數(shù)理統(tǒng)計參考答案

1、習(xí)題一1 設(shè)總體的樣本容量，寫出在下列4種情況下樣本的聯(lián)合概率分布. 1）； 2）； 3）； 4）.解 設(shè)總體的樣本為，1）對總體，其中：2）對總體其中：3）對總體4）對總體2 為了研究玻璃產(chǎn)品在集裝箱托運過程中的損壞情況，現(xiàn)隨機抽取20個集裝箱檢查其產(chǎn)品損壞的件數(shù)，記錄結(jié)果為：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，寫出樣本頻率分布、經(jīng)驗分布函數(shù)并畫出圖形.解 設(shè)代表各箱檢查中抽到的產(chǎn)品損壞件數(shù)，由題意可統(tǒng)計出如下的樣本頻率分布表1.1：表1.1 頻率分布表i0 1 2 3 4個數(shù)6 7 3 2 20.3 0.35 0.15 0.1 0.1經(jīng)驗分布函數(shù)

2、的定義式為：，據(jù)此得出樣本分布函數(shù)：圖1.1 經(jīng)驗分布函數(shù)3 某地區(qū)測量了95位男性成年人身高，得數(shù)據(jù)(單位：cm)如下： 組下限165 167 169 171 173 175 177組上限167 169 171 173 175 177 179人 數(shù)3 10 21 23 22 11 5試畫出身高直方圖，它是否近似服從某個正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.解圖1.2 數(shù)據(jù)直方圖它近似服從均值為172，方差為5.64的正態(tài)分布，即.4 設(shè)總體X的方差為4，均值為，現(xiàn)抽取容量為100的樣本，試確定常數(shù)k，使得滿足.解 因k較大，由中心極限定理,：所以：查表得：，.5 從總體中抽取容量為36的樣本，求樣本均值落

3、在50.8到53.8之間的概率.解 6 從總體中分別抽取容量為10與15的兩個獨立的樣本，求它們的均值之差的絕對值大于0.3的概率.解 設(shè)兩個獨立的樣本分別為：與，其對應(yīng)的樣本均值為：和.由題意知：和相互獨立，且： ， 7 設(shè)是總體的樣本，試確定C，使得. 解 因，則，且各樣本相互獨立，則有：所以： 查卡方分位數(shù)表：c/4=18.31，則c=73.24.8 設(shè)總體X具有連續(xù)的分布函數(shù)，是來自總體X的樣本，且，定義隨機變量：試確定統(tǒng)計量的分布.解 由已知條件得：，其中.因為互相獨立，所以也互相獨立，再根據(jù)二項分布的可加性，有，.9 設(shè)是來自總體X的樣本，試求。假設(shè)總體的分布為：1） 2) 3)

4、4) 解 1) 2) 3) 4) 10 設(shè)為總體的樣本，求與。解又因為 ,所以：11 設(shè)來自正態(tài)總體，定義：，計算.解 由題意知，令：，則 12 設(shè)是總體的樣本，為樣本均值，試問樣本容量應(yīng)分別取多大，才能使以下各式成立：1）；2）；3）。解 1)， 所以：2) 令： 所以： 計算可得：3) 查表可得： ，而取整數(shù)，.13 設(shè)和是兩個樣本，且有關(guān)系式：（均為常數(shù)，），試求兩樣本均值和之間的關(guān)系，兩樣本方差和之間的關(guān)系.解 因： 所以：即：14 設(shè)是總體的樣本.1) 試確定常數(shù)，使得，并求出；2) 試確定常數(shù)，使得，并求出和.解 1）因：，標(biāo)準(zhǔn)化得：，且兩式相互獨立故：可得：，.2） 因：， 所以

5、：， 可得：.15 設(shè)分別是分布和分布的分位數(shù)，求證.證明 設(shè)，則： 所以： 故：.16 設(shè)是來自總體的一個樣本，求常數(shù)，使： . 解 易知，則； 同理，則 又因：，所以與相互獨立. 所以：計算得：c = 0.976.17 設(shè)為總體的容量的樣本，為樣本的樣本均值和樣本方差，求證： 1）； 2）； 3）.解 1）因：， 所以：， 又： 且：與相互獨立 所以： 2） 由1）可得：3） 因：，所以：18 設(shè)為總體的樣本，為樣本均值，求，使得. 解 所以：查表可得：，即.19 設(shè)為總體的樣本，試求：1）的密度函數(shù)； 2）的密度函數(shù)；解 因：， 所以的密度函數(shù)為：， 由定理： 20 設(shè)為總體的樣本，試求

