北師大初中數學中考總復習：函數綜合--知識講解(基礎)-精編

1、中考總復習：函數綜合一知識講解(基礎)【考綱要求】1 .平面直角坐標系的有關知識平面直角坐標系中各象限和坐標軸上的點的坐標的特征，求點關于坐標軸、坐標原點的對稱點的坐標，求線段的長度，幾何圖形的面積，求某些點的坐標等；2 .函數的有關概念求函數自變量的取值范圍，求函數值、函數的圖象、函數的表示方法；3 .函數的圖象和性質常見的題目是確定圖象的位置，利用函數的圖象確定某些字母的取值，利用函數的性質解決某些問題.利用數形結合思想來說明函數值的變化趨勢，又能反過來判定函數圖象的位置；4 .函數的解析式求函數的解析式，求拋物線的頂點坐標、對稱軸方程，利用函數的解析式來求某些字母或代數式的值.一次函數、

2、反比例函數和二次函數常與一元一次方程、一元二次方程、三角形的面積、邊角關系、 圓的切線、圓的有關線段組成綜合題.【知識網絡】平面直角坐標系坐標軸上的點的 坐標特征特殊點的坐標對稱點的坐標特征象限角平分線上點 的坐標特征L常量與變量函數及其圖象自變量的取值范圍解析法表不法列表法圖象法建立函數關系式描點法作函數圖象一|一次函數 了 = kx + b(k # 0)正比例函數¥ =氏工0)圖象與性質三類基本函數二次函數 了 = ar' +fer +加 #0)待定系數法 求解析式綜合運用一反比例函數y =號供# 0)【考點梳理】考點一、平面直角坐標系(1)平面直角坐標系(2)象限(3)

3、點的坐標2 .各象限內點的坐標的符號特征3 .特殊位置點的坐標(1)坐標軸上的點(2) 一三或二四象限角平分線上的點的坐標(3)平行于坐標軸的直線上的點的坐標(4)關于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標4 .距離(1)平面上一點到x軸、y軸、原點的距離(2)坐標軸或平行于坐標軸的直線上兩點間的距離(3)平面上任意兩點間的距離5 .坐標方法的簡單應用(1)利用坐標表示地理位置(2)利用坐標表示平移要點詮釋：點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：(1)點P(x,y)到x軸的距離等于 y ；(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于 x ;(3)點P(x,y)到原點的距離等于 xx +y2 .考點二、函數及其圖

4、象1 .變量與常量2 .函數的概念3 .函數的自變量的取值范圍4 .函數值5 .函數的表示方法(解析法、列表法、圖象法)6 .函數圖象要點詮釋：由函數解析式畫其圖像的一般步驟：(1)列表：列表給出自變量與函數的一些對應值；(2)描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點；(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來考點三、一次函數1 .正比例函數的意義2 . 一次函數的意義3 .正比例函數與一次函數的性質4 . 一次函數的圖象與二元一次方程組的關系5 .利用一次函數解決實際問題要點詮釋：確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式y(tǒng) = kx (k

5、5;0)中的常數 k；確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y(tǒng) = kx + b (k *0)中的常數k和b.解這類問題的一般方法是待定系數考點四、反比例函數1 .反比例函數的概念2 .反比例函數的圖象及性質3 .利用反比例函數解決實際問題要點詮釋：k 一反比例函數中反比例系數的幾何意義，如下圖，過反比例函數 y =上（k ¥ 0）圖像上任一點P（x, y） x作x軸、y軸的垂線pm PN垂足為 M N,則所得的矩形 PMON勺面積S=PMPN=y x = xy .k._ . y = 一,xy = k, S =| k |.x考點五、二次函數1 .二次函數的概念2 .二次函數的圖象及

6、性質3 .二次函數與一元二次方程的關系4 .利用二次函數解決實際問題要點詮釋：1、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的問題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）如圖：點 A坐標為（xi, yi）,點B坐標為（x2, y2）,則AB間的距離，即線段AB的長度為x（xi -x2 2 +（yi -y2 22、函數平移規(guī)律：左加右減、上加下減考點六、函數的應用1 .一次函數的實際應用2 .反比例函數的實際應用3 .二次函數的實際應用要點詮釋：分段函數是指自變量在不同的取值范圍內，其關系式(或圖象)也不同的函數，分段函數的應用題 多設計成兩種情況以上，解答時需分段討論.在現實生活中存在著很多需分段計費的實

7、際問題，因此,分段計算的應用題成了近幾年中考應用題的一種重要題型【典型例題】 類型一、用函數的概念與性質解題1 .已知一次函數y=(3a-2)x+(1-b),求字母a, b的取值范圍，使得：(1) y隨x的增大而增大；(2)函數圖象與y軸的交點在x軸的下方；(3)函數的圖象過第一、二、四象限 .【思路點撥】(1) y=kx+b (kw0)的圖象，當 k> 0時，y隨x的增大而增大;(2)當b<0時，函數圖象與 y軸的交點在x軸的下方；(3)當k<0, b>0時時，函數的圖象過第一、二、四象限 .【答案與解析】解：a、b的取值范圍應分別滿足：(1)由一次函數 y=kx+b

