全等三角形幾種類型總結(jié)

1、全等三角形幾種類型總結(jié)1 / 18全等三角形與角平分線全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是全等圖形.全等多邊形：能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形.相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角. 全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等.如下圖，兩個(gè)全等的五邊形，記作：五邊形ABCDE也五邊形ABCDE.這里符號(hào)“也”表示全等，讀作“全等于”.全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角分別相等；反之，如果兩個(gè)三角形的邊和角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等.全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線及周長(zhǎng)面積均相等.全等三角形的概念與表示：

2、能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形.能夠相互重合的頂點(diǎn)、邊、角分別叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角全等符號(hào)為么”.全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等.尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1) 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.(2) 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.(3) 有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊.(4) 有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角.(5) 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角.全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三

3、角形全等.(2) 角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(3) 邊邊邊定理(SSS :三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(4) 角角邊定理(AAS):兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(5) 斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.判定三角形全等的基本思路：找?jiàn)A角 SAS已知兩邊 找直角 HL找另一邊SSS邊為角的對(duì)邊T找任意一角TAAS找這條邊上的另一角TASA 找這條邊上的對(duì)角TAAS 找該角的另一邊TSAS找兩角的夾邊ASA已知一邊一角邊就是角的一條邊全等三角形幾種類型總結(jié)2 / 18找任意一邊AAS3 / 18全等三

4、角形幾種類型總結(jié)全等三角形的圖形歸納起來(lái)有以下幾種典型形式：平移全等型由全等可得到的相關(guān)定理： 角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等. 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上. 等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（即等邊對(duì)等角）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.與角平分線相關(guān)的問(wèn)題角平分線的兩個(gè)性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角

5、的平分線上.它們具有互逆性.角平分線是天然的、涉及對(duì)稱的模型，一般情況下，有下列三種作輔助線的方式：1 由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，2.過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形，3.OA OB，這種對(duì)稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍，三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線三角形中線的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.中位線判定定理： 經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線

6、必平分第三邊.中線中位線相關(guān)問(wèn)題（涉及中點(diǎn)的問(wèn)題）匕/Y對(duì)稱全等型旋轉(zhuǎn)全等型全等三角形幾種類型總結(jié)4 / 18見(jiàn)到中線（中點(diǎn)），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無(wú)非是倍長(zhǎng)中線以及中位線定理（以后還要學(xué)習(xí)中線長(zhǎng)公式），尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線的應(yīng)用更是較為常見(jiàn).全等三角形幾種類型總結(jié)5 / 18平例題精講板塊一、全等三角形的認(rèn)識(shí)與性質(zhì)在AB、AC上各取一點(diǎn)E、D，使AE AD，連接BD、CE相交于0再連結(jié)AO、BC，若12，則圖中全等三角形共有哪幾對(duì)？并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.板塊二、三角形全等的判定與應(yīng)用【例 2】（2008 年巴中市高中階段教育學(xué)校招生考試AF BD.）如圖，AC II DE,BC I

7、I EF,AC DE.求證:【例 3】（2008 年宜賓市）已知：如圖，AD BC,AC BD，求證：C D.【例1】【鞏固】 如圖所示,AB AD,BC DC,E、F在AC上，AC與BD相交于P.圖中有幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)一一找出來(lái)，并簡(jiǎn)述全等的理由.全等三角形幾種類型總結(jié)6 / 18【鞏固】如圖， AC、BD相交于 0 點(diǎn)，且AC BD,AB CD，求證：OA OD.DA -07B【例 4】（哈爾濱市 2008 年初中升學(xué)考試）已知：如圖，B、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上，AB DC,BE CF，B C.求證：OA OD.【例 5】 已知，如圖，AB AC,CE AB,BF AC，求證：BF

8、 CE.【例6】F分別是正方CF.求證：AE BF.【鞏固】E、F、G分別是正方形ABCD的BC、CD、AB邊上的點(diǎn),BG CF BC.GE EF,GE EF.求證:DF全等三角形幾種類型總結(jié)7 / 18板塊三、截長(zhǎng)補(bǔ)短類【例 1】 如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作DMN 60, 射線MN與/DBA外角的平分線交于點(diǎn) N ,DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【鞏固】如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN DM且與ZABC外角的平分線交于 點(diǎn) N ,MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【例 2】 如圖，AD 丄 AB, CB 丄 AB, DM =CM =a,