6、：1）； 2）解 21 設(shè)為總體的一個樣本，試確定下列統(tǒng)計量的分布：1）； 2）；3）解 1）因為：所以：，且與相互獨立，由抽樣定理可得：2）因為：，且與相互獨立，所以：3）因為：，所以：，且與相互獨立，由卡方分布可加性得：.22 設(shè)總體服從正態(tài)分布，樣本來自總體，是樣本方差，問樣本容量取多大能滿足？解 由抽樣分布定理：,查表可得：，.23 從兩個正態(tài)總體中分別抽取容量為20和15的兩獨立的樣本，設(shè)總體方差相等，分別為兩樣本方差，求.解 設(shè)分別為兩樣本的容量，為總體方差，由題意，又因分別為兩獨立的樣本方差：所以：. 24 設(shè)總體，抽取容量為20的樣本，求概率1）；2）.解 1）因，且各樣本間相

7、互獨立，所以：故：2）因：, 所以：25 設(shè)總體，從中抽取一容量為25的樣本，試在下列兩種情況下的值：1） 已知；2） 未知，但已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差.解 1） 2）26 設(shè)為總體的樣本，為樣本均值和樣本方差，當(dāng)時，求：1） 2）3）確定C，使.解 1） 2）其中,則 3）其中，則所以： ,計算得：. 27 設(shè)總體的均值與方差存在，若為它的一個樣本，是樣本均值，試證明對，相關(guān)系數(shù). 證明 所以：.28. 設(shè)總體，從該總體中抽取簡單隨機樣本，是它的樣本均值，求統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望.解 因，為該總體的簡單隨機樣本，令，則有 可得：習(xí)題二1 設(shè)總體的分布密度為：為其樣本，求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量 .現(xiàn)測

8、得樣本觀測值為：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求參數(shù)的估計值 .解 計算其最大似然估計： 其矩估計為： 所以：，.2 設(shè)總體X服從區(qū)間0, 上的均勻分布，即，為其樣本，1)求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量；2)現(xiàn)測得一組樣本觀測值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，試分別用矩法和極大似然法求總體均值、總體方差的估計值.解 1）矩估計量： 最大似然估計量：無解 .此時，依定義可得：2）矩法： 極大似然估計：.3 設(shè)是來自總體X的樣本，試分別求總體未知參數(shù)的矩估計量與極大似然估計量 .已知總體X的分布密度為：1）未知2）未知3）未知4) 未知5），其中參數(shù)未知6），

9、其中參數(shù)未知 7）未知8）解 1） 矩法估計：最大似然估計：.2) 矩估計： 最大似然估計：.3） 矩估計： 聯(lián)立方程： 最大似然估計： ,無解，當(dāng)時，使得似然函數(shù)最大，依照定義，同理可得.4) 矩估計：，不存在 最大似然估計：，無解；依照定義，.5) 矩估計： 即最大似然估計：，無解依定義有：.6) 矩估計： 解方程組可得：最大似然估計： 無解，依定義得， 解得 .7) 矩估計：最大似然估計：.8)矩估計：最大似然估計： .4. 設(shè)總體的概率分布或密度函數(shù)為，其中參數(shù)已知，記，樣本來自于總體X，則求參數(shù)的最大似然估計量 .解 記則；.5 設(shè)元件無故障工作時間X具有指數(shù)分布，取1000個元件工

10、作時間的記錄數(shù)據(jù)，經(jīng)分組后得到它的頻數(shù)分布為： 組中值 5 15 25 35 45 55 65頻 數(shù) 365 245 150 100 70 45 25如果各組中數(shù)據(jù)都取為組中值，試用最大似然法求參數(shù)的點估計.解 最大似然估計：.6 已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命(單位：小時)為： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948設(shè)總體參數(shù)都未知，試用極大似然法估計這個星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時以上的概率.解 設(shè)燈泡的壽命為,極大似然估計為：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到： .經(jīng)計算得，這個星期生產(chǎn)的燈泡能使用1

11、300小時的概率為0.0075.7. 為檢驗?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機抽取50升，化驗每升水中大腸桿 菌的個數(shù)(假定一升水中大腸桿菌個數(shù)服從Poisson分布)，其化驗結(jié)果如下：大腸桿菌數(shù)/升 0 1 2 3 4 5 6 升 數(shù) 17 20 10 2 1 0 0試問平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為多少時，才能使上述情況的概率為最大？解 設(shè)為每升水中大腸桿菌個數(shù)，由3題（2）問知，的最大似然估計為，所以所以平均每升氺中大腸桿菌個數(shù)為1時，出現(xiàn)上述情況的概率最大 .8 設(shè)總體，試?yán)萌萘繛閚的樣本，分別就以下兩種情況，求出使的點A的最大似然估計量 .1）若時； 2）若均未知時 .解

