41幾類(lèi)可降階的高階微分方程ppt課件

1、上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)第第4 4章章 微分方程與差分方程微分方程與差分方程上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè) 在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等許多實(shí)際問(wèn)題中，在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等許多實(shí)際問(wèn)題中，系統(tǒng)中的變量間往往可以表示成一個(gè)組微分方程系統(tǒng)中的變量間往往可以表示成一個(gè)組微分方程或差分方程，它們是兩類(lèi)不同的方程，前者處理的量或差分方程，它們是兩類(lèi)不同的方程，前者處理的量的離散變量，的離散變量，間隔時(shí)間周期作為統(tǒng)計(jì)的間隔時(shí)間周期作為統(tǒng)計(jì)的.動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)是連續(xù)變量；而后者處理的量則是依次取非負(fù)整數(shù)值是連續(xù)變量；而后者處理的量則是依次取非負(fù)整數(shù)值例如在經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)據(jù)中就有很多以例如在經(jīng)濟(jì)變

2、量的數(shù)據(jù)中就有很多以上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)4.1 幾類(lèi)可降階的高階微分方程幾類(lèi)可降階的高階微分方程( ,)yf x y ( )( )nyf x ( ,)yf y y 四、四、 小結(jié)小結(jié)一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)下面介紹三類(lèi)可降階的高階微分方程的解法下面介紹三類(lèi)可降階的高階微分方程的解法. . 二階和二階以上的微分方程統(tǒng)稱(chēng)為高階微分方程二階和二階以上的微分方程統(tǒng)稱(chēng)為高階微分方程. .有些高階微分方程，可以通過(guò)自變量或未知函數(shù)的有些高階微分方程，可以通過(guò)自變量

3、或未知函數(shù)的代換降低階數(shù)，從而求出解來(lái)代換降低階數(shù)，從而求出解來(lái).上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)一、一、( )( )nyf x 令令(1),nzy ( )ddnzyx 因此因此1( )dzf xxC ，即即(1)1( )d.nyf xxC 同理可得同理可得 (2)2 dnyxC 1( )df xxC dx ( )df xx 依次通過(guò)依次通過(guò) n 次積分次積分, 可得含可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解個(gè)任意常數(shù)的通解 .( ),f x 12.C xC 型的微分方程型的微分方程 變量代換變量代換 那那么么上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)例例1 1解解 21cosxyex d xC 2

4、11sin,2xexC 211(sin)2xyexC dx 218xye 111).2CC sin x 21C x 23C xCcos x 12,C xC （此處（此處2cos.xyex 求解214xe 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè). 12 xy31,3yxxC 42211,122yxxCxC 532231116062yxxCxC xC 例例2 2 解微分方程解微分方程.解 對(duì)方程兩邊積分得：再對(duì)以上二階方程積分得再對(duì)以上二階方程積分得最后對(duì)以上一階方程積分，得通解為最后對(duì)以上一階方程積分，得通解為 53212311.606xxC xC xC上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)

5、( ,)yf x y 型的微分方程型的微分方程 設(shè)設(shè)( ),yp x ,yp 原方程化為一階方程原方程化為一階方程( , ).pf x p 設(shè)其通解為設(shè)其通解為1( ,),px C 則得則得1( ,).yx C 再一次積分再一次積分, , 得原方程的通解得原方程的通解12( ,)d.yx CxC 二、那么那么變量代換變量代換 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)例例3 3 求解求解2(1)2,xyxy01,xy 0 3.xy 解解 令令( ),yp x ,yp 代入方程，得代入方程，得2(1)2xpx p 分離變量分離變量2d2d.(1)pxxpx 積分得積分得21lnln(1)ln,px

6、C21(1).pCx即即0 3 ,xy 利用利用13,C 得得于是有于是有23(1).yx 兩端再積分得兩端再積分得323.yxxC利用利用01,xy 21,C 得得331.yxx 因此所求特解為因此所求特解為那那么么上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)三、三、( ,)yf y y 型的微分方程型的微分方程 令令),(ypy ddpyx ddddpyyxd.dppy 故方程化為故方程化為d( , ).dppf y py 設(shè)其通解為設(shè)其通解為即得即得1( ,).yy C 分離變量后積分分離變量后積分, , 得原方程的通解得原方程的通解21d.( ,)yxCy C 變量代換變量代換 那么那么1

7、( ,),py C 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)代入方程得代入方程得2d0,dpy ppydd.pypy 即即兩端積分得兩端積分得1lnlnln,pyC1,pC y 即即1.yC y ( (一階線(xiàn)性齊次方程一階線(xiàn)性齊次方程) )故所求通解為故所求通解為12.C xyC e 解解 設(shè)設(shè)( ),yp y ddpyx ddddpyyx d.dppy 那么那么 例例4 求解求解. 0)(2 yyy上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)解解 令令 20,yye 00 ,xy 01.xy ( ),yp y d,dpypy 代入方程，得代入方程，得2dd .yppey 積分得積分得利用初始條件

8、利用初始條件, ,10,C 得得那么那么22111.22ypeC例例5 解初值問(wèn)題解初值問(wèn)題上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)1.yex 21.C 得得00,xy 再再由由故所求特解為故所求特解為2,yexC 積分得積分得d.dyypex得得0010,yxpy 根據(jù)根據(jù)上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)四、小結(jié)四、小結(jié)可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法( )1.( )nyf x 逐次積分逐次積分2.( ,)yf x y 令( ),yp x d.dpyx 3.( ,)yf y y 令令( ),yp y d.dpypy 那么那么那么那么上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首

9、頁(yè)返回首頁(yè)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程方程)(yfy 如何代換求解如何代換求解? ?答答: : 令令)(xpy 或或)(ypy 一般說(shuō)一般說(shuō), , 用前者方便些用前者方便些. . 均可均可. . 有時(shí)用后者方便有時(shí)用后者方便. .例如例如, ,2().yye 2.解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題?答答: (1) : (1) 一般情況一般情況 , , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便便. . (2) 遇到開(kāi)平方時(shí)遇到開(kāi)平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào)要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)練練 習(xí)習(xí) 題題上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、2