簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(二)

1、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（二）線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案（二）教學(xué)目標(biāo) 鞏固二元一次不等式和二元 一次不等式組所表示的平面區(qū)域， 能用此來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最值.重點(diǎn) 難點(diǎn) 理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn).如何擾實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn).教學(xué)步驟【新課引 入】我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū) 域，在這里開(kāi)始，教學(xué)又翻開(kāi)了新的一頁(yè)，在今后的學(xué)習(xí)中，我們可 以逐步看到它的運(yùn)用.【線性規(guī)劃】 先討論下面的問(wèn)題 設(shè)，式中變 量x、y滿(mǎn)足下列條件 求z的最大值和最小值. 我們先畫(huà)出不 等式組表示的平面區(qū)域，如圖中 內(nèi)部且包括邊界.點(diǎn)（0, 0）不 在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)，當(dāng)

2、 時(shí)，點(diǎn)（0, 0）在直線 上.作一組和 平等的直線 可知，當(dāng)l在 的右上方時(shí)，直線l上的點(diǎn) 滿(mǎn)足.即， 而且l往右平移時(shí)，t隨之增大，在經(jīng)過(guò)不等式組表示的三角形區(qū) 域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （5, 2）的直線1,所對(duì)應(yīng) 的t最大，以經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的直線，所對(duì)應(yīng)的t最小，所以 在上述問(wèn)題 中，不等式組是一組對(duì)變量 x、y的約束條件，這組約束條件都是 關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱(chēng)線性約束條件.是欲達(dá)到最大值i來(lái)源網(wǎng)絡(luò)整理，僅供供參考或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù)，由于 又是x、 y的解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)，上述問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù) 在線性約束條件下的最大值和

3、最小值問(wèn)題.線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時(shí)也有一次方程表示.一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題， 統(tǒng)稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn) 題，滿(mǎn)足線性約束條件的解 叫做可行解，由所有可行解組成的集合 叫做可行域，在上述問(wèn)題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域， 其中可行解（5, 2）和（1, 1）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值， 它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解.【應(yīng)用舉例】 例1解下列線性規(guī)劃 問(wèn)題：求 的最大值和最小值，使式中的x、y滿(mǎn)足約束條件 解：先 作出可行域，見(jiàn)圖中 表示的區(qū)域，且求得.作出直線，再將直線 平移，當(dāng) 的平行線 過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可使 達(dá)到最小值，當(dāng) 的平行線 過(guò)

4、 C點(diǎn)時(shí)，可使 達(dá)到最大值.通過(guò)這個(gè)例子講清楚線性規(guī)劃的步驟，即：第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；第二步：在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.例2解線性規(guī)劃問(wèn)題：求 的最大值，使式中的x、y滿(mǎn)足約束條件.解：作出可行域，見(jiàn)圖，五邊形OABCDg示的平面區(qū)域. 作出直線 將它平移至點(diǎn)B,顯然，點(diǎn)B的 來(lái)源網(wǎng)絡(luò)整理，僅供供參考2坐標(biāo)是可行域中的最優(yōu)解，它使 達(dá)到最大值，解方程組 得點(diǎn)B的坐 標(biāo)為（9, 2）.這個(gè)例題可在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生解出.在此例中，若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為，約束條件不變，則z的最大值在點(diǎn)C（3, 6）處取得.事實(shí)上，可行域內(nèi)

5、最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在何處，與目標(biāo)函數(shù) 所 確定的直線 的斜率 有關(guān).就這個(gè)例子而言，當(dāng) 的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)， 即時(shí)，若（直線 的斜率）時(shí)，線段BC上所有點(diǎn)都是使z取得最大 值（如本例）；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C處使z取得最大值（比如：時(shí)），若，可請(qǐng)同學(xué)思考.隨堂練習(xí)1.求 的最小值，使式中的 滿(mǎn)足約束條件 2.求的最大值，使式中滿(mǎn)足約束條件答案：1.時(shí)，.2.時(shí)，.總 結(jié)提煉1.線性規(guī)劃的概念.2.線性規(guī)劃的問(wèn)題解法.布置作業(yè)1.求 的最大值，使式中的 滿(mǎn)足條件2.求的最小值，使 滿(mǎn)足下列條件 答 案：1.2.在可行域內(nèi)整點(diǎn)中，點(diǎn)（5, 2）使z最小，探究活動(dòng)利潤(rùn)的線性規(guī)劃問(wèn)題某企業(yè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元，199

6、8年的 利潤(rùn)為7萬(wàn)元，1999年的利潤(rùn)為81元，請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè) 不同的利潤(rùn)增長(zhǎng)直線方程，從而預(yù) 2001年企業(yè)的利潤(rùn)，請(qǐng)問(wèn)你幫該 企業(yè)預(yù)測(cè)的利潤(rùn)是多少萬(wàn)？分析首先應(yīng)考慮在平面直角坐標(biāo)系中如何描述題中信息：“1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元，1998年的利潤(rùn)為7 萬(wàn)元，1999年的利潤(rùn)為8萬(wàn)元”，在確定這三點(diǎn)坐標(biāo)后，如何運(yùn)用這三點(diǎn)坐標(biāo)，是僅用其中的兩點(diǎn)，還是三點(diǎn)信息的綜合運(yùn)用，運(yùn)用時(shí)要 注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過(guò)特殊點(diǎn)的直線、平行某個(gè)線段的直線、與某些點(diǎn)距離最小的直線作為預(yù)測(cè)直線等等.建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（0, 5）,1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元及

7、1999年的利潤(rùn)為8萬(wàn)元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn) （1, 7）和（2, 8）,那么 若將過(guò) 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ，其方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為13萬(wàn)元.若將過(guò) 兩點(diǎn)的直 線作為預(yù)測(cè)直線，其方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11萬(wàn) 元.若將過(guò) 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線，其方程為：，這樣預(yù)測(cè) 2001年的利潤(rùn)為10萬(wàn)元.若將過(guò) 及線段 的中點(diǎn) 的直線作為預(yù) 測(cè)直線，具方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11. 667萬(wàn)元. 若將過(guò) 及 的重心（注：為3年的年平均利潤(rùn)）的直線作為預(yù)測(cè)直 線，具方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11. 667萬(wàn)元.若 將過(guò)及的重心的直線作為預(yù)測(cè)直線，其方程為：，這樣

8、預(yù)測(cè)2001 年的利潤(rùn)為10. 667萬(wàn)元.若將過(guò) 且以線段 的斜率 為斜率的直 線作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線 的方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利 潤(rùn)為9萬(wàn)元.若將過(guò) 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線的方程為:,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.5萬(wàn) 元.若將過(guò)點(diǎn) 且以線段 的斜率 為斜率的直線，作為預(yù)測(cè)直線， 則預(yù)測(cè)直線 的方程為；，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元. 若將過(guò)且以線段的斜率與線段的斜率的平均數(shù)為斜率的直線作 為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線 的方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為 12萬(wàn)元.如此這樣，還有其他方案，在此不一一列舉.思考（1）第種方案與第種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？（2）第種方案中，的現(xiàn)實(shí)意義是什么？（3）根據(jù)以上的基本解題思路，請(qǐng)你思考新的方案.如方案中，過(guò) 的重心，找出以為斜率的直線中與 兩