五年級數(shù)學(xué)培優(yōu)教材綜合版(共40頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上五年級數(shù)學(xué)培優(yōu)教材（一） 1.0版主編：劉志國匯優(yōu)秀試題之精粹集思想方法之大成建創(chuàng)新能力之平臺筑方法習(xí)慣之新路版權(quán)由株洲市東方金子塔兒童潛能培訓(xùn)學(xué)校所有 任何人未經(jīng)允許不得翻印 違者必究 2012年6月編者的話隨著教育改革的不斷深入與發(fā)展，廣大學(xué)生與家長迫切需要一本能指導(dǎo)變革時期小學(xué)數(shù)學(xué)培優(yōu)的新讀本。本套教材是本人結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗，及同行之間多年互相的交流和學(xué)習(xí)的成果，精心編寫而成。本教材力求以全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，為廣大教育工作者提供全面的系統(tǒng)的各類小學(xué)培優(yōu)競賽試題的分析和解答，突出素質(zhì)教育的新思維，既注重知識的系統(tǒng)性、連續(xù)性，又注重有關(guān)知識的鏈接和引

2、申，強調(diào)問題背景的揭示、解題思路的探求、解題方法的概括，關(guān)注問題的開放性與應(yīng)用性，在培養(yǎng)能力的同時拓展數(shù)學(xué)知識方法與思想。本書立足于嘗試數(shù)學(xué)教育教學(xué)的“新方法”，里面的每一講的前面都會對本講的知識進行總結(jié)歸納，并建設(shè)性的提出一些解決問題的方法和設(shè)想，對學(xué)生更進一步的解決一些數(shù)學(xué)方面的困惑有一些幫助。歡迎廣大小讀者和廣大教師、家長在使用過程中把你們的批評、建議告訴我們，以便我們今后把本書修改得更精更好，更加適應(yīng)學(xué)生的需要。 編者 2012年6月數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)須知1、 為了達到更好的教學(xué)和學(xué)習(xí)效果，我校特闡述如下幾點教學(xué)與學(xué)習(xí)的建議，與大家分享。當(dāng)然在教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中永遠以實際情況為準(zhǔn)。2、 一期

3、15次課，12次新課，第13次結(jié)合義務(wù)教育教本教材復(fù)習(xí)，第14次自主出試卷考試，內(nèi)容一個方面為教本教材，另一個方面為奧數(shù)內(nèi)容。3、 教學(xué)宗旨：讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輕松、簡單、有效、快樂。盡最大努力改正學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，最大限度提高成績。A、 培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣聽課要求：學(xué)生聽課以及跟老師一起思考和解決問題是最重要的，所以我們要求老師在講課過程中，絕對不允許學(xué)生開小差，哪怕是在做筆記也不行。做筆記要求：讓學(xué)生了解不是筆記做得越多越好，而是只要把書本上沒有的公式、定理、法則、性質(zhì)等做好筆記就行了，而且是要求做在教科書上。書寫要求：計算題，前后步驟之間邏輯關(guān)系要嚴(yán)謹，清晰。應(yīng)用題，盡量分步寫

4、過程，且每個過程要寫出意義；如果列方程解應(yīng)用題就一定要先寫等量關(guān)系。草稿要求：要準(zhǔn)備專門的草稿本，打草稿時要把題序號寫在前面，書寫工整，要便于自己檢查。錯題收集：每個學(xué)生都準(zhǔn)備一個錯題本，把在練習(xí)中、考試中、作業(yè)中的錯題都抄在里面，過一個星期再來解決。B、 作業(yè)評定量化標(biāo)準(zhǔn)方式：畫五角星。如果答案正確，書寫工整，完整，調(diào)理清晰就畫7顆星；如果涂改一個地方就少畫一顆星，涂改兩個地方就少畫兩顆星，以此類推；當(dāng)然，如果是更正過的答案，就只能以5顆星為起點去量化了。C、綜合學(xué)生教本教材的重點、難點，適當(dāng)適時來強化教學(xué)。我們一定要結(jié)合學(xué)生學(xué)校腳本教材來教學(xué)，特別是學(xué)生的難點，知識中的重點。D、每一講、每

5、一章如何突破重點、難點請老師們開拓創(chuàng)新、多反思、多總結(jié)。E、布置作業(yè)，題量大一點，一般一張A4雙面，并要求學(xué)生當(dāng)天回家就及時完成，以達到鞏固知識的最大效果。F、電話回訪，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，與家長當(dāng)面交流 第一講 速算與巧算知識要點：速算與巧算一直是數(shù)學(xué)競賽中的一個重要重要環(huán)節(jié)，就要注意觀察題目中數(shù)字構(gòu)成的特點和變化規(guī)律，善于運用運算定律；或者把題目中的各個數(shù)進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，從而運用巧妙的方法，使復(fù)雜的計算題能很快計算出結(jié)果。1、觀察數(shù)字之間的關(guān)系：數(shù)字的和或差為整數(shù)、整十、整百數(shù)字之間的積或商為整數(shù)、整十、整百4、 特別注意數(shù)字中相等的或近似相等的，或成倍數(shù)關(guān)系的。鑒于此關(guān)系，一般我們把不相