12、1） ，的最大似然估計量為，所以 .2） 的最大似然估計量為，最大似然估計為，由極大似然估計的不變性，直接推出.9 設(shè)總體X具有以下概率分布： x01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求參數(shù)的極大似然估計量 .若給定樣本觀測值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估計值 .解 分別計算 ，時樣本觀測值出現(xiàn)的概率：由最大似然估計可得：.10 設(shè)總體X具有以下概率分布：， 求參數(shù)的最大似然估計量 .解 最大似然估計應(yīng)該滿足：結(jié)果取決于樣本觀測值.11 設(shè)是總體X的樣本，設(shè)有下述三個統(tǒng)計量： 指出中哪幾個是總體均值a=EX的無偏估計量，并指出哪一個

13、方差最??？解，所以 無偏，方差最小.12 設(shè)總體，為其樣本，1）求常數(shù)，使為的無偏估計量；2）求常數(shù)，使為的無偏估計量 .解 1） 令 得 .2）令 .13 設(shè)是來自總體X的樣本，并且EX =，DX = ，是樣本均值和樣本方差，試確定常數(shù)，使是的無偏估計量 .解所以 .14 設(shè)有二元總體，為其樣本，證明：是協(xié)方差的無偏估計量 .證明 由于所以：，證畢 .15 設(shè)總體，樣本為，是樣本方差，定義，試比較估計量,哪一個是參數(shù)的無偏估計量？哪一個對 的均方誤差最??？解 1）所以 是的無偏估計2） 所以，可以看出最小 .16 設(shè)總體，為樣本，試證：與都是參數(shù)的無偏估計量，問哪一個較有效？解所以 比較有效

14、.17 設(shè)，是的兩個獨立的無偏估計量，并且的方差是的方差的兩倍 .試確定常數(shù)c1, c2，使得為的線性最小方差無偏估計量 .解： 設(shè) 當(dāng)，上式達(dá)到最小，此時 .18. 設(shè)樣本來自于總體X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，證明估計量是參數(shù)的有效估計量 .解 所以其C-R方差下界為 所以 是參數(shù)有效估計量.19 設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，是來自于總體X的樣本，對可估計函數(shù)，求的有效估計量，并確定R-C下界 .解 因為似然函數(shù)所以取統(tǒng)計量得=，所以是無偏估計量令 由定理2.3.2知 T是有效估計量，由所以 C-R方差下界為.20 設(shè)總體X服從幾何分布：，對可估計函數(shù)，則1）求的有效估計量；

15、2）求；3）驗證的相合性 .解 1）因為似然函數(shù)所以取統(tǒng)計量 .又因為 所以是的無偏估計量，取，由定理2.3.2得到，是有效估計量2）所以 是相合估計量 .21 設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，是來自于總體X的樣本，是否存在可估計函數(shù)以及與之對應(yīng)的有效估計量？如果存在和，請具體找出，若不存在，請說明為什么 .解 因為似然函數(shù)所以令 所以是的無偏估計量，取，由定理2.3.2得到，是有效估計量所以：是有效估計量.22 設(shè)是來自于總體X的樣本，總體X的概率分布為：1） 求參數(shù)的極大似然估計量；2） 試問極大似然估計是否是有效估計量？如果是，請求它的方差和信息量；3） 試問是否是相合估計量？解 1）得到最大

16、似然估計量2）所以所以是無偏估計量，由定理2.3.2得到是有效估計量信息量3）所以，T也是相合估計量 .23 設(shè)樣本來自總體，并且的區(qū)間估計為，問以多大的概率推斷參數(shù)取值于此區(qū)間 .解 設(shè)以概率推斷參數(shù)取值于，在已知方差為1條件下，推斷參數(shù) 的置信度為的置信區(qū)間為所以 ，得到 即以概率推斷參數(shù)取值于.24 從一批螺釘中隨機地取16枚，測得其長度(單位：cm)為： 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11設(shè)釘長分布為正態(tài)，在如下兩種情況下，試求總體均值的90%置信區(qū)間，1）若已知

17、=0.01cm； 2）若未知；解 因為1） 計算所以 置信區(qū)間為2） 計算所以 置信區(qū)間為.25 測量鋁的密度16次，測得試求鋁的比重的0.95的置信區(qū)間(假設(shè)鋁的比重服從正態(tài)分布) .解 這是正態(tài)分布下，方差未知，對于均值的區(qū)間估計：因為計算 所以 置信區(qū)間為 .26 在方差已知的正態(tài)總體下，問抽取容量n為多大的樣本，才能使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長度不大于l？解 均值的置信度為的置信區(qū)間為要使即 .27 從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間(1.4, 5.4)內(nèi)的概率不小于0.95，問樣本容量n至少應(yīng)取多大？解，所以.28假設(shè)0.5, 1.25, 0.8, 2.0