9、AD=h, CB=k,ZAMD =75ZBMC=45 貝 U AB的長(zhǎng)為（）ik h,A.aB.kC.D.h2【例 7】在凸五邊形中,B E,C D,BC DE,M為CD中點(diǎn)求證：AM CD.全等三角形幾種類型總結(jié)8 / 18【例 3】 已知：如圖， ABCD 是正方形，/ FAD= / FAE.求證：BE + DF=AE.【例 4】 如圖所示，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，BDC是頂角為 120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè) 60的MDN，點(diǎn)M、N 分別在AB、AC 上，求AMN的周長(zhǎng).【例 5】 五邊形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD，/ ABC+ / AED = 180 求

10、證：AD 平分/ CDE板塊四、與角平分線有關(guān)的全等問(wèn)題【例 1】 如圖，已知ABC的周長(zhǎng)是21,OB,OC分別平分OD 3，求ABC的面積.ABC和ACB,OD BC于D，且DFCCC全等三角形幾種類型總結(jié)9 / 18在ABC中，D為 BC 邊上的點(diǎn)，已知BAD CAD,BD CD，求證：AB AC.【例2】【例3】已知ABC中，AB AC,BE、CD 分別是ABC及ACB平分線.求證:【例4】已知ABC中，A 60o,BD、CE 分別平分 斷BE、CD、BC 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.ABC和ACB,BD、CE 交于點(diǎn) O，試判【例5】如圖，已知E34.求證：ED EB.CD BE.DB全等

11、三角形幾種類型總結(jié)10 / 18【例 6】（“希望杯”競(jìng)賽試題）長(zhǎng)方形 ABCD 中，AB=4, BC=7,/ BAD 的角平分線交 BC 于點(diǎn) E,EF 丄 ED 交 AB 于 F，貝 U EF=_【例 7】 如圖所示，已知ABC中，AD平分BAC ,E、F分別在BD、AD上.DE CD , EF AC.求 證：EF/AB【鞏固】如圖，在ABC中，AD交 BC 于點(diǎn)D，點(diǎn)E是 BC 中點(diǎn)，EF/AD交 CA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn) G，若BG CF，求證：AD為BAC的角平分線.E DC【鞏固】在ABC中，AB AC,AD是BAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn).求證：AB AC PB PC

12、.全等三角形幾種類型總結(jié)11 / 18BAC的平分線AD交BC與D.求證：AB BD AC.如圖所示，在ABC中，AC AB,M為 BC 的中點(diǎn)，AD是BAC的平分線，若CF且交AD的延長(zhǎng)線于F，求證 MF1AC AB .2【鞏固】如圖所示，DE II ABAD是ABC中BAC的外角平分線， 且 DE丄(AB AC).2CD AD于D,E是 BC 的中點(diǎn)，求證ADJBEC【鞏固】如圖所示，在ABC中，AD平分BAC,AD AB,CM【例 8】如圖，在ABC中,【例9】ADAD于M ,求證AB AC 2AM.CC全等三角形幾種類型總結(jié)12 / 18【例 10】如圖，ABC中，AB AC,BD、C

13、E 分別為兩底角的外角平分線，AD BD于D,AE CE于E.求證：AD AE.【鞏固】已知：AD和BE分別是ABC的ZCAB和/CBA的外角平分線,1證：DE II AB: DE AB BC CA 2【例 11】在 ABC 中，MB、NC 分別是三角形的外角ABE、 ACF 的角平分線,1AN CN垂足分別是M、N .求證：MNIBC, MN AB AC BC2【鞏固】在 ABC 中，MB、NC 分別是三角形的內(nèi)角垂足分別是M、ABC、ACB 的角平分線,AMBM,AN CNN.求證：MNIBC, MN1-AB2ACBCCD AD,CE BE，求AM BM,全等三角形幾種類型總結(jié)13 / 1

