19.4線段的垂直平分線

1、19.4 線段的垂直平分線線段的垂直平分線思考思考1：我們知道，線段是軸對稱圖形，那么：我們知道，線段是軸對稱圖形，那么 它的對稱軸是什么？它的對稱軸是什么？ABMN動手操作動手操作：在紙上隨意畫出一條線段在紙上隨意畫出一條線段AB，然后再畫，然后再畫出這條線段的出這條線段的垂直平分線垂直平分線MN，接著接著B之間有怎樣的數(shù)之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？量關(guān)系？PC猜想：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點猜想：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點 的距離相等的距離相等.已知：如圖，直線已知：如圖，直線MN是線段是線段AB的垂直平分線，的垂直平分線， 垂足為垂足為C，點，點P在直線在直線MN上上.

2、AMPNBC求證：求證：PA=PB.如何證明這個命題呢？如何證明這個命題呢？12已知：如圖，直線已知：如圖，直線MN是線段是線段AB的垂直平分線，的垂直平分線， 垂足為垂足為C，點，點P在直線在直線MN上上.AMPNBC求證：求證：PA=PB.證明：證明：12MN是線段是線段AB的垂直平分線的垂直平分線.(已知已知)MNAB，AC=BC.(線段的垂直線段的垂直 平分線的意義平分線的意義)情況情況1：設(shè)點：設(shè)點P不在線段不在線段AB上上.MNAB(已知已知) 1=2=90o.(垂直的定義垂直的定義)在在PCA與與PCB中中AC=BC(已知已知)1=2(已證已證)PC=PC(公共邊公共邊)PCA

3、PCB(SAS)PA=PB(全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等)AM(P)NBC12情況情況2：如果點：如果點P在線段在線段AB上上.點點P與點與點C重合重合.即即PA=PB.定理：線段垂直平分線上的定理：線段垂直平分線上的任意一任意一點到點到這條這條線線段兩個端點的距離相等段兩個端點的距離相等.思考思考1：如何用幾何符號表示這個定理？：如何用幾何符號表示這個定理？_( ) 線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的任意一任意一點點到這條到這條線線段的兩個端點的距離相等段的兩個端點的距離相等.AMPNBC看圖填空：看圖填空：MNAB，AC=BC（已知）（已知）PA=PB定理：線段垂直平分線

4、上的定理：線段垂直平分線上的任意一任意一點到點到這這條條線段兩個端點的距離相等線段兩個端點的距離相等.思考思考2：這個定理逆命題是什么？逆命題正確嗎？：這個定理逆命題是什么？逆命題正確嗎？ 寫出這個定理的逆命題，再進行證明寫出這個定理的逆命題，再進行證明.逆命題是：逆命題是：和一條和一條線段兩個端點距離相等的點線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上.如何證明這個命題呢？如何證明這個命題呢？AQBC已知：如圖，已知：如圖，QA=QB.求證：點求證：點Q在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上.證明：證明：情況情況1：如果點：如果點Q在線段在線段AB上上.Q

5、A=QB.點點Q是線段是線段AB的中點的中點.即點即點Q在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上.情況情況2：如果點：如果點Q不在線段不在線段AB上上.過點過點Q做做QCAB垂足為點垂足為點C.QA=QB(已知已知)，QCAB(作圖作圖)CA=CB(等腰三角形的三線合一等腰三角形的三線合一)即點即點C是線段是線段AB的中點的中點.點點Q在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上.(線段的垂直平分線的定義線段的垂直平分線的定義)逆定理：逆定理：和一條和一條線段兩個端點距離相等的點在線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上這條線段的垂直平分線上.AQB 看圖填空：看圖填空：QA=QB

6、(已知已知)點點Q在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上.(_)和一條和一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上任何圖形都是由點組成的，因此我們可以把圖形看成任何圖形都是由點組成的，因此我們可以把圖形看成是點的集合是點的集合.由上述定理和逆定理可以知道：由上述定理和逆定理可以知道： 組成線段組成線段AB的垂直平分線的所有點到的垂直平分線的所有點到A、B兩點的兩點的 距離都相等距離都相等.2. 到到A、B兩點的距離都相等的所有點都在線段兩點的距離都相等的所有點都在線段AB的的 垂直平分線上垂直平分線上.線段的垂直平分線可以看作是到