18、是總體X的簡單隨機樣本值 .已知 .1） 求參數(shù)a的置信度為0.95的置信區(qū)間；2） 求EX的置信度為0.95的置信區(qū)間 .解 1） 服從正態(tài)分布，按照正態(tài)分布均值的區(qū)間估計，其置信區(qū)間為 ，由題意，從總體X中抽取的四個樣本為：其中，代入公式，得到置信區(qū)間為2），由1）知道的置信區(qū)間為，所以置信區(qū)間為.29 隨機地從A批導(dǎo)線中抽取4根，并從B批導(dǎo)線中抽取5根，測得其電阻()為： A批導(dǎo)線：0.143，0.142，0.143，0.137 B批導(dǎo)線：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140設(shè)測試數(shù)據(jù)分別服從和，并且它們相互獨立，又均未知，求參數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由

19、題意，這是兩正太總體，在方差未知且相等條件下，對總體均值差的估計： 置信區(qū)間為計算得 所以.30 有兩位化驗員A、B，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測定，其測定值的方差依次為0.5419和0.6065，設(shè)與分別為A、B所測量數(shù)據(jù)的總體的方差(正態(tài)總體)，求方差比/的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由題意，這是兩正太總體方差比的區(qū)間估計： 置信區(qū)間為計算得 所以置信為 .31 隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，測得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=11(m/s)，設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由題意標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的置信區(qū)間為

20、計算得所以 置信區(qū)間為 .32 在一批貨物的容量為100的樣本中，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)16個次品，試求這批貨物次品率的置信度為95%的置信區(qū)間解 設(shè)表示來自總體的樣本，樣本為次品時,樣本為正品時，表示次品率，則，的置信區(qū)間為計算得： 所以 置信區(qū)間為.33 設(shè)總體，參數(shù)，是來自于總體X的樣本，并且，求參數(shù)的貝葉斯估計量 .解 設(shè)，先驗分布密度，當(dāng)時，樣本的概率密度分布為關(guān)于參數(shù)的后驗分布為的后驗分部為 ，所以關(guān)于的Bayes估計量.34 設(shè)總體，參數(shù)具有指數(shù)分布，即，并且損失函數(shù)為平方差函數(shù)形式，求 參數(shù)的貝葉斯估計量 .解 設(shè)，先驗分布密度當(dāng)時，樣本的概率密度分布為關(guān)于參數(shù)的后驗分布為的后驗分部為 ，

21、關(guān)于的Bayes估計量.35 設(shè)總體X服從幾何分布：，并且參數(shù)，其中為已知參數(shù) .在平方差損失下，求參數(shù)的貝葉斯估計量T .解 設(shè)，先驗分布密度 當(dāng)時，樣本的概率密度分布為：關(guān)于參數(shù)的后驗分部為的后驗分部為 關(guān)于的Bayes估計量.36 設(shè)為總體的樣本，1） 求參數(shù)p是有效估計量T1與相應(yīng)的信息量；2） 如果，在平方差損失下，求參數(shù)p的貝葉斯估計量T2 .3） 試比較兩個估計量T1和T2 .解 1）因為似然函數(shù)為： 所以 又因為所以取，有定理2.3.2得 是的有效估計量2）設(shè)先驗分布密度 當(dāng)時，樣本的概率密度分布為關(guān)于參數(shù)的后驗分部為 的后驗分部為 ，關(guān)于的Bayes估計量（3）比較估計量,有

22、： 所以，優(yōu)于.習(xí)題三1 正常情況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量.現(xiàn)在測試了5爐鐵水，其含碳量分別為4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差沒有改變，問總體的均值有無顯著變化？如果總體均值沒有改變，問總體方差是否有顯著變化（）？解 由題意知 ，設(shè)立統(tǒng)計原假設(shè) 拒絕域為 ，臨界值 ， 由于 ，所以拒絕，總體的均值有顯著性變化.設(shè)立統(tǒng)計原假設(shè) 由于，所以當(dāng)時 拒絕域為 由于，所以拒絕，總體的方差有顯著性變化.2 一種電子元件，要求其壽命不得低于1000h .現(xiàn)抽測25件，得其均值為=950h .已知該種元件壽命，問這批元件是否合格（）？解 由題意知 ，設(shè)立統(tǒng)計原假設(shè)拒絕域為 臨界值為

