第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法課程教材課程教材 復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)論論 微微分分 積積分分 柯柯西西積積分分定定理理 柯柯西西積積分分公公式式 解析函數(shù)的無限次可微性 柯 西不 等式 圓圓域域內(nèi)內(nèi)泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)的的羅羅朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 留留數(shù)數(shù)定定理理 留留數(shù)數(shù)和和定定理理 輻角原理 莫勒納定理 劉維爾定理 最大模原理 保保角角變變換換 平 均值 公式 三 類典 型實(shí) 積分 的計(jì)算 傅傅里里葉葉積積分分變變換換 拉拉普普拉拉斯斯積積分分變變換換 復(fù)數(shù)概念的進(jìn)化是數(shù)學(xué)史中最奇特的一個(gè)篇章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續(xù)性。人們沒有等待實(shí)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)建立之后，才去嘗試新

2、的征程。在數(shù)系擴(kuò)張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認(rèn)識(shí)，而天才的直覺隨著勇敢者的步伐已經(jīng)到達(dá)了遙遠(yuǎn)的前哨陣地。 十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)初，挪威測量學(xué)十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)初，挪威測量學(xué)家家Wessel(威塞爾威塞爾)、瑞士的工程師阿爾甘、瑞士的工程師阿爾甘（Argand）以及德國的數(shù)學(xué)家高斯）以及德國的數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）等都對(duì)）等都對(duì)“虛數(shù)虛數(shù)”(也稱為也稱為“復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)”)給出了幾何解釋，并使復(fù)數(shù)得到了實(shí)給出了幾何解釋，并使復(fù)數(shù)得到了實(shí)際應(yīng)用際應(yīng)用. 特別地特別地, 在十九世紀(jì)，有三位代表性人物，在十九世紀(jì)，有三位代表性人物，即柯西（即柯西（Cauchy，17891857）、維爾斯

3、）、維爾斯特拉斯（特拉斯（Weierstrass，18151897）、黎）、黎曼（曼（Rieman，18261866）.柯西和維爾斯柯西和維爾斯特拉斯分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，特拉斯分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映像性質(zhì)，經(jīng)過他們的黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映像性質(zhì)，經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論. 復(fù)數(shù)的無序性復(fù)數(shù)的無序性1 1. .1 1. .2 2 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的基基本本代代數(shù)數(shù)運(yùn)運(yùn)算算 加加（減減）法法：121212()i()zzxxyy 乘乘法法：121212121221()i()z zzzx xy yx yx y

4、除除法法：1111 21 21 21 2222222222222ii (0)izxyxxy yyxx yzzxyxyxy 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算也滿足交換律、結(jié)合律和分配律。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算也滿足交換律、結(jié)合律和分配律。1.1.復(fù)數(shù)的二項(xiàng)式定理復(fù)數(shù)的二項(xiàng)式定理 P r o x y x y 圖 1.1 0 x y 圖 1.2 02 k 1.3.1復(fù)數(shù)的乘冪 定定理理1 1. .3 3. .1 1兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘， 其模等于它們模的乘積，其輻角等于它們輻角的和. . 2 i2 2 cos()isin() (1,2, )knnnkkkrernnknw2 i2 2 cos()isin(), (0,1,2,1)knnnkkkrernnknw例例1.4.1 1.4.1 正十七邊形的幾何作正十七邊形的幾何作圖討論。圖討論。 1z 2z 3z x 圖 1.9 y 1 i x y 1 1.