6、等的數(shù)字化成相等的關(guān)系。例1、計算2000-1997+1994-1991+1988-1985+1982-1979+14-11+8-5+2 分析：這道題很長，數(shù)很多，但仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)從2000到2，相鄰兩個數(shù)相差3，加號和減號交替出現(xiàn)，根據(jù)這個特點，可以運用分組的方法，即兩個數(shù)一組（因為每組數(shù)的得數(shù)都是3），從而很快計算出結(jié)果。 練習(xí)、計算1-2+3-4+5-6+-2004+2005例2、0.79×0.46+7.9×0.24+11.4×0.079 分析：（1）發(fā)現(xiàn)0.79、7.9、0.079三個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，我們可以根據(jù)等積變形，化為同一個數(shù)；（2）運用乘法分配

7、率練習(xí)、計算7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×724例3、計算7.5×23+31×2.5分析：發(fā)現(xiàn)7.5與2.5成倍數(shù)關(guān)系，故我們可根據(jù)等積變形，將7.5化為2.5×3，然后用乘法分配率。練習(xí)、計算0.9999×0.7+0.1111×2.7例4、計算（3.6×0.75×1.2）÷（1.5×24×0.18） 分析：觀察前后兩個括號數(shù)字之間的關(guān)系，去括號，交換數(shù)字位置，最后添括號，就可以解決問題。練習(xí)、計算（3.4×4.8×9.5）&#

8、247;（1.9×1.7×2.4）例5、計算34.8×6.3+13×5.25+473×0.37分析：拆分473×0.37，使它與34.8×6.3有公因數(shù)，其后是13×5.25的變形，并通過觀察得到另一個公因數(shù)。練習(xí)、計算3.7×15+21×4.5例6、計算0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+.9 分析：運用湊整的方法可以使計算簡便。例7、計算（0.1+0.12+0.123+0.1234）×（0.12+0.123+0.1234+0.12345）-（0.1+

9、0.12+0.123+0.1234+0.12345）×（0.12+0.123+0.1234）分析：根據(jù)四個括號內(nèi)的特點我們可以將它們分為兩類，第一個與最后一個為一類，第二個與第三個為另一類，且我們設(shè)第一類中的0.12+0.123+0.1234為字母a,第二類中的0.12+0.123+0.1234+0.12345為字母b,再將算式化簡，這樣就使部分抵消。練習(xí)、計算（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）×（0.23+0.34）作業(yè)1、 計算98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-4-3+2

10、+1 100個1 100個2 100個32、 計算 1 1 1 2 2 2 ÷ 3 3 33、 計算1998×-1999×4、 計算392.6×192-39260×0.925、計算0.9999×0.7+0.1111×2.76、計算1.25×67.875+125×6.7875+1.25×53.3757、計算3.6×42.3×3.75-12.5×0.423×288、計算1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+0.08+0.07

11、-0.06-0.05+0.04+0.03-0.02-0.01第二講 小數(shù)運算技巧知識要點：數(shù)學(xué)是把多彩的鑰匙，在小數(shù)運算方法中，等差數(shù)列求和的巧算更是獨樹一幟。我們把按從小到大，或從大到小排列的，并且相鄰兩數(shù)的差都相等的一列數(shù)叫做等差數(shù)列，其中等差數(shù)列的第一項叫首相，最后一項叫末項，相鄰兩數(shù)的差叫做公差。等差數(shù)列的和（首相+末項）×項數(shù)÷2等差數(shù)列的項數(shù)=（末項-首相）÷公差+1第n項=首項+(n-1) ×公差例1、 計算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.97+0.99分析：前面5個數(shù)的公差為0.2，后面的一串?dāng)?shù)

12、公差為0.02，所以分為兩組，運用求和及求項數(shù)公式即可求出。練習(xí)、計算：0.1+0.4+0.7+0.10+0.13+0.16+0.19+1.00例2、 在124.68與924.68之間插入3個數(shù)，使這樣5個數(shù)成等差數(shù)列，問從小到大排列的第四個數(shù)是幾？分析：求出公差，便可求出第四個數(shù)，聯(lián)想植樹問題中“棵樹與段數(shù)” 的關(guān)系，它不正好反映了首尾兩數(shù)與公差的關(guān)系嗎？練習(xí)、計算蝸牛每小時都比前一小時多爬0.1米，第10小時蝸牛爬了1.9米，第1小時蝸牛爬了多少米？例3、 一個物體從空中落下來，經(jīng)過4秒落地，已知第一秒下落4.9米，以后每一秒下落的距離都比前一秒多9.8米，這個物體在下落前距離地面多少米？

13、分析：每秒的路程剛好形成等差數(shù)列，首項為4.9米，公差為9.8米，求第4項。練習(xí)、一物體從空中落下來，第一秒鐘下落4.9米，以后每秒多下落9.8米，經(jīng)過10秒鐘落到地面，問物體原來離地面多高？例4、 計算：20 -19+18-17+16-15+2-1分析：平方差公式a-b=(a-b)(a+b)，通過平方差公式可化簡，使之轉(zhuǎn)化為一個簡單的等差數(shù)列。練習(xí)、計算：9.1+9.2+9.3+10.7+10.8+10.9例5、 計算：（1+1.2）+（2+1.2×2）+（3+1.2×3）+（99+1.2×99）+（100+1.2×100）分析：分類計算。練習(xí)、計算：

14、（1.0-0.1）+（2.0-0.2）+（3.0-0.3）+（9.0-0.9）+（10.0-1.0）作業(yè)1、 計算：12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.232、 小王和小胡兩人比賽賽跑，限定時間為10秒，誰跑的距離長誰就獲勝，小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0.1米，小胡自始自終每秒跑1.5米，誰能取勝？3、 蝸牛每小時都比前一小時多跑0.1米，第10小時蝸牛跑了1.9米，第1小時蝸牛跑了多少米？4、 梯子最高的一級寬3.2分米，最低一級寬11分米，中間還有9級，各級的寬度成等差數(shù)列，中間一級寬多少分米？5、 三個數(shù)成等