23、 由于 ，所以拒絕，元件不合格.3 某食品廠用自動裝罐機裝罐頭食品，每罐標(biāo)準(zhǔn)重量為500g，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的罐頭中隨機抽測9罐，其重量分別為510，505，498，503，492，502，497，506，495（g），假定罐頭重量服從正態(tài)分布. 問 (1)機器工作是否正常（）？ 2）能否認(rèn)為這批罐頭重量的方差為5.52（）？解 （1）設(shè)X表示罐頭的重量(單位：g). 由題意知,已知設(shè)立統(tǒng)計原假設(shè) ,拒絕域 當(dāng)時，臨界值 ，由于，所以接受，機器工作正常.（2）設(shè)X表示罐頭的重量(單位：g). 由題意知，已知設(shè)立統(tǒng)計原假設(shè) 拒絕域為 當(dāng)=0.05時，可得由于,所以接受，可以認(rèn)為方差為.4 某部門對當(dāng)

24、前市場的雞蛋價格情況進(jìn)行調(diào)查，抽查某市20個集市上雞蛋的平均售價為3.399（元/500克），標(biāo)準(zhǔn)差為0.269（元/500克）.已知往年的平均售價一直穩(wěn)定在3.25（元/500克）左右， 問該市當(dāng)前的雞蛋售價是否明顯高于往年？（）解 設(shè)X表示市場雞蛋的價格（單位：元/克），由題意知設(shè)立統(tǒng)計原假設(shè) , 拒絕域為 當(dāng)=0.05時，由于所以拒絕，當(dāng)前的雞蛋售價明顯高于往年.5 已知某廠生產(chǎn)的維尼綸纖度，某日抽測8根纖維，其纖度分別為1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，問這天生產(chǎn)的維尼綸纖度的方差是否明顯變大了（）？解 由題意知 ，設(shè)立統(tǒng)計原假設(shè) 拒絕域為

25、， 當(dāng)時， 由于，所以拒絕，認(rèn)為強度的方差明顯變大.6 某種電子元件,要求平均壽命不得低于2000，標(biāo)準(zhǔn)差不得超過130.現(xiàn)從一批該種元件中抽取25只,測得壽命均值,標(biāo)準(zhǔn)差.設(shè)元件壽命服從正態(tài)分布，試在顯著水平 =0.05下, 確定這批元件是否合格.解 設(shè)X表示電子元件的平均壽命（單位：），由題意知設(shè)立統(tǒng)計原假設(shè) 拒絕域為 當(dāng)時，由于 ，所以接受，即這批電子元件的壽命是合格的.7 設(shè)為來自總體的樣本，已知對統(tǒng)計假 的拒絕域為.1）當(dāng)時，求犯兩類錯的概率與；2）證明：當(dāng)時，0，0.解 （1）由題意知 犯第一類錯誤的概率為犯第二類錯誤的概率為（2）若成立，則 當(dāng)，所以同理 8 設(shè)需要對某一正態(tài)總體

26、的均值進(jìn)行假設(shè)檢驗H0：= 15，H1： 15取檢驗水平=0.05，試寫出檢驗H0的統(tǒng)計量和拒絕域.若要求當(dāng)H1中的=13時犯第二類錯誤的概率不超過=0.05，估計所需的樣本容量n.解 由題意知 ,已知, 設(shè)立統(tǒng)計原假設(shè) 則拒絕域為，其中臨界值犯第二類錯誤的概率即 , 化簡得 .9 設(shè)為來自總體的樣本，為已知, 對假設(shè)： 其中，試證明：解 （1）,由題意知 犯第一，二類錯誤分別為，則有 （2）由題意知 ，犯第一，二類錯誤分別為，則有10 設(shè)為總體樣本，對假設(shè)：的拒絕域為 . 求犯第類錯誤的概率和犯第類錯的概率.解 由題意知 , 統(tǒng)計假設(shè)為 . 拒絕域為 則犯第一，二類錯誤的概率分別是11 設(shè)總

27、體是密度函數(shù)是 統(tǒng)計假設(shè) .現(xiàn)從總體中抽取樣本,拒絕域，求：兩類錯誤的概率解 由題意知當(dāng)此時 當(dāng)此時 12 設(shè)總體，根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，對統(tǒng)計假設(shè)： ；，試分析其拒絕域.解 由題意知 ,當(dāng)成立時所以拒絕域為 當(dāng)成立時所以拒絕域為13 設(shè)總體根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，對統(tǒng)計假設(shè)：（1）；（2）試分析其拒絕域.解 由題意知 （1）假設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 其中已知當(dāng)成立時，拒絕域形式為 由 ，可得所以 ，由此可得拒絕域形式為（2）假設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 其中未知當(dāng)成立時，選擇拒絕域為 ，由得 所以，由此可得拒絕域形式為14 從甲、乙兩煤礦各取若干樣品，得其含灰率（%）為,甲:24.3, 20.8, 23.7, 2