8、(k豐0)的性質可知:當k>0時，函數值y隨x的增大而增大，即 3a-2 >0,2 一 ，si> 一，且b取任何實數.3(2)函數圖象與y軸的交點為(0,1-b ),交點在x軸的下方,> 1.玄-2 = 0 j&<02即 aw -，b3(3)函數圖象過第一、二、四象限，則必須滿足3a - 2 < 0、-匕 >01,當k>0時,【總結升華】下面是 y=kx(k wo), y=kx+b (k w0)的圖象的特點和性質的示意圖，如圖y隨x的增大而增大；當 b> 0時，圖象過一、二、三象限，當 b=0時，是正比例函數，當 b<0時，圖

9、 象過一、三、四象限；當 y=x時，圖象過一、三象限，且是它的角平分線 .由于常數k、b不同，可得到 不同的函數，k決定直線與x軸夾角的大小，b決定直線與y軸交點的位置，由k定向，由b定點.同樣, 如圖2,是k<0的各種情況，請你指出它們的圖象的特點和性質y2"俯-2)孑m=1 或 m=4(1)m為何值時，它是一次函數 .(2)當它是一次函數時，畫出草圖，指出它的圖象經過哪幾個象限？y是隨x的增大而增大還是減小?(3)當圖象不過原點時，求出該圖象與坐標軸交點間的距離，及圖象與兩軸所圍成的三角形面積【思路點撥】一次函數應滿足：一次項(或自變量)的指數為1,系數不為0.【答案與解析

10、】22的自變量x的取值范圍是，當m=1或m=4時，它是一次函數.(2)當m=4時，函數為y=2x,是正比例函數，圖象過一 y隨x的增大而增大.2 xx=0不在函數y =的自變量x的取值范圍之內由此，作圖如下：2xy =在x w o時，就是函數2x 作出函數 y=x, y=一，yx(3)直線y=-x-3不過原點，它與 x軸交點為 A(-3 , 0),與y軸交點為B(0, -3), 超=119''''','.直線y=-x-3與兩軸交點間的距離為 3戊，與兩軸圍成的三角形面積為 -.2【總結升華】(1)某函數是一次函數應滿足的條件是：一次項 (或自變量

11、)的指數為1,系數不為0.而某函數若是 正比例函數，則還需添加一個條件：常數項為0.(2)判斷函數的增減性，關鍵是確定直線y=kx+b (kw0)中k、b的符號.(3)直線y=kx+b (kw0)與兩軸的交點坐標可運用x軸、y軸上的點的特征來求，當直線 y=kx+b (kw0)上的點在x軸上時，令y=0,則工=,交點為(-2,0);當直線y=kx+b (kw0)上的點在y軸 ，'二k上時，令x=0,則y=b,即交點為(0 , b).舉一反三：【變式】已知關于x的方程x2 (m-3)x+m 4 =0 .(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程有一個根大于 4且小于8,求m的取值范圍；

12、(3)設拋物線y =x2 -(m-3)x+m-4與y軸交于點 M若拋物線與x軸的一個交點關于直線y=x的對稱點恰好是點 M求m的值.【答案】2222.證明：(1) =b -4ac=(m-3) -4(m-4)=m -10m +25 =(m-5) 0。， 所以方程總有兩個實數根.解：(2)由(1) A=(m5)2,根據求根公式可知，方程的兩根為：x = m .3 7(m -5)即 x1 =1x2=m-4,2由題意，有 4<m4<8,即 8<m<12.(3)易知，拋物線 y =x2 - (m-3)x+m -4與y軸交點為 M (0, m4),由(2)可知拋物線與 x軸的 交點

13、為(1,0)和(m4,0),它們關于直線y = -x的對稱點分別為(0, 1)和(0, 4 m), 由題意，可得 一1 =m4或4m=m-4 ,所以m = 3或m = 4.C3.拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移 3個單位，所得圖象的解析式為y=x2- 2x3,則b、c的值為()A. b=2, c=2 B . b=2, c=0 C . b= - 2, c=- 1 D . b= - 3, c=2【思路點撥】易得新拋物線的頂點，根據平移轉換可得原拋物線頂點，根據頂點式及平移前后二次項的系數不變可得原拋物線的解析式，展開即可得到 b, c的值.【答案】B.【解析】解：由題意得新拋

14、物線的頂點為(1, -4),，原拋物線的頂點為(-1, - 1),設原拋物線的解析式為y= (x-h) 2+k代入得：y= (x+1) 2- 1=x2+2x,b=2, c=0.故選B.【總結升華】拋物線的平移不改變二次項系數的值；討論兩個二次函數的圖象的平移問題，只需看頂點坐標是如 何平移得到的即可.C4.若一次函數y=kx+1的圖象與反比例函數 y = 1的圖象沒有公共點，則實數k的取值范圍是 x【思路點撥】y = kx 11因為反比例函數 y=_的圖象在第一、三象限，故一次函數y=kx+1中，k<0,將解方程組1xy =x轉化成關于x的二次方程，當兩函數圖象沒有公共點時，只需<

