2020高考數(shù)學(xué)試題匯編第三節(jié)三角恒等變換理(含解析)

1、第三節(jié)三角恒等變換析考愜尋規(guī)律考點(diǎn)一利用三角恒等變換求值正 利用三角恒等變換求三角函數(shù)值是?？純?nèi)容,主要體現(xiàn)在：(i)把三角恒等變換作為工二 具來解決三角函數(shù)問題，即利用兩角和與差的三角公式、 倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化T 簡、求值問題；(2)在題目設(shè)置上多出現(xiàn)三角函數(shù)公式的正用、逆用、變形用以及特定 片 條件下的使用，以考查學(xué)生對(duì)公式的掌握，常以客觀題的形式出現(xiàn)，屬于中檔以下題目所占分值為5分左右訓(xùn)練題型：(1)三角恒等變換一般解題模式，其中特別要注重遇切弦，化統(tǒng)一，遇多元，想 消元，遇差異，想聯(lián)系，遇特角，想求值等；(2)角的配湊形式，提升思維起點(diǎn)，縮短思維路1.(2012年山東卷，理7,

2、5分)若。C 三扣所2 。與，則sin 。等于()3 :一耳 3(A);(B);(C)T(D)二解析：本小題主要考查二倍角公式.2 0 匹兀,cos 2 0=-cos 2 0 =1-2sin 0 ,sin答案:D.2.(2012年全國大綱卷，理7,5分)已知“為第二象限角,sin & +cos & q則cos 2 a等于()(C) :(D) .一解析：把sin a +cos a.兩邊平方,化為1+2sinc cos a 二一, 才,13解得sin 2 a =-三.又a為第二象限角且sin+ +cosa =. >0, a e (90° ,135 ° ),

3、2 a C (180 ° ,270 ° ), .cos 2 a <0,cos 2 a =- 口4口氣口二-一答案：A.3.(2012年重慶卷，理5,5分)設(shè)tan a ,tan 3是方程x2-3x+2=0的兩根，則tan( a + 3)的值 為()(A)-3(B)-1(C)1(D)3解析：易知 tan a +tan 3 =3,tana tan 3 =2,故 tan ( a + 3 )=1-2=-3.故選A.答案:A.4.（2011年全國新課標(biāo)卷，理5）已知角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上,則cos 2 0等于（）4334(A)- 7(

4、B)- 7(C)(D廠解析：因?yàn)榻K邊在直線y=2x上,所以 tan 0 =2,二二二 J二 -M5 工-t 三，一三所以 cos 2 0 =cos2 0 -sin 2 0 二二口,言/故選B.答案:B.5.(2011 年浙江卷，理 6)若 0<a <-,- -<3 <0,cos( -+ a )=-,cos(三支)=/,則 cos( a2 2434- 23(A)(B)-(C)(D)-解析：- 0< a <, ' -< a +7<T". 3+4 4.、 1 .一.一/ F,、去理- cos(二+ “)=予-sin(二+ "

5、 )=.又一3。,聚|cos( a+1)=cos(& +二)-(若)，sin（尸：，=cos( a +;)cos( n)+sin( a +°sin( -)=rx 二+不-*=-.故選 C.答案：C.41+tmr6.（2010年全國新課標(biāo)卷，理9）若cos a =-£ a是第三象限的角，貝仁道等于（）1 1(A)-二(B)(C)2(D)-2解析：法一 ：cos a =2cos-1,即-±=2cos過-1, 2,5，2 .cos =±.又 a是第三象限的角,cos 00 =T-學(xué) 1- 2k Tt + Tt < a <7 Tt +2k 兀

6、,k C Z, 4 ku +7<7<+k 兀，k C Z,tan ?<0,易得 tan ?=-3,J±a是第三象限的角 ，且cos a =-T,答案：A.7.(2012年全國大綱卷，理14,5分)當(dāng)函數(shù)y=sin x- cos x(0 w x<2兀)取得最大值 時(shí),x=.解析:y=sin x- '序cos x=2(sin xx-cos x x 號(hào))=2sin(x- )(0 & x<2 兀)當(dāng)y取最大值時(shí)，x-x= 一兀. 6+不）的值8.（2012年江蘇數(shù)學(xué)，11,5分）設(shè)a為銳角，若cos（ a干尸;，則sin（2為.解析：本題考查三角

