西安交大概率論2016-2017期末精彩試題解答

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題20162017第一學(xué)期(期末)試題解答一、完成下列各題(每小題 4分，共24分)111 .設(shè)隨機(jī)事件A, B, C相互獨(dú)立，P(A) =P(B) =，P(C)=，分別求出P(AUBUC) 24及P(ABC)的值。解：P(A)=1P(A), P(B)=1 -P(B), P(C) =1-P(C): A,B,C相互獨(dú)立所以A,B,C也相互獨(dú)立P(AB) -P(A)P(B), P(AC) -P(A)P(C), P(BC) -P(B)P(C )P(A B C) =P(A) P(B) P(C) - P(AB) -P(AC) - P(BC) P(ABC)15一 16P(A-BC

2、)=P(A BC) = P(A (B C) = P(A B) (A C)= P(A B) P(A C) 一 P(A B C)P(A)P(B) P(A)P(C) -P(A)P(B)P(C)_7_一 16相關(guān)知識(shí)： P(A) =1P(A), P(aU B) = P(A)+P(B) P(AB)_ (書 P11)事件的相互獨(dú)立性：A,B相互獨(dú)立 u P(AB) = P(A)P(B)四對(duì)事件A, B, A, B, A, B,A,B中有一對(duì)是相互獨(dú)立的， 則另外三對(duì)也相互獨(dú)立，此結(jié)論可推廣至 n個(gè)事件的情形。(書 P20)事件的差：A-B=A BDe Morgan 律：AB=aUb2 .房間內(nèi)有5個(gè)人，每

3、個(gè)人在一年中（按 12個(gè)月計(jì)算）每個(gè)月出生的概率相等，求 5個(gè)人中至少有兩個(gè)人生于同一個(gè)月的概率。解：設(shè)事件A = 5人中至少兩人生于同月則A =5人中無人同月出生P(A)=55Ci52 A512555144-I - P(A)P(A)=891445人中至少兩人生于同月概率相關(guān)知識(shí)：P(A)=89144正難則反：發(fā)現(xiàn)某件事情的概率很難求時(shí)，可以考慮其對(duì)立事件的概率，再應(yīng)用P(A) =1 -P(A)來求解乘法原理：做一件事需經(jīng)過 n個(gè)不同的步驟，而第i步有mi種方法，則完成它有n口 mi種不同的方法。 i 13 .設(shè)隨機(jī)變量X P,且P(X <1) =4P(X =2),求P(X ±

4、3)的值。,2解：P(X M1) =P(X =0) P(X =1) =(1 1)e= =4 (e) 2!兩邊同除eT彳導(dǎo)1十九=2九21 解得九=1或九=-1 (舍去)24 e 因止匕 X P(1), P(X =k) = J k!P(X _3) =1 -P(X 二 3) =1 - P(X =0)-P(X =1) - P(X =2)-1-5e42.5 A綜上 P(X -3) -1 -e相關(guān)知識(shí)：泊松分布：P37設(shè)隨機(jī)變量 X有P(X =k) =土二，則稱X服從參數(shù)為 九的泊松分布，記為 k!X P(K)。其中k =0,1,2；九：0且為常數(shù)。4 .將一顆均勻骰子獨(dú)立上拋兩次，觀察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。若兩次

5、出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為 8或10即可獲獎(jiǎng)。求獲獎(jiǎng)概率。解：設(shè)第一次上拋出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為 X,第二次上拋出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為 Y。XX +YY1234561234567234567834567894567891056789101167891011128由上表可見，P(X Y=8) (X 丫=10)= 一 362則獲獎(jiǎng)概率P =2(x 0)(其他)95 .設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且同分布，X的概率密度為30 >0,若 P(X >1) =e ,求 P(min( X,Y) <2)的值。-bo解：P(X A1)=f (x)dx = eX|1M = e/= e： 則九=31P(min( X,Y)三2) =1P(m

6、in(X,Y) 2) =1 - P(X 2)P(Y 2)因?yàn)閄 , Y同分布-be所以 P(X 2) = P(Y 2) = f(x)dx = e所以 P(min( X,Y) < 2) =1 -e12相關(guān)知識(shí)：二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布(書本P62P67)-bo-boZ=X Y fz(z) = f(x, z-x)dx= f(z-y, y)dyX X Z=T fz(z) = |y|f(yz,y)dy 丫二二M =max(X,Y), m =min(X,Y)Fm(z) =Fx(z)Fy(z) Fm(z) =1 -(1-Fx(z)(1-Fy(z)6.設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布b(m, p), x1,x2