15、差數(shù)列，它們的和是2.1，其積是0.091，求這三個數(shù)。6、 已知等差數(shù)列第一項是1.5，第6項是3.5，求公差。7、 有12個數(shù)組成等差數(shù)列，第六項與第七項的和是1.2，求這12個數(shù)的和。第三講 歸一與歸總知識要點：很多數(shù)學(xué)問題，常常要根據(jù)已知條件先求一個單位的數(shù)值，然后再求其它的數(shù)值，這種解題方法叫做歸一法。有些數(shù)學(xué)題，又要根據(jù)已知條件先求出總量，再求其它的數(shù)量，這種解題方法叫做歸總法。歸一與歸總是兩個相反的過程，有密切的關(guān)系，解題時要做出判斷，先歸一還是先歸總。例1、 一個養(yǎng)豬場有豬180頭，每20頭豬5天要喂精飼料25千克?，F(xiàn)庫存2700千克飼料，這些飼料可以喂多少天？ 分析：現(xiàn)庫存2

16、700千克精飼料，有豬180頭，要求出可以喂多少天，關(guān)鍵要先求出一頭豬一天吃多少精飼料：180頭豬1天吃多少精飼料：2700千克精飼料可以喂的天數(shù)：練習(xí)：4臺吊車7小時缷煤1414噸，如果增加同樣的5臺吊車，8小時共可缷煤多少噸？例2、 平整一塊土地，原計劃8人平整，每天工作7.5小時，6天可以完成。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人，每天要工作幾小時？ 分析：現(xiàn)在要求5天完成，并且增加1人，求每天要工作幾小時，關(guān)鍵需要先求出平整的土地的總量是多少，以每人每天平整量為“1”，根據(jù)“原計劃8人平整，每天工作7.5小時，6天可以完成”可以求出這塊土地的總量：增加1人后每天工作1小時，5天的平

17、整總量：每天工作的小時數(shù)：練習(xí)、修一條公路，原計劃60名工人用80天完成，現(xiàn)在這批工人工作20天后又增加了30人，剩下的部分再做多少天可以完成？作業(yè)1、 一段水渠預(yù)計由40名民工用14天挖完，挖了2天后又增加了10名民工，每個民工的工作效率相同，問可以提前幾天完工？2、 原來3臺攪拌機8小時可以攪拌混泥土24噸。現(xiàn)因工期緊，又增加了兩臺同類型的攪拌機，24小時可以比原來多攪拌出多少噸混泥土？3、5輛大卡車7次運煤140噸，4兩小卡車8次運煤48噸，現(xiàn)有煤77噸，用一輛大卡車和2兩小卡車同時運，幾次可以運完？4、“神六”載人航天飛船進入軌道后，以每秒7.8千米的速度飛行，航天員費俊龍在返回艙3分

18、鐘翻了4個筋斗，費俊龍一個筋斗行了多少米？5、4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸，現(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？6、食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場買雞蛋，原計劃每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調(diào)后是每千克多少元？8、 鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？第四講 行程問題（一）知識要點：一個物體的移動離不開速度、時間、路程這三個數(shù)量。行程問題在我們的教科書中占有一定的比重，它有各種各樣的類型。主要有相遇問題

19、，相遇問題的基本數(shù)量關(guān)系式是：路程÷速度和=相遇時間。解決相遇問題，一定要學(xué)會畫線段圖，這是分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。例1、 張華和李強同時從兩地相對出發(fā)，張華步行每分鐘走80米，李強騎自行車的速度是張華步行的3倍，經(jīng)過5分鐘后兩人相遇。問這兩地相距多少米？ 分析：先畫圖理解距離和路程的意義。已知相遇時間是5分鐘，若能求出兩人的速度和，即可解決問題。練習(xí)、甲、乙兩人同時從相距5千米的兩地背向而行，甲每小時行5.5千米，乙每小時行70千米，求乙車每小時行多少千米？例2、甲、乙兩地相距15千米，小聰和小明分別從甲、乙兩地同時相向而行，2小時后在距中點0.5千米處相遇，求小聰和小明的速度。分析：

20、畫圖：方法一：按題意，先分別求出兩人的速度和與速度差，而后由和差問題的計算公式求出他們的速度。方法二：根據(jù)圖示，先求出甲、乙各自的路程，然后根據(jù)求速度公式就輕松求出他們的速度。練習(xí)、甲、乙兩人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行18千米，兩人相遇處距中點3千米，問兩地相距多少千米？例3、兩列對開的火車途中相遇，甲車上的乘客從看到乙車到乙車從旁邊開過去，共用6秒鐘。已知甲車每小時行54千米，乙車每小時行36千米，求乙車多少米？分析：根據(jù)題意畫線段圖。求乙車車長有多少米，其實這個6秒鐘的過程就是乘客與乙車車尾相遇的過程，他們同時出發(fā)相向運動，則相遇路程就是乙車的長度。例4、甲

