(shù)，且歸一化G由由 i是函數(shù)集來(lái)展開(kāi)，且歸一化是函數(shù)集來(lái)