14、81并且AE -(AB AD)，貝U ABC ADC等于多少?2版塊一、倍長(zhǎng)中線1【例 1已知：ABC中，AM是中線.求證： AM 一（AB AC）. 2【鞏固】（北京市中考模擬題）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分AMBAD，過(guò)C作CEAB 于E,【例 12如圖，A1探討線段2探討線段D 180,BE平分ABC, CE 平分AB、CD和BC之間的等量關(guān)系.BE與 CE 之間的位置關(guān)系.BCD，點(diǎn)E在AD上.全等三角形幾種類型總結(jié)14 / 18【鞏固】（2002 年通化市中考題）在ABC中，AB 5, AC 是什么？【例 2】 如圖，ABC中，ABvAC，AD是中線.求證：DAC DAB.BC

15、 于 G,求證 GD=GE.A【例3】如圖,AF已知在ABC中,EF，求證：ACAD是 BC 邊上的中線,BE.【例4】已知 ABC, / B= / C,AE是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交 AC 于F,D, E 分別是 AB 及 AC 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接 DE 交底9，則 BC 邊上的中線AD的長(zhǎng)的取值范圍全等三角形幾種類型總結(jié)15 / 18【例 5】 已知AM為ABC的中線,AMB,AMC的平分線分別交AB于E、交AC于F.求證:BE CF EF.全等三角形幾種類型總結(jié)16 / 18【例 6】 在Rt ABC中，A 90，點(diǎn)D為 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB、AC 上的點(diǎn)，且E

16、D FD.以線段BE、EF、FC 為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？求證 AD21AB2AC24【鞏固】如圖所示，在ABC中，D是 BC 的中點(diǎn),DM垂直于DN，如果 BM2CN2DM2DN2【例 7】（2008年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽在邊 CA、CB 上，滿足DFE初二組）在Rt ABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點(diǎn)，D、E分別90若AD 3,BE 4，則線段DE的長(zhǎng)度為_(kāi) .AM全等三角形幾種類型總結(jié)17 / 18版塊二、中位線的應(yīng)用全等三角形幾種類型總結(jié)118 / 18【例 8】AD是ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交 AC 于E求證：AE -

17、AC .3【例9】如圖所示，在CD，求證CD【鞏已知 ABC 中,證 CD=2CEABC中，AB AC,延長(zhǎng)AB到D，使BD AB,E為AB的中點(diǎn),2EC.AB=AC, BD 為 AB 的延長(zhǎng)線，且 BD=AB, CEABC 的 AB 邊上的中線. 求【例10】已知：ABCD 是凸四邊形，且 AC/ GNM .M ; EF全等三角形幾種類型總結(jié)19 / 18【例 12】如圖，在五邊形ABCDE中，ABC AED 90，BAC EAD，F(xiàn)為 CD 的中點(diǎn).求證:BF EF【例 13】(祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題)如圖所示，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PAC PBC，過(guò)P作PM AC于M

18、, PL BC于L,D為AB的中點(diǎn)，求證DM DL【例 14】(全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題)如圖所示，在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng) CA、CB 到點(diǎn)E、F，使DE DF過(guò)E、F分別作直線 CA、CB 的垂線，相交于點(diǎn)P,設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為M、N .求證：(1)DEM 也 FDN;(2)PAE PBF.【例 11】在ABC中，ACB 90, AC求證：AE EB且AE BE1BC ,以 BCBCD，E是 CD 的中點(diǎn),全等三角形幾種類型總結(jié)20 / 18【習(xí)題 1】如圖，已知AC BD,AD AC,BC BD，求證：AD BC.【習(xí)題 2】點(diǎn) M , N 在等邊三角形 ABC 的 AB 邊上運(yùn)動(dòng), 證MN=MB+NC.CAMBD=DC,/ BDC=120,/ MDN=60,求全等三角形幾種類型總結(jié)21 / 18BAC的平分線交 BC 于D，過(guò)B作BE AD,E