中學(xué)數(shù)學(xué)論文：數(shù)形結(jié)合思想

1、數(shù)形結(jié)合思想武漢市第二十三中學(xué)孫珊關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合一 .思想方法介紹：數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法歷年來一直是高考考察的重點(diǎn)之一。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問題時，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀 的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來思索，促使

2、抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合， 通過對規(guī)范圖形或示 意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。1.數(shù)形結(jié)合的途徑（1）通過坐標(biāo)系形題數(shù)解借助于建立直角坐標(biāo)系、 復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識載體來考察的）；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧（這是因為三角公式的使用，可以大大縮短代數(shù)推理）實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念， 如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代

3、數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式（x 2）2 （y 1）24（2）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化 .例如，將a>0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b22百b cos （60或 120）與余弦定理溝通，將a>b>c> 0且b+c>a中的a、b、c與三角形的三邊溝通， 將有序?qū)崝?shù)對 （或復(fù)數(shù)）和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等.這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基

4、于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。2.數(shù)形結(jié)合的原則（1）等價性原則在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞.有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺 顯的說明，但它同時也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。（2）雙向性原則在數(shù)形結(jié)合時，既要進(jìn)行幾何直觀的分析， 又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索， 兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析(或僅對幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析)在許多時候是很難行得通的。例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候， 若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復(fù)雜的

5、問題簡單化。(3)簡單性原則就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡單.而不是去刻意追求一種流性的模式一一代數(shù)問題運(yùn)用 幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。二.解題研究：題型1:利用數(shù)軸、韋恩圖解決集合與函數(shù)問題例 1. (1) (2003 上海春，5)已知集合 A=xR|W2, xC R, B= x|x> a,且 降 B,則 實(shí)數(shù)a的取值范圍是.I是全集，M、P、S是I的3)B. (MAP) U SD. (MAP) U C iS圖11(2) (1999全國，1)如圖所示, 個子集，則陰影部分所表示的集合是(A. (MAP)

6、n SC. (MAP) n CiS解析：(1) aw 2;MAP的子集B,利用數(shù)軸. A=x| 2<x<2, B=x|x>a,又 A 上覆蓋關(guān)系，因此有a<- 2.(2) C;由圖知陰影部分表示的集合是且是CiS的子集，故答案為C。點(diǎn)評：本題主要利用數(shù)軸、韋恩圖考查集合的概念和集合的關(guān)系。一、a, a b 一，一例 2. (06 浙江卷)對 a,b R,記 max|a,b|=函數(shù) f (x) = max|x+1|,|x 21Kx R)的取b, a< b小值是。解析：由 xl|x2 x 1 2 x 2 2 x -1 ,|x 1 x -故f Y2 ,其圖象如右，x1x

7、 2 x -2一113則 4所x f-1-o222點(diǎn)評：數(shù)學(xué)中考查創(chuàng)新思維，要求必須要有良 好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查新定義函數(shù)的理解、解絕對值 不等式，中檔題，借形言數(shù)。題型2:解決方程、不等式問題例3.若方程lg x2 3x m lg 3 x在x 0, 3內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù) m的取 值范圍。2解析：（1）原方程可化為x 21 m 0 x 32設(shè) yix 210x3, y2m在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖象（如圖）。由原方程在（0, 3）內(nèi)有唯一解，知yi與y-7 -的圖象只有一個公共點(diǎn)，可見m的取值范圍是 1 m 0或m 1。2222例 4.已知 u 1, v 1 且 loga u loga vlog

8、a auloga av a 1 ,求log a uv的最大值和最小值。解析：令 x loga u, y log a v ,則已知式可化為 x 1 2 y 1 24 x 0,y0 ,再設(shè)t loga uvx y x0, y 0,由圖3可見，則當(dāng)線段y x t22x 0, y 0與圓弧 x 1 y 14 x 0, y 0相切時，截距 t取最大值tmax 2 2J2 （如圖3中CD位置）；當(dāng)線段端點(diǎn)是圓弧端點(diǎn)時，t取最小值tmin 1 J3（如圖中AB位置）。因此loga（uv）的最大值是2 2冊,最小值是1 J3 。點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合的思想方法，是研究數(shù)學(xué)問題的一個基本方法。深刻理解這一觀點(diǎn)，有利于提

