雙曲線知識點歸納與例題分析

1、百度文庫讓每個人平等地提升白我雙曲線 基本知識點雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點在工軸）22二-二=1（4>0,>0）cr b-標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點在）,，軸）22二一二=1（。>0力>0）cr lr定義第一定義：平面內(nèi)與兩個定點與，心的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于1"?。?的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。 例慳娟一慳聞=為（2“半囚）一a第二定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線/的距離的比是常數(shù)e,當(dāng)e>l時， 動點的軌跡是雙曲線。定點廠叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線， 常數(shù)e （e>l）叫做雙曲線的離心率。*KLV范

2、圍x >a, yeR|y|>n， xeR對稱軸x軸，y軸；實軸長為2，虛軸長為功對稱中心原點0(0,0)住占坐J、J、I-A標(biāo)”(-c,0)入(c,0)G(o,-c)工(o©焦點在實軸上，c = >Ja2+b2 ；焦距：FF2 = 2c頂點坐 標(biāo)(- 4,0 ) (，0)(0, 一，) (0, a)離心率Qe = (e > 1) a準(zhǔn)線方 程x = ± c,a* v = ± .C準(zhǔn)線垂直于實軸且在兩頂點的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：至C頂點到 準(zhǔn)線的 距離頂點A （4）到準(zhǔn)線丸（乙）的距離為吁C頂點A （4）到準(zhǔn)線“（L）的距離為上+“C焦點到

3、準(zhǔn)線的 距離焦點5（鳥）到準(zhǔn)線（4）的距離為c.dC焦點耳（K）到準(zhǔn)線/,"）的距離為4+c C漸近線 方程,bV = ± x a,b J = ±V a.共漸近 線的雙 曲線系 方程v2 y2。一二=k (kwO) tr b-二一二=攵（女00） cr b-直線和 雙曲線 的位置雙曲線二一二=1與直線）,=依+的位置關(guān)系： cr b一72廠7利用藍(lán)一爐一轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。y = kx + b二次方程二次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長|A叫=，1 +攵2"（內(nèi)+工2）2一4中2通徑：1陰=l%f 13(2)(3)(4)(5)Bi

4、"C. - - + = l(y 3)16 9D. -+ = 1(y 3)16 9補充知識點:等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：（1）半長二半虛軸長（一般而言是a二b,但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是a, b這兩個字 母）； 其標(biāo)準(zhǔn)方程為亡2-y2二C,其中CWO：離心率e= 72；:兩條漸近線y二士x互相垂直；等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點 的距離的；（6）等軸雙曲線上任意一點P處的切線夾在兩條之間的線 段，必被P所平分；（7）等軸雙曲線上任意一點處的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積恒為常數(shù)小2；（8）等軸雙曲線x2-y2=C繞其中心以逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后，可以

5、得到XY二/2/2,其中CWO。 所以y二k/x的圖像一定是等軸雙曲線。例題分析：例1、動點夕與點耳。5）與點63-5）滿足歸罩-歸周=6,則點夕的軌跡方程為（）9 16同步練習(xí)一:如果雙曲線的漸近線方程為y = ±3x,則離心率為（）4A. 3B. 3 C. *或工 D.小3434例2、已知雙曲線=+4=1的離心率為e<2,則k的范圍為（）4 KA. -2<k<B. k<0C. -5<k<0D. - 12vvO同步練習(xí)二:雙曲線士-E=i的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為 cr /?例3、設(shè)P是雙曲線£-4=1上一點，雙曲線的一條

6、漸近線方程為3.2），= 0,耳£分別是雙曲 cr 9線的左、右焦點，若|戶甲=3,則的值為.同步練習(xí)三:若雙曲線的兩個焦點分別為3-2）,（0,2）,且經(jīng)過點（2,厲），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。例4、下列各對曲線中，即有相同的離心率乂有相同漸近線的是百度文庫-讓每個人平等地提升自我(A) - -y2=l 和二-二二1(B) -y2=l 和 y2- -=1(C)廣二二1和六匚133二-廣1和二-21二13935同步練習(xí)四：已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點月，入分別為(/0)和(-點0),點。在雙曲線上且PFJPF2,且區(qū)的面積為1,則雙曲線的方程為()a* T-T=1916例5、與雙曲

7、線二£ = 1有共同的漸近線，且經(jīng)過點A(-3,2的的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是()(A) 8(B) 4(C) 2(D) 1同步練習(xí)五：以)，=±岳為漸近線，一個焦點是F (0, 2)的雙曲線方程為()例6、下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是41622同步練習(xí)六:雙曲線8kxky三8的一個焦點是(0, 3),那么k的值是例7、經(jīng)過雙曲線3的右焦點F2作傾斜角為30。的弦AB ,(1 )求|AB|.(2 ) F.是雙曲線的左焦點，求aFAB的局長.同步練習(xí)七過點(0,3)的直線I與雙曲線43 只有一個公共點，求直線I的方程。高考真題分析1.【

8、2012高考新課標(biāo)文10】等軸雙曲線。的中心在原點，焦點在工軸上，C與拋物線V=i6x的 準(zhǔn)線交于48兩點，|45| = 46；則。的實軸長為()(A) V2(8) 2y/2(C)4(0)8【答案】C【命題意圖】本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線、直線與雙曲線的位置關(guān)系，是簡單題.【解析】由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為：x = 4,設(shè)等軸雙曲線方程為：x2-y2=«2,將x = 4代入 等軸雙曲線方程解得y二±46-"，|A8I = 4有，2&6-/二46 解得=2,C的實軸長為4,故選C.2.【2012高考山東文H】已知雙曲線q：二-1=1(a>0/>0)的離