7、線段的兩個線段的垂直平分線可以看作是到線段的兩個端點的距離相等的點的集合端點的距離相等的點的集合. 到線段的兩個端點的距離到線段的兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上相等的點在這條線段的垂直平分線上例題例題 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，OM、ON分別是分別是AB、AC 的垂直平分線，的垂直平分線，OM與與ON相交于點相交于點O. 求證：點求證：點O在在BC的垂直平分線上的垂直平分線上.ACOMBN證明：證明：分別聯(lián)結(jié)分別聯(lián)結(jié)OA,OB,OC.OM、ON分別是分別是AB、AC的垂直的垂直 平分線平分線.(已知已知)OA=OB,OA=OC(_)OB=OC(等量代換等量代換)

8、點點O在在BC的垂直平分線上的垂直平分線上.(_ _)線段的垂直平分線上的點到線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等線段的兩個端點的距離相等 遇見點在線段的垂直平分線上，遇見點在線段的垂直平分線上，分別聯(lián)結(jié)這個點與線段的兩個分別聯(lián)結(jié)這個點與線段的兩個 端點，得到的連線的長度相等端點，得到的連線的長度相等.拓展思考拓展思考1：公路旁邊有兩個工廠，要在公路邊建一個電話亭，：公路旁邊有兩個工廠，要在公路邊建一個電話亭，要求到兩個工廠的路程相等，如何確定電話亭的位置？要求到兩個工廠的路程相等，如何確定電話亭的位置？P解：將兩個工廠用線段相連，解：將兩個工廠用線段相連，作這條線段的垂直平分線，

9、作這條線段的垂直平分線，垂直平分線與公路的交點垂直平分線與公路的交點P就是電話亭的位置就是電話亭的位置.P討論：如果情況是這樣電話亭又在哪里呢？討論：如果情況是這樣電話亭又在哪里呢？拓展思考拓展思考2：如圖，三個居民區(qū)：如圖，三個居民區(qū)A、B、C之間要建一所學校，之間要建一所學校，要使學校到三個居民區(qū)的路程相等，如何確定學校的位置？要使學校到三個居民區(qū)的路程相等，如何確定學校的位置？ABCP請同學們談?wù)劚咎谜n都學習了什么內(nèi)容？請同學們談?wù)劚咎谜n都學習了什么內(nèi)容？（1）線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等）線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等. 格式：格式：MNAB，AC

10、=BC（已知）（已知） PA=PB（）（2）到線段的兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上）到線段的兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上. 格式：格式：QA=QB（已知）（已知） 點點Q在在AB的垂直平分線上（的垂直平分線上（）（3）線段的垂直平分線可以看作是到這條線段的兩個端點的）線段的垂直平分線可以看作是到這條線段的兩個端點的 距離相等的點的集合距離相等的點的集合.線段的垂直平分線線段的垂直平分線練習練習 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC=24 cm，AC的垂直平分線分別交的垂直平分線分別交AB、AC于點于點E、F，且，且BCE的周長為的周長為34cm，求底邊

11、，求底邊BC的長的長.ACEFB解：解：EF是是AC的垂直平分線的垂直平分線.AE=CE (_)BCE的周長為的周長為34cm.BC+CE+BE=34 cmBC+AE+BE=34 cmBC+AB=34 cmAB=24 cm.BC=10 cm.答：底邊答：底邊BC的長是的長是10厘米厘米.線段的垂直平分線上的點到線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等線段的兩個端點的距離相等練習練習2 已知：如圖，已知：如圖， AC=AD，BC=BD，點，點E在在AB上上. 求證：求證：EC=ED.ACEDB證明：證明： AC=AD(已知已知)點點A在線段在線段CD的垂直平分線上的垂直平分線上.(_)和一條和一條線段兩個端點距離相等的點線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上在這