9、高我們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。 題型3:解決三角函數(shù)、平面向量問題例5. （06江蘇卷）為了得到函數(shù)y 2sin x, x R的圖像上所有的點(diǎn)（y 2 sin（ ）, x R的圖像，只需把函數(shù)36）（A）向左平移一個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的6（B）向右平移一個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的6（C）向左平移一個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6（D）向右平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的61倍（縱坐標(biāo)不變）31倍（縱坐標(biāo)不變）33倍（縱坐標(biāo)不變）3倍（縱坐標(biāo)不變）解析： 本題主要考三角函數(shù)的圖象變換，這是一道平時訓(xùn)練的比較多的一種

10、類型。先將y 2sin x,x R的圖象向左平移一個單位長度，得到函數(shù)6y 2sin（x -）, x R的圖象，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù) y 2sin（- ）,x R的圖像，選擇Co 36點(diǎn)評：由函數(shù)y sin x, x R的圖象經(jīng)過變換得到函數(shù)y Asin（ x ）, x R （1）y=Asinx , x R（A>0且A 1）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（A>1）或縮短（0<A<1）到原來的A倍得到的；（2）函數(shù)y=sinx, x R （ co >0 Heo 1）的圖象，可看作把 正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)

11、縮短 （co>1）或伸長（0<<1）到原來的 二倍（縱坐標(biāo)不變）；（3）函數(shù)y=sin（x+）, xC R（其中w。）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（當(dāng) >0時）或向右（當(dāng) 0時=平行移動| I個單位長度而得到（用平移法注意講清方向：“加左”“減右”），可以先平移變換后伸縮變換，也可以先伸縮變換后平移變換，但注意：先伸縮時，平移的單位把 x前面的系數(shù)提取出來。例6. （06湖南卷）如圖，OM/ AB,點(diǎn)P 在由射線OM線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動，且Op xOa yoB則x的取值范圍1,八一是;當(dāng)x 1時，y的取值范圍2是。解析：如圖，

12、OMAB,點(diǎn)P在由射線OM ,線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動，且OP xOA yOB ,由向量加法的平行四邊形法則，OP為平行四邊形的對角線，該四邊形應(yīng)是以O(shè)B和OA的反向延長線為兩鄰邊，x的取值范圍是（一8, 0）;1 13當(dāng)x3時，要使P點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即P點(diǎn)應(yīng)落在DE上，CD= 2 OB, CEmOB,y的取值范圍是（:，3）。22點(diǎn)評：平面向量經(jīng)常和平面圖形結(jié)合到一塊，利用平面圖形的幾何意義以及具有幾何性質(zhì)的平面向量基本定理處理實(shí)際問題。題型4:解析幾何問題X 1,例7. （1） （06湖南卷）已知 x y 1 0,則x2 y2的最小值是 ；2x y 2 0（2）

13、 （06全國II）過點(diǎn)（1, V）的直線l將圓（x2）2+y2=4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所 對的圓心角最小時，直線 l的斜率k=。x 1解析：（1）由x y 1 0 ,畫出可行域，得交點(diǎn) A（1 , 2）, B（3, 4）,則x2 y2的2x y 2 0最小值是5。（2）（數(shù)形結(jié)合）由圖形可知點(diǎn)A（1,J2）在圓（x 2）2 y2 4的內(nèi)部，圓心為O（2,0）要使得劣弧所對的圓心角最小，只能是直線l OA 所以K _±' 史。'koA.22最終借助圖形的性質(zhì)點(diǎn)評：線性規(guī)劃是借助平面區(qū)域表示直線、不等式等代數(shù)表達(dá)式,解決問題；對于直線與圓的位置關(guān)系以及一些相關(guān)的夾角、弦長問

