重要抽樣方法

1、重要抽樣方法直接蒙特卡羅方法用于估計(jì)結(jié)構(gòu)的失效概率，通用性強(qiáng)，簡單直觀，但計(jì)算效率很低，為了達(dá)到一定的模擬精度，需要抽取大量的樣本點(diǎn)。為提高計(jì)算效率，一系列的方差縮減技術(shù)得到應(yīng)用，從而產(chǎn)生了一系列的數(shù)值模擬算法。重要抽樣方法是其中最基本也是最重要的一種，能夠大幅度的縮減模擬所需抽取的樣本點(diǎn)數(shù)量，廣泛應(yīng)用于各種結(jié)構(gòu)的可靠性分析之中。重要抽樣方法的基本概念造成直接蒙特卡羅方法估計(jì)失效概率效率低的主要原因，是按原概率密度函數(shù)生成的樣本點(diǎn)，落入失效域的比例過低，也就是說，樣本點(diǎn)中絕大部分對(duì)失效概率值的貢獻(xiàn)是零。如果能夠提高樣本點(diǎn)落入失效域的比例，從而提高樣本點(diǎn)對(duì)失效概率的貢獻(xiàn)，則能夠提高模擬效率，降低

2、樣本點(diǎn)數(shù)量。重要抽樣方法的基本原理是在保持原有樣本期望值不變的情況下，改變隨機(jī)變量的抽樣重心，改變了現(xiàn)有樣本空間的概率分布，使其方差減小，這樣，使對(duì)最后結(jié)果貢獻(xiàn)大的抽樣出現(xiàn)的概率增加，抽取的樣本點(diǎn)有更多的機(jī)會(huì)落在感興趣的區(qū)域，使抽樣點(diǎn)更有效，以達(dá)到減小運(yùn)算時(shí)間的目的。我們假設(shè)一個(gè)關(guān)于隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為，那么，可以得到以下的式子：從上式中我們可以這樣假設(shè)出一個(gè)新的函數(shù)，并且，令，這個(gè)新的函數(shù)的期望值和原先的的期望值完全相同，但是它們的方差卻是完全不相同的：可以很明顯的看出，如果方差越小，那么計(jì)算的工作量就會(huì)越小，我們把例稱作為重要抽樣分布函數(shù)。重要抽樣的基本思路，那就是尋找一個(gè)新的分布函

3、數(shù)，通過這個(gè)函數(shù)，我們能夠達(dá)到保持期望值不變而方差減小的目的，從而提高運(yùn)算的效率。當(dāng)取最優(yōu)值的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)的情況，而這種情況是最理想的一種情況，在這樣的情況下，只需要進(jìn)行一次抽樣就可以完成估計(jì)。但是，這種情況畢竟只是一種理想的狀態(tài)，因?yàn)榈恼鎸?shí)值我們是無法知道的，所以在實(shí)際的計(jì)算中我們只能采用近似的最優(yōu)分布來逼近，從而來實(shí)現(xiàn)減小方差的目的。而重要抽樣分布函數(shù)算法的選擇就成了制約計(jì)算時(shí)間的關(guān)鍵問題。根據(jù)重要抽樣方法的原理，重要抽樣方法的具體描述如下：將結(jié)構(gòu)失效概率積分公式改寫為稱為重要抽樣權(quán)函數(shù)：必須滿足如下條件：稱為抽樣域，易知，按照重要抽樣概率密度函數(shù)抽取的樣本點(diǎn)，全部落在內(nèi)。抽樣域和失效域F

4、越是接近，則按照概率密度函數(shù)抽取的樣本點(diǎn)落入失效域的比例越大。結(jié)構(gòu)失效概率通過下式進(jìn)行估計(jì)：容易驗(yàn)證估計(jì)值是無偏的，即估計(jì)的方差為其中為重要抽樣估計(jì)的單位方差，與樣本量N無關(guān)，使取得最小值的ISD函數(shù)被稱為最優(yōu)ISD函數(shù)，易知最優(yōu)ISD函數(shù)為下式所示的概率密度函數(shù)：對(duì)應(yīng)的估計(jì)方差為0。盡管存在，但用作為ISD函數(shù)的重要抽樣方法無法應(yīng)用，其原因有：（1）中包含失效概率，其值為未知；（2）生成服從概率密度函數(shù)為的分布的樣本點(diǎn)，通常是一件很困難的事。重要抽樣方法的核心在于ISD函數(shù)的構(gòu)造，如果構(gòu)造的ISD函數(shù)不合適，可能導(dǎo)致對(duì)失效概率進(jìn)行估計(jì)的方差非常大。構(gòu)造ISD函數(shù)應(yīng)當(dāng)兼顧以下兩個(gè)方面：（1）增