21、、乙兩人同時從相距50千米的兩地同時出發(fā)相向而行。甲每小時行3千米，乙每小時行2千米，與甲同時同向而行的一條小狗，每小時行5千米，小狗在甲、乙之間不停地往返，直到兩人相遇為止。問：小狗跑了多少米？分析：此題的關(guān)鍵是要求出小狗的奔跑時間，而甲、乙兩人相遇時間與小狗奔跑時間相同。所有問題就很簡單了。練習(xí)、兩個游泳隊同時從相距2040米的A、B兩地相向出發(fā)，甲隊從A地下水，每分鐘游40米，乙隊從B地下水，每分鐘游45米，一只汽艇負責(zé)兩隊安全，同時從B地出發(fā)，每分鐘行駛1200米，遇到甲隊就立即返回，返回時遇到乙隊又向甲隊開去，這樣不斷地往返下去。問汽艇行了多少千米兩隊才能相遇？作業(yè)1、甲、乙兩輛汽車

22、同時從相距675千米的兩地相對開出，5小時后相遇，甲車每小時行70千米，求乙車的速度。2、甲、乙兩車從相距360千米的兩地同時相向而行，甲車時速70千米，乙車時速50千米，幾小時后兩車相距120千米？3、小剛和小強同時從兩地相對出發(fā)，經(jīng)過30分鐘相遇。小剛騎摩托車每小時行36千米，小剛騎摩托車的速度是小強步行速度的8倍，求兩地的距離。4、兩城相隔477千米，甲車以每小時46千米，乙車以每小時38千米的速度先后從兩城出發(fā)，相向而行，相遇時甲車行駛了230千米，問乙車比甲車早出發(fā)幾小時？5、甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)，相向而行，4小時相遇，相遇后甲車?yán)^續(xù)行駛3小時到達B地，乙車每小時行54千米

23、。問A、B兩地相距多少千米？6、甲、乙兩輛汽車早上8時分別從A、B兩城同時相向出發(fā)，到10時兩車相距112.5千米；繼續(xù)行駛到下午1時，兩車相距還是112.5千米。問A、B兩地距離是多少千米？第五講 行程問題（二）例1、A、B兩地相距1200米，甲從A地，乙從B地同時出發(fā)，相向而行，甲每分鐘行50米，乙每分鐘行70米，第一次在C出相遇，AC之間距離是多少米？相遇后繼續(xù)前進，分別到達A、B兩地后立即返回，第二次相遇于D處，CD之間的距離是多少米？分析：先畫圖。算出每次相遇時他們兩人共走的路程是解決本題的關(guān)鍵。例2、甲、乙兩人同時從A、B兩地相向而行，第一次相遇在離A地40千米的地方，兩人仍以原速

24、度前進，各自到達終點后立即返回，又在離B地20千米處相遇，問A、B兩地距離是多少千米？分析：我們先畫示意圖：從圖上可以看出，甲、乙第一次相遇，共走了 個全程，其中甲走了 千米；甲、乙第二次相遇，共走了 個全程，則甲走了 千米；從圖上知：甲比全程多走20千米，就可以求出A、B兩地距離了。練習(xí)：甲、乙兩輛汽車分別以不同的速度同時從A、B兩地相向而行，途中相遇，相遇點距A地60千米。相遇后兩車以原速度前進，到達目的地后，兩車立即返回，在途中又第二次相遇，這時距A地40千米，問第一次相遇點距B地多少千米？例3、客、貨兩車同時從甲、乙兩地相對開出，客車每小時行44千米，貨車每小時行52千米，兩車相遇后繼

25、續(xù)以原速度前進，到達乙、甲兩地后立即返回，第二次相遇時，貨車比客車多行60千米。問甲、乙兩地之間的距離多少千米？分析：先畫線段圖：兩車同時出發(fā)后，貨車比客車多行60千米的時間，就是第二次相遇時的時間。DABC甲乙30例4、已知等邊三角形ABC的周長為360米，甲從A點出發(fā)，按逆時針方向前進，每分鐘走55米，乙從BC邊上D點（距C點30千米）出發(fā)，按順時針方向前進，每分鐘走50米，兩人同時出發(fā)，幾分鐘相遇？當(dāng)乙到達A點時，甲在哪條邊上，離C地多遠？分析：畫出示意圖：要求甲、乙兩人幾分鐘相遇，就要用A、D之間的距離除以它們的速度和。要求乙到達A點時甲在哪條邊上，距C地多遠，就要先求出乙到達A點用的

26、時間，再求甲走的路程。練習(xí)：甲、乙兩人分別從兩地同時出發(fā)，相向而行，8小時可以相遇。如果每小時都少行1.5千米，那么10小時候相遇，問兩地相距多少千米？作業(yè)1、甲、乙兩地相距260千米，客車和貨車分別從甲、乙兩地同時相向而行，在距乙地95千米處相遇，相遇后兩車又繼續(xù)前進，客車到乙地，貨車到甲地后，都立即返回，兩車又在距甲地多少千米處相遇？2、在一環(huán)形跑道上，甲從A點，乙從B點同時反向而行，6分鐘后兩人相遇，再過4分鐘甲到達B地，又過了8分鐘兩人再次相遇，甲、乙各行一周需多少分鐘？3、甲、乙兩地相距45千米，張、王二人同時從甲地出發(fā)去乙地。張騎自行車每小時行15千米，王每小時行6千米，張到達乙地