14、題,往往要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離問題來解決。例8. （06上海卷）若曲線y2=|x|+1與直線y = kx + b沒有公共點(diǎn)，則k、 b分別應(yīng)滿足的條件 是。x 1,x 0解析：作出函數(shù) y2 |x| 1的圖象，如x 1,x 0右圖所示：所以，k 0,b （ 1,1）；點(diǎn)評：對于直線與圓錐曲線的相交及相關(guān)問題，借數(shù)言形是常用的方法，可以通過斜率處理垂直、夾角等問題，等題型5：導(dǎo)數(shù)問題例9. （06天津卷）函數(shù)f（x）的定義域為開區(qū)間（a,b）,導(dǎo)函數(shù)f （x）在（a,b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f （x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A.1個 B.2個 C.3個 D. 4個解析：函數(shù)f（x）的

15、定義域為開區(qū)間（a,b）,導(dǎo)函數(shù)f （x）在（a,b）內(nèi)的圖象如圖所示,函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)有極小值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的點(diǎn)，只有1個，選A。點(diǎn)評：通過函數(shù)圖像分解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，對應(yīng)好原函數(shù)的單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。題型6:平面幾何問題A的平分線AD的長。解析：第一步，簡單數(shù)形結(jié)合，在直角坐標(biāo)系下，描出已知點(diǎn)A, B,C ,畫出ABC的例 10.已知 ABC三頂點(diǎn)是 A(4,1), B(7,5), C( 4,7),求-9 -,通過數(shù)量關(guān)系證明或否定）觀察、挖掘出來的特性。特性有：(1)；(2)BAD CAD 45 ;(3)CD 2DB, (4)ABC 2

16、 ACB 60 等等。證明: A(4,1), B(7,5), C( 4,7) . . AB(3,4), AC8,6) , AB 5, AC10AB3 8 4 6 0AD 是A的平分線;YDBTBADCAD 45 ,. , CD ACDB AB1052(角邊及其 A的平分線AD o （如圖）第二步，觀察圖形，挖掘圖形的特性（一般性或特殊性）平分線定理）. (3)CD2DB, tan ABC tan 602,D 作 DE AB , （4） ABC 2 ACB 60 不正確，第三步，充分利用圖形的屬性，創(chuàng)造性地數(shù)形結(jié)合，完成解題。過點(diǎn)交AB于點(diǎn)E ,則有 BDE s BCA或DE110-AC 一等等

17、。又在33Rt ADE 中，（可以口答出)AD|;2 DE|10-2-o3點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)是作圖要基本準(zhǔn)確, 的幾何屬性，切忌只重數(shù)量關(guān)系忽視位置關(guān)系!切忌隨手作圖！數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是挖掘圖形如果把本題的圖形隨手作成如下一般平面圖形，則失去了數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，很難挖掘出圖形的幾何屬性,例 11.已知 A= (x,y)|x| w 1y| WR ,B= (x,y)|(xa )2+(y a )2<i, a e r若 aabw ,則 a 的取值范圍是解析：如圖，集合 a所表示的點(diǎn)為正方形PQRS的內(nèi)部及其邊界，集合 B所表示的點(diǎn)為以C（a,a）為圓心，以1為半徑的圓的內(nèi)部及其邊 界.而圓心 c（

18、 a ,a）在直線y=x上，故要使是很失敗的。1/xQ 2S / "4'AABw ,則1 ,2 a 1為所求。點(diǎn)評：應(yīng)用幾何圖象解決問題時，尤其要注意特殊點(diǎn)（或位置）的情況，本題就是按照 這樣的思路直接求出實(shí)數(shù) a的取值范圍.三.思維總結(jié)從目前高考“注重通法，淡化特技”的命題原則來看，對于數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法， 我們在復(fù)習(xí)時，應(yīng)將重點(diǎn)置于解析幾何中圖象的幾何意義的重視與挖掘以及函數(shù)圖象的充分 利用之上即可。數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域,最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑， 而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。