5、加有效抽樣的比例；（2）增加有效抽樣中對(duì)值貢獻(xiàn)大的抽樣出現(xiàn)的概率。增加有效抽樣的比例，即增加抽取的樣本點(diǎn)落在失效域內(nèi)的比例，可以通過使抽樣域。盡量接近失效域F來達(dá)到；對(duì)失效概率值貢獻(xiàn)大的抽樣點(diǎn)，即使值較大的樣本點(diǎn)。此外，構(gòu)造的ISD函數(shù)還需要滿足能夠較容易地生成樣本點(diǎn)的要求。重要抽樣法在構(gòu)造抽樣函數(shù)的時(shí)候不需要考慮極限狀態(tài)曲面的形狀。由于計(jì)算簡便，并不需要在計(jì)算之前做過多的準(zhǔn)備工作，實(shí)際中的應(yīng)用比較廣泛。常規(guī)的抽樣方法關(guān)注了抽樣點(diǎn)之間的相對(duì)位置，而沒有考慮樣本點(diǎn)的整體位置，這樣在隨機(jī)變量整個(gè)定義域內(nèi)無中心點(diǎn)的抽樣方式會(huì)使大部分樣本點(diǎn)落入安全域內(nèi)，失效樣本過少，效率太低。重要抽樣法通過改變抽樣重

6、心，可使抽樣區(qū)域整體移向失效域，使樣本點(diǎn)落入失效域的概率大大增加，大大提高了抽樣效率和結(jié)果的可信度。簡單抽樣，單純以參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布進(jìn)行抽樣，使得樣本點(diǎn)大部分落于安全域內(nèi)，抽樣效率低，這種缺點(diǎn)在可靠性較高的產(chǎn)品上更為明顯；重要抽樣方法將抽樣中心移至驗(yàn)算點(diǎn)P點(diǎn)，使樣本點(diǎn)落入失效域的概率大大增加，提高抽樣效率。利用中心正態(tài)重要抽樣方法，每次抽樣中心選為上次迭代計(jì)算的驗(yàn)算點(diǎn)處，抽樣密度函數(shù)為正態(tài)分布函數(shù)。這樣隨著循環(huán)計(jì)算的進(jìn)行，驗(yàn)算點(diǎn)越來越精確，抽樣中心也會(huì)逐步移向真實(shí)驗(yàn)算點(diǎn)，使得抽樣點(diǎn)以真實(shí)驗(yàn)算點(diǎn)為中心正態(tài)分布，構(gòu)造相應(yīng)的Kriging模型在驗(yàn)算點(diǎn)附近的擬合精度也會(huì)很高，從而提高可靠度計(jì)算精度。中心

7、正態(tài)重要抽樣法（MCCNIS）獲得重要抽樣密度函數(shù)的較簡單方法是確定重要抽樣域并把密度函數(shù)的中心放在這個(gè)區(qū)域內(nèi)?？梢赃x擇均勻分布的重要抽樣密度函數(shù)并將中心放在設(shè)計(jì)點(diǎn)處，也可以選擇將原隨機(jī)向量的密度函數(shù)中心平移在極限狀態(tài)面上，或是將具有與原分布相同的相關(guān)矩陣的n維正態(tài)分布密度函數(shù)中心平移到設(shè)計(jì)點(diǎn)處，且相關(guān)系數(shù)不小于原隨機(jī)變量之間相關(guān)系數(shù)。ISD函數(shù)的類型多種多樣，在實(shí)際的研究工作中，為便于理論分析和簡化計(jì)算，在一些情況下采用n維正態(tài)分布概率密度函數(shù)作為ISD函數(shù)是一個(gè)合理的選擇。正態(tài)分布密度函數(shù)的參數(shù)為采樣中心和協(xié)方差矩陣S，未知參數(shù)為n(n+3)/2個(gè)，當(dāng)選擇二維獨(dú)立正態(tài)分布密度函數(shù)作為ISD