7、恒等變形、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系cos(毒IE、+-(0,-),O或sin(sin(2+ + )=2cos(+ +)sin( a +)Ttcos(2 a +j)=2cos ( af 7+)1二手nca ft sin(2 a +)=sin(2a +:)-E、.皿工斗距=sin(2 a +)cos -cos(2 a +-)sin = -c答案：hD49.（2011年江蘇卷,7）已知tan（x+）=2,則自的值為 LsiLsL.解析：由 tan(x+ 1)=2 得he：t=2即賓著2, tan x= 1tajur _ tanr_4=-&n2x #1331229l-taniz答案：.10.(2

8、012年遼寧卷，理17,12分)在 ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.角A,B,C成等差 數(shù)列.求cos B的值；(2)邊a,b,c成等比數(shù)列,求sin Asin C 的值.解:(1)由A、B C成等差數(shù)列，知 2B=A+C,又由 A+B+C=180，得 B=60° ,cos B= -.(2)法一：由a,b,c 成等比數(shù)列知 b2=ac, 由正弦定理知 sin 2B=sin Asin C,sin Asin C=sin法二：由a,b,c成等比數(shù)列知b2=ac,又 B=60° ,. ABC為等邊三角形,sin Asin C= m乂之.帛點(diǎn)評(píng) 此題考查了利用正弦定理、

9、余弦定理解三角形，注意角邊轉(zhuǎn)化，難度不大，中檔.11.(2011 年四川卷，理 17)已知函數(shù) f(x)=sin(x+?)+cos(x-三),x C R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知 cos( 3 - a )=T,COs( 3 + a )=- f,0< a < 3 嗎.求證:f(3 ) 2-2=0.(1)解：f(x)=sin(x+-r)+cos(x- 三)7irr,. T<il ,3a， 3n=sin xcos +cos xsin +cos xcos +sin xsin4444=42n x-e cos x=2(sin x cos x)=2sin(x-),

10、.f(x)的最小正周期T=2兀，最小值為-2.(2)證明：0< a < 3, 1- 0< 3 a <7,0< a + 3 < 兀.又 COS( 3 a )=g,COS( 3 + a )=- £m3sin( 3 a )="sin( 3 + a )=r, .sin 2 3 =sin( 3 - a )+( 3+a)=sin( 3 a )cos( 3 + a )+cos( 3 - a )sin( 3 + a )式x (- H)+Hx 三=0, f( 3 ) 22=2sin(3-$ 2-2=4X2=2-2sin 2 3 2=2sin 23 =0,

11、- f( 3 ) 2-2=0.考點(diǎn)二利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)式考 向 聚 隹 J '、高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：(1)利用三角恒等變換把三角函數(shù)式化 簡成為L個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，即y=Asin( 3 x+。)的形式，或者化簡成為二次函數(shù)的形式，從而研究三角函數(shù)的其他性質(zhì);(2)有時(shí)給定自變量范圍進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡，再與解二角形或者與平面向量結(jié)合綜合求解.一般以解答題形式出現(xiàn)，具有一定的綜合性，難度中等，所占分值12分左右12.(2012 年安徽卷，理 16,12 分)設(shè)函數(shù) f(x)=0cos(2x+與+sin 2x.求f(x)的最小正周期；(2)設(shè)函數(shù) g(x)

12、對(duì)任意 xC R,有 g(x+ 7)=g(x),且當(dāng) x 0,"時(shí),g(x)= -f(x),求 g(x)在區(qū)間-兀,0上的解析式.解:(1)f(x)=cos(2x+ -)+sin 2x24-41,隹 c 誼 c ,1-C0-52JE= (cos 2x -sin 2x)+ 2' 口2' 口=-sin 2x+ 一.1. T=7=tt，即f(x)的最小正周期為兀.(2)當(dāng) xC 0, 3 時(shí),g(x)= 1-f(x)=，-為in 2x+ 白月sin 2x.-g(x+ )=g(x),，函數(shù)g(x)的周期T=;, 父當(dāng) xe -兀，-疝時(shí),x+ 兀 e 0,-,工.、2. cg