27、后停留1小時，返回甲地途中與王相遇。相遇時他們距乙地多少千米?分析：雖然相遇時他們共走了全程的2倍，但是45×2并不是他們的相遇路程，同時運動的距離才是他們的相遇路程。4、甲、乙兩地相距119千米，今有兩輛汽車同時從甲、乙兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地。從甲地開出的汽車每小時行駛42千米，從乙地開出的汽車每小時行28千米，從出發(fā)到第三次相遇各行多少千米？5、甲、乙兩站相距360千米，客車和貨車同時從甲站出發(fā)駛向乙站，客車每小時行60千米，貨車每小時行40千米，客車到達乙站后停留0.5小時，又以原速度返回甲站，兩車相遇的地點離乙站多少千米？6、兩輛汽車同時從A、B兩城相向而行，在

28、離A城52千米處相遇，到達對方城市后立即以原速度沿原路返回，又在離A城44千米處相遇。求兩城相距多少千米？7、一輛卡車和一輛摩托車同時從A、B兩地相對開出，兩車在途中距A地60千米第一次相遇。然后兩車?yán)^續(xù)前進，卡車到達B地、摩托車到達A地后都立即返回，兩車又在途中距B地30千米處第二次相遇。求A、B兩地之間的路程是多少千米？第六講 行程問題（三）知識要點：有兩個同向運動的物體，一個速度快，一個速度慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的在后，過了一段時間快的就會追上慢的。這就產(chǎn)生了“追及問題”。如果設(shè)甲的速度快，乙的速度慢，在相同時間內(nèi)：甲走的路程乙走的路程=甲的速度×時間乙的速度×時

29、間=（甲的速度乙的速度）×時間即：路程差=速度差×時間，并由此可推導(dǎo)出另外兩個公式。例1、甲、乙兩人分別從相距18千米的西村和東村同時向東而行，甲騎自行車每小時行14千米，乙步行每小時行5千米。幾小時后甲可追上乙？分析：先畫線段圖，理解路程差的意義。這是一道簡單的追及問題，路程差已知，速度差易求，可根據(jù)追及問題中的求時間公式解決問題。練習(xí)、甲、乙兩人同時從相距45千米的A、B兩城同向出發(fā)，甲每小時行15千米，乙每小時行6千米。問幾小時后甲追上乙？例2、軍事演習(xí)中，“我”海軍英雄艦追“敵”軍艦，追到A島時，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行1000米，“我”海軍英雄

30、艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦？分析：要求追及時間，根據(jù)公式，必須先要知道路程差和速度差，速度差易求，所以求出路程差是解決此題的突破口。練習(xí)、我騎兵以每小時24千米的速度追及敵人，當(dāng)?shù)侥痴緯r，得知敵人已于2小時前逃跑，已知我騎兵的速度是敵人逃跑速度的2倍，問我騎兵幾小時可追上敵人？例3、甲、乙兩地相距40千米，平平和兵兵由甲地騎車去去乙地，平平每小時行14千米，兵兵每小時行17千米，當(dāng)平平走了6千米后，兵兵才出發(fā)，當(dāng)兵兵追上平平時，距乙地還有多少千米？分析：要求兵兵追上平平時距乙地的距離，必須先算出他們已經(jīng)行走過的

31、路程，而兵兵的速度已知，要能知道兵兵行走的時間就容易了。其實兵兵行走的時間就是兵兵出發(fā)后追上平平的時間。練習(xí)、學(xué)校和部隊駐地相距16千米。小紅和小宇由學(xué)校騎車去部隊駐地，小紅每小時行12千米，小宇每小時行15千米。當(dāng)小紅走了3千米后，小宇才出發(fā)。當(dāng)小宇追上小紅時，距部隊駐地還有多少千米？例4、甲、乙騎車同時從A地往B地。甲每小時走12千米，乙每小時走8千米，甲走了25分鐘后返回A地取東西并停留了10分鐘，后來按原來的速度往B地。求甲追到乙時離A地多少千米？分析：本題與例3類似，但本題沒有把路程差告訴我們，正確求出甲再次從A地出發(fā)時，兩人之間的距離即路程差是本題的關(guān)鍵。練習(xí)、兄妹兩人同時從家出發(fā)

32、去1080米遠的學(xué)校上學(xué)，哥哥騎車每分鐘走360米，妹妹步行每分鐘走60米，哥哥到校門口時，發(fā)現(xiàn)忘帶課本，立即原路返回，問哥哥再次由家出發(fā)在離學(xué)校多遠的地方追上妹妹？作業(yè)1、 姐姐步行的速度是每分鐘75米，妹妹步行的速度是每分鐘65米，在妹妹先出發(fā)20分鐘后姐姐去追趕妹妹？問姐姐多少分鐘后追上妹妹？這時離出發(fā)地多少米？2、 家離圖書館4.8千米，弟弟從家出發(fā)以每分鐘60米的速度步行去圖書館，哥哥在15分鐘后騎自行車從家出發(fā)去追趕弟弟，自行車的速度是每分鐘240米，問：（1） 哥哥在離家多遠的地方追上弟弟？（2） 哥哥與弟弟相遇時離圖書館多遠？3、 一輛面包車的速度是每小時60千米，在面包車開出

33、30分鐘后，一輛小轎車以每小時84千米的速度從同一地點出發(fā)沿著同一行駛路線去追趕面包車，多少小時后追上？4、 一輛汽車從甲地開出，以每小時60千米的速度行了120千米后，一輛摩托車也從甲地開出緊緊追趕，速度為每小時80千米。問幾小時后可追上汽車？5、 學(xué)生以每小時5千米的速度進行外出軍訓(xùn)活動，他們從A地出發(fā)10小時后，通訊員從A地騎自行車以每小時15千米的速度追趕學(xué)生隊伍。問幾小時后通訊員可追上學(xué)生隊伍?6、甲、乙兩人分別從相距18千米的西村和東村同時向東而行，甲騎自行車，乙步行，2小時后甲追上了乙。已知甲每小時行14千米，求乙每小時行多少千米？第七講 容斥原理（一）知識要點：容斥原理，也稱重