28、1.3, 17.4, 乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服從正態(tài)分布且，問甲、乙兩煤礦的含灰率有無顯著差異 （）？ 解 由題意知 設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 其中當(dāng)時臨界值 拒絕域為而 15 設(shè)甲、乙兩種零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造簡單，造價也低.經(jīng)過試驗獲得它們的抗拉強度分別為（單位：kg/cm）：甲：88，87，92，90，91 乙：89，89，90，84，88假定兩種零件的抗拉強度都服從正態(tài)分布，且 =.問甲種零件的抗拉強度是否比乙種的高（）？解 由題意知 設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 ，其中當(dāng)時臨界值 拒絕域為而 ，所以接受，認(rèn)為甲的抗拉強度比乙的要高.16 甲、乙兩車床生產(chǎn)

29、同一種零件.現(xiàn)從這兩車床產(chǎn)生的產(chǎn)品中分別抽取8個和9個，測得其外徑（單位：mm）為：甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8假定其外徑都服從正態(tài)分布，問乙車床的加工精度是否比甲車床的高（）？解 由題意知 設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 ，其中當(dāng)時 ，臨界值 拒絕域為，而，接受，認(rèn)為乙的精度高.17 要比較甲、乙兩種輪胎的耐磨性，現(xiàn)從甲、乙兩種輪胎中各取8個，各取一個組成一對，再隨機選取8架飛機，將8對輪胎磨損量（單位：mg）數(shù)據(jù)列表如下：（甲）490052205500602063

30、40766086504870（乙）49304900514057006110688079305010 試問這兩種輪胎的耐磨性有無顯著差異？(). 假定甲、乙兩種輪胎的磨損量分別滿足且兩個樣本相互獨立.解 由題意知 設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 ，其中當(dāng)時，令 拒絕域為，臨界值 而，所以接受，認(rèn)為兩種輪胎耐磨性無顯著差異.18 設(shè)總體, 由兩總體分別抽取樣本：4.4，4.0，2.0，4.8 ：6.0，1.0，3.2，0.4 1）能否認(rèn)為 ()? 2）能否認(rèn)為 ()？解 (1) 由題意知 設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 ，其中令，則有，當(dāng)時，拒絕域為，而，所以(2) 由題意知 設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 ，其中其中，拒絕域為臨界值 而19 從過去

31、幾年收集的大量記錄發(fā)現(xiàn)，某種癌癥用外科方法治療只有2%的治愈率.一個主張化學(xué)療法的醫(yī)生認(rèn)為他的非外科方法比外科方法更有效.為了用實驗數(shù)據(jù)證 實他的看法，他用他的方法治療200個癌癥病人，其中有6個治好了.這個醫(yī)生斷 言這種樣本中的3%治愈率足夠證實他的看法.（1）試用假設(shè)檢驗方法檢驗這個醫(yī)生的看法；（2）如果該醫(yī)生實際得到了4.5%治愈率，問檢驗將證實化學(xué)療法比外科方法更有效的概率是多少？解 (1) 記每個病人的治愈情況為，則有設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 ，其中 拒絕域為，臨界值 而 (2) 不犯第二類錯誤的概率 由，可得 由中心極限定理得 20 在某公路上，50min之間，觀察每15s內(nèi)通過的汽車數(shù)，得下

32、表通過的汽車數(shù)量0 1 2 3 4 5次數(shù)f92 68 28 11 1 0問能否認(rèn)為通過的汽車輛數(shù)服從泊松分布（）？解 設(shè)統(tǒng)計假設(shè)為 記 則有檢驗統(tǒng)計量的值為21 對某廠生產(chǎn)的汽缸螺栓口徑進(jìn)行100次抽樣檢驗，測得100數(shù)據(jù)分組列表如下：組限10.9310.9510.9510.9710.9710.9910.9911.01頻數(shù)582034組限11.0111.0311.0311.0511.0511.0711.0711.09頻數(shù)17664試對螺栓的口徑的分布做假設(shè)檢驗（）.解 設(shè)表示螺栓的口徑，分布函數(shù)為，統(tǒng)計假設(shè)為，其中在成立的情況下，計算得由得所以檢驗統(tǒng)計量的值為由此應(yīng)該22 檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，每