7、，xn是來自x的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。試求參數(shù)p的矩估計(jì)量p2的無偏估計(jì)量。1 n解：二 1 二E(X)=mp A = Xin i 11由矩估計(jì)法可行，？1 = m?(x1 , x2 - xn)n 一八 1，、所以有？=(x1 x2：Q-+xn)mn2 = mp(1 - p) = D(X) 1 n o -o上的無偏估計(jì)量是Sn = (Z Xi2 -nX2) n - 1 i 1?2 =m"m?2 = x Xi2n X2n -1 i wn -1承上題，m?的無偏估計(jì)量是Xn所以 X -m?2 = x Xi2 - -X2n -1 i dn -d1(2nsiX2 m nFn -1相關(guān)知識(shí)：若 X B

8、(m, p),則 E(X) =mp; D(X) =mp(1 p)。求 E(X2):D(X) =E(X2) -E2(X); E(X2) =D(X) E2(X)無偏估計(jì)量的定義：若 E(g =日，則稱?是日的一個(gè)無偏估計(jì)量。(書本 P153)矩估計(jì)法：(書本 P145)二、已知某批產(chǎn)品中 90%是合格品，檢查時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為次品的概率是0.05 ,次品誤認(rèn)為是合格品的概率是 0.02，試求：一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率。一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率。解：設(shè)B1 =某產(chǎn)品是合格品；B2 =某產(chǎn)品是次品；A =某產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品。則Bi, B2構(gòu)成一個(gè)互斥完備事件組

9、。則 P(Bi)=0.9 P(B2)=0.1P(A|Bi)=0.95 P(A|B2) -0.02P(A) =P(Bi)P(A|Bi) P(B2)P(A|B2)= 85.7%所以某產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品的概率P(A) =85.7%承上題，即求P(B | A)則 P(Bi | A)=P(ABi)P(A)P(Bi)P(A|Bi)P(Bi)P(A|Bi) P(B2)P(A|B2)855855 : 99.8%857文案大全所以經(jīng)檢查后認(rèn)為是合格品的確實(shí)是合格品的概率為P(Bi| A)=竺5定99.8%857相關(guān)知識(shí)：全概率公式與貝葉斯公式(書本Pi7)全概率公式：若事件B1，B2,Bn構(gòu)成互斥完備事件組，則

10、P(A)=Z P(Bj)P(A|Bj)。用法：可以將復(fù)雜事件概率分解為若干互斥的簡(jiǎn)單事件的分概率貝葉斯公式:P(Bi)' P(Bj)P(A|Bj)用法：可以由事情的結(jié)果去推測(cè)原因三、隨機(jī)變量 X的概率密度f (x) = «x1 - (0 < x < 2)2，令Y = 2X+1,試求其他X的分布函數(shù)F(x)Y的概率密度 P(1<x<3)0(x<0)x1 2解： F(x) = f (x)dx x x (0 _ x _ 2)二41(2 ：二 x)0(x<0)1 2所以 F(x)= -x2 x (0 < x < 2)4(y ：二 1)(

11、1 < y < 5)(5 :： y)1 (x :二 2)02ZFY(y)=P(Y My)=P(X wT) = Fx(1)= 一，16 y -10 (y<1)一.'y 5所以 fY(y) = FY(y)=一豈十一(1 <y <5)8 80 (y 5)G31 P(1 x 二 3) = Fx(3) -Fx(1) =1-4 4一,1所以 P(1 二 x 二 3) =1相關(guān)知識(shí)：連續(xù)型隨機(jī)變量及其性質(zhì)。(書本 P37)1四、設(shè)隨機(jī)變量丫,丫2相互獨(dú)立，都服從參數(shù)為P的(0,1 )分布，若 P=,且令2XkY +Y2 =kY1 %二kk =1, 2。求二維隨機(jī)變量(X

12、1，X 2)的聯(lián)合分布律。分別求出 (X1,X2)關(guān)于X1, X2的邊緣分布律。X1, x2是否相互獨(dú)立？證明你的結(jié)論。印口" 01 1解：由題意得，丫，Y2 ； P =U-P PJ2P(X1 =1,X2 =1) =P(丫 +、=1 且丫 +Y2 =2)=01則容易得到P(X1 =1,X2 = -1) = P(Y +Y2=1)=_1P(X1 = -1,x2 = -1) = P(Y +y2 于1且Y +y202)=4_L1P(X1 = 1,X2 =1) = P(Y +Y2 于1 且Y +Y2 =2)=_X21-1P1/43/4X11-1P1/21/2X1，X2不相互獨(dú)立:4X21-1P

13、jX1101/4-11/21/4由上題，容易求到11P(X1 =1,X2 =1) =0 尸(X1 =1) = ,P(X2 =1)= 24P(X1 =1,X2 =1) =P(X1 =1)P(X2 =1)因此，由事件獨(dú)立性定義，X1, X2不相互獨(dú)立。相關(guān)知識(shí)：二項(xiàng)分布。(書本 P34)事件獨(dú)立性定義。(書本P20)y -、,e 0Mx < y 五、二維隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為f (x y)=y。0 其他求邊緣密度函數(shù)fX(x)及fY(y)。求條件概率密度 fXY(x|y)。令Z = X +Y ,求Z的概率密度函數(shù)。業(yè)0(x < 0)解： fx(x)=f(x,y)dy ='