8、函數(shù)時(shí)，協(xié)方差矩陣S為對(duì)角矩陣，未知參數(shù)減少為2n個(gè)，且能夠較容易的生成樣本點(diǎn)。采用近似算法中的H-L算法求得設(shè)計(jì)點(diǎn)，然后選取ISD函數(shù)為以為采樣中心的n維獨(dú)立正態(tài)分布概率密度函數(shù)進(jìn)行重要抽樣模擬是合適的。中心正態(tài)重要抽樣法的密度函數(shù)為：如果極限狀態(tài)面非線性不是很高、接近平面，則這樣抽樣使得約有一半的抽樣點(diǎn)落在失效域，抽樣效率很好。但是如果極限狀態(tài)面曲率較大特別是如果極限狀態(tài)面為一個(gè)以原點(diǎn)為中心的以為半徑的球面時(shí)，使用這種方法的效率就非常低了。-球面外的結(jié)尾正態(tài)重要抽樣法(MCROIS)重要抽樣密度函數(shù)的定義域不一定是整個(gè)隨機(jī)向量空間，失效概率是在失效域上的積分，因此重要抽樣密度函數(shù)的定義域只

9、需要包含失效域就可以了，最理想的重要抽樣密度函數(shù)定義域等于失效域且重要抽樣密度函數(shù)取值與隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)取值成比例，當(dāng)然通常這種重要抽樣密度函數(shù)是難以構(gòu)造的。如果已經(jīng)獲得了設(shè)計(jì)點(diǎn)，由設(shè)計(jì)點(diǎn)的定義知道設(shè)計(jì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是所有極限狀態(tài)面上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離中最小的，令這個(gè)最小距離為，則又所以式中為自由度為n的分布函數(shù)，為向量的模。圖1 -球外重要抽樣法如圖1示，圓心在原點(diǎn)以為半徑的球面(簡稱一球面)內(nèi)，全部處在安全域內(nèi)，而在獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中隨機(jī)向量取值在這部分區(qū)域的概率很高。如果使用獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)抽樣，就會(huì)使得大量抽樣點(diǎn)落在一球內(nèi)，為了避免這種情況出現(xiàn)，構(gòu)造如下截尾正態(tài)重要抽樣密度函

10、數(shù)式中，重要抽樣密度函數(shù)的抽樣域如圖1示，一球面外的截尾正態(tài)重要抽樣可以使更多的抽樣點(diǎn)落在失效域，從而使得抽樣效率增加。比較兩種方法，MCCNIS的抽樣域是整個(gè)隨機(jī)相向量空間，它是將重要抽樣密度函數(shù)（即正態(tài)密度函數(shù)）的中心移動(dòng)到設(shè)計(jì)點(diǎn)位置，從而抽樣點(diǎn)以較高概率落在以設(shè)計(jì)點(diǎn)為中心的附近區(qū)域內(nèi)，當(dāng)極限狀態(tài)面接近平面時(shí)有500%左右的抽樣點(diǎn)落在失效域內(nèi)；而MCROIS的抽樣域是中心在原點(diǎn)、半徑為的球面外的隨機(jī)向量空間，抽樣點(diǎn)以較高概率落在球外表面的附近區(qū)域內(nèi)。當(dāng)極限狀態(tài)面接近平面時(shí)MCROIS的抽樣點(diǎn)落到失效域的概率要低于MCCNIS，但是當(dāng)極限狀態(tài)面接近球面時(shí)MCROIS的抽樣點(diǎn)落到失效域的概率要

11、明顯高于MCCNIS?；贙riging模型的重要抽樣方法作為最重要的數(shù)值模擬方法之一，重要抽樣方法被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的可靠性分析中。相比直接蒙特卡羅方法，重要抽樣方法在估計(jì)失效概率時(shí)所需要的樣本點(diǎn)數(shù)量大幅度減小。盡管如此，其所需樣本點(diǎn)仍然較多，在確定采樣中心之后，要使估計(jì)的變異系數(shù)低于0.07，所需的樣本點(diǎn)數(shù)量大于2000。在結(jié)構(gòu)功能函數(shù)沒有顯式表達(dá)的情況下，尤其是進(jìn)行一次結(jié)構(gòu)分析需要較大計(jì)算代價(jià)的情況下，采用替代分析模型來代替實(shí)際的結(jié)構(gòu)分析，可以進(jìn)一步減少重要抽樣所需結(jié)構(gòu)分析的次數(shù)，從而降低模擬的計(jì)算代價(jià)?；舅枷胍延械幕贙riging模型的重要抽樣方法(Importance Sampli