33、次抽取10個產(chǎn)品檢驗，共抽取100次，得下表：次品數(shù)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10頻數(shù)35 40 18 5 1 1 0 0 0 0 0問次品數(shù)是否服從二項分布（）？解 設(shè)表示抽取的次品數(shù)，分布函數(shù)為，統(tǒng)計假設(shè)為，其中在成立的情況下， 計算得 檢驗統(tǒng)計量的值為因此23 請71人比較A、B兩種型號電視機的畫面好壞，認(rèn)為A好的有23人，認(rèn)為B好的有45人，拿不定主意的有3人，是否可以認(rèn)為B的畫面比A的好（）？解 設(shè)表示A種型號電視機的畫面要好些，表示B中型號電視機畫面要好些分布函數(shù)分別為，統(tǒng)計假設(shè)為由題意知 檢驗統(tǒng)計量 而，所以24 為比較兩車間（生產(chǎn)同一種產(chǎn)品）的產(chǎn)品某項指標(biāo)的波動情

34、況，各依次抽取12個產(chǎn)品進(jìn)行測量，得下表甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.34乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84問這兩車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項指標(biāo)分布是否相同（）？解 設(shè)分別表示甲乙兩車間所生產(chǎn)產(chǎn)品的指標(biāo)分布，分布函數(shù)分別，統(tǒng)計假設(shè)為 檢驗統(tǒng)計量為秩和，易知的樣本值為且拒絕域為而，所以25 觀察兩班組的勞動生產(chǎn)率(件/h)，得下表：第1班組 28 33 39 40 41 42 45 46 47第2班組 34 40 41 42 43 44 46 48 49問兩班組的勞動生產(chǎn)率

35、是否相同（=0.05）？解 設(shè)分別表示兩個組的勞動生產(chǎn)率，分布函數(shù)分別為，統(tǒng)計假設(shè)為檢驗統(tǒng)計量為秩和，易知的樣本值為拒絕域形式為而，因此, 所以26 觀觀察得兩樣本值如下： 2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54問這兩樣本是否來自同一總體（=0.05）？解 設(shè)分別表示，兩個樣本，分布函數(shù)分別是，統(tǒng)計假設(shè)為檢驗統(tǒng)計量為秩和，易知的樣本值為拒絕域形式為而，因此, 所以27 某種動物配偶的后代按體格的屬性分為三類，各類的數(shù)目是：10，53，46,按照某種遺傳模型其比率之比應(yīng)為：，問數(shù)據(jù)與模型是否相符（

36、）？解 設(shè)體格的屬性為樣本，由題意知其密度函數(shù)為，其中統(tǒng)計假設(shè)為似然函數(shù)為解得最大似然統(tǒng)計量為 則 拒絕域為而 所以28 在某地區(qū)的人口調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：15729245個男人中有3497個是聾啞人.16799031個女人中有3072個是聾啞人.試檢驗“聾啞人與性別無關(guān)”的假設(shè)（）.解 設(shè)表示男人中聾啞人的個數(shù)，表示女人中聾啞人的個數(shù)，其分布函數(shù)分別表示為，. 統(tǒng)計假設(shè)為拒絕域為而所以29 下表為某藥治療感冒效果的聯(lián)列表：年齡療效 兒童成年老年一般583832128較差284445117顯著2318145510910091300試問該藥療效是否與年齡有關(guān)（=0.05）？解 設(shè)表示該藥的療效與年齡有關(guān)

37、，表示該藥的療效與年齡無關(guān)，其分布函數(shù)分別表示為. 統(tǒng)計假設(shè)為拒絕域為而 所以30 某電子儀器廠與協(xié)作的電容器廠商定，當(dāng)電容器廠提供的產(chǎn)品批的不合格率不超過3%時以高于95%的概率接受，當(dāng)不合格率超過12%時，將以低于10%的概率接受.試為驗收者制訂驗收抽樣方案.解 由題意知， 代入式子 選用式子計算求得 ，于是抽查方案是：抽查66件產(chǎn)品，如果抽得的不合格產(chǎn)品，則接受這批產(chǎn)品，否則拒絕這批產(chǎn)品.31 假設(shè)一批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（已知），要求質(zhì)量指標(biāo)值越小越好.試給出檢驗抽樣方案（）的計算公式.若未知，又如何確定檢驗抽樣方案（）？若質(zhì)量高時指質(zhì)量指標(biāo)在一個區(qū)間時，又如何確定檢驗抽樣方案（）?解 (1