15、0即可.1【答案】k<-1.1【解析】由反比例函數的性質可知，y=的圖象在第一、三象限，x二當一次函數y=kx+1與反比例函數圖象無交點時，k<0,y = kx 1解方程組11 ，得kx2+x-1=0 ,y =x當兩函數圖象沒有公共點時，<0,即1+4kv0,1解得k< -1,41 .兩函數圖象無公共點時，kv .4一，一，1故答案為：k<-.【總結升華】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題.關鍵是轉化成關于x的一元二次方程，再確定 k的取值范圍.類型三、函數綜合題O2一 5. （2015春？姜堰市校級月考）已知二次函數 y=ax+bx+c （aw0）的圖象如

16、圖所不，對稱軸是直線x=-,有下列結論：ab> 0;a+b+cv 0;b+2cv 0;其中正確結論的個數是（）31A. 0B. 1C. 2D. 3【思路點撥】根據開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點，確定a、b、c的符號，根據對稱軸和圖象確定 y>0或y<0時，x的范圍，確定代數式的符號.【答案】C.【解析】解：二開口向下，a< 0,對稱軸在y軸的左側，b<0, .,正確；當 x=1 時，y<0, . - a+b+c< 0,正確；-上二-2a=3b, x=-1 時，y>0, a-b+c>0, b+2c>0錯誤；2a 3故選：C.【總結

17、升華】本題考查的是二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵，解答時，要熟練運用拋物線的對稱性和拋物線上的點的坐標滿足拋物線的解析式.舉一反三：【變式】二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數y=bx+b2- 4ac與反比仞函數yW+b+c在同【答案】由拋物線的圖象可知，橫坐標為1的點，即（1, a+b+c）在第四象限，因此 a+b+c0;.雙曲線產a+b+c的圖象在第二、四象限；由于拋物線開口向上，所以a>0;對稱軸x= - >0,所以b<0;2a拋物線與x軸有兩個交點，故 b2-4ac>0;，直線y=bx+b2 -

18、4ac經過第一、二、四象限.故選D類型四、函數的應用C6. (2015?舟山)某企業(yè)接到一批粽子生產任務，按要求在 15天內完成，約定這批粽子的出廠價 為每只6元，為按時完成任務，該企業(yè)招收了新工人，設新工人李明第x天生產的粽子數量為 y只，y與x滿足下列關系式：54*(0<x<5)y二，-30x+120(1)李明第幾天生產的粽子數量為420只？(2)如圖，設第x天每只粽子的成本是 p元，p與x之間的關系可用圖中的函數圖象來刻畫.若李明第 x天創(chuàng)造的利潤為 w元，求w與x之間的函數表達式，并求出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少元？(利潤=出廠價-成本)(3)設(2)小題中第m天利潤

19、達到最大值，若要使第( m+。天的利潤比第 m天的利潤至少多48元， 則第(m+1丁每只粽子至少應提價幾元？鼻P (元只)飛 9天)【思路點撥】(1)把y=420代入y=30x+120,解方程即可求得；(2)根據圖象求得成本 p與x之間的關系，然后根據利潤等于訂購價減去成本價，然后整理即可得到 W 與x的關系式，再根據一次函數的增減性和二次函數的增減性解答；(3)根據(2)得出m+1=13根據利潤等于訂購價減去成本價得出提價a與利潤w的關系式，再根據題意列出不等式求解即可.【答案】解：(1)設李明第n天生產的粽子數量為 420只，由題意可知：30n+120=420,解得n=10.答：第10天生

20、產的粽子數量為 420只.(2)由圖象得，當 0WxW9時，p=4.1 ;當 9<x<15 時，設 P=kx+b,把點(9, 4.1 ), (15, 4.7)代入得，/ 口 "，15k+b=7解得產?！? ,b:3. 2.p=0.1x+3.2 ,0WxW5 時，w= (6 4.1 ) X 54x=102.6x,當 x=5 時，w最大=513 (元)；5vxW9 時，w= (6 4.1 ) X ( 30x+120) =57x+228,x是整數，當x=9時，w最大=714 (元)； 9vxW15 時，w= (6- 0.1x- 3.2 ) X ( 30x+120) = - 3x2+72x+336,. a=- 3<0,，當x=一上=12時，w最大=768 (元)； 2a綜上，當x=12時，w有最大值，最大值為 768.(3)由(2)可知 m=12 m+1=13設第 13 天提價 a 元，由題意得， wi3= (6+a-p) (30x+120) =510 (a+1.5),.510 (a+1.5 ) 76848,解得 a=0.1 .答：第13天每只粽子至少應提價0.1元.【總結升華】本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，主要是利用二次函數的增減性求最值問題，利用一次函數的增減性求最值，難點在于讀懂題目信息，列出相關的函數關系式.舉一反