12、ng based onKriging model, ISK)，通過實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選取訓(xùn)練樣本，建立Kriging模型后，對(duì)隨后所抽取的樣本點(diǎn)，直接采用Kriging模型的預(yù)測(cè)值代替實(shí)際的功能函數(shù)值來進(jìn)行失效概率的估計(jì)。其缺點(diǎn)在于，建立的Kriging模型對(duì)隨后抽取的樣本點(diǎn)的功能函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，沒有對(duì)其預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度進(jìn)行檢驗(yàn)，如果選取訓(xùn)練樣本不當(dāng)，可能導(dǎo)致失效域邊界附近的樣本點(diǎn)的功能函數(shù)值出現(xiàn)較大的偏差，從而使得對(duì)失效概率的估計(jì)出現(xiàn)較大偏差。采用學(xué)習(xí)函數(shù)，自動(dòng)尋找并添加最適合的訓(xùn)練樣本，不斷修正Kriging模型的參數(shù)值。即使最初的訓(xùn)練樣本選取不恰當(dāng)，通過不斷的修正，最終也能夠得到一個(gè)可以對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行

13、精確分類的Kriging模型。算法描述重要抽樣方法的核心是構(gòu)造重要抽樣密度(ISD)函數(shù)，而構(gòu)造ISD函數(shù)需要獲得失效域的信息。在結(jié)構(gòu)功能函數(shù)沒有顯式表達(dá)的情況下，獲取失效域的信息只能通過對(duì)一些離散的樣本點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的結(jié)構(gòu)分析來實(shí)現(xiàn)，相對(duì)來說比較困難。Hurtado提出了一種利用改進(jìn)的Metropolis算法，從而在結(jié)構(gòu)功能函數(shù)沒有顯式表達(dá)的情況下獲得近似設(shè)計(jì)點(diǎn)的方法：既然設(shè)計(jì)點(diǎn)是失效域內(nèi)概率密度函數(shù)值最大的點(diǎn)，從失效域內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，利用MMA生成候選狀態(tài)點(diǎn)，如果候選狀態(tài)點(diǎn)的概率密度函數(shù)值比當(dāng)前點(diǎn)的概率密度函數(shù)值大，則執(zhí)行接受/拒絕階段，否則從當(dāng)前點(diǎn)出發(fā)重新生成候選狀態(tài)點(diǎn)。在獲得近似設(shè)計(jì)點(diǎn)后，

14、自然的做法是將ISD函數(shù)選取為以近似設(shè)計(jì)點(diǎn)為采樣中心的無關(guān)正態(tài)概率密度函數(shù)。Hurtado所提方法對(duì)只有單設(shè)計(jì)點(diǎn)的情況適用，當(dāng)存在多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)且事先并不知道這一點(diǎn)時(shí)，該方法可能只能求解其中某一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，從而由一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)造的ISD函數(shù)用于重要抽樣，對(duì)失效概率的估計(jì)可能偏差較大。在獲得近似設(shè)計(jì)點(diǎn)過程中，那些執(zhí)行接受/拒絕階段的樣本點(diǎn)，計(jì)算了其真實(shí)功能函數(shù)值，可以作為Kriging模型的初始訓(xùn)練樣本。當(dāng)MMA中建議分布函數(shù)的方差選取合適時(shí)，尋找近似設(shè)計(jì)點(diǎn)過程中計(jì)算了真實(shí)功能函數(shù)值的點(diǎn)，一般比較接近失效域邊界，將其作為訓(xùn)練樣本是較為合適的。選擇式學(xué)習(xí)函數(shù)，以及停止學(xué)習(xí)準(zhǔn)則。和直接蒙特卡羅方法不同，重要抽樣方法所估計(jì)的失效概率不僅和樣本點(diǎn)是否落入失效域有關(guān)，還和樣本點(diǎn)的重要抽樣權(quán)函數(shù)有關(guān)。盡管學(xué)習(xí)函數(shù)僅僅涉及到樣本點(diǎn)的功能函數(shù)預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，而與無關(guān)，但采用重要抽樣方法時(shí)，已經(jīng)確保了生成的樣本點(diǎn)大部分落在對(duì)失效概率值貢獻(xiàn)大的區(qū)域內(nèi)，即取較大值的區(qū)域內(nèi)。因此，采用學(xué)習(xí)函數(shù)尋找到的訓(xùn)練樣本也都落在對(duì)失效概率值貢獻(xiàn)大的區(qū)域內(nèi)，采用該學(xué)習(xí)函數(shù)是合理的。算法流程基于Kriging模型的重要抽樣方法的算法流程如下： (1)利用Hurtado所提方法求得近似設(shè)計(jì)點(diǎn)，并用計(jì)算了真實(shí)功能函數(shù)值的樣本