34、疊原理或排斥于包含原理。它實際上是一種集合方面的問題。如果用圖形來表達，則會更直觀些。原理一 如果兩個集合A和B，相交組成一個集合C，那么C的元素個數(shù)等于和的元素個數(shù)的和再減去和的公共部分元素的個數(shù)。如下圖：即：C=A+B-AB或AB=A+B-C例1、 五丙班有48名學(xué)生參加晨練，其中有30人跑步，25人跳繩，問兩項都參加了的有多少名學(xué)生？分析：由于30+25>48，所以有人兩項活動都參加了。根據(jù)容斥原理一，跑步的相當(dāng)于集合A，跳繩的相當(dāng)于集合B，兩項都參加了的相當(dāng)于集合，而全班人數(shù)相當(dāng)于集合?，F(xiàn)在是已知、中元素的個數(shù)，要求AB中元素的個數(shù)。練習(xí)、五甲班50名學(xué)生中，有28人參加了作文興

35、趣小組，有37人參加了數(shù)學(xué)興趣小組，每人至少參加了一項。問兩項都參加了的有多少人？例2、 五乙班在某次晨練中，有33人跑步，24人跳繩，8人兩個活動都參加了，有3人因感冒請假未參加晨練，問該班有多少名學(xué)生？分析：根據(jù)容斥原理一，跑步的相當(dāng)于集合，跳繩的相當(dāng)于集合，兩項都參加了的相當(dāng)于集合AB，而參加了晨練的相當(dāng)于集合C，現(xiàn)在是已知A、B、AB中元素的個數(shù)，求C中的元素個數(shù)。練習(xí)、五丁班參加了幫助一、二年級同學(xué)搞大掃除的活動。已知有32人幫助了一年級同學(xué)，有25人幫助了二年級同學(xué)，有13人既幫助了一年級又幫助了二年級同學(xué)，還有10人留在自己的教室里大掃除。問五丁班共有多少人？例3、1至60的自然

36、數(shù)中，2的倍數(shù)的數(shù)和3的倍數(shù)的數(shù)一共有多少個？分析：由于每2個連續(xù)自然數(shù)中有一個是2的倍數(shù)，所以2的倍數(shù)一共有： 由于每3個連續(xù)自然數(shù)中有一個是3的倍數(shù)，所以3的倍數(shù)一共有： 但是，2的倍數(shù)的數(shù)和3的倍數(shù)的數(shù)合起來不是20+30=50個，因為，諸如6,12,1860這10個數(shù)既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，故這10個數(shù)被重復(fù)計數(shù)，應(yīng)減去一次。練習(xí)、在1至300的自然數(shù)中，2的倍數(shù)的數(shù)和5的倍數(shù)的數(shù)一共有多少個？例4、30名運動員中，有25人會打籃球，有20人會打排球，有4人籃球、排球都不會打。問:(1) 籃球、排球都會打的運動員有多少人？(2) 只會打籃球的運動員有多少人？(3) 只會打排球的運動員

37、有多少人？分析：畫集合圖很容易理解并解決問題。練習(xí)、五年級有藝術(shù)特長生共47人，其中有31人會唱歌，有25人會跳舞，有7人既不會唱歌也不會跳舞。問：（1） 唱歌、跳舞都會的有多少人？（2） 只會唱歌的有多少人？（3） 只會跳舞的有多少人？ 作業(yè)1、 在對100個家庭所做的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，有18個家庭有汽車，有65個家庭有自行車，有33個家庭兩樣都沒有。問既有汽車又有自行車的家庭有多少個？2、 甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，問甲班和丁班共有多少人？3、 在參加數(shù)學(xué)競賽的46人中，做對第二題的有32人，做對第四題的有24人，兩道題都做對的有20人，兩道題都沒有做對的有幾人

38、？4、 某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，第一次考試中有26人及格，第二次考試中有24人及格，兩次考試都沒及格的有4人。問兩次考試都及格了的有多少人？5、 某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎自行車又不會游泳的有12人。問既會騎自行車又會游泳的有幾人？6、 電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視節(jié)目的情況，有62人看過第二頻道，有34人看過第八頻道，有11人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人？第八講 容斥原理（二）原理二 如果三個集合A、B和C，兩兩相交組成一個集合D，那么D的元素個數(shù)等于A、B和C的元素個數(shù)的和減去A、B和C兩兩公共 部分的元素個數(shù)再加上A、B

39、和C公共部分元素個數(shù)。如下圖： AABABCACCAAAABCB+即：D=A+B+CABBCAC+ABC或者：ABC=DABC+AB+BC+AC例1、某研究所的研究人員在英語、俄語和日語中都至少會一門。其中會英語的有80人，會俄語的有40人，會日語的有50人，既會英語又會俄語的有30人，既會俄語又會日語的有16人，既會日語又會英語的有35人，英語、俄語、日語都會的有10人。問這個研究所有多少名研究人員？分析：根據(jù)容斥原理二，很容易找到各項與原理二中A、B、C之間的對應(yīng)關(guān)系，求D，直接套用公式即可。練習(xí)、五年級有56人報名參加詩歌、攝影和繪畫比賽，每人至少參加了一項。已知有32人參加了詩歌比賽，