14、一qe(x20)注0fY(y) = ff(x,y)dx= qJe(y :二 0)(y-0)條件概率密度fX|Y(x| y) = f (x,y) (y 0) 1fY(y)1 (0 :二 x :二 y)fxY(x|y) =y0 (0 < y < x)-be fZ(z)= j f (x,z -x)dx當(dāng)z<0時(shí)，顯然有fZ(z)=0zz22z當(dāng) z"時(shí)，fZ (z) = Je"ydx = fe="dx = e 2 -L000 (z :二 0)所以fZ(z)= 上e 2 f 5 (z 一 0)相關(guān)知識(shí)：二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布。(書本P62)-bo-b

15、o邊緣概率密度。(書本 P49) fX(x) = f(x,y)dy; fY(y) = f(x,y)dx條件概率密度。(書本 P53) fX|Y(x | y)=f("1 fY(y)2 22x x六、設(shè)總體X的概率密度函數(shù)f(x,8) = 3e (x>0),其中日>0為未知參數(shù),0 (x<0)Xi,X2，Xn為總體X的簡(jiǎn)單樣本。求日的最大似然估計(jì)量 岑用是否為B的相合(一致)估計(jì)量？證明你的結(jié)論。nn2n【Xif解：似然函數(shù)LQ)=一吃一e一(Xi -0)0n“ X2n八i對(duì)數(shù)似然函數(shù) ln LQ) =nln25ln Xi -nln1 - 9一 i 1二當(dāng)史也=0時(shí),n

16、Xi2-=0r /n且一 Xi2n i 4所以極大似然估計(jì)量:n .苗Xin i4岳是日的相合（一致）估計(jì)量。證明：有 E(Z) =1nE(X2) = E(X2)=n二x2x2f(x, u)dx= 2xe dx =1no 1 , o.因此 E(反)-u; DXDr X：)=D(Xi2) nt n由Chebyshev不等式（書本 P105）知，對(duì) Vs>0 ,有P(也一叫)=P(| 另E(Z)|)1D4 =1 D(X；n ；1 _P(|g 一嚇；)1 所以1 一_ 2D(X )n /2、lim P(|) lim(1_-) '1n .n j 二二n -由夾逼準(zhǔn)則知，對(duì) Vo0, li

17、m P（|成日|<&） =1 n1 .故年是10的相合（一致）估計(jì)量。相關(guān)知識(shí)：n極大似然估計(jì)法（書P147）:似然函數(shù)L（）=n "為*）,固定為（i =1,2,，n）, i 1當(dāng)L取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng) 4=改為'2:，4）成為極大似然估計(jì)量。為了計(jì)算簡(jiǎn)便，通常改求對(duì)數(shù)似然函數(shù)ln（L（8）的極值點(diǎn)。（c9：ln(L。)cQ=0)=0)L（e）和ln（L（g）通常有相同的極值點(diǎn)對(duì)Vw >0 ,如果有l(wèi)imP（| 3-8 |<a）=1 ,則稱夕是8的相合（一致）估計(jì)量。切比雪夫不等式： P（|X -E（X）卜：；）1-D畢。七、設(shè)總體 X, Y相互獨(dú)立，

18、X N(b,a2),Y N(k2,a|),心 仃；仃;均未知,今分別從兩總體中抽取樣本,X :24.320.8Y: 18.216.9得到觀測(cè)值如下:23.720.221.316.717.4利用總體X的樣本觀測(cè)值,求 出的置信度為1 a = 0.95的置信區(qū)間。檢驗(yàn)假設(shè)：H 0： c2H1，I2 =二2 (二=0.05)(已知上側(cè)分位數(shù)點(diǎn):F0.025(4,3) = 15.10,F0.025(3,4) =9.98,t0.025(4) = 2.776 )解：由題意得，有T = n(X ")小1)S在本題中，T二5(X-L)-1 5Lt(4);X =-x Xi =21.5n y152-2X

19、i =0.100 F 二(3,4)2 -5X2) - <7.5054 yP(-t0.025 ( 4) ；T ；t°.025(4) = 0.95解得 18.099 ：二1 ：二 24.901所以求打的置信度為1-a =0.95的置信區(qū)間為(18.099,24.901)。由題意得FS2S1n12二 1S2n22"二 2 F(n1 -1,叫 -1)在本題中，F(xiàn)Sn1 F (4,3)假設(shè)H0為真,2則-2=1 ,二 2F *F(4,3)FJ4,3)2F(4,3)=2拒絕域?yàn)镕 MF 0t(4,3)或F1 二-2F/4,3) =15.10, E(|X -因)2,7 505事實(shí)上，f = 7-505 = 2.894不在拒絕域內(nèi)，接受 H 0。389謝相關(guān)知識(shí)：假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟。(書本P179)(書本P