9、心率為2.若拋物線 cC b"C2：a-2=2Rv(P>0)的焦點到雙曲線G的漸近線的距離為2,則拋物線g的方程為(A) x2=y(B) A-2=ly(C) A2=8y(D)/=16)，33【答案】D考點：圓錐曲線的性質(zhì)解析：由雙曲線離心率為2且雙曲線中a, b, c的關(guān)系可知 =此題應(yīng)注意C2的焦點在y軸上，即(0, p/2)至U直線)，=Jlr的距離為2,可知p=8或數(shù)形結(jié)合，利用直角三角形求解。3.【2012高考全國文10】已知耳、鳥為雙曲線。：爐->2 = 2的左、右焦點，點尸在。上，IP石 l=2IP乃 I,則cosN耳PF? =1334(A) 1(B) -(C

10、) -(D)-4545【答案】c【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質(zhì)的運用，以及余弦定理的運用。首先 運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可?！窘馕觥拷猓河深}意可知,l = & =瓦,c = 2,設(shè)IP6l=2x,IPBI=x,則1心1一1產(chǎn)61=工=勿=2拉,故1。"1=4右柩1=2應(yīng)，£巴=4,利用余弦定理可得cos ZFlPF2 =尸"2+尸52尼2 _(4應(yīng))2+(2")2_4_ 32PH -PF? -2x272x45"4 4.（2。八年高考湖南卷文科6）設(shè)雙曲線,$9。）的漸近線方程為3

11、田安。,則“的值為（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：C解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為y = ±上X,故可知 =2。 a5.【2012高考遼寧文15】已知雙曲線/ - /=1,點口邑為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點, 若P E_LP邑,則I P F" + I P艮|的值為.【答案】2小【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，難度適中。 【解析】由雙曲線的方程可知a = l,c =應(yīng),.RP周一|尸周| = 2 = 2,尸/丁一2|尸甲|尸入| 十 |尸5二4. PF.VPF:.PF +|P|2=（2c）2=8,/. 2|P

12、/P"=4,二.（尸片 +1P可尸=8 + 4 = 12,| P用 +1 尸用=20【點評】解題時要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實現(xiàn)差一積一和的轉(zhuǎn)化。6.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標(biāo)系上，中，若雙曲線二-_匚=1的離心率為4, 則?的值為.【答案】2?！究键c】雙曲線的性質(zhì)。百度文庫讓每個人平等地提升白我【解析】由工- innr + 4=1 得 a=fmt+4, c=J? + ,J +4。yjm + m2 +4=下,即/一 4m + 4=0,解得 z=2 o課后作業(yè)L雙曲線的實軸長和慮軸長分別是（）A. 273, 4B.4, 273 C. 3, 4 D. 2, 右2

13、.雙曲線£-£ = 1的焦點到它的漸近線的距離等于（） a- lrA. hja2 +b2 B. b C.3.如果雙曲線的實半軸長為2,焦距為6,那么雙曲線的離心率為（）A-T b- V c- I D-24.A.二一亡=1 B.匚-上=1 或上-二=1 C.二-=1205205205520D.雙曲線的漸近方程是y = ±；x,焦點在坐標(biāo)軸一，焦距為10,其方程為（95.雙曲線上一上=1的右準(zhǔn)線與漸近線在第一象限的交點和右焦點連線的斜率是（） 9166.a 3A.-4b-4C.D- -I雙曲線小白1的兩條漸近線所成的角是（454A. 2arctan- B. 2arct

14、an- C. -2arctan- 545D./r-2arctan-47.雙曲線x2 y2戶一戶=1與其共飄雙曲線有（）A.相同的焦點B.相同的準(zhǔn)線 C.相同的漸近線D.相等的實軸長8已知雙曲線的漸近線方程為則此雙曲線的A.焦距為10B.實軸長與虛軸長分別為8與6C.離心率e只能是:或3D.離心率e不可能是3或二43439 .等軸雙曲線的一個焦點是R （4, 0）,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是,漸近線方程是_10 .若雙曲線的實軸長，虛軸長，焦距依次成等差數(shù)列，則其離心率為11 .若雙曲線上-工=1上的一點P到它的右焦點的距離是8,則到它的右準(zhǔn)線之間的距離為64 3612 .若雙曲線的一條漸近線方程為版-2

15、），= 0,左焦點坐標(biāo)為（-衣O）,則它的兩條準(zhǔn)線之間的 距離為_13 .寫出滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）雙曲線的兩個焦點是橢圓二+工=1的兩個頂點，雙曲線的兩條準(zhǔn)線經(jīng)過這個橢圓的兩個 100 64住占.J、/、（2）雙曲線的漸近線方程為y = ±x,兩頂點之間的距離為2:14 .雙曲線的其中一條漸近線的斜率為,，求此雙曲線的離心率15 .已知雙曲線my? =1（/>0）的右頂點為A,而B、C是雙曲線右支上的兩點，如果A43C是 正三角形，則?的取值范圍是16 .設(shè)圓過雙曲線上-工=1的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心 916的距離是.17 .已知雙曲線二-工=1上一點M到左焦點F1的距離是它到右焦點距離的5倍，則M點的坐標(biāo) 169為18 .已知直線/過定點（0, 1）,與雙曲線的左支