40、有24人參加了攝影比賽，有27人參加了繪畫比賽，有10人既參加了詩歌比賽又參加了攝影比賽，有9人及參加了攝影比賽又參加了繪畫比賽，有14人既參加了繪畫比賽又參加了詩歌比賽。問有多少人三項比賽都參加了？例2、在1至300這300個自然數(shù)中，不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)，還不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？分析：在所給的300個數(shù)中，我們只要剔除掉2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、5的倍數(shù)的數(shù)，剩下的數(shù)既不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)，還不是5的倍數(shù)。解：2的倍數(shù)有：3的倍數(shù)有：5的倍數(shù)有：既是2又是3的倍數(shù)有：既是2又是5的倍數(shù)有：既是3又是5的倍數(shù)有：同時是2、3、5的倍數(shù)有：2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，5的倍數(shù)共有：既不是

41、2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)，還不是5的倍數(shù)有：練習(xí)、在1至120這120個自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)，還不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？例3、某班有52人，其中會下棋的有48人，會畫畫的有37人，會跳舞的有39人。這個班三項都會的至少有多少人？分析：會下棋的有48人，則不會下棋的有52-48=4人，同理，不會畫畫的人有52-37=15人，不會跳舞的人有52-39=13人，三項中至少有一項不會的最多有4+15+13=32人。解：三項中至少有一項不會的最多有：（52-48）+（52-37）+（52-39）=32（人）三項都會的至少有：練習(xí)、某班有54人參加了讀書活動。其中35人看了童話，45

42、人看了科普讀物，40人看了西游記，50人看了漫畫讀物。問四類圖書都看了的至少有多少人？作業(yè)1、 某校參加數(shù)學(xué)競賽的有120名男生、80名女生，參加語文競賽的有120名女生、80男生，該?？偣灿?60名學(xué)生參加競賽，其中75名男生兩科都參加了，那么只參加數(shù)學(xué)競賽而沒有參加語文競賽的女生有多少人？2、如圖，小飛騎自行車去游玩，A，B，C三個景點，他如果從A地出發(fā)，經(jīng)過B地到C地，共行10千米；如果從B地出發(fā)，經(jīng)C地到達A地，共行13千米；如果從C地出發(fā)，經(jīng)A地到達B地，共行11千米。問哪兩個景點之間的距離最短？最短距離是多少千米？3、 某單位有64人訂A、B、C三種雜志，訂A種雜志的有28人，訂B

43、種雜志的有41人，訂C種雜志的有20人，訂A、B兩種雜志的有10人，訂B、C兩種雜志的有12人，訂、兩種雜志的有12人，問三種雜志都訂的有多少人？4、 體育課上，50名學(xué)生面向老師站成一行，按老師口令從左向右報數(shù)1,2,3，50。報完后老師讓所有報4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，問現(xiàn)在仍然面向老師的有多少名同學(xué)？5、 對某單位的100名員工進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，他們喜歡看球賽、電影和戲曲。其中，58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲曲，52人喜歡看電影，18人既喜歡看球賽又喜歡看戲曲，16人既喜歡看戲曲又喜歡看電影，12人三種都喜歡看。問只喜歡看電影的有多少人？第九講 牛吃草

44、問題知識要點：世界著名大科學(xué)家牛頓在普通算術(shù)一書中，熱情推薦了一道關(guān)于草不斷生長方面的題目，這個充滿辯證法飛數(shù)學(xué)題，被人們稱為“牛吃草”問題。這類問題涉及三個量：牛的頭數(shù)、牧場面積、時間。一般而言，通常是用比較法先求出“牧場原有草量”及“每天新生長的草量”，然后再解決問題。尤其要注意：此類問題往往設(shè)每頭牛每單位時間吃草量為單位1例1、 一片牧場，牧場勻速生長。已知這片牧場的草可供10只羊吃20天，或可供14只羊吃12天。那么這片牧場每天新長的草夠2只羊吃多少天？ 分析：10只羊20天吃的草量是多少？10×20=200， 14只羊12天吃的草量是多少？14×12=168， 為

45、什么吃同一個牧場的草，后面條件里吃出的草為什么多些？ 發(fā)現(xiàn)是因為200里面包含了原有草和20天內(nèi)新長的草，168里面包含了原有草和12天內(nèi)新長的草，也就是20-12=8天里面新長了200-168=32的草。故可以求出每天新生草，即32÷8=4，說明每天新生的草夠4頭牛吃，或者說，如果牧場上有4頭或4頭以內(nèi)的牛，草永遠也吃不完；但如果多于4頭牛，最終草會被吃完。然后也可以求出原有草了。最好解決問題。 解：每天新生草：（10×20-14×12）÷（20-12）=4 原有草：10×20-4×20=120（或14×12-4×

46、;12=120） 解決問題：4>2，則草永遠也吃不完。練習(xí)、假設(shè)地球上每年新生成的資源的量是一定的，據(jù)測算地球上的全部資源可供110億人生活90年而耗盡，或者可供90億人生活210年而耗盡。世界總?cè)丝诒仨毧刂圃诙嗌僖詢?nèi)，才能保證地球上的資源足以使人類不斷繁衍下去？例2、 牧場上長滿了牧草，而且每天還在勻速生長，這片牧場上的草可供9頭牛吃20天或可供15頭年吃10天，如果要供18頭牛吃，可以吃多少天？ 分析：9頭年20天吃的總草量： 15頭牛10吃的總草量： 比較，得出吃20天比吃10天多吃的草： 每天新長的草： 原有草：解：（列綜合算式） 每天新長的草： 原有草： 解決問題：練習(xí)、一片牧