13、(x)=g(x+ 兀)="sin 2(x+ 兀)="sin 2x; 工 £、r.， K 一 i r 一一 IC_當(dāng) xC (- -0時(shí),x+4 (0,-,g(x)=g(x+ -)=-Sin2(x+ :尸-Sin 2x. g(x)在區(qū)間-兀,0上的解析式為-sin2jAt-x g(x)= (.-7 5in2jwf£(-.O"點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的三角函數(shù)式，利用和角的余弦公式和二倍角公式的變形進(jìn)行三角恒等變形得出函數(shù)f(x)含有一個(gè)三角函數(shù)符號(hào)的解析式，利用周期公式即可得出函數(shù)的周期.第二問，先求函數(shù)g(x)在xC0,勺上的解析式，然后

14、把區(qū)間-兀,0分成兩部分x e -兀,-幣,x (- 5,0,再利用周期性轉(zhuǎn)化為x e 0,引范圍角來解.13.(2012年福建卷，理17,13分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：(1)sin213°+cos217° -sin 13 ° cos17 ° ;(2)sin215°+cos215° -sin 15 ° cos15 ° ;(3)sin218°+cos212° -sin 18 ° cos12 ° ;(4)sin2(-18° )+

15、cos 248° -sin(-18 °)cos 48°(5)sin2(-25° )+cos 255° -sin(-25 °)cos 55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.解:(1)選擇(2)式,sin 2 15 ° +cos2 15 ° -sin 15 ° cos 15 °=1-乙sin 30 ° =.2. 4(2)推廣的三角恒等式為sin 2 a +cos2(30。- a )-si

16、n a cos(30 ° - a )= J.證明:sin 2 a +cos2(30 ° - a )-sin a cos(30 ° - a )=； +；-sin a (cos 30 cos a +sin 30 ° sin a )sin 2 a )-vsin a cos a -7sin 2 awa -(1-cos 2=- cos 2 a + 濘(cos 60 ° cos 2 a +sin 6011V3vl=1-7cos 2 a +cos 2 a +sin 2 a -=sin 2 £斗弓尋=1-cos 24r1 13：+cos 2 a =T

17、. 斗4414.（2012年廣東卷，理16,12分）已知函數(shù)f（x）=2cos（ cox彩）（其中>0,x R）的最小正周期 邑為 10 7t.求3的值；（2）設(shè)a , 3 C 0,勺,f（5a +，尸-之f（5 （兀尸,，求COS（ a + 3 ）的值.2HEh-解:（1） .1=10 兀,(2)由知 f(x)=2cos(，李f(5 a + 三兀)=2cos( a+ )=-2sin有 sin af(5 3 -% )=2cos 3 ,有 cos 3 ". &1 JL /又 “、3 e 0,cos a =Jl-sin;a=,sin3 =l-co&2=14,cos(

18、 a +3 )=cos a cos 3-sin a sin 33 3 v 15 13 ="=-' E LT E 17 的.15.(2010 年天津卷，理 17)已知函數(shù) f(x)=2 舊sin xcos x+2cos 2x-1(x C R).求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間0,以上的最大值和最小值；昌IL 1E(2)若 f(x 0)二三,x 0 -,-,求 cos 2x 0的值.解: . f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=二 sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),色最小正周期T= Tt .1 . f(x)=2sin(2x+5在區(qū)間0,日上單調(diào)遞增

19、,在區(qū)間千幣上單調(diào)遞減，且f(0)=1,f(>2,f( -)=-1,EXfii2 .f(x)在0, J上的最大值為2,最小彳1為-1.(2)由知,f(x o)=2sin(2x c+)=|,1. sin(2x o+)=:，-r-t廠' .二'r . c 工廠 r 二 E又 xocg。/xoteU,cos(2x 0+ )=- JI七,_卜；：=-,&%e nTE mcos 2x o=cos(2x o+ )-工、 F. .F、. F 3-4v3=cos(2x o+ )cos +sin(2x o+ )sin = Bi占&& LU備閱卷評(píng)析晝， 1 /(2。11 年廣東卷，理 16,12 分)已知函數(shù) f(x)=2sin(二x-：),x R. -33求f(等)的值；(2)設(shè) a3 e 0, ,f(3"尸著f(33+2兀)=2，求cos( a +