38、) 解方程組 得 (2) 若未知，用估計，從而得出公式習(xí)題四1 下表數(shù)據(jù)是退火溫度()對黃銅延性效應(yīng)的試驗結(jié)果，是以延伸率計算的，且設(shè)為正態(tài)變量，求對的樣本線性回歸方程.()300 400 500 600 700 800(%)40 50 55 60 67 70解 利用回歸系數(shù)的最小二估計：其中代入樣本數(shù)據(jù)得到：樣本線性回歸方程為：2 證明線性回歸函數(shù)中(1)回歸系數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間為；(2)回歸系數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間為.證 (1) 由于，所以，所以 易知 ，其中所以的置信水平為的置信區(qū)間為(2) 由，得，與相互獨立，所以：根據(jù)得到的置信度為的置信區(qū)間.3 某河流溶解氧濃度（以百萬分之

39、一計）隨著水向下游流動時間加長而下降.現(xiàn)測得8組數(shù)據(jù)如下表所示.求溶解氧濃度對流動時間的樣本線性回歸方程，并以=0.05對回歸顯著性作檢驗.流動時間t（天）0.51.01.61.82.63.23.84.7溶解氧濃度（百萬分之一）0.280.290.290.180.170.180.100.12解 利用其中代入樣本數(shù)據(jù)得到： 所以，樣本線性回歸方程為：拒絕域形式為：，所以回歸模型不顯著.4 假設(shè)是一可控制變量，是一隨機變量,服從正態(tài)分布.現(xiàn)在不同的值下分別對 進(jìn)行觀測，得如下數(shù)據(jù)0.250.370.440.550.600.620.680.700.732.572.312.121.921.751.71

40、1.601.511.500.750.820.840.870.880.900.951.001.411.331.311.251.201.191.151.00(1)假設(shè)與有線性相關(guān)關(guān)系，求對樣本回歸直線方程，并求的無偏估計； (2)求回歸系數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間；(3)檢驗和之間的線性關(guān)系是否顯著（）；(4)求 置信度為95%的預(yù)測區(qū)間；(5)為了把的觀測值限制在，需把x的值限制在什么范圍？（）解 (1) 利用其中計算得所以，樣本線性回歸方程為：，(2) 根據(jù)第二題，的置信區(qū)間為，代入值計算得到：，的置信區(qū)間為，代入數(shù)值計算得到：.(3) 根據(jù)檢驗法，其拒絕域形式為 而 顯然，所以和之間具有顯

41、著的線性關(guān)系.(4) , 則有 (5) 根據(jù)(4)的結(jié)論，令 解得 5 證明對一元線性回歸系數(shù),相互獨立的充分必要條件是.證 若要，那么.反之顯然也成立，命題的證.6 設(shè)組觀測值之間有關(guān)系式：（其中），且相互獨立.(1) 求系數(shù)的最小二乘估計量；(2) 證明，其中(3) 求的分布.解 (1) 最小化殘差平方和： (2) 易知 其中，將其代入上式可得所以, (3) ， 同理，易得7 某礦脈中13個相鄰樣本點處某種金屬的含量與樣本點對原點的距離有如下觀測值23457810106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49111415161819110.59110.

42、60110.90110.76111.00111.20分別按(1)；(2)；(3).建立對的回歸方程，并用相關(guān)系數(shù)指出其中哪一種相關(guān)最大.解 (1) 令，根據(jù)最小二乘法得到，正規(guī)方程：，最后得到所以：樣本線性回歸方程為：，(2) 令，得到所以：樣本線性回歸方程為：，(3) 令，得到所以：樣本線性回歸方程為：，綜上，,所以第三種模型所表示的的相關(guān)性最大.8 設(shè)線性模型 其中（）且相互獨立，試求、的LS估計.解 令則線性模型可轉(zhuǎn)化為 根據(jù) ， 令 可得 即 9 養(yǎng)豬場為估算豬的毛重，隨機抽測了14頭豬的身長(cm)，肚圍(cm)與體重(kg)，得數(shù)據(jù)如下表所示，試求一個型的經(jīng)驗公式.身長(cm)41

43、 45 51 52 59 62 69 72 78 80 90 92 98 103肚圍(cm)49 58 62 71 62 74 71 74 79 84 85 94 91 95體重(kg)28 39 41 44 43 50 51 57 63 66 70 76 80 84解 由多元線性模型得：代入數(shù)值得到：同樣得到：10 某種商品的需求量，消費者的平均收入和商品價格的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示.試求對、的線性回歸方程.10006001200500300400130011001300300576687543910075807050659010011060解 建立回歸模型根據(jù) ，可求得的LS估計為 代入，得 則回歸方程為：11 設(shè)組觀測值之間有如下關(guān)系： ，且相互獨立.(1