47、場長滿牧草，每天草都在勻速生長，這塊牧場上的草可供27頭牛吃6天，也可供23頭牛吃9天，那么這塊牧場可供21頭牛吃多少天？例3、 一塊草地長滿了草，草每天勻速生長。已知3頭牛36天可把草吃光；5頭牛20天可把草吃光?，F(xiàn)在要求12天把草吃光，需要幾頭牛去吃？分析：先求出原有草和新生草，然后把12天內(nèi)長的草算出來，再加上原有草，這就是12天內(nèi)可供牛吃的所以草了，最后去除以天數(shù)就能求出牛的頭數(shù)了。練習(xí)、一塊草地，草每天勻速生長。10頭牛3天可吃光；5頭牛8天可吃光。如果2天要吃光，需要多少頭牛來吃？例4、 有一口水井，持續(xù)不斷地涌出泉水，每分鐘涌出的水量都相等，如果用8架抽水機，30分鐘可抽完；如果

48、使用5架抽水機，60分鐘可抽完，現(xiàn)在要在18分鐘內(nèi)抽完水，需要多少架抽水機？分析：這里的不斷涌出的水相當(dāng)于不斷生長的草，抽水機相當(dāng)于牛。所以這題實際上還是牛吃草問題。練習(xí)、一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，現(xiàn)在水勻速地進入船內(nèi)。如果10人舀水，3小時舀完；如果5人舀水，8小時舀完，現(xiàn)要求2小時舀完，要安排幾個人？作業(yè)1、 牧場上長滿牧草，草每天勻速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問可供25頭牛吃幾天？2、一塊草地，草每天勻速生長。這塊草地的草可供24頭牛吃6天，或可供20頭牛吃10天。問可供19頭牛吃幾天？2、 牧場上的青草每天都在勻速生長。這片牧草可供27頭牛吃6周

49、，或者可供23頭牛吃9周。那么可供21頭牛吃幾周？3、 一湖存有一定量的水，流水均勻入湖。5臺抽水機20天可抽干；6臺同樣的抽水機15天可抽干。若要求6天抽干，需幾臺這樣的抽水機？4、 有一水池，池底不斷有泉水勻速涌出。用10臺抽水機20小時可將水抽干；用15臺相同的抽水機10小時可將水抽干。問用25臺抽水機多少小時可將水抽干？第十講 牛吃草問題（二）知識要點：有的時候牛吃草問題得到了延伸，比如抽水機抽池塘的水，水管排水池的水，牛在吃草過程中減少或增加了，再比如既有牛又有羊在吃草等等。但不管怎么變，我們只要將它們與牛吃草的問題進行比較，然后轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的牛吃草問題，這樣就不難了。例1、 一個

50、水池裝有1根進水管和8根相同的排水管。先打開進水管給水池注入一定量的水，然后同時打開排水管排水，當(dāng)然進水管還在繼續(xù)進水。如果打開全部排水管，則3個小時可將水池中的水排光；如果只打開3根排水管，則要18個小時才能將水池中的水排光。問：想要8個小時排光池中的水，至少需打開幾根排水管？分析：這個問題的本質(zhì)也屬于牛吃草問題。水池看成草地，原來注入一定量的水看成原有草，排水管的根數(shù)看成牛的頭數(shù)，進水管的不斷進水看成不斷生長的草。練習(xí)、一個水池有10根進水管和10根相同的排水管。先打開進水管給水池注入一定量的水，然后同時打開排水管（進水管不關(guān)閉）。如果打開10根排水管，則3個小時可將水池里的水排光；如果打

51、開6根排水管，則6個小時可將水池里的水排光。問想要10個小時排空水池，則至少要開幾根排水管？例2、 一塊草地長滿了草，草每天勻速生長。如果17頭牛去吃，30天可把草地吃光；如果19頭牛去吃，24天可把草地吃光。現(xiàn)在有若干頭牛去吃草，吃了6天后，4頭牛死亡；余下的牛繼續(xù)吃了2天才能將草吃光。問原來有多少頭牛？分析：本題與前面的例題一樣可以先求出原有草和每天新生草，本題與前面的例題不同之處在于中途死了4頭牛。如果這4頭牛不死，2天則需吃草4×2=8。所以我們只要假定這4頭牛未死，并且補進8個單位的草，則就跟前面的例題一樣了。練習(xí)、一片牧場，可供18頭牛吃4天；可供23頭牛吃3天?，F(xiàn)在有1

52、3頭牛，放牧了3天后，又購進5頭牛。問還吃幾天，正好全部的草吃完？例3、 一片牧草，每天生長速度相同，現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果1頭牛的吃的草量等于4只羊的吃草量，那么這片牧草可供10頭牛與60只羊一起吃多少天？分析：本題只需把牛轉(zhuǎn)化成羊或羊轉(zhuǎn)化成牛就簡單了。 比如，把一只羊一天的吃草量看做單位1。那么，“16頭牛吃20天”就可轉(zhuǎn)化為“64只羊吃20天”；問題里面的 “10頭牛與60只羊”就可轉(zhuǎn)化為“100只羊”。練習(xí)、有一片青草，每天生長的速度相同。已知這片青草可供15頭牛吃20天，或者供76只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8頭牛與64只羊一起吃，可以吃多少天？作業(yè)1、 一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水